《概率论与数理统计》习题及答案__第一章 2
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解：半圆域如图
设 ‘原点与该点连线与 轴夹角小于 ’
由几何概率的定义
2１.把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解１设 ‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为 ，则 ，不等式构成平面域 .
发生
不等式确定 的子域 ，所以
解2设三段长分别为 ，则 且
,不等式确定了三维空间上的有界平面域 .
（4)将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’;
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过的汽车不少于3台’。
解（１) 其中 ‘出现 点’ ,
。
(2)
};
;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
（3)
(4）
,其中‘ ’表示空盒;
。
(5） 。
2.设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件:
解(1）设 ‘他们的生日都不相同’，则
；
(2)设 ‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
;
或
.
８.设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设 ‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
．？???为什么
9.将 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCＩENCＥ的概率是多少？
，
对于本题有
.
１0.从 等 个数字中,任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率： ‘三个数字中不含0和5’, ‘三个数字中不含０或５’， ‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
１１.将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆,每堆两只，求事件 ‘每堆各成一双’的概率．
解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题,不同的分法共 ‘每堆各成一双’共有 种情况,故
（2）设 ‘５只中有两只坏的’,则
．
６.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
（1)3个球的最小号码为５的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解（1)设 ‘最小号码为５’,则
;
(2）设 ‘最大号码为５’，则
.
7.(1)教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.
发生
不等式确定 的子域 ，所以
.
2２.随机地取两个正数 和 ,这两个数中的每一个都不超过１,试求 与 之和不超过1,积不小于0.０９的概率.
解 ,不等式确定平面域 .
‘ ’则 发生的
充要条件为 不
等式确定了 的子域 ，故
23.(蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长 的针，求针与任一平行线相交的概率.
解1设 ‘恰好排成SCＩEＮCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法:
字母 在7个位置中占两个位置,共有 种占法，字母 在余下的５个位置中占两个位置，共有 种占法,字母 剩下的3个位置上全排列的方法共３!种,故基本事件总数为 ,而 中的基本事件只有一个,故
；
解2七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个,第二种元素有 个…,第 种元素有 个 ,将这 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
解设 ‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,
设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
，不等式确定了平面上
的一个区域 ．
发生 ，不等式确定 的子域
故
1７.设 ，试证明
[证]因为 ，所以
故
.证毕．
18．对任意三事件 ，试证
.
［证]
.证毕.
１9．设 是三个事件，且 ， ,求 至少有一个发生的概率。
解
因为 ,所以 ，于是
2０.随机地向半圆 ( 为正常数）内掷一点,点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率.
《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
（１)掷一颗骰子，记录出现的点数． ‘出现奇数点’;
(２）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为１０’, ‘第一次的点数,比第二次的点数大２’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2，3，4,5;从中同时取出3只球，观察其结果, ‘球的最小号码为１’;
解(1） ；（2） ;(3） ；(4) 。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设 ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取５只,求
（1）5只全是好的的概率;
（2)5只中有两只坏的的概率。
解（１）设 ‘5只全是好的’，则
;
12．设事件 与 互不相容， ,求 与
解
因为 不相容,所以 ，于是
1３.若 且 ,求 .
解
由 得
14．设事件 及 的概率分别为 ，求 及
解
.
1５．设 ,且 仅发生一个的概率为0．５,求 都发生的概率。
解１由题意有
,
所以
.
解2 仅发生一个可表示为 ，故
所以
．
16．设 ,求 与 ．
解 ,
所以
,
故
；
．
所以
(1)仅 发生;
(２) 中至少有两个发生;
（3） 中不多于两个发生;
（４） 中恰有两个发生;
（5） 中至多有一个发生。
解(1)
（2) 或 ；
(3) 或 ；
（4) ;
(5） 或 ；
３．一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品;(2）至少有一件产品是次品；(３）恰有一件产品是次品;（４)至少有两件产品不是次品。
设 ‘原点与该点连线与 轴夹角小于 ’
由几何概率的定义
2１.把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解１设 ‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为 ，则 ，不等式构成平面域 .
发生
不等式确定 的子域 ，所以
解2设三段长分别为 ，则 且
,不等式确定了三维空间上的有界平面域 .
（4)将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’;
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, ‘通过的汽车不少于3台’。
解（１) 其中 ‘出现 点’ ,
。
(2)
};
;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。
（3)
(4）
,其中‘ ’表示空盒;
。
(5） 。
2.设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件:
解(1）设 ‘他们的生日都不相同’，则
；
(2)设 ‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
;
或
.
８.设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解设 ‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
．？???为什么
9.将 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCＩENCＥ的概率是多少？
，
对于本题有
.
１0.从 等 个数字中,任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率： ‘三个数字中不含0和5’, ‘三个数字中不含０或５’， ‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
１１.将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆,每堆两只，求事件 ‘每堆各成一双’的概率．
解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题,不同的分法共 ‘每堆各成一双’共有 种情况,故
（2）设 ‘５只中有两只坏的’,则
．
６.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
（1)3个球的最小号码为５的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解（1)设 ‘最小号码为５’,则
;
(2）设 ‘最大号码为５’，则
.
7.(1)教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.
发生
不等式确定 的子域 ，所以
.
2２.随机地取两个正数 和 ,这两个数中的每一个都不超过１,试求 与 之和不超过1,积不小于0.０９的概率.
解 ,不等式确定平面域 .
‘ ’则 发生的
充要条件为 不
等式确定了 的子域 ，故
23.(蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长 的针，求针与任一平行线相交的概率.
解1设 ‘恰好排成SCＩEＮCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法:
字母 在7个位置中占两个位置,共有 种占法，字母 在余下的５个位置中占两个位置，共有 种占法,字母 剩下的3个位置上全排列的方法共３!种,故基本事件总数为 ,而 中的基本事件只有一个,故
；
解2七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个,第二种元素有 个…,第 种元素有 个 ,将这 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
解设 ‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,
设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
，不等式确定了平面上
的一个区域 ．
发生 ，不等式确定 的子域
故
1７.设 ，试证明
[证]因为 ，所以
故
.证毕．
18．对任意三事件 ，试证
.
［证]
.证毕.
１9．设 是三个事件，且 ， ,求 至少有一个发生的概率。
解
因为 ,所以 ，于是
2０.随机地向半圆 ( 为正常数）内掷一点,点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率.
《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
（１)掷一颗骰子，记录出现的点数． ‘出现奇数点’;
(２）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为１０’, ‘第一次的点数,比第二次的点数大２’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2，3，4,5;从中同时取出3只球，观察其结果, ‘球的最小号码为１’;
解(1） ；（2） ;(3） ；(4) 。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设 ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取５只,求
（1）5只全是好的的概率;
（2)5只中有两只坏的的概率。
解（１）设 ‘5只全是好的’，则
;
12．设事件 与 互不相容， ,求 与
解
因为 不相容,所以 ，于是
1３.若 且 ,求 .
解
由 得
14．设事件 及 的概率分别为 ，求 及
解
.
1５．设 ,且 仅发生一个的概率为0．５,求 都发生的概率。
解１由题意有
,
所以
.
解2 仅发生一个可表示为 ，故
所以
．
16．设 ,求 与 ．
解 ,
所以
,
故
；
．
所以
(1)仅 发生;
(２) 中至少有两个发生;
（3） 中不多于两个发生;
（４） 中恰有两个发生;
（5） 中至多有一个发生。
解(1)
（2) 或 ；
(3) 或 ；
（4) ;
(5） 或 ；
３．一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品;(2）至少有一件产品是次品；(３）恰有一件产品是次品;（４)至少有两件产品不是次品。