网络图论及网络方程.
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
矩阵论在电气工程中的应用
题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx学生姓名：xxx所属院系：电气工程学院专业：电气工程学号：xxx完成日期：20xx年x月x日矩阵论在电气工程中的应用摘要电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。
该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。
为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。
本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。
关键词：电路分析矩阵法网络拓扑ABSTRACT：Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution.KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology0 前言矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。
第二章(1)电路基本分析方法
I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用 箭头表示，一般取与电路图中支路电流 方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A
网络图论集网络方程
0 1 0 0 0
[Yb
]
0 0
0 0
3 0
0 2
0 0
0 0 0 0 1
0
0
0
0
[Us ] 0 [Is ] 0
1
0
0
1
Yn AYbAT
3 1 0
1 5 1
0 1 2
•
In
•
A Is AYb
•
Us
2 0
1
•
•
Yn Un In
1
4
2 35
12
七、含互感电路分析
Ib Bf T Il
•
•
•
[Bf ZbBf T ]Il [Bf Us Bf Zb Is ]
•
•
Zl Il Usl
1 1 0 1 0 0
[Bf
]
0
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
其中： Zl Bf ZbBf T
（回路阻抗矩阵）
•
•
•
Usl Bf Us Bf Zb Is
（回路电压源列向量）
(nxb) (bx1)
•
•
••
五、 节点电压方程 (Ib Yb Ub Yb Us Is )
•
•
Y n
Un
In
(nxn) (nx1) (nx1)
u1 = un2 – un1
-i1u+2 =i4u–ni26 = 0 iu1 +3 =i2+uni23 –=un03
其中：1
[
A]
1
0
I•Y100n n10A1 I•As100YbA100AYbT10U•1s
1
电路第十章 网络图论及网络方程
8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1
[C
f
]
0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系
Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:
Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:
Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；
电网络理论-第二章
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
电网络理论概述
电网络分析综述电路CAD技术是电路分析、设计、验证的有力工具，随着集成电路特征尺寸进入纳米时代，电路的规模越来越大，工作频率越来越高，芯片上市时间越来越短，以集成电路CAD为基础的电子设计自动化(EDA)已经成为提高设计效率、优化电路性能，增加芯片可靠性和提高芯片合格率的新兴产业，渗入到集成电路设计的每一阶段。
电路CAD已经有近40年的历史，涉及电路理论、半导体器件物理、线性与非线性方程组的求解方法、最优化涉及、数值分析和计算机软件等多个领域。
纳米时代的到来既为电路CAD技术带来了机遇，也使之前面临更大的挑战。
随着集成电路与计算机的迅速发展，以电子计算机辅助设计为基础的电子设计自动化技术已经成为电子学领域的重要学科，并已形成一个独立的产业。
它的兴起与发展，又促进了集成电路和电子系统的迅速发展。
当前，集成电路的集成度越来越高，电子系统的复杂程度日益增大，而电子产品在市场上所面临的竞争却日趋激烈，产品在社会上的收益寿命越来越短，甚至只有一二年时间。
处于如此高速发展和激烈竞争的电子世界，电路设计工作者必须拥有强大有力的EDA 工具才能面对各种挑战，高效地创造出新的电子产品。
20世纪70年代到80年代初期，电子计算机的运算速度、存储量和图形功能还正在发展之中，电子CAD和EDA技术还没有形成系统，仅是一些孤立的软件程序。
这些软件在逻辑仿真、电路仿真和印刷电路板(PCB)、IC版图绘制等方面取代了设计人员靠手工进行繁琐计算、绘图和检验的方式，大大提高了集成电路和电子系统的设计效率和可靠性。
但这些软件一般只有简单的人机交互能力，能处理的电路规模不是很大，计算和绘图的速度都受限制。
而且由于没有采用统一的数据库管理技术，程序之间的数据传输和交换也不方便。
20世纪80年代后期，是计算机与集成电路高速发展的时期，也是EDA技术真正迈向自动化并形成产业的时期。
这一阶段，EDA的主要特点是：能够实现逻辑电路仿真、模拟电路仿真、集成电路的布局和布线、IC版图的参数提取与检验、印制电路板的布图与检验、以及设计文档制作等各设计阶段的自动设计，并将这些工具集成为一个有机的EDA系统，在工作站或超级微机上运行。
矩阵论在电气工程中的应用
.题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx学生姓名：xxx所属院系：电气工程学院专业：电气工程学号：xxx完成日期：20xx年x月x日矩阵论在电气工程中的应用摘要电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。
该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。
为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。
本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。
关键词：电路分析矩阵法网络拓扑ABSTRACT：Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution.KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology0 前言矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。
第9章《电网络理论(图论、方程、综合)》教学课件
传输特性
A() 20lg H ( j)
H(0) 在阻带内
10lg
1
2
c
2n
A() 20lg ( )n c
dA() 20ndB/十倍频程 6ndB/倍频程
d
c
12
第9章 逼近问题和灵敏度分析
设计参数的确定
Amax 10lg 1 2
调整通带内允许的最大衰减， 使其可小于3dB
H ( j) 为幅度函数
3）相位函数
() H ( j)
4）群时延函数 () d () d
3
第9章 逼近问题和灵敏度分析
滤波器的分类
有源滤波器
1） 模拟滤波器
无源滤波器
元件
数字滤波器
信号
2）低通滤波器(LP)、
高通滤波器(HP)、
带通滤波器(BP)、
带阻滤波器(BR)和全通滤波器 (AP)
4
n
104
s
1
0.355 104
0.811104
s
H
(s)
(s
12330)( s 2
7620s
2.85 1020 1.52108 )(s2
19950s
1.52
108
)
此时 Amax 10lg(1 0.352 410 ) 51.1dB>50dB 满足要求
15
第9章 逼近问题和灵敏度分析
H (s) 2 H (s)H (s)
H 2 (0)
1 (1)n s2n
1n s2n 1 0
s2n 1 n1
极点
j( 2k 1n )
sk e 2n ,
H (s) H (0) P(s)
8
第1章 网络图论与网络方程
第1章 网络图论与网络方程§1.1 电路的线图电网络的两个基本定律是基尔霍夫电流定律（简称KCL ）和基尔霍夫电压定律（简称KVL ）。
对某一具体电网络，通常可以列出许多KCL 和KVL 方程。
但是所有这些方程并不都是独立的。
本节及下一节利用图论(graph theory)的有关概念和方法来解决如何列写独立的基尔霍夫定律方程问题。
图论是一门数学，研究由“点”和“线”构成的线图(linear graph) [简称图(graph)]。
基尔霍夫定律是网络结构对电流、电压的约束，与元件性质无关。
因此在列写基尔霍夫定律方程时，可以不用考虑元件，从而将电路抽象成由“点”和“线”组成的线图。
在本书中将“点”统称为节点，将“线”统称为支路(branch)。
1 元件的线图二端元件有一个独立的端子电流和一个端对电压，可用两个节点和一条支路来表示，如图1.1所示。
支路中的电流和两点间的电压分别称为支路电流和支路电压，并且电压电流取相同参考方向，称为关联参考方向，在支路上用一个箭头表示。
三端元件有3个端子电流和3个端对电压，如图1.2(a)。
电流电压分别受KCL 和KVL 约束，即0132312321=-+=+--u u u i i iu①(a)(b)iu , (a)(b)③③图1.1 二端元件的线图 图1.2 三端元件的线图因此可以用两条支路和三个节点的线图来表示。
对图1.2(a)，取任意两个端子电流为独立电流变量，例如端子①和②的电流1i 、2i ，同时取这两个端子与端子③的电压1u 、2u 为独立的电压变量。
对应的线图如图1.2(b)所示。
依此类推，对n 端元件，如果存在m 个独立的端子电流或m 个独立的端对电压，则可抽象成m 条支路n 个节点的线图。
2 电路的线图有了元件的线图便可用以建立电路的线图。
图1.3是一示例。
将图(a)中的元件一一抽象成线图，再按照原来的关系联结起来，便得到图(b)所示的电路线图。
08版电路基础第10章 网络图论与网络方程
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
基本回路：单连支回路
基本回路的方向 ：单连支方向 注：利用回路法求解电路时， 可选基本回路作为独立回路
②
任意两个节点间至少有一条路经
图G1中所有的支路和节点都在图G中 每个支路都表示该支路电流的方向
② ③ ① ④
①
③
④
② ③ ① ④
② ③
①
④
4、标准支路
Ik
Uk
4、标准支路
Ik
Uk
二、树、回路、割集 1、树（Tree): 连通图G的一个 子图，满足： 1）含有G全部节点
2）连通图
二、回路关联矩阵B
1、回路关联矩阵B 行：代表回路序号 列：代表支路序号 矩阵元素取值:
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 B 0 0 1 1 0 1
1 2
1 ——同向关联：支路j与回路i关 联,支路j方向与回路i方向一致。 ——反向关联：支路j与回路i关 bij 1 联,支路j方向与回路i方向相反。 0 ——无关联：支路j与回路i
第十章 网络图论及网络方程
网络分析主要问题： 1）选择独立变量 ——拓扑学理论
2）列写网络方程 ——矩阵代数方程 3）网络方程求解 ——计算机应用
10-1 基本定义和概念
一、网络拓扑图
1、支路(Branch)： 将每个元件用线段表 示，每条线段称为支路。
电路-高等教育出版社-第五版-电路第三章
R3 2
3
2 i2 i3 i4 0
R1 i1 34
R5 i5
3 i4 i5 i6 0
取网孔为独立回路，沿顺时
i6 针方向绕行列KVL写方程:
R6
+
uS
– 回路1
u2 u3 u1 0
回路2 u4 u5 u3 0
回路3 u1 u5 u6 0
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这一步可
回路1 u2 u3 u1 0
1 1 1 Δ 7 11 0 203
0 11 7
0 1 1 Δ1 64 11 0 1218
6 11 7 1 0 1 Δ2 7 64 0 406 0 67
P6 2 6 12W
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例2 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
解1 (1) n–1=1个KCL方程：
结点a： –I1–I2+I3=0
返回 上页 下页
（2）支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程
列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不
多的情况下使用。
例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
a
解 ① n–1=1个KCL方程：
I1 +
70V –
7 I2 11 +
61V
2
–
b
I3 结点a： –I1–I2+I3=0
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程， 消去中间变量。
返回 上页 下页
3.4 网孔电流法
1.网孔电流法
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 基本思想
电网络 - 第一章网络理论基础(1)
例1-1：对图示三极管任选一端为参考 点则为二端口元件
b
c
e
3 容（允）许信号偶和赋定关系：
容（允）许信号流容（允）许信号偶，简称容许偶。记做：
u(t ) , i(t )
, 对n端口为: u(t ) , i(t )
容（允）信号偶相当于我们熟知的自变量的定义域和函数 值域的组合（构成的集合）。 赋定关系： 容（允）信号偶的全体称为赋定关系。
u 1
i1
多端口网络：按端口定义，二端网络一定是一端口（单口）网 络，四端网络不一定是二端口（一般不是）。如 果四端网络两对端子都满足端口条件，称为双口 （二端口）网络，是最简单的多口网络。如：理 变，运放，回转器等都是典型的双口网络。
（n＋1）端元件→共地n端口元件 2
i2 i1
1
in n in 1
3.本课程的主要内容：
教材的第一章~第七章的大部分内容，计划 40学时，21周考，详见后面的教学安排。
4.要求：
掌握基本概念和基本分析计算方法。使对电网络的 分析在“观念”和“方法”上有所提高。
5.参考书：
肖达川：线性与非线性电路
电路分析 邱关源：网络理论分析（新书，罗先觉）
第一章 网络理论基础
dL (t ) di1 (t ) d 1 i1 (t ) L(t ) u1 (t ) dt dt dt d 2 dL (t ) di2 (t )dL (t ) di1 (t T ) u 2 (t ) i2 (t ) L(t ) i1 (t T ) L(t ) dt dt dt dt dt
4 网络及其元件的性质(一)（分类依据）： 1） 集中性与分布性： 如果在任何时刻 t ，流入任一端子的电流恒等于其它端子流 出的电流的代数和，则该元件称为集中参数元件（简称集 中元件），否则称为分布参数元件（简称分布元件）。
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网络分析主要问题： 1）选择独立变量 ——拓扑学理论 2）列写网络方程 ——矩阵代数方程 3）网络方程求解 ——计算机应用
1
10-1 基本定义和概念
一、网络拓扑图
1、支路(Branch)： 每个元件代表一条 支路，用线段表示。 2、节点(Node)： 每一条支路的端点。 3、图（Graph)： 支路与节点的集合。
一、标准支路伏安关系
Uk Zk I k Zk I sk U sk
或
I k Yk U k Yk U sk I sk
二、矩阵形式支路伏安关系:
U b Z b Ib Z b Is Us
其中：Z
或
Ib Yb U b Yb U s Is
2、基本割集关联矩阵Cf
7
1 0 0 1 1 0 对于一个有向图， [ A] 0 1 1 1 0 0 选一棵树，支路编号 先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
四、A、Bf、Cf关系
B Bt
Bt
Bl
1
3
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图， 满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合 路径 基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。 3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分； 2）少移一条支路，则图连通。 基本割集：单树支割集，树支方向为割集方向。
0 -1 1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0
0 0 0 1
0
0 0
0 -1 0 0
-1
0 1 0 0 0 0
0
Bt 1 0 [ C ] 1 C f l 0 T Cl Bt 1
9
10-3 节点法
(nxn) (nx1) (nx1)
[ A] 1 0 1 0 0 0 I0 n A I s AYb U s 1 0 1 1
1
T1 0 0 1 0A 1 Y （节点导纳矩阵） 其中： AY n b
4 = -i3u+ i5 u +n1 i6 = 0 u5 = un3 （节点电流源列向量） u6 = un3 – un1
C Ct Cl 1 Cl
1 [ B f ] 1 0 1 [C f ] 0 0
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
2、基本回路关联矩阵Bf
6
三、割集关联矩阵C
1、割集关联矩阵C 行：代表割集序号
列：代表支路序号
矩阵元素取值:
1 cij 1 0
——同向关联：支路j与割集i关联,支路j方向 与割集i方向一致。 ——反向关联：支路j与割集i关联,支路j方向 与割集i方向相反。 ——无关联：支路j与割集i没有关联。
Yb : 支路导纳矩阵
b
: 支路阻抗矩阵
Ib 、 U b 分别为支路电流、电压列向量 Is 、 U s 分别为支路电流源、电压源列向量
10
三、支路电压与节点电压关系:
U b A T U n（矩阵形式的KVL）
(bx1) (bxn) (nx1)
四、支路电流关系：
A Ib 0
习题： Bf、 0 0求0 1C -1 f 0 110-7
-1
0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1
1
0
1 2 3 5 9 4 6 7 8 10 11
1 –1 0 1 0 1 [B f ] -1 0 0 1 0 -1
–1 0 0 1 0 0 0
故有：
Cl Bt
或
T
T T
Bt Cl
1
Bt At Al
Cl Bt
At
T
1
Al
8
1
0
0
0
0 -1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 -1 [C f ] 树支： 、2 、3 、0 5、 9 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
连 通 图 非连通图 平 面 图 非平面图 有 向 图
无 向 图
子 母 图 图 孤立节点 自 环
2
4、标准支路
Ik
+
二、树、回路、割集
Uk
-
1、树（Tree): 连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）含有G全部节点 3）无回路 树支：构成树的所有支路 树支数 n-1 n:节点数 连支：不属于树的支路（树余） 连支数 b-(n-1) b:支路数
4
②
10-2 关联矩阵
1 0 0 1 0 一、节点关联矩阵 1 1 1 0 A 0 [ Aa ] 1、增广关联矩阵Aa 0 0 1 0 1 行：代表节点序号 0 1 0 1 1 列：代表支路序号
1 0 1 向关联：支路j与节点i关联,支路j方向 1 离开节点i。 ——反向关联：支路j与节点i关联,支路j方向 aij 1 指向节点i。 0 ——无关联：支路j与节点i没有关联。
(nxb) (bx1)
（矩阵形式的KCL）
五、 节点电压方程 (Ib Yb U b Yb U s Is )
u1 = un2 – un1
2 = -i1u+ i4 u –n2 i6 = 0 un2 un3 3 = iu+ i+ i –= 0 1 2 3
Yn U n In
2、降阶关联矩阵A
5
二、回路关联矩阵B
1、回路关联矩阵B 行：代表回路序号 列：代表支路序号 1 2
矩阵元素取值:
3
1 ——同向关联：支路j与回路i关联,支路j方向 与回路i方向一致。 bij 1 ——反向关联：支路j与回路i关联,支路j方向 0 与回路i方向相反。 ——无关联：支路j与回路i没有关联。