结构力学11.2 单元刚度矩阵
各单元类型的单元刚度矩阵
各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。
单元为等腰直角三角形，直角边长为1。
泊松比为0，弹性模量为1。
（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。
单元刚度矩阵建立的两种方法
单元刚度矩阵推导的两种方法：
一拉伸杆，长度为l ，截面积为A ，弹性模量为E ,在杆端力F 作用下，杆端产生位移为∆，求F 和∆的关系。
1 结构力学方法：
平衡条件 F A =σ A
F =σ 几何关系 l
∆=ε 物理关系 εσE =
由以上三式可得 l
E E A
F ∆===εσ
所以得节点力和节点位移之间的关系
2 利用插值函数及虚位移原理：
假设单元的位移函数，当单元很小时，往往可以取线性分布，即 b ax u +=
式中的参数，由节点位移来决定：
0=x ， 0=u ， 得0=b
l x =， ∆=u ， 得l
a ∆= 由位移的微分可得应变：
l
a dx
b ax d dx du ∆==+==)(ε 物理关系 εσE =
节点力和节点位移之间的关系由虚位移原理求得：
22
00∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆===∆⎰⎰l EA Al l E Adx E Adx F l l εεσε 同样得到：。
计算结构力学第四章 单元刚度矩阵
(4)
2 l 1 2 l
(5)
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由(4)式 {a} [G]1{ } 将(6)代入(1), 便得v( x)的结点位移插值式为
1 v( x) { X }T [ G ] } 14 44 {
(6) (7)
这里 [ N ( x)] [ N1 ( x)
2 3 x x 1 3 2 l l
计算结构力学
第四章 单元刚度矩阵
4-1
概
述
形成单元刚度矩阵是整个结构分析中的 一个重要环节。 静力法推导利用了结构力学中的转角位 移方程，也是采用了Euler梁理论的结果。 Euler梁：简单梁
有限元分析的计算精度在很大程度上取 决于单元刚度矩阵，也就是取决于 单元形状 函数(位移函数)的选择。
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d 2 [ N ( x)] ( x) z ( x) v( x) 2 dx 4 6 x 6 12 x 2 6x 6 12 x 2 3 2 3 2 2 l l l l l l l l [ B] (9)
2.在单元内点, Ni ( x)按u ( x)形式变化, 如(8)式又 称为Lagrange型插值(线性, 仅函数本身的边界 作内插函数).
1
y
N1 ( x)
N2 ( x)
0 i
j
x
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3.应变插值形式（用结点位移表示(x)) du (x) dx d (x) [ N ( X )]{ } dx 1 1 [ ]{ } [ B]{ } l l 上式中[ B]矩阵称为应变矩阵。
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单元刚度矩阵的物理意义
单元刚度矩阵的物理意义
在结构力学中，单元刚度矩阵是用来表示构件的刚度特性的一种重要数学工具，它可以用来分析结构构件的受力和变形性能。
单元刚度矩阵是一个方阵，它包含了构件的每一个节点之间的刚度关系，可以用来表示结构构件的力学参数。
单元刚度矩阵有助于更好地理解结构构件的受力性能，它可以用来计算结构构件的挠度、刚度和受力的变形特性等。
通过单元刚度矩阵，可以更准确地计算出构件的力学参数，从而更好地理解构件的受力性能。
单元刚度矩阵是一个结构力学的重要概念，它可以用来确定结构构件的受力性能，可以帮助更好地理解结构构件的受力性能。
单元刚度矩阵可以用来计算构件的挠度、刚度和受力变形特性等，从而更好地了解构件的力学性能。
此外，单元刚度矩阵还可以用来分析结构构件的稳定性，可以用来判断结构构件的形变特性，从而帮助更好地分析结构构件的受力和变形性能。
总之，单元刚度矩阵是一种结构力学中重要的数学工具，它可以帮助更好地理解结构构件的受力特性，更好地分析结构构件的稳定性，更准确地计算出构件的力学参数，从而更好地研究结构构件的受力和变形性能。
第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵
F1 k11 F k 2 21 F3 k31 F4 k 41 F5 k51 F6 k61 k12 k 22 k32 k 42 k52 k62 k13 k 23 k33 k 43 k53 k63 k14 k 24 k34 k 44 k54 k64 k15 k 25 k35 k 45 k55 k65 k16 u1 u k 26 2 k36 u3 k 46 u4 k56 u5 k66 u6
若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 则单元刚度 矩阵为:
K (e)
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 2 l EA 0 l 0 3EI l3
0 3EI l2 3EI l 0 3EI l2
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 l2 EA 0 l 3 EI 0 3 l
l
平面梁单元的单元的刚度方程为:
EA 0 l 12EI N i 0 Q l3 i 6 EI 0 M i l2 EA N j 0 Qj l 12EI 0 M j l3 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2 6 EI u 2 i l v 2 EI i i l u 0 j v j 6 EI l 2 j 4 EI l 0
如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位 值(ui=1，其它为0) 时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵 中的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力。 矩阵中第r行s列的元素krs，表示第s号位移为一单位值时 引起沿第r个杆端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以 单元刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可 由结构力学中位移法的刚度方程中获得。
11.3 单元刚度矩阵(整体座标系)
e
e
e
e
e e
y
y
Y2
Y2
X2
x
X 2 = X 2 cos α + Y2 sin α
e
e
Y2 = − X 2 sin α + Y2 cos α M2 = M2
e
e
e
把上式表示成矩阵形式： 把上式表示成矩阵形式：
e X 1 cos α − sin α Y1 M1 0 = X2 0 Y2 0 M 2 0
0 − 30 −12 0 12 0 300 0 0 − 300 0 100 30 0 4 − 30 ②=[T]T[k ]②[T] = 10 × [k] 30 12 0 −12 0 0 − 300 0 0 300 50 30 0 − 30 0
− 30 0 50 30 0 100 6
为正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或 [T][T]T=[T]T [T] =[I]
同理有
{∆} = [T ] {∆} ⓔ ⓔ T {∆} = [T ] {∆}
e
{F} = [T]{F} e e 于是有 {F} = [T] {F} e
e e 由上页
T
3
二、整体座标系中的单元刚度矩阵
（解决 [k
] e 与[k] e 的关系） 的关系）
sin α cos α 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 cos α 0 − sin α 0 0
e
e
e e 0 0 X 1 0 0 Y1 e e 0 0 M 1 sin α 0 X 2 cos α 0 Y2 座标转换矩阵 0 1 M 2 2
结构力学11.4 结构的原始刚度矩阵
§11-4结构的原始刚度矩阵整体分析：即建立求解基本未知量的结构刚度方程。
而位移法中求解的基本未知量是结点位移，包括线位移与角位移。
考虑如上图所示刚架，有4个结点，3个单元，受结点荷载的作用。
至于非结点荷载作用的情况，需要将其转化为等效的结点荷载，这将在后面的内容中进行专门介绍。
这里，暂只考虑结点荷载作用的情况。
各单元的局部坐标系与整体坐标系如下图所示。
各单元的单元刚度矩阵，进行坐标变换后，得到整体坐标系下各单元的单元刚度矩阵如下1221][22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=①①①①①k k k k k ，2332][33322322⎥⎦⎤⎢⎣⎡=②②②②②k k k k k ，43][44433433⎥⎦⎤⎢⎣⎡=③③③③③k k k k k 34每个结点，有x 方向线位移、y 方向线位移与角位移3个位移分量。
结构的结点位移列向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1111}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2222}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=3333}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=4444}{ϕv u Δ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4321}{ΔΔΔΔΔ与结点位移列向量对应的结点外力（包括荷载和反力）列向量为结构刚度方的建立前面学习位移法时，已经知道，位移法方程，即结构的刚度方程，就是结点的平衡方程。
所以，通过结点的平衡条件，可建立结构的刚度方程。
下面，以结点2为例，如图示。
结点2的3个平衡方程为②①222x x x F F F +=，②①222y y y F F F +=，②①222M M M +=写成矩阵形式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧②②②①①①222222222M F F M F F M F F y x y x y x ，即，}{}{}{222②①F F F +=单元杆端力，可用杆端位移表示为}]{[}]{[}{2221212①①①①①δδk k F +=，}]{[}]{[}{3232222②②②②②δδk k F +=得到，}]{[}]){[]([}]{[}{323222221212Δk Δk k Δk F ②②①①+++=此即结点2的平衡方程。
第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵
y
EA l EA l
x
平面梁单元的单元刚度矩阵
ui=1 vi =1 θi=1 uj=1 vj=1 θj=1
ui=1
y vi
1 6EI l2
ui
1
l
6EI l2 12EI l3 12EI l3
Ni
x
EA l
0
12 EI l3
0
− 6 EI l2
− EA l
0
0
vi=1
l
4EI l
Qi
x
6EI l2
0 0
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚 度方程反映出来的， 度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 每个刚度系数的物理意义， 刚度矩阵。 刚度矩阵。
（1）单元刚度方程
单元的刚度方程：
F ( e ) = K ( e )δ( e ) 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移δ(e)与杆端力F(e) 之间的关系. 之间的关系 称为单元刚度矩阵 单元刚度矩阵。 其中矩阵K(e) 称为 单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是一 个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。 个方阵 它的阶数和内容视单元而定 。如杆端位移 δ(e) 阶向量， 方阵。 阶向量 方阵 和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。
l
y
3EI l
0 0
− EA l
0 0
EA l
θi=1
3EI l2
0i
1 3EI l2
Mi
Nj
l
− 3EI l2
3EI l
3EI l2
11.2 单元刚度矩阵(局部座标系)
{F }
[k ]
eu1 e v 1 θ 1 u2 v2 θ2
{∆}
3
上面的式子可以用矩阵符号记为: 上面的式子可以用矩阵符号记为 F
(1) (2) (3) (4) (5) (6) u1 = 1 v1 = 1 θ1 = 1 u2 = 1 v2 = 1 θ 2 = 1 EA l 0 0 -EA l 0 0 EA l 0 0 EA l 0 0
e
0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 -6EI l2 0 6EI l2 2EI l 0 -6EI l2 4EI l
为了程序的标 准化和通用性， 准化和通用性， 不采用特殊单 元，只用一般 单元， 单元，如果结 构有特殊单元， 构有特殊单元， 可以通过程序 可以通过程序 由一般单元来 形成. 形成.
8
6
三、特殊单元
以连续梁为例： 以连续梁为例： 若单元六个杆 端位移中有某 一个或几个已 设忽略轴向变形
u1 = 0
1
1
e e
u2 = 1
− EA l 0 0 EA l 0 0 −
2
θ1
v1 = 0
2
θ2
u2 = 0 v2 = 0
θ2 = 1 e u e 1
0 6EI l2 2EI l 0 − 6EI l2 4EI l v1 θ1 u2 v2 θ2
2
X 1e= e
EA (u 1 − u 2 ) Y1 e = 6 EI (θ1 + θ 2 ) + 12 EI (v1 − v2 ) M1e = 4 EI θ1 + 2 EI θ 2 + 6 EI (v1 − v2 ) l l l l2 l2 l3 e= − EA (u 1 − u 2 ) Y e = − 6 EI (θ + θ ) − 12 EI (v − v ) M 2e = 2 EI θ1 + 4 EI θ 2 + 6 EI (v1 − v2 ) X2 2 1 2 1 2 e l l l l2 l2 l3
结构力学11.3 单元刚度矩阵的坐标变换)
e j
M
e j
e j
则有
{F e} [T ]{F e}
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
0 0
0
01 0
0 0
[T
]
，称为，坐标变换矩阵。
0
0 0 cos sin 0
0
0
0
sin
cos
0
即 [k e ] [T ]T [k e ][T ]{ e} 87
结构力学讲稿
此即单元刚度矩阵的坐标变换式。 整体坐标系下，单元刚度方程为 {F e} [k e ]{ e}
可将单元刚度方程按端结点 i、j 进行分块，有
第十一章 矩阵位移法
可得
{Fie}
[kiei
]{
e i
}
[kiej
0
00 0
0 1
坐标变换矩阵的性质—正交矩阵
第十一章 矩阵位移法
[T]是一个正交矩阵，即
[T ]1 [T ]T
杆端力的坐标变换关系式为
{F e} [T ]{F e}
同理，杆端位移的坐标变换关系式为
{ e} [T ]{ e}
由{F e} [T ]1{F e} ，{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [k e ]{ e} ，得
{F
e}
M
e i
FNej
，{
e}
ie
u
e j
，{F
e}
M
e i
Fxej
单元刚度矩阵每个元素的物理意义
单元刚度矩阵每个元素的物理意义标题：深度解析单元刚度矩阵每个元素的物理意义在结构力学中，单元刚度矩阵是一个重要的概念。
它描述了结构单元在受力作用下的刚度特性，是我们分析复杂结构的基础。
然而，单元刚度矩阵中每个元素都有着重要的物理意义，对于我们深入理解结构的行为至关重要。
1. 单元刚度矩阵的基本概念单元刚度矩阵是描述结构单元受力变形关系的数学工具。
它可以通过单元的几何形状和材料性质来求解，通常表示为[K]，其中每个元素都代表着特定的刚度信息。
[K]的第一行第一列元素k11代表了结构在x方向受力时的刚度贡献。
2. 单元刚度矩阵每个元素的物理意义在单元刚度矩阵中，每个元素都对应着结构在某一方向上的刚度特性。
在二维结构中，k11代表了结构在x方向受力时的刚度，k12代表了结构在xy方向受力时的刚度，具体物理意义如下：- k11：表示了结构在x方向的刚度，即单位力在x方向作用在结构上所产生的位移和应力的关系。
- k12：表示了结构在xy方向的刚度，即单位力在x方向作用在结构上所产生的位移和单位力在y方向作用在结构上所产生的位移的关系。
3. 单元刚度矩阵元素的重要性我们深入理解单元刚度矩阵每个元素的物理意义对于结构分析和设计至关重要。
通过分析每个元素代表的刚度特性，我们可以更好地理解结构在受力作用下的行为。
这有助于我们选择合适的材料和设计结构，以满足工程实际需求。
4. 个人观点和理解在我的理解中，单元刚度矩阵每个元素的物理意义是对结构刚度特性的抽象表示，它可以帮助我们理解结构在不同方向上的受力行为。
理解单元刚度矩阵的物理意义可以帮助我们更好地分析和设计结构，提高结构的安全性和可靠性。
总结回顾通过本文的分析，我们深入探讨了单元刚度矩阵每个元素的物理意义。
我们理解了每个元素代表的刚度特性，以及对结构分析和设计的重要性。
深入理解单元刚度矩阵的物理意义有助于我们更好地理解结构在受力作用下的行为，提高结构分析和设计的水平。
结构力学矩阵法
F F M Fi
ij
则
F K
ij ij
j
e
M xi xj
ij
i xi j xj
Fi K ii F j K ji K ij i K jj j
j
e
Txi xj
ij
i ui j u j
Fi K ii F j K ji K ij i K jj j
M xi GJ x 1 1 xi l 1 1 xj M xj
Fi K ii K ij i K ji K jj j Fj
12 6 12 l2 l - l2 6 4 - 6 EI l l e [K ] l 12 6 12 - 2 l l l2 6 6 2 l l
Txi Fi N yi Fij F T j xi N yj
矩阵法
y
N yj N yi Txj
0 1 0 ui v 0 0 0 i 0 1 0 u j 0 0 0 v j
所以：
Txi
Txj
EA (ui u j ) l
EA ( u i u j ) l
矩阵法
Txi EA 1 1 ui Txj l 1 1 u j
记
F F T Fi
ij
矩阵法
2、扭转杆元：
1 1 1 2 1 2 2 2
结构力学概念复习
结构力学概念复习矩阵位移法复习1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
答案：正确2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
答案：错误，是否考虑边界条件3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T是正交矩阵。
答案：正确4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
答案：错误，反映了整体结构的变形协调条件和平衡条件5、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
答案：正确6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。
答案：正确7、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
答案：错误，计算反号8、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
答案：正确9、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
答案：正确 10、矩阵位移法中，结构在等效结点荷载作用下的内力与与结构在原有荷载作用下的内力相同。
答案：错误11、已知杆端力向量就可以通过单元刚度矩阵计算出杆端位移向量。
答案：错误12、已知杆端位移向量就可以通过单元刚度矩阵计算出杆端力向量。
答案：正确13、单元刚度矩阵是单元的固有特性，与坐标选取无关。
答案：错误14、整体坐标系中的杆端力，依次是N、Q、M。
答案：错误15、结构的整体刚度矩阵可直接由整体坐标下的单元刚度的元素按“对号入座”的方式集成。
答案：正确动力分析复习1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
答案：错误2、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
答案：错误3、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
答案：错误4、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
答案：错误5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a刚架的振动自由度为2，图b刚架的振动自由度也为2。
答案：正确(a)(b)6、设 W、Wd分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，两者的关系为W=Wd 答案：错误7、单体中某个杆件刚度减小时，结构自振周期不一定都增大。
单元刚度矩阵PPT课件
m x
最新课件
29
性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的 值等于0。对于本单元，有:
u ( x , y ) N i u i N j u j N m u m( x , y ) N ii N jj N m m
N i( x i,y i) 1 N i( x j,y j) 0 N i( x m ,y m ) 0
令
1
Ni 2A(ai bixciy) (i, j,m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u N iu i N ju j N m u m N ii N jj N m m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单 元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反
u v
j j
u
m
vm
F 最新课件k
F xi
F
yi
F
F xj F yj
F F
xm ym
3
第二章 单元分析
——平面问题常应变单元
本章主要讲单元分析的一般理论、方法。但为了便 于理解，以平面问题常应变三角形单元为对象进行说明、 演引。必须指出：尽管说明、演引中具有明显的针对性 （平面问题三角形单元），但原理、方法和主要矩阵公 式都具有普遍性。
位移函数中包含了单元的常应变。
x u x,y y v,最x新y 课件 u y x v (a2, a6, a3+a158)
①、②、③、④单元的位移函数都是
u a 1 a 2 x a 3 y a 4 a 5 x a 6 y
可以看出： 位移函数在单元内是连续的； 位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。
ui uj
西南交通大学考研结构力学单元刚度矩阵
k 21 = EA
l
k 12
=
EA l
⎧F1 ⎫(e) ⎨⎬
=
⎡k11 ⎢
⎩F2⎭ ⎣k21
k12⎤⎧δ1 ⎫(e)
k22⎥⎦⎩⎨δ
2
⎬ ⎭
δ2 =1
k 22
=
EA l
F1 = EA δ 1 − EA δ 2
l
l
F 2 = − EA δ 1 + EA δ 2
l
l
y
⎨⎧⎨⎧FN11 ⎩⎩FN22
⎫⎫((ee)) ⎬ ⎭⎭
θ3
θ2
θ4
θ1
不考虑轴向变形刚架单元
9
⎧F ⎨
⎫(e)
1
⎬
=
⎡k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤⎧δ1 ⎫(e) ⎥⎨ ⎬
k 22 ⎦⎩δ2 ⎭
1
2
i
j
δ1 e
δ2
1
2
F1
1 EI e
F2
2
①
②
③
(2) 桁架单元的单元刚度矩阵 10
y
1 EA e
2x
u1
u2
F1 1 EA e
2 F2
δ1
e δ2
1
2
F2
F1 1 EI e 2
（1）
（2）
（3）
⎧F ⎨
1
⎫(e) ⎬
=
⎡k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤⎧δ1 ⎫(e) ⎥⎨ ⎬
k 22 ⎦⎩δ2 ⎭
①
②
不考虑轴向变形刚架单元
8
当不考虑轴向变形时，一些刚架也仅有角位 移，其单元刚度矩阵求法与连续梁相同。
结构力学Ⅱ课件：结构刚度矩阵
2EllA
12 l
EI
3
6EI l2
12EI l3
6EI
l2
6EI l2
2EI
l
2142EI ll33
+
EA l
6EI l2
6lE20I
6lE2 I0
81E2IEI ll
6EI l2
2EI l
6EI l2
2EI
l
4EI
l
1 2 3 4 5 6 7 8
19
2（2,3, 4）
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2
2EI l
0
6EI 4EI
l2
l
14
2（2,3, 4）
②
①
1（0, 0,1）
4（5, 6, 7) ④
③
（3 0,0,0）
（5 0,0,8）
EA
l
0
y
K(4) =
0
θx
0
0
12EI
l3
6EI l2
6EI l2
0
6EI l2
4EI
2
4EI l
+
8EI l
+
4EI l
6EI l2
3
6EI l2
12EI l3
4
9
例14：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。
(0,1,0)
(0,0,2)
(0,0,3) (0,4,0)
定位向量
单元刚度矩阵：
1
12EI
K (1) =
l3 6EI
l 2
2 6EI 1 l2 4EI
l 2
单元刚度矩阵每个元素的物理意义
文章标题：探究单元刚度矩阵每个元素的物理意义1.概述在结构力学中，单元刚度矩阵是一个重要的概念，它描述了结构中的单元在受力作用下的变形情况。
单元刚度矩阵中的每个元素都承载着特定的物理意义，通过对这些元素进行深入的分析和理解，我们可以更好地认识到结构受力的行为规律，为工程实践提供更有效的指导。
2.单元刚度矩阵简介单元刚度矩阵是描述结构单元在受力作用下的刚度和变形的矩阵形式表示。
它可以通过有限元方法进行求解，是结构分析中常用的重要工具。
单元刚度矩阵的每个元素都代表着结构在某种特定情况下的性能参数，因此对这些元素的物理意义进行深入的探究具有重要的意义。
3.单元刚度矩阵每个元素的物理意义3.1. 主对角线元素单元刚度矩阵的主对角线元素代表了结构单元在自身受力下的刚度。
这些元素的大小反映了结构单元在相应方向上的抗弯刚度和扭转刚度，是结构在受力下保持形状稳定的重要参数。
主对角线元素的物理意义在于描述了结构单元对外力的响应情况，进而影响整体结构的受力性能。
3.2. 非主对角线元素单元刚度矩阵的非主对角线元素代表了结构单元在外力作用下的变形对其他因素（如位移或转角）的影响程度。
这些元素描述了结构单元之间的相互影响关系，体现了结构在不同方向上的变形耦合性。
非主对角线元素的物理意义在于揭示了结构在受力下的相互影响现象，为结构的整体稳定性和变形性能提供了重要参考。
4.总结与展望单元刚度矩阵每个元素都承载着特定的物理意义，通过对这些元素进行深入的分析和理解，我们可以更好地认识到结构受力的行为规律，为工程实践提供更有效的指导。
在未来的研究中，可以进一步探讨单元刚度矩阵元素与材料性能、结构形状等因素之间的关系，以及如何通过调整单元刚度矩阵元素来优化结构设计，从而更好地满足工程实践的需求。
5.个人观点和理解在我看来，对单元刚度矩阵每个元素的物理意义进行深入的探究有助于提高结构工程师对结构受力行为的理解和把握。
通过深入理解单元刚度矩阵中各个元素的意义，我们可以更好地优化结构设计，提高结构在受力下的性能。
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结构力学讲稿
uie
u
e j
EA
k
e
l 0
0 0
EA l 0
FNei 0 FSei 0 FNej
FSej
EA
l 0
0 0
EA
l 0
0 0
桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章 矩阵位移法
90
e
]
0 EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 12EI
l3
0
6EI
l2
0 EA
6EI l2
0
2EI
l
，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
FFSNeeii
uviiee
{F
e}
M
e i
FNej
，称为，单元杆端力列向量。{
e}
ie
u
e j
，称为，单元杆端位移列向量。
FSej
v
e j
M
e j
e j
EA
l
0
[k
第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆
端位移。因为杆件可有任意的刚体位移，故，给定杆端力，不能确定杆端位移。 单元刚度矩阵的奇异性，表明杆件不受约束，可有任意刚体位移。 平面桁架单元 在桁架结构中，任意杆件均只有轴力，只有轴向变形，如图示。
v
e j
6EI l2
e j
M
e j
6EI l2
vie
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
e j
由此，我们得到 6 个关系式，即
FNei
EA l
uie
EA l
u
e j
FSei
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e i
EA l 0 0
EA l 0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0 0
EA l 0
0
0
12EI l3
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI
l2
2EI
0
l
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2
4EI l
单元刚度矩阵的性质
(1) 对称性
kije
k
e ji
，刚度系数互等，反力互等定理。即， [k
e
]
[k
e
]T
，[k
e]
为对称矩阵。
88
结构力学讲稿
主系数恒为正，即， kiie 0 。 刚度系数：杆端单位位移引起的杆端约束反力。 (2) 奇异性 [k e ] 0 ，即单刚[k e ] 不存在逆矩阵。
根据叠加原理，可得出
FNei
EA l
uie
EA l
u
e j
，
FNej
EA l
uie
EA l
u
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写成矩阵形式，有
EA
FNei FNej
l EA
l
EA l
EA
uuijee
，此为桁架单元的单元刚度方程
l
则，桁架单元的单元刚度矩阵为
l
0
6EI l2
4EI
l
uie
vie
ie
u
e j
v
e j
e j
第十一章 矩阵位移法
即，
{F e} [k e ]{ e}
称为，单元刚度方程。
根据上图，当 4 个杆端位移同时发生时，由叠加原理，知
FSei
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e i
6EI l2
vie
4EI l
பைடு நூலகம்
ie
6EI l2
v
e j
2EI l
e j
FSej
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
EA
[k
e
]
l EA
EEAlA
EA 1 l 1
1 1
l l
在进行整体分析时，桁架单元的杆端力需要沿整体坐标系分解成水平分力与竖向分力。单元刚度
矩阵相应地需要从局部坐标系变换到整体坐标下。桁架单元在整体坐标系下的单刚为 44 阶矩阵。故，
局部坐标系下的单刚需要扩充至 44 阶的矩阵。即
6EI l2
vie
4EI l
ie
6EI l2
v
e j
2EI l
e j
FNej
EA l
uie
EA l
u
e j
FSej
12EI l3
vie
6EI l2
ie
12EI l3
v
e j
6EI l2
e j
M
e j
6EI l2
vie
2EI l
ie
6EI l2
v
e j
4EI l
杆端弯矩—逆时针为正； 杆端轴力与剪力—与坐标轴同向为正； 结点线位移—与坐标轴同向为正； 角位移：逆时针为正。 下面分析杆端内力与杆端位移之间的关系，即单元刚度矩阵。
根据上图，由叠加原理知，
FNei
EA l
uie
EA l
u
e j
FNej
EA l
uie
EA l
u
e j
86
结构力学讲稿
第十一章 矩阵位移法
结构力学讲稿
第十一章 矩阵位移法
§11-2 单元刚度矩阵
单元分析：平面杆系结构，取出结构中的任意一根杆件（即一个单元，要求是等截面直杆）进行 分析，分析杆端力与杆端位移之间的关系。这一关系，在传统位移法中，是用转角位移方程表示的。 在矩阵位移法中，是用单元刚度矩阵来表示。如下图所示。
假设单元的编号为 e，单元两个结点的编号为 i、j。建立单元局部坐标系：规定 ij 为 x 轴， x 轴逆时针转 90o 为 y 轴。 符号规定：与传统位移法的符号规定略有不同。
e j
以上 6 个关系式，写成矩阵形式，有
87
结构力学讲稿
FNei
FSei
M
e i
FNej
FSej
M
e j