结构力学11.2 单元刚度矩阵

根据上图，当 4 个杆端位移同时发生时，由叠加原理，知
FSei

12EI l3
vie

6EI l2
ie
12EI l3
v
e j

6EI l2

e j
M
e i

6EI l2
vie

4EI l
ie

6EI l2
v
e j

2EI l

e j
FSej

12EI l3
vie

6EI l2
ie
12EI l3
89
结构力学讲稿
uie
u
e j
EA


k
e


l 0
0 0
EA l 0
FNei 0 FSei 0 FNej
FSej

EA
l 0
0 0
EA
l 0
0 0
桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章 矩阵位移法
90
EA
[k
e
]


l EA
EEAlA

EA 1 l 1
1 1
l l
在进行整体分析时，桁架单元的杆端力需要沿整体坐标系分解成水平分力与竖向分力。单元刚度
矩阵相应地需要从局部坐标系变换到整体坐标下。桁架单元在整体坐标系下的单刚为 44 阶矩阵。故，
局部坐标系下的单刚需要扩充至 44 阶的矩阵。即
EA l 0 0
EA l 0
0

0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0 0
EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2

0


6EI
l2

2EI
结构力学讲稿
第十一章 矩阵位移法
§11-2 单元刚度矩阵
单元分析：平面杆系结构，取出结构中的任意一根杆件（即一个单元，要求是等截面直杆）进行 分析，分析杆端力与杆端位移之间的关系。这一关系，在传统位移法中，是用转角位移方程表示的。 在矩阵位移法中，是用单元刚度矩阵来表示。如下图所示。
假设单元的编号为 e，单元两个结点的编号为 i、j。建立单元局部坐标系：规定 ij 为 x 轴， x 轴逆时针转 90o 为 y 轴。 符号规定：与传统位移法的符号规定略有不同。
e
]


0 EA
l

0

0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 12EI
l3
0

6EI

l2
0 EA
6EI l2
0
2EI
l

，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆
端位移。因为杆件可有任意的刚体位移，故，给定杆端力，不能确定杆端位移。 单元刚度矩阵的奇异性，表明杆件不受约束，可有任意刚体位移。 平面桁架单元 在桁架结构中，任意杆件均只有轴力，只有轴向变形，如图示。
v
e j

6EI l2

e j
M
e j

6EI l2
vie

Байду номын сангаас
2EI l
ie

6EI l2
v
e j

4EI l

e j
由此，我们得到 6 个关系式，即
FNei

EA l
uie

EA l
u
e j
FSei

12EI l3
vie

6EI l2
ie
12EI l3
v
e j

6EI l2

e j
M
e i

l



0



6EI l2



4EI
l


uie


vie

ie




u
e j




v
e j




e j

第十一章 矩阵位移法
即，
{F e} [k e ]{ e}
称为，单元刚度方程。

e j
以上 6 个关系式，写成矩阵形式，有
87
结构力学讲稿


FNei


FSei


M
e i






FNej




FSej



M
e j



杆端弯矩—逆时针为正； 杆端轴力与剪力—与坐标轴同向为正； 结点线位移—与坐标轴同向为正； 角位移：逆时针为正。 下面分析杆端内力与杆端位移之间的关系，即单元刚度矩阵。
根据上图，由叠加原理知，
FNei

EA l
uie

EA l
u
e j
FNej


EA l
uie

EA l
u
e j
86
结构力学讲稿
第十一章 矩阵位移法
0
l

0
12EI l3

6EI l2

0
6EI l2
4EI l
单元刚度矩阵的性质
(1) 对称性
kije

k
e ji
，刚度系数互等，反力互等定理。即， [k
e
]

[k
e
]T
，[k
e]
为对称矩阵。
88
结构力学讲稿
主系数恒为正，即， kiie 0 。 刚度系数：杆端单位位移引起的杆端约束反力。 (2) 奇异性 [k e ] 0 ，即单刚[k e ] 不存在逆矩阵。
FFSNeeii

uviiee

{F
e}

M
e i
FNej

，称为，单元杆端力列向量。{
e}

ie
u
e j

，称为，单元杆端位移列向量。
FSej

v
e j

M
e j


e j

EA

l
0

[k
6EI l2
vie

4EI l
ie

6EI l2
v
e j

2EI l

e j
FNej


EA l
uie

EA l
u
e j
FSej

12EI l3
vie

6EI l2
ie
12EI l3
v
e j

6EI l2

e j
M
e j

6EI l2
vie

2EI l
ie

6EI l2
v
e j

4EI l
根据叠加原理，可得出
FNei

EA l
uie

EA l
u
e j
，
FNej


EA l
uie

EA l
u
e j
写成矩阵形式，有
EA

FNei FNej



l EA
l
EA l
EA

uuijee

，此为桁架单元的单元刚度方程
l
则，桁架单元的单元刚度矩阵为