高中数学必修一练习：活页作业10函数的单调性

解析： 因为函数 y＝ f(x)在 R 上为增函数，且
f(2m)＞ f(－m＋9) ，所以 2m＞－ m＋ 9，即 m＞ 3. 答案： C 5．如果函数 f (x)在 [a， b]上是增函数，对于任意的 中不正确的是 ( )
x1 ，x 2∈ [a，b]( x1≠ x2)，则下列结论
f A.
x1 － f x2 x1－ x2
a ＝
x1x2＋ 1 x2－ x1 x21－ 1 x22－ 1
，
∵ x21－ 1＜ 0， x22－ 1＜ 0，x1 x2＋ 1＞ 0， x2－ x1＞ 0，
∴
x1x2 ＋1 x21 －1
x2－ x1 x22－ 1
＞ 0.
∴当 a＞ 0 时， f(x1)－f (x2)＞ 0，函数 y＝ f (x)在 (－ 1，1) 上是减函数；当 a＜ 0 时， f(x1)－
f(x)＝ ax2＋ 2x－ 3 的图象知， 不可能在区间 (－ ∞ ，4)上是单调递增； 当 a＜ 0 时，只有－ 22a≥ 4，
即 a≥ － 14满足函数 f(x)在区间 (－ ∞ ，4)上是单调递增的．综上可知实数
a 的取值范围是－
1 4
≤a≤ 0.
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ax 6．判断函数 f(x) ＝x2－ 1(a≠ 0)在区间 (－ 1,1)上的单调性．
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解： 任意的
x1， x2∈ (－ 1,1)，设－ 1＜ x1＜ x2＜ 1，则
f
(x1)－
f(x2)
＝
ax1 x21－
1－
ax2 x22－ 1
A．f
3 4
＞ f(a2－ a＋1)
B．f
3 4
≥ f(a2－a＋ 1)
C．f
3 4
＜ f(a2－ a＋ 1)
D．f
3 4
≤ f(a2－ a＋ 1)
解析： ∵ f(x) 在 (0 ，＋ ∞ )上是减函数，且 3
1)≤ f 4 .
a2 － a＋ 1＝
1 a－2
2＋ 3 ≥ 3＞ 0，∴ f(a2－ a＋ 44
解析： 函数
y＝6x的定义域是
(－ ∞ ，0)∪ (0，＋ ∞) ．当
0＜ x1 ＜x2
时， x61－ x62＝ 6
x2－ x1 x1x2
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＞
0 成立，即
6＞ x1
6 x2
.
∴ y＝ 6x在 (0，＋ ∞ )上是减函数．
同理可证 y＝ 6x在(－ ∞ ， 0)上也是减函数．故选 C. 答案： C
3．若函数 f(x)的定义域为 R，且在 (0，＋∞ )上是减函数，则下列不等式成立的是 ( )
x≥0， 解析： 由题意知 － 2x＋ 8≥ 0，
x＞－ 2x＋ 8，
解得 83＜ x≤ 4.
答案： x83＜ x≤ 4
4．函数 f(x)是 R 上的单调递减函数，且过点 (－ 3,2)和 (1，－ 2)，则使 |f(x)|＜2 的自变量 x 的取值范围是 ________．
解析： ∵ f (x)是 R 上的减函数， f(－ 3)＝ 2， f(1) ＝－ 2，∴当 x＞－ 3 时， f(x)＜ 2，当 x＜ 1 时， f(x)＞－ 2，则当－ 3＜ x＜ 1 时， |f(x)|＜ 2. 答案： (－ 3,1) 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) 5．已知 f( x)， g( x)在 (a，b)上是增函数，且 a<g(x)< b，求证： f(g(x))在 (a， b)上也是增函 数． 证明： 设 a<x1<x2<b，∵ g(x)在 (a， b)上是增函数， ∴ g(x1)<g( x2)，且 a<g(x1 )<g(x2)<b. 又∵ f(x)在 (a， b)上是增函数， ∴ f(g(x1))< f(g(x2)) ． ∴ f(g(x))在 (a， b)上是增函数．
f(x2)＜0，函数 y＝f (x)在 (－ 1,1)上是增函数．
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活页作业 (十 ) 函数的单调性
(时间： 45 分钟 满分： 100 分 )
一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 )
1．下列函数中，在区间 (0,2] 上为增函数的是 ( )
A ． y＝ 3－ x
B． y＝ x2＋ 1
1 C．y＝ x
D． y＝－ |x|
＞0
B．( x1－ x2)[ f(x1)－ f(x2)] ＞ 0
C．f (a)＜ f(x1)＜ f(x2)＜ f(b)
D.f
x1－ x2 x1 － f x2
＞0
解析： ∵函数 f(x)在 [ a， b] 上是增函数，∴对任意的 x1， x2∈ [ a， b]( x1≠ x2)，当 x1＜ x2
时，有 f(x1)＜ f(x2)，选项 A 、 B 、D 正确，且 f(a)≤ f(x1)＜ f(x2)≤ f( b)，选项 C 错误． 答案： C
一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1．如果函数 f(x) ＝ax2＋ 2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单调递增的，那么实数 围是 ( )
a 的取值范
1 A ． a＞－ 4
B．
a≥－
1 4
C．－
1≤ 4
a＜
0
D．－ 1≤ a≤ 0 4
解析： 当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3 在区间 (－ ∞ ， 4)上是单调递增的；当 a＞ 0 时，由函数
f(x2)－ f(x1)＝ (－ x2)－ (－ x1)
＝ x1－ x2＝
x1－ x2 x1＋ x2 x1＋ x2
＝
x1－ x2
x1＋
. x2
∵ x1－ x2＜ 0， x1＋ x2＞ 0， ∴ f(x2)－ f(x1) ＜ 0，即 f( x2)＜ f(x1 )．
∴ f(x)＝－ x在它的定义域 [0，＋ ∞ )上是减函数．
答案： D
－ x＋ 3a， x≥ 0， 2．已知函数 f(x) ＝ x2－ ax＋ 1，x＜ 0 是 (－∞，＋∞ )上的减函数，则实数 a 的取值范
围是 ( )
1 A. 0， 3
1 B. 0， 3
1 C. 0， 3
1 D． 0，3
解析： 当 x＜ 0 时，函数 f(x)＝ x2－ ax＋ 1 是减函数，解得 a≥0，
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答案： (－ 3,0) 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 )
9．求证：函数 f(x)＝－ x在定义域上为减函数．
证明： f(x)＝－ x的定义域为 [0，＋ ∞) ．
设 0≤x1 ＜x2，则 x2－ x1＞ 0，
10．若函数 f(x)＝－ ax在 (0，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： 任取 x1， x2∈ (0，＋ ∞)， 且 x1＜ x2，由题意知， f(x1)＜ f(x2)，即－ xa1＜－ xa2， ∴ a x2－ x1 ＞0.
x1x2 又 0＜x1 ＜x2， ∴ x1x2＞ 0， x2－ x1＞ 0.∴ a＞ 0.
当 x≥ 0 时，函数 f (x)＝－ x＋ 3a 是减函数，分段点 0 处的值应满足 1≥ 3a，解得 a≤ 13，
∴
0≤
a≤
1 3.
答案： A
二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )
3． f(x) 是定义在 [0，＋∞ )上的减函数，则不等式 f(x)＜ f(－ 2x＋8)的解集是 ________ ．
解析： y＝ 3－ x，y＝ 1x和 y＝－ |x|在区间 (0,2] 上为减函数， y＝ x2＋ 1 在区间 (0,2] 上为增函
数，故选 B. 答案： B
2．函数 y＝ 6x的单调递减区间是 (
)
A ． [0，＋∞ )
B． (－∞， 0]
C．( －∞， 0)， (0，＋∞ )
D． (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )
答案： B
4．函数 y＝ f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)＞ f(－ m＋9) ，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． (－∞，－ 3)
B． (0，＋∞ )
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C．(3，＋∞ )
D． (－∞，－ 3)∪ (3，＋∞ )
二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )
x2＋1 6．函数 f(x)＝ － x2＋ 1
x≥0 ， 的单调递增区间是 ________________ ．
x＜0
解析： 作出函数 f(x)的图象 (如图 )．
由图象可知 f(x)的增区间为 (－∞ ，＋ ∞ )． 答案： (－∞，＋∞ ) 7．若函数 f(x) ＝2x2－ mx＋ 3 在 (－∞，－ 2] 上为减函数，在 [－ 2，＋∞ )上为增函数，则 f(1)＝ ______. 解析： f(x)的图象的对称轴为 x＝ m4 ＝－ 2， ∴ m＝－ 8.∴f(x)＝ 2x2＋ 8x＋ 3. ∴ f(1) ＝ 2＋ 8＋ 3＝ 13. 答案： 13 8．已知函数 f(x)在 R 上是减函数， A(0，－ 2)，B(－ 3,2)是其图象上的两点，那么不等 式－ 2＜ f(x) ＜2 的解集为 ________． 解析： 因为 A(0，－ 2)，B(－ 3,2)在函数 y＝ f(x)的图象上，所以 f(0) ＝－ 2， f(－ 3)＝ 2， 故－ 2＜ f(x) ＜2 可化为 f(0)＜ f(x)＜ f(－ 3)，又 f(x)在 R 上是减函数，因此－ 3＜ x＜ 0.