与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧

焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用

提示：会推导、会运用，可以简化运算

（一）焦半径

有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。 1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式

椭圆： （图1） （图2）

F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A （x ，y ），A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有：

2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径

2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c

==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径

椭圆的焦半径：左加右减。

长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。左边下边都为负，不足都要加。 双曲线：

（图3）

（图4）

双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。在两支上叫外焦半径。

以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有：

2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--

同理，右支2

211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c

=

=⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。

实轴在y 轴上，可以比照，易得上加下减。联想特征：左边下边都为负，要减一起减。 可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。 以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：

2

122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c

==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+

同理，以右焦点为起点的外焦半径公式：

2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c

==⇒=⋅=-+⋅=-

双曲线外焦半径，与椭圆相同。不作要求，高考中未见。 抛物线：

抛物线2

2(0)y px p =>，C(x,y)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=|x|+

2

p

。 例1 （2000年高考（理工）22题）已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当23

34

λ≤≤ ，求双曲线的离心率的取值范围。

解析：

这是一道高考压轴题，难度较大。

建立坐标系，给出A 、B 坐标，由|AB|=2|CD|和对称性可知C 的坐标为（

,2

c

h ），h 为梯形的高。由定比分点公式可求出E 的坐标，而E 、C 都在双曲线上，代入双曲线方程。这是常规处理方式，很费事。 常规解法见 。

这里用焦半径概念求解。根据向量知识或定比分点公式，先求出E 、C 的横坐标，再求焦半径AE 、AC ，这样，只用处理λ 和c 的关系，关系简单纯粹。 AE= E ex a -- ，AC= C ex a +，EC=AC-AE=()2C E e x x a ++，()2E C E ex a AE EC e x x a

λ--=

=++ 将(2)212(1)E c c c x λλλλ-+⋅

-+==++ ，2C c x = 代入上式，则

(2)2(1)(2)[]222(1)c e a c c e a λλλλλ-+--+=-++++ 即2

22(2)

1

2132(1)

21(2)11[]222(1)

e e e λλλλλλλλ-+--++=⇒==-+-+--+++。再由2334λ≤≤，得到

3341λ≤

≤-，372101λ

≤-+≤-710e ≤≤。

2）焦半径 根据离心率、焦准距、倾斜角计算，焦半径的统一公式 长焦半径r=

1cos ep e θ- ，短焦半径r=1cos ep

e θ

+。

根据图象判断，如椭圆的左上支，椭圆的右下支，就是长焦半径，无需记忆。 同样，双曲线、抛物线也是根据图象判断长短。

外焦半径，只有双曲线才有，比较复杂，且高考中，暂未发现此类题目，只简单介绍。

（图5） （图6）

内外焦半径推导如下：

椭圆的左半边、双曲线右支、开口向右的抛物线的内分焦半径推导：

111cos 1cos AF AF AF AF ep

e AF AA AA A M MA p AF e θθ

====⇒=++- （*） 椭圆的右半边、双曲线左支、开口向左的抛物线的内分焦半径推导：

111cos 1cos BF BF BF BF ep

e BF BB BB NB NB p BF e θθ

====⇒=--+ BF 也可根据AF 直接写出，θ 为线段与正方向的夹角，这时θ为θ+π。 外分焦半径，仅双曲线拥有，这里以从左焦点伸向右支为例(不作要求)：

11cos cos 1

AF AF AF ep

e AF AA AM A M AF p e θθ===⇒=--- P 叫焦准距，p=2b c

（椭圆、双曲线） 。

例2 （2012 江苏高考19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

的左右焦点分别为F1（-c ，0），F2（c ，0）。已知（1，e ）和（e ，3

2

）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。 （1） 求椭圆的方程；

（2） 设A ，B 是椭圆上位于X 轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2、BF1交

于点P 。

（i ） 若6

，求直线AF1的斜率； （ii ）

求证PF1+PF2是定值。

解析：这道题压轴题，很难，据闻得分率很低。