高中数学必修一练习：活页作业10函数的单调性
2020年高中数学必修第一册：函数的单调性 练习(北师大版)(解析版)
第二章函数第2.3节函数的单调性一．选择题（共12小题）1．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（）A．m＞B．m＜C．m＞﹣D．m＜﹣【答案】B【解析】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，则有2m﹣1＜0，解可得m＜，故选：B．2．函数f（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据题意，由已知，所以函数在上为增函数，故选：D．3．函数f（x）＝x|x﹣2|的递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）【答案】C【解析】解：当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，此时f（x）为增函数，当x＜2时，f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数，即函数f（x）的单调递减区间为（1，2），故选：C．4．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．D．f（x）＝﹣|x|【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：C．5．函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，则a的范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1] C．[0，1] D．（﹣∞，1]【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，分2种情况讨论：①，若a＝0，则f（x）＝x，在R上为增函数，符合题意；②，若a≠0，则有，解可得0＜a≤1，综合可得：a的取值范围为[0，1]；故选：C．6．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＜0”的是（）A．f（x）＝B．f（x）＝（x﹣1）2C．f（x）＝D．f（x）＝【答案】A【解析】解：根据题意，若函数f（x）满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，据此分析选项：对于A，f（x）＝，在（﹣1，+∞）上为减函数，符合题意；对于B，f（x）＝（x﹣1）2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，f（x）＝﹣，其定义域为{x|x≠1}，不符合题意；对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠2}，不符合题意；故选：A．7．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]，+∞）B．[]C．（﹣∞，3]∪[4，+∞）D．[3，4]【答案】A【解析】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝，若其在（1，3）是单调函数，则≤1或≥3，解可得：x≤或x≥，即实数a的取值范围是（﹣∞，]，+∞）；故选：A．8．函数f（x）＝x2+ax+2在（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a＝﹣6 B．a≥﹣6 C．a＞﹣6 D．a≤﹣6【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2为二次函数，其对称轴为x＝﹣，若f（x）在（3，+∞）上单调递增，则有﹣≤3，解可得a≥﹣6；故选：B．9．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【解析】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．故选：C．10．函数y＝f（x）的图象如图所示，其减区间是（）A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]C．[﹣3，1] D．[﹣4，﹣3]，[1，4] 【答案】D【解析】解：由图象知函数在[﹣4，﹣3]以及[1，4]上图象递减，则对应的减区间为[﹣4，﹣3]，[1，4]，故选：D．11．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝﹣x+1 D．f（x）＝|x|【答案】D【解析】解：由一次函数的单调性可知，f（x）＝3﹣x，f（x）＝1﹣x在区间（0，+∞）上是减函数，由二次函数的单调性可知，y＝x2﹣3x在区间（0，+∞）上先减后增，y＝|x|在（0，+∞）上为增函数．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【答案】A【解析】解：由题意，可知：∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，∴函数f（x）在定义域R上为增函数．又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，∴x2+1＞m2﹣m﹣1，∴m2﹣m﹣1＜1，即：m2﹣m﹣2＜0．解得﹣1＜m＜2．故选：A．二．填空题（共4小题）13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥4．【答案】m≤0或m≥4【解析】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4；故答案为：m≤0或m≥4．14．已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是（0，1）．【答案】（0，1）【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣2，在区间[1，+∞）上是减函数，不符合题意；当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣2，若f（x）在区间[1，+∞）上不单调，必有＞1，解可得：0＜a＜1，即a的取值范围为（0，1）；故答案为：（0，1）．15．若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≥2．【答案】a≥2【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，a﹣2＝0，即a＝2，f（x）＝x+3，在[2，+∞）上是增函数，符合题意；②，a﹣2≠0，若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，必有，解可得：a＞2，综合可得：a的取值范围为：a≥2；故答案为：a≥2．16．已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【答案】[4，+∞）【解析】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝，若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则≥2，解可得a≥4；即实数a的取值范围为[4，+∞）；故答案为：[4，+∞）．三．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）的图象如图所示：（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围【解析】（1）由图象知，函数的单调递减区间为[﹣1，2]，递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，得a≥3或a≤﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．18．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象；（2）写出该函数在R上的单调区间．【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|；（列表，描点，作图）x0 1 2 3 4y 3 0 1 0 3（2）根据函数f（x）的图象，不难发现，函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减；函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增；函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增．19．试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（﹣1，1）上的单调性．【解析】解：f（x）＝a+，f（x）图象是由反比例函数y＝，向右平移1个单位在向上或下平移|a|单位得到的，∵a＜0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为增函数，a＞0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为减函数，∴a＜0时，f（x）在（﹣1，1）上为增函数，a＞0时，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．20．已知（1）画出这个函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的最大值和最小值．【解析】解：（1）∵f（x）＝，作出其图象如下：（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．（3）由f（x）的图象可得，当x＝3时，f（x）取得最大值为4，当x＝6时，f（x）取得最小值﹣5．。
2017-2018学年北师大版数学必修一课时作业10函数的单
∴0< < ，1－ >0.
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ .
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)&g已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
【答案】2
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f 的实数x的取值范围为________．
【解析】由题设得
解得－1≤x< .
【答案】
8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为________．
【解析】∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝ 且在区间 上是增函数，
A．(－∞，4]B．(－∞，4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】若使函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a满足 ≤1，所以a≤4，选A.
【答案】A
二、填空题(每小题5分，共15分)
高中数学活页作业10函数的单调性新人教A版必修1
活页作业(十) 函数的单调性(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，在区间(0,2]上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：y ＝3－x ，y ＝1x和y ＝－|x |在区间(0,2]上为减函数，y ＝x 2＋1在区间(0,2]上为增函数，故选B.答案：B2．函数y ＝6x的单调递减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：函数y ＝6x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当0＜x 1＜x 2时，6x 1－6x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0成立，即6x 1＞6x 2.∴y ＝6x在(0，＋∞)上是减函数．同理可证y ＝6x在(－∞，0)上也是减函数．故选C.答案：C3．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 答案：B4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3.答案：C5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2＞0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0C ．f (a )＜f (x 1)＜f (x 2)＜f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2＞0解析：∵函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，∴对任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，当x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，选项A 、B 、D 正确，且f (a )≤f (x 1)＜f (x 2)≤f (b )，选项C 错误．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ，－x 2＋x ＜的单调递增区间是________________．解析：作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知f (x )的增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞)7．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f (1)＝______.解析：f (x )的图象的对称轴为x ＝m4＝－2，∴m ＝－8.∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3. ∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 答案：138．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3,2)是其图象上的两点，那么不等式－2＜f (x )＜2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3,2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2＜f (x )＜2可化为f (0)＜f (x )＜f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3＜x ＜0.答案：(－3,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求证：函数f (x )＝－x 在定义域上为减函数． 证明：f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)． 设0≤x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )＝－x 在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．10．若函数f (x )＝－a x在(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)， 且x 1＜x 2，由题意知，f (x 1)＜f (x 2)，即－a x 1＜－ax 2，∴a x 2－x 1x 1x 2＞0.又0＜x 1＜x 2，∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴a ＞0.一、选择题(每小题5分，共10分)1．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤0解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a ＞0时，由函数f (x )＝ax 2＋2x －3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a ＜0时，只有－22a ≥4，即a ≥－14满足函数f (x )在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知实数a 的取值范围是－14≤a ≤0.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x ＜0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 解析：当x ＜0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )＜f (－2x ＋8)的解集是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x ＞－2x ＋8，解得83＜x ≤4.答案：x 83＜x ≤44．函数f (x )是R 上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f (x )|＜2的自变量x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是R 上的减函数，f (－3)＝2，f (1)＝－2，∴当x ＞－3时，f (x )＜2，当x ＜1时， f (x )＞－2，则当－3＜x ＜1时，|f (x )|＜2.答案：(－3,1)三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．证明：设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数，∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b . 又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))．∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数． 6．判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．解：任意的x 1，x 2∈(－1,1)，设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a x 1x 2＋x 2－x 1x 21－x 22－，∵x 21－1＜0，x 22－1＜0，x 1x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0， ∴x 1x 2＋x 2－x 1x 21－x 22－＞0.∴当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，函数y ＝f (x )在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，函数y ＝f (x )在(－1,1)上是增函数．。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
北师大版高中数学必修一函数的单调性同步练习北师
第二章 函数§3 函数的单调性(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( )＝3－＝x 2＋1 ＝－x 2 ＝x 2－2x －3【解析】 画图可知，y ＝x 2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数.【答案】2.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( ) ＞－＜－1 ＞ ＜0【解析】 由y ＝(a ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，故a ＋1＞0，∴a ＞－1.【答案】3.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( )≠ 无法确定【解析】 因为y ＝kx ＋b 在R 上是减函数，所以对任意x 1＜x 2，应有f(x 1)＞f(x 2)，即k(x 1－x 2)＞0，又x 1－x 2＜0，所以k ＜0.故选A.【答案】4.函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋6x ＋7 x ∈［1，2］x ∈［－1，1］，则f(x)的最大值、最小值为……( )以上都不对【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值.当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8.∴f(x)min ＝f(－1)＝6，f(x)max ＝f(2)＝10【答案】二、填空题 (每小题5分，共10分)5.若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是 .【解析】 ∵f(x)是R 上的增函数，∴f(x 1)＞f(x 21＞x 2.【答案】 x 1＞x 26.函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是 ，单调增区间是 .【解析】 由函数y ＝x 2－2x 的图象知，抛物线开口向上且对称轴为x ＝1，∴单调减区间是(－∞，1］，单调增区间是［1，＋∞).【答案】 (－∞，1］，［1，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7.证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数. 【证明】 设0<x 1<x 2<1，则121212211212121211()()()1()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+=--＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. 已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2＞0.∴(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2＞0， 即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2).∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数. 8.求函数y ＝2x －1在区间［2,6］上的最大值和最小值. 【解析】设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2(x 2－1)－2(x 1－1)(x 1－1)(x 2－1) ＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以，函数y ＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．如上图． 因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.9.(10分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元.【解析】 若设每天从报社买进x(250≤x ≤400，x ∈N )份，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x －250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈［250,400］.∵函数y 在［250,400］上单调递增，∴x ＝400时，y ＝825(元)，即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.。
数学人教A版必修一同步进阶攻略练习：课时作业10函数的单调性
课时作业10 函数的单调性时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列说法中正确的有( A )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：函数单调性的定义中的x 1，x 2是任意的，强调的是任意，①不对；②y ＝x 2，当x ≥0时是增函数，当x <0时是减函数，从而y ＝x 2在其整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．若函数f (x )＝－3x ，且x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x 1<x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( D )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)≥f (x 2)D ．不确定解析：f (x )＝－3x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，虽然x 1<x 2，但由于x 1，x 2所在区间不确定，因此f (x 1)与f (x 2)的大小不确定．3．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( B ) A ．(－∞，－2) B ．[－5，－2] C ．[－2,1]D ．[－5,1]解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}．∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B.4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合题意； 当a >0时，f (x )图象的开口向上，不符合题意； 当a <0时，由题意可得－1a ≥4，解得a ≥－14. 综上可知：－14≤a ≤0.5．若f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( D )A ．f (x )>f (0)B ．f (x 2)>f (0)C ．f (3a ＋1)<f (3a )D ．f (a 2＋1)≥f (2a )解析：∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a .当a ＝1时，f (a 2＋1)＝f (2a )； 当a ≠1时，f (a 2＋1)>f (2a )．故选D.6．已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]上是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是( B )解析：①当a ＝0时，y ＝2ax ＋b 的图象可能是A ；②当a >0时，－b2a ≥0⇒b ≤0，y ＝2ax ＋b 的图象可能是C ； ③当a <0时，－b2a ≥0⇒b ≥0，y ＝2ax ＋b 的图象可能是D. 二、填空题7．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞， －1)是单调函数，则a 的取值范围是(－∞，1]．解析：因为函数f (x )在(－∞， －a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.8．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为(－∞，32)．解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数， 又∵f (x －2)<f (1－x )，∴x －2<1－x ，∴x <32， 即x 的取值范围是(－∞，32)．9．已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(－∞，4]∪[16，＋∞)．解析：二次函数f (x )的图象的对称轴是直线x ＝m4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即m 4∉(1,4)，所以m4≤1或m4≥4，即m ≤4或m ≥16.三、解答题10．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．(1)y ＝|x ＋1|； (2)y ＝(x ＋3)|x －1|.解：(1)∵y ＝|x ＋1|，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－1，x ＋1，x >－1.其图象如下图所示：由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋3)(x －1)，x ≥1，－(x ＋3)(x －1)，x <1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－4，x ≥1，－(x ＋1)2＋4，x <1.图象如图所示．结合图象可知，f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R .11．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性．解：∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)－2a ＋1x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－2a x 1＋2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－2a x 2＋2＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵－2<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0，∴当1－2a >0，即a <12时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )是减函数；当1－2a <0，即a >12时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )是增函数， ∴在(－2，＋∞)上，当a <12时，f (x )是减函数，a >12时，f (x )是增函数．——能力提升类——12．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋4)的递增区间是( C )A ．(2,7)B ．(－2,3)C ．(－6，－1)D ．(1,6)解析：函数y ＝f (x ＋4)是函数f (x )向左平移4个单位得到的． ∵函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，∴y ＝f (x ＋4)的增区间为(－2,3)向左平移4个单位，即增区间为(－6，－1)．故选C.13．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( D )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴a ≤1. ∵g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上为减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，则实数a 的取值范围为[－3，－1]．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．15．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0， 代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.因此f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)．而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，且f(|x|)<－2＝f(9)，所以|x|>9，解得x>9或x<－9.∴f(|x|)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．。
高中数学1.3.1.1函数的单调性课时作业新人教版必修1
课时作业10 函数的单调性时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列结论中，正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上是增函数B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数 C ．函数y ＝1x在定义域内是减函数D ．y ＝1x在(－∞，0)上是减函数解析：当k <0时，y ＝kx 在R 上是减函数；y ＝x 2在R 上不单调；函数y ＝1x只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为减函数，只有D 正确．答案：D2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32解析：由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以该函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，故选D. 答案：D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x <0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R 上是增函数． 答案：B4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12解析：若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则必有2k －1<0，∴k <12.答案：C5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 在(0,2)上为减函数，排除；对C ，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件；对D ，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数．故选D. 答案：D6．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D. 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)． 答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于________．解析：由题意知，m4＝－2，即m ＝－8，∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 答案：139．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数， 又∵f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32，即x 的取值范围是(－∞，32)．答案：(－∞，32)三、解答题(共计40分)10．(10分)证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x 2>x 1≥2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1) ＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2>x 1≥2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>4， 即x 1＋x 2－4>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数． 11．(15分)求函数y ＝－x 2－2x ＋3的单调区间．解：由－x 2－2x ＋3≥0，得函数的定义域为[－3,1]．设u ＝－x 2－2x ＋3，当－3≤x ≤－1时，函数u ＝－x 2－2x ＋3是增函数，又函数y ＝u 为单调增函数，故[－3，－1]是函数y ＝－x 2－2x ＋3的单调增区间；当－1≤x ≤1时，函数u ＝－x 2－2x ＋3是减函数，而函数y ＝u 为单调增函数，故[－1,1]是函数y ＝－x 2－2x ＋3的单调减区间．——能力提升——12．(15分)已知函数f (x )＝x ＋4x，x ∈[1,3]．(1)判断f (x )在[1,2]和[2,3]上的单调性； (2)根据f (x )的单调性写出f (x )的最值．解：(1)设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x 1x 2>1.∴1－4x 1x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[1,2]上是减函数． 当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9， ∴0<4x 1x 2<1.∴1－4x 1x 2>0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4.又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，∴f (x )的最大值为5.。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y=2x ＋1 B ．y=3x2＋1 C ．y=x2D ．y=2x2＋x ＋1 2．函数f(x)=4x2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5)4．函数f(x)=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f(x)在区间[a ，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a ，b]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f(x)=8＋2x －x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f(－1)＜f(9)＜f(13) B ．f(13)＜f(9)＜f(－1) C ．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］B ．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C ．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］D ．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)12．定义在R 上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x ＋2)图象的对称轴是x=0，则（ ）A ．f(－1)＜f(3)B ．f (0)＞f(3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f(2)＜f(3) 二、填空题：13．函数y=(x －1)-2的减区间是____． 14．函数y=x －2x -1＋2的值域为_____． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为.16、函数f(x) = ax2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__． 三、解答题：17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(yx) = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值．（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x ＋3 )－f(x1) ＜2 ． 18．函数f(x)=－x3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论． 19．试讨论函数f(x)=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f(x)=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m －1)－f(1－2m)＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f[x(x ＋3)]＜f(36)， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f(x)在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋22x )2＋43x22］．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋22x )2＋43x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．f(x1)－f(x2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x2－x1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．故f(x)=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x1、x2∈0，＋)∞且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=121+x －122+x －a(x1－x2)=1122212221+++-x x x x －a(x1－x2)=(x1－x2)(11222121++++x x x x －a)(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴a ≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=212aa-，满足f(x1)=f(x2)=1 ∴0＜a ＜1时，f(x)在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x1|≥x1;122+x ＞x2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数∴由f(m －1)－f(1－2m)＞0，得f(m －1)＞f(1－2m)∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a=21时，f(x)=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋1122121x x x --=(x2－x1)＋21212x x x x -=(x2－x1)(1－2121x x ) ∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－2121x x ＞0，则f(x2)＞f(x1) 可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=xax x ++22＞0恒成立⇔x2＋2x ＋a ＞0恒成立设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．。
数学必修一《函数的单调性》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的单调性》精选练习（含答案解析）一、选择题1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x) ( )A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x|B.y=3-xC.y=D.y=-x2+43下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④4.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是( )A.>0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.>06.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[6,+∞)B.(6,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,6).7.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)二、填空题9.函数f(x)=的减区间是.10.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.11.已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2<f(x)<2的解集为.12.函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是.13.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.三、解答题14.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.15.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.16.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.17.定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.参考答案与解析1【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.2【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.3【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.4【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).5【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1<x2时,可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.6【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤67【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13. 8【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).9【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].答案:(0,1]10【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)11【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3<x<0. 答案:(-3,0)【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.答案:a≥213【解析】依题意,得不等式组解得<x≤4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.14【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.15【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.16【证明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函数F(x)在R上是单调增函数.17【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3, 故不等式的解集为{t|t≤3}.。
(完整)高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案),推荐文档
24高中数学必修 1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数 f (x )＝x －2 ， x ∈｛0，1，2，4｝的最大值为.3（2） 函数 f (x )＝2x －1在区间[1，5]上的最大值为 ，最小值为.12、利用单调性的定义证明函数 f (x )＝ x 2 在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数 f (x )＝x ＋1在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数 y ＝－x 2＋2丨x 丨＋3的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与 f(4)； (2)f(2)与f( 15)6、已知 y ＝f (x ) 在定义域（－1，1）上是减函数，且 f (1－a )＜f (3a －2) ，求实数 a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|x 2 - 2x(2) y＝1-|x - 1|(3)y ＝ （4） y ＝- x 2 - 2x + 31x 2－x －208、函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．ax9、 【例4】 判断函数f(x)＝x 2 - 1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性．10、求函数 f (x )＝x ＋ x在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1） f (x )＝(x －； （2） f (x )＝a（ x ∈ R ）； （3） f (x )＝3 (2x ＋5)2－3 (2x －5)212、若 y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 是偶函数，则 m ＝．13、 已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （ a ≠ 0 ）是偶函数，那么 g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[ a －1, 2a ]，则 （）1A ． a = ，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0315、已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x )＝x 2－2x ，则 f (x ) 在 R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数 f (x ) =）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若(x ) ， g (x ) 都是奇函数， f (x )＝a(x )＋bg (x )＋2 在（0，＋∞）上有最大值 5，则 f (x ) 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数 f (x ) = 的奇偶性为（填奇函数或偶函数） ．⎪ x 3－3x 2＋1， 19、判断函数 f (x )＝ ⎨⎩ x 3＋3x 2－1， x ＞0x ＜0的奇偶性. 20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．121、已知 f (x ) 是偶函数， g (x ) 是奇函数，若 f (x ) + g (x ) =g (x ) 的解析式为.x -1，则 f (x ) 的解析式为，22、已知函数 f （x ）满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且 f （0）≠0.试证 f （x ）是偶函数．23、设函数 y ＝f （x ）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数 x 1、x 2 满足 f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证 f （x ）是偶函数．1 + x2 + x -11 + x2 + x +1x - 2 - 21 - x 2高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习答案11、【答案】（1）2 （2）3，32、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为x ≥ 0 和x＜0 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ；（2）∴f( 15)＞f(4)，即f( 15)＞f(2)．1 36、【答案】实数a 的取值范围是（，）3 47、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．1 1（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，）；减区间是[ ，5)和（5，＋∞）2 28、【答案】a 的取值范围是0≤a≤1．9、【答案】当a＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得f (2) ＝4 是最小值，f (1) ＝5 是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）a＝0 ，f (x) 既是奇函数又是偶函数；a ≠ 0 ，f (x) 是偶函数；（3）f (x) 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】选C18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x＞0 和x＜0 两种情况，分别证明f (－x)＝－f (x) 即可.20、【答案】解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．21、【答案】 f (x) =1x 2 -1 ，g(x)＝xx 2－122、证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）⇒f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．23、证明：由x1，x2∈R 且不为 0 的任意性，令x1＝x2＝1 代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
高中数学函数的单调性练习题及其答案(2)(2021年整理)
(完整版)高中数学函数的单调性练习题及其答案(2)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高中数学函数的单调性练习题及其答案(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)高中数学函数的单调性练习题及其答案(2)(word版可编辑修改)的全部内容。
函数的单调性一、选择题:1．在区间（0，＋∞)上不是增函数的函数是( ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞,－2）上是减函数,则f （1)等于（ )A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y =f （x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．（3，8） B ．(－7，－2)C ．（－2，3）D ．（0，5)4．函数f （x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．（0，21） B ．（ 21，＋∞)C ．(－2，＋∞）D ．(－∞，－1)∪（1,＋∞）5．已知函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且f (a ）f (b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g （x ）=f （ 2－x 2）,那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间（0,1)上是减函数C ．在区间（－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x ）是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 ｜f(x＋1）|＜1的解集的补集是( ）A．(－1，2) B．(1，4)C．(－∞，－1）∪［4，＋∞) D．（－∞,－1）∪[2，＋∞）8．已知定义域为R的函数f（x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f（5＋t）＝f（5－t），那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1）＜f(9)＜f(13）B．f(13）＜f(9）＜f(－1）C．f(9）＜f(－1)＜f(13）D．f（13）＜f（－1)＜f（9)9．函数)xgxf-=和的递增区间依次是（ )A．]1,=xx)2((|(x)|-∞(-∞(],0,B．)-∞(+∞,1[],0,C．]1,,0[+∞+∞+∞D),1[),(),,0[-∞10．已知函数()()2212=+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a的取值范围是（）f x x a xA．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥311．已知f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）A．f（a)＋f(b)≤－f（a)＋f（b)］B．f（a）＋f（b)≤f(－a)＋f（－b) C．f(a）＋f（b）≥－f（a）＋f(b）］D．f（a)＋f（b）≥f(－a)＋f（－b）12．定义在R上的函数y=f(x)在（－∞,2）上是增函数,且y=f（x＋2）图象的对称轴是x=0，则（）A．f(－1）＜f（3) B．f（0)＞f(3）C．f (－1）=f (－3) D．f(2）＜f(3)二、填空题:13．函数y=(x－1）—2的减区间是___ _．14．函数y=x－2x1＋2的值域为__ ___．-15、设()y f x =是R 上的减函数,则()3y f x =-的单调递减区间为 。
北师大版数学必修一课时作业10函数的单调性
课时作业10函数的单调性|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.【★答案☆】 C2．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是()A．－1,3B．0,2C．－1,2 D．3,2【解析】当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.【★答案☆】 C3．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0【解析】 因为y ＝ax 和y ＝－b x 在(0，＋∞)都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.【★答案☆】 A4．已知函数f (x )＝2x ＋1x －1，x ∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )A ．f (x )有最大值53，无最小值B ．f (x )有最大值53，最小值75C ．f (x )有最大值75，无最小值D ．f (x )有最大值2，最小值75【解析】 f (x )＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f (－8)＝53，无最小值．故选A.【★答案☆】 A5．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】 若使函数f (x )＝2x 2－ax ＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 满足a 4≤1，所以a ≤4，选A.【★答案☆】 A二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【解析】 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.【★答案☆】 27．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 【解析】 由题设得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x <12， 解得－1≤x <12.【★答案☆】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12，即a ≤2.【★答案☆】 (－∞，2]三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值． 【解析】 f (x )＝|x |(x ＋1)＝{－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数， 因此f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 . (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．【解析】 (1)函数f (x )在[3,5]上是增加的，证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5.因为f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， 因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )＝2x －1x ＋1在[3,5]上是增加的．(2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54， f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32. |能力提升|(20分钟，40分)11．若函数f (x )＝{ (3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 【解析】 由f (x )＝{ (3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是R 上的减函数知{ 3a －1<0，－a <0，(3a －1)＋4a ≥－a ，解得18≤a <13.【★答案☆】 B12．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．【解析】 在同一坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.【★答案☆】 613．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝12时f(x)＝x＋12x＋2.设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－12x1x2)，∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0,2x1x2>2，∴0<12x1x2<12，1－12x1x2>0.∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝7 2.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x ＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即y min＝3＋a，于是当且仅当y min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.14．已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.(1)求f(1)，f(4)的值；(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．【解析】(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.(2)由f(2)＝1及f(xy)＝f(x)＋f(y)可得2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)．因为f(2)＋f(x－3)≤2.所以f(2(x－3))≤f(4)．又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，所以{2(x－3)>0，2(x－3)≤4，解得3<x≤5.。
北师大版数学必修一课时作业10函数的单调性 Word版含解析
课时作业函数的单调性基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．如图中是定义在区间[－]上的函数＝()，则下列关于函数()的说法错误的是( )．函数在区间[－，－]上单调递增．函数在区间[]上单调递增．函数在区间[－]∪[]上单调递减．函数在区间[－]上没有单调性【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选.【答案】．函数()的部分图象如图所示，则此函数在[－]上的最小值、最大值分别是( )．－．．－．【解析】当∈[－]时，由题图可知，＝－时，()的最小值为(－)＝－；＝时，()的最大值为.故选.【答案】．已知函数＝和＝－在(，＋∞)上都是减函数，则函数()＝＋在上是( )．减函数且()< ．增函数且()<．减函数且()> ．增函数且()>【解析】因为＝和＝－在(，＋∞)都是减函数，所以<，<，()＝＋为减函数且()＝<，故选.【答案】．已知函数()＝，∈[－，－)，则下列说法正确的是( ) ．()有最大值，无最小值．()有最大值，最小值．()有最大值，无最小值．()有最大值，最小值【解析】()＝＝＋，它在[－，－)上单调递减，因此有最大值(－)＝，无最小值．故选.【答案】．已知函数()＝－＋在区间[，＋∞)上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )．(－∞，] ．(－∞，)．[，＋∞) ．(，＋∞)【解析】若使函数()＝－＋在区间[，＋∞)上是单调递增函数，则实数满足≤，所以≤，选.【答案】二、填空题(每小题分，共分)．函数()＝(\\(()，≥，－＋，<))的最大值为．【解析】当≥时，函数()＝为减函数，所以()在＝处取得最大值，为()＝；当<时，易知函数()＝－＋在＝处取得最大值，为()＝.故函数()的最大值为.【答案】．已知函数()为定义在区间[－]上的增函数，则满足()<的实数的取值范围为．【解析】由题设得(\\( －≤≤，()，))解得－≤<.【答案】．如果二次函数()＝－(－)＋在区间上是增函数，则实数的取值范围为．【解析】∵函数()＝－(－)＋的对称轴为＝且在区间上是增函数，∴≤，即≤.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案： D
－ x＋ 3a， x≥ 0， 2．已知函数 f(x) ＝ x2－ ax＋ 1，x＜ 0 是 (－∞，＋∞ )上的减函数，则实数 a 的取值范
围是 ( )
1 A. 0， 3
1 B. 0， 3
1 C. 0， 3
1 D． 0，3
解析： 当 x＜ 0 时，函数 f(x)＝ x2－ ax＋ 1 是减函数，解得 a≥0，
ax 6．判断函数 f(x) ＝x2－ 1(a≠ 0)在区间 (－ 1,1)上的单调性．
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
解： 任意的
x1， x2∈ (－ 1,1)，设－ 1＜ x1＜ x2＜ 1，则
f
(x1)－
f(x2)
＝
ax1 x21－
1－
ax2 x22－ 1
解析： 因为函数 y＝ f(x)在 R 上为增函数，且
f(2m)＞ f(－m＋9) ，所以 2m＞－ m＋ 9，即 m＞ 3. 答案： C 5．如果函数 f (x)在 [a， b]上是增函数，对于任意的 中不正确的是 ( )
x1 ，x 2∈ [a，b]( x1≠ x2)，则下列结论
f A.
x1 － f x2 x1－ x2
当 x≥ 0 时，函数 f (x)＝－ x＋ 3a 是减函数，分段点 0 处的值应满足 1≥ 3a，解得 a≤ 13，
∴
0≤
a≤
1 3.
答案： A
二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )
3． f(x) 是定义在 [0，＋∞ )上的减函数，则不等式 f(x)＜ f(－ 2x＋8)的解集是 ________ ．
解析： y＝ 3－ x，y＝ 1x和 y＝－ |x|在区间 (0,2] 上为减函数， y＝ x2＋ 1 在区间 (0,2] 上为增函
数，故选 B. 答案： B
2．函数 y＝ 6x的单调递减区间是 (
)
A ． [0，＋∞ )
B． (－∞， 0]
C．( －∞， 0)， (0，＋∞ )
D． (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )
＞0
B．( x1－ x2)[ f(x1)－ f(x2)] ＞ 0
C．f (a)＜ f(x1)＜ f(x2)＜ f(b)
D.f
x1－ x2 x1 － f x2
＞0
解析： ∵函数 f(x)在 [ a， b] 上是增函数，∴对任意的 x1， x2∈ [ a， b]( x1≠ x2)，当 x1＜ x2
时，有 f(x1)＜ f(x2)，选项 A 、 B 、D 正确，且 f(a)≤ f(x1)＜ f(x2)≤ f( b)，选项 C 错误． 答案： C
f(x)＝ ax2＋ 2x－ 3 的图象知， 不可能在区间 (－ ∞ ，4)上是单调递增； 当 a＜ 0 时，只有－ 22a≥ 4，
即 a≥ － 14满足函数 f(x)在区间 (－ ∞ ，4)上是单调递增的．综上可知实数
a 的取值范围是－
1 4
≤a≤ 0.
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
答案： B
4．函数 y＝ f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)＞ f(－ m＋9) ，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． (－∞，－ 3)
B． (0，＋∞ )
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
C．(3，＋∞ )
D． (－∞，－ 3)∪ (3，＋∞ )
解析： 函数
y＝6x的定义域是
(－ ∞ ，0)∪ (0，＋ ∞) ．当
0＜ x1 ＜x2
时， x61－ x62＝ 6
x2－ x1 x1x2
＞
0 成立，即
6＞ x1
6 x2
.
∴ y＝ 6x在 (0，＋ ∞ )上是减函数．
同理可证 y＝ 6x在(－ ∞ ， 0)上也是减函数．故选 C. 答案： C
3．若函数 f(x)的定义域为 R，且在 (0，＋∞ )上是减函数，则下列不等式成立的是 ( )
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
答案： (－ 3,0) 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 )
9．求证：函数 f(x)＝－ x在定义域上为减函数．
证明： f(x)＝－ x的定义域为 [0，＋ ∞) ．
设 0≤x1 ＜x2，则 x2－ x1＞ 0，
x≥0， 解析： 由题意知 － 2x＋ 8≥ 0，
x＞－ 2x＋ 8，
解得 83＜ x≤ 4.
答案： x83＜ x≤ 4
4．函数 f(x)是 R 上的单调递减函数，且过点 (－ 3,2)和 (1，－ 2)，则使 |f(x)|＜2 的自变量 x 的取值范围是 ________．
解析： ∵ f (x)是 R 上的减函数， f(－ 3)＝ 2， f(1) ＝－ 2，∴当 x＞－ 3 时， f(x)＜ 2，当 x＜ 1 时， f(x)＞－ 2，则当－ 3＜ x＜ 1 时， |f(x)|＜ 2. 答案： (－ 3,1) 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) 5．已知 f( x)， g( x)在 (a，b)上是增函数，且 a<g(x)< b，求证： f(g(x))在 (a， b)上也是增函 数． 证明： 设 a<x1<x2<b，∵ g(x)在 (a， b)上是增函数， ∴ g(x1)<g( x2)，且 a<g(x1 )<g(x2)<b. 又∵ f(x)在 (a， b)上是增函数， ∴ f(g(x1))< f(g(x2)) ． ∴ f(g(x))在 (a， b)上是增函数．
二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )
x2＋1 6．函数 f(x)＝ － x2＋ 1
x≥0 ， 的单调递增区间是 ________________ ．
x＜0
解析： 作出函数 f(x)的图象 (如图 )．
由图象可知 f(x)的增区间为 (－∞ ，＋ ∞ )． 答案： (－∞，＋∞ ) 7．若函数 f(x) ＝2x2－ mx＋ 3 在 (－∞，－ 2] 上为减函数，在 [－ 2，＋∞ )上为增函数，则 f(1)＝ ______. 解析： f(x)的图象的对称轴为 x＝ m4 ＝－ 2， ∴ m＝－ 8.∴f(x)＝ 2x2＋ 8x＋ 3. ∴ f(1) ＝ 2＋ 8＋ 3＝ 13. 答案： 13 8．已知函数 f(x)在 R 上是减函数， A(0，－ 2)，B(－ 3,2)是其图象上的两点，那么不等 式－ 2＜ f(x) ＜2 的解集为 ________． 解析： 因为 A(0，－ 2)，B(－ 3,2)在函数 y＝ f(x)的图象上，所以 f(0) ＝－ 2， f(－ 3)＝ 2， 故－ 2＜ f(x) ＜2 可化为 f(0)＜ f(x)＜ f(－ 3)，又 f(x)在 R 上是减函数，因此－ 3＜ x＜ 0.
一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1．如果函数 f(x) ＝ax2＋ 2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单调递增的，那么实数 围是 ( )
a 的取值范
1 A ． a＞－ 4
B．
a≥－
1 4
C．－
1≤ 4
a＜
0
D．－ 1≤ a≤ 0 4
解析： 当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3 在区间 (－ ∞ ， 4)上是单调递增的；当 a＞ 0 时，由函数
A．f
3 4
＞ f(a2－ a＋1)
B．f
3 4
≥ f(a2－a＋ 1)
C．f
3 4
＜ f(a2－ a＋ 1)
D．f
3 4
≤ f(a2－ a＋ 1)
解析： ∵ f(x) 在 (0 ，＋ ∞ )上是减函数，且 3
1)≤ f 4 .
a2 － a＋ 1＝
1 a－2
2＋ 3 ≥ 3＞ 0，∴ f(a2－ a＋ 44
f(x2)－ f(x1)＝ (－ x2)－ (－ x1)
＝ x1－ x2＝
x1－ x2 x1＋ x2 x1＋ x2
＝
x1－ x2
x1＋
. x2
∵ x1－ x2＜ 0， x1＋ x2＞ 0， ∴ f(x2)－ f(x1) ＜ 0，即 f( x2)＜ f(x1 )．
∴ f(x)＝－ x在它的定义域 [0，＋ ∞ )上是减函数．
a ＝
x1x2＋ 1 x2－ x1 x21－ 1 x22－ 1
，
∵ x21－ 1＜ 0， x22－ 1＜ 0，x1 x2＋ 1＞ 0， x2－ x1＞ 0，
∴
x1x2 ＋1 x21 －1
x2－ x1 x22－ 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＞ 0.
∴当 a＞ 0 时， f(x1)－f (x2)＞ 0，函数 y＝ f (x)在 (－ 1，1) 上是减函数；当 a＜ 0 时， f(x1)－
10．若函数 f(x)＝－ ax在 (0，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： 任取 x1， x2∈ (0，＋ ∞)， 且 x1＜ x2，由题意知， f(x1)＜ f(x2)，即－ xa1＜－ xa2， ∴ a x2－ x1 ＞0.
x1x2 又 0＜x1 ＜x2， ∴ x1x2＞ 0， x2－ x1＞ 0.∴ a＞ 0.
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
活页作业 (十 ) 函数的单调性
(时间： 45 分钟 满分： 100 分 )
一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 )
1．下列函数中，在区间 (0,2] 上为增函数的是 ( )
A ． y＝ 3－ x
B． y＝ x2＋ 1
1 C．y＝ x
D． y＝－ |x|
f(x2)＜0，函数 y＝f (x)在 (－ 1,1)上是增函数．