第十五章 勒让德多项式 球函数
勒让德多项式
k 2 3P3 ( x) 5xP2 ( x) 2P ( x) 15 x3 9 x 1 2 2
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题
完备性
(35cos 4 20cos 2 9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用
球内解要求u (0, )有界，半通解化为 u
l 0
Al r l Pl (cos )
2
由边界条件得： Ax
l 0
Al a l Pl ( x )
Ax2 P ( x)dx k
2k 1 根据完备性：Ak 2a k
1
1
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空 间的电势 u 。
2
由边界条件得： Ax
l 0
Bl a l 1Pl ( x )
2k 1 k 1 根据完备性： k B a 2
1
1
Ax2 P ( x)dx k
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问题为：u 0, a r b u |r a cos , u |r b 0
勒让德多项式及球函数PPT课件
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
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19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
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2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
最新勒让德（legendre）多项式及其性质
最新勒让德（legendre）多项式及其性质勒让德（legendre ）多项式及其性质⼀．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德⽅程的通解推导出来的，所以我们⾸先引⼊勒让德⽅程，以及勒让德⽅程的幂级数解，勒让德⽅程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为⾮负实数（1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作⽤，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是⽅程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上⾯（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n 取⾮负整数时，1y 和2y 中有⼀个便退化为n 次多项式，它就是⽅程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最⾼次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第⼀类勒让德函数，记作()n P x ，下⾯我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。
①当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。
为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表⽰其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利⽤2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）⼀般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =）（1.10）我们将这些系数带⼊（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。
10-1勒让德多项式
§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=，在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=，其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数，它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ，()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程：()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=，当m=0，方程退化为勒让德方程：()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题：m=0，意味着Φ=常数，与φ（方位角）无关，这在物理上代表轴对称问题。
其中（1）受边界条件“在x =1处有限”的限制，构成本征值问题，本征值：()1l l +本征函数：()0y x ，当l 为偶数，()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ，当l 为奇数，()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑，()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为：()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式，反推全部系数，可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此，可将勒让德方程的解可以表示为：()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数，为奇数勒让德多项式举例：()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ ， 1. 基本性质（1）()21n P x +为奇，()2n P x 为偶（2）()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅（3） ()()()11,11ll l P P =-=- （4）()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式（Rodriguez ） 证明：()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理，经l 次求导，凡是幂次小于lx 的项最后都为0，所以最后结果值保留不小于l 次幂的项，即22l k l -≥，即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰，令()()21l f x x =-，由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路，此积分叫做施列夫利积分；将c 取为圆心在z=x ，半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中，可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1，很容易求得()11l P =；当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外，()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤（前提是11x -≤≤，但cos x θ=，所以肯定11x -≤≤）4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者：()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模：若k l =，有：()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为：2l N ，即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族，任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ，（只有第一类间断点，且是有限个第一类间断点，有限个极值点） 都可以以()l P x 为“基矢”展开，即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性，展开系数l C 可以用前述正交性求得：()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证：把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述：勒让德多项式()l P x 的正交、完备性，使之可以作为“基矢”，任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开，这样的性质类似于傅里叶级数展开，称之为广义傅里叶展开。
勒让德多项式的应用
r→∞
lim v = 0
(1) (2)
∆v = 0, −q v , r =a = r12 − 2r1r cosθ + r 2
在轴对称情况下方程的一般解是
∞
lim v = 0
r →∞
(1) (2)
v (r ,θ ) = ∑ ( Al r l + Bl r −( l +1) ) pl (cos θ )
例题 4
轴对称的边界条件
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ， 确定球外空间的电势 u 。
解：
∆u = 0, r > a 定解问题为： ur |r =a = f = A cosθ
定解问题有轴对称性， 相应的一般解为 u = ∑ l = 0 ( Al r l + Bl r − l −1 ) Pl (cos θ ) 球外解要求 u (∞ , θ )有界，一般解化为 u = ∑ l = 0 Bl r − l −1 Pl (cos θ )
由边界条件得： Ax 2 =
根据完备性：
∞
r
∞
∑
∞ l =0
B l a − l −1 Pl ( x )
2 k + 1 k +1 Bk = a 2
∫
+1
−1
Ax 2 Pk ( x ) dx =
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b， 内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电 势为零，确定区域内电势u 。 ∆u = 0, a < r < b 定解问题为： 解： u |r =a = cosθ , u |r =b = 0
球内解要求 u ( 0, θ )有界，一般解化为 u = ∑ l =1 Al r l Pl1 (cos θ ) sin ϕ
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
勒让德函数
在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y0=legendre<0,x>;y1=legendre<1,x>;y2=legendre<2,x>;y3=legendre<3,x>;y4=legendre<4,x>;plot<x,y0<1,:>,'g*',x,y1<1,:>,'b+',x,y2<1,:>,'ro',x,y3<1,:>,'k:',x,y4<1 ,:>,'r:'>>> legend<'P_0','P_1','P_2','P_3','P_4'>;title<'Legendre'>>>〔仿真结果〕2 作出二阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<2,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro'>>> legend<'P_2^0','P_2^1','P_2^2'>3 作出三阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre<3,x>;plot<x,y<1,:>,'g*',x,y<2,:>,'b+',x,y<3,:>,'ro',x,y<4,:>,'k:'>>>legend<'P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3'>4 作出整数阶贝塞尔函数的图形>>cleary=besselj<0:5,<0:0.2:10>'>;plot<<0:0.2:10>',y>ylabel<'j_v<x>'>xlabel<'x'>legend<'J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5'>text<1,0.8,'J_0<x>'>text<2,0.6,'J_1<x>'>text<3,0.5,'J_2<x>'>text<4.2,0.4,'J_3<x>'>text<5.1,0.4,'J_4<x>'>>>text<6.5,0.4,'J_5<x>'>Legendre函数2007年12月13日星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的,是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的.1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0,即s轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y0n=legendre<0,cos<t>,'sch'>;polar<t,y0n<1,:>.^2>;l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y1n=legendre<1,cos<t>,'sch'>;polar<t,y1n<1,:>.^2,'r'>;hold on;polar<t,y1n<2,:>.^2,'g'>;l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:0.01:2*pi;y2n=legendre<2,cos<t>,'sch'>;polar<t,y2n<1,:>.^2,'r'>; %d<z^2>hold on;polar<t,y2n<2,:>.^2,'g'>;polar<t,y2n<3,:>.^2,'b'>;Legendre多项式函数〔7.12〕由于展开式〔7.13〕而称为Legendre〔勒让德〕多项式的母函数.展开项系数称为Legendre多项式,下节将证明它满足Legendre方程式〔7.11〕.称为阶.将式〔7.13〕左边利用二项式定理展开,有在上式中,含有的项只出现在含的项和以前各项中.在这些项中,将含的各项展成幂级数,并找出所有含的项,其系数合为〔7.13〕其中,这是因为当时,求和中最低幂项是,当时,最低幂项是. Legendre多项式的具体形式写成〔7.14〕Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues〔洛德利格〕公式〔7.15〕〔7.14〕式和〔7.15〕的正确性可以代入Legendre方程式〔7.11〕直接证明.由式〔7.14〕和〔7.15〕可得出前几阶Legendre多项式具体形式图7.1显示在区间〔－1,1〕上的图形,一般有图7.1 Legendre 函数4,40) 3, 2,1, 0, ( n x P n )( 第二类Legendre 函数值得一提的式,Legendre 方程〔7.11〕应有另一个独立的解,这个解称为第二类Legendre 函数,记为.其形式为 等一般的形式是由于的对数形式,第二类Legendre 函数在边界是无界的〔并非全部〕.因此不能构成Legendre 方程的本征函数系,所以,对将不在作讨论.Legnedre 多项式的零点的零点都是一阶的,全部位于区域〔－1,1〕内.且与的零点相互穿插,在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然.2.3 Legnedre 多项式的性质Legendre 多项式的性质如下： 递推公式 ①<7.16><7.17> <7.18><7.19>② <7.20>对称性 ③<7.21>特殊点的值④<7.22>⑤<7.23>⑥<7.24>积分表达形式⑦ <7.25>Laplace第一积分⑧ <7.26>取,由式〔7.26〕得取,由式〔7.26〕得⑨ <7.27>Laplace第二积分⑩<7.28>积分公式〔7.29〕〔7.30〕〔7.31〕利用Rodrigues公式〔7.15〕可证明积分公式,下面证明方程〔7.31〕.利用式〔7.15〕,有将积分作次分部积分,然后设,并利用积分公式得下面由母函数入手,证明Legendre多项式得递推公式,将母函数式〔7.12〕写下〔7.12〕对式〔7.12〕两边取导数,得用乘上两边,得将上式左边中母函数再作展开,得等式〔7.32〕比较〔7.32〕式两边项得系数,得递推关系.这是式〔7.20〕的结果.同理,对式〔7.12〕两边的求导,得将上式两边乘以,并将左边母函数展开,得〔7.33〕比较项的系数,得这就是式〔7.19〕.其它递推公式可依此导出,这里不再证明.利用母函数,已证明Legendre式多项式〔7.14〕满足递推公式〔7.16〕～〔7.20〕,则式〔7.14〕是Legendre方程〔7.11〕的解.下面证明定理.定理设函数是在〔－1,1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数, 若满足递推公式〔7.16〕和式〔7.17〕～〔7.20〕 , 则是Legendre方程的解.将递推公式〔7.16〕两边对求导,得〔7.34〕再将式〔7.16〕乘以,得〔7.35〕将式〔7.34〕乘以,并与式〔7.35〕相加,得〔7.36〕由式〔7.17〕,将换成,有〔7.37〕将式〔7.37〕两边对求导,得〔7.38〕或写成〔7.39〕将式〔7.39〕代入式〔7.36〕,得〔7.40〕再由式〔7.16〕将式〔7.40〕中的项替代,最后,得到Legendre方程2.4 Fourier－Legendre级数第6章§1.3讨论了区间〔－1,1〕上,Legendre方程的本征值为〔7.41〕相应的本征函数是Legendre多项式〔7.42〕由Legendre方程〔7.11〕知,.在边界,因而Legendre方程的解满足自然边界条件,因而有本征函数正交性〔7.43〕第6章§1.4还讨论了函数在区间〔－1,1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数,称为Fourier－Lengendre级数.模计算如下：将母函数式〔7.12〕两边平方,得〔7.47〕Fourier－Lengendre级数展开定理若在区间〔－1,1〕上连续,或有限第一类间断点,那么,Fourier－Lengendre 级数〔7.44〕其中〔7.45〕〔7.46〕在〔－1,1〕上的连续点收敛于；在的间断点,则收敛于平均值；在,收敛于；在,级数收敛于.将方程〔7.47〕两边对从－1到1积分,并利用正交关系式〔7.43〕可知式〔7.47〕右边的第二项积分等于零.于是,有〔7.48〕式〔7.48〕左边的积分可完成为〔7.49〕将式〔7.49〕与式〔7.48〕的右边相比较,得[例7.1]在〔－1,1〕区间上,试求展成Fourier－Lengendre级数.解设根据积分公式〔7.30〕可知,当时,所有积分等于零,即利用式〔7.29〕,计算得〔被积函数是奇函数〕于是有由上述计算可得出以下结论：在的Fourier－Lengendre级数中,若是奇数,只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数,只含偶数阶Lengendre多项式.且Lengendre 多项式的阶数最高阶为.下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：2.5具有轴对称性的物理问题举例由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解.把对称轴取作求坐标的轴,Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为〔7.50〕Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：<7.51>对于球内问题,有对于球外问题,应为零.[例7.2]半径为的均匀带电圆环,总电量为,如图7.2,求圆环周围空间的电势.图 7.2 带电的圆环解先由Coulomb〔库仑〕定律求在轴上的电势,〔7.52〕将式〔7.52〕作Laurant〔罗朗〕展开,得〔7.53〕势〔7.53〕可看成是形式解〔7.51〕在的边界条件.比较两式,且有,得[例7.3]半径为的半球导体,球面温度保持在,底面温度保持为,如图7.3,求半导体球内的稳定温度分布.图7.3 半圆形导体解稳定时,导体内的温度分布满足Laplace方程.温度分部具有轴对称性.对于球内问题,由式〔7.51〕有〔7.54〕边界条件是〔7.55〕〔7.56〕由式〔7.55〕,有显然,只有当为奇数时才有.因而,式〔7.54〕成为〔7.57〕由式〔7.56〕,有利用Fourier－Legendre级数展开定理,有〔7.58〕最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的.将式〔7.58〕换写成表达式,并代入式〔7.57〕,有〔7.59〕§ 3* 连带LEGENDRE多项式3.1 连带LEGENDRE多项式上节讨论了对称的定解问题,当时,式〔7.5〕转变成Legendre方程〔7.10〕.当物理问题是非轴对称时,将式〔7.5〕写下：〔7.59〕类似地,作代换,令,式〔7.5〕变成连带Legendre方程〔7.60〕式〔7.60〕的本征值是,只有当取等整数时,式〔7.60〕才有本征函数解.设〔7.61〕于是,有将上述结果代入式〔7.60〕得〔7.62〕另则,由Legendre方程〔7.11〕对作次求导,得〔7.63〕比较式〔7.63〕与〔7.62〕有〔7.64〕由式〔7.61〕得到满足方程〔7.60〕的连带Legendre多项式〔7.65〕在以上推导中,阶导数表示为特别是3.2 连带LEGENDRE多项式的性质积分表达式①〔7.67〕递推公式②〔7.68〕③ <7.69> ④〔7.70〕⑤〔7.71〕对称性⑥〔7.72〕⑦〔7.73〕⑧〔7.74〕正交关系⑨〔7.75〕⑩〔7.76〕。
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
大学物理-勒让德多项式
(三) 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 (I) 勒让德多项式的正交性 勒让德方程与有限性条件构成施—刘型本征值问题：
勒让德方程可化为施—刘型方程，其中 (x) = 1，a =
–1，b = 1，而本征函数 yl (x) = Pl (x) 是实函数，故有如下正 交关系
另一种形式：
(II) 勒让德多项式的完备性 根据施—刘型本征值问题的完备性定理，对于在区间
示——微分表示
证明：由二项式展开定理得到
所以
注意到：凡是指数 (2l – 2s) < l 的项经 l 次求导后为 0，故 只剩下 (2l – 2s) ≥ l 的项，即 s ≤ l / 2，于是得到
罗德里格斯公式的应用之一 因为
所以
对于 Pl (1)，利用上式，n > 0 各项的值均为 0，只有当 n = 0 的项，其值不为 0，因此
之间存在着一定的关系。具体如下：
(1) (2) (3) (4)
证明：(I) 由生成函数关系式 两边对 r 求导，有
改写为 两边乘以 (1–2 x r + r2)，再将生成函数关系式代入，得到
比较两边 rl 的系数，有 整理上式，得到 当 l = 0 时，P0(x) = 1，P1(x) = x， 所以 x P0(x) = P1(x) (II) 将生成函数关系式两边对 x 求导，得到
例3 将函数 f (x) = xn 在区间 [–1,1] 上按完备正交函数系
Pl (x) 展开为广义傅里叶级数。
解：所给函数满足斯–刘型本征函数完备性定理的条件，故
xn Cl Pl (x) l 0
广义傅里叶系数为
Cl
2l 1 2
1 1
x
n
Pl
勒让德多项式
数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。
§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点，故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分，即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l ．故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l 次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式（2）11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−．(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式（5）11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式：令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式（5）1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式（2）可得如下结果；212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式（2）P (cos )n θ，这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1：设k 为正整数，可以证明：222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x 为奇函数，则展开式的系数20n C =；若需展开的函数()f x 为偶函数，则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，()f x 是三次多项式，设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=，则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道：20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数，显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性，显然。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
第十五章 勒让德多项式 球函数
(15.6)
解偏微分方程（15.1’）就变成了解三个微分方程： （15.3）、（15.5）和 （15.6）
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr d2 2 m 0 2 d
legendre多项式球函数第一节legendre微分方程及其legendre多项式在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程sinsin直角坐标下的laplace方程xxyyzz在球坐标系中的形式为得到sinsin令上式等于常数得到两个微分方程sinsin其中方程153为变系数常微分方程用尤拉方程去解
M
Hale Waihona Puke 1 x 1其中,
n 2, M n1 , 2
n 为偶数
或
n 为奇数
1 dn 2 n n ( x ) n ( x 1 ) . n 2 n! d x
称 n ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
在所有情况下, 都有 n (1) 1 , n (1) (1)n .
令Y ( , ) ( ) ( )并带入公式(15.4)得到：
2 2 1 d 1 d 1 d 2 2 2 m sin sin cos sin d 2 d d 2
令上式等于m2（为什么？后面就会知道），m为非负整数， 得到两个微分方程： d2 2 m 0 (15.5) 2 d
ck 2 ( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
k 为正偶数
n( n 1) c2 c0 2! ( n 2)( n 3) c4 c2 34
勒让德多项式球函数
第十一章勒让德多项式球函数本章讨论三维拉普拉斯方程在球坐标下的分离变量法，由此得到特殊函数：勒让德多项式、连带勒让德多项式和球谐函数，然后讨论它们的性质，最后讨论球函数的应用。
大纲要求：1.掌握球坐标下拉普拉斯方程的分离变量法2.掌握常点邻域的幂级数解法。
3.掌握勒让德多项式连带勒让德多项式，球函数的定义及基本性质4.掌握球函数在求解数理方程中的应用重点难点：1.球坐标下的分离变量法2.勒让德多项式的定义和基本性质3.连带勒让德多项式，球函数的定义4.球函数的应用第一节勒让德微分方程及勒让德多项式一、勒让德微分方程的导出考察三维拉普拉斯方程采用球坐标系，即：拉氏方程就变为：(1)首先，用分离变数法把表示距离的变数r与表示方向的变数θ和分离。
为此令代入(1)式得：用r2/RY遍乘各项并适当移项，即得：左边是r的函数，跟θ和无关。
右边定θ和的函数，跟r无关，两边相等。
只有同时等于一个常数，记为n(n+1)，这就分离出两个方程：(2)(3)微分方程(2)即为欧勒型常微分方程，其解为：偏微分方程(3)叫做球函数方程，Y(θ,)称为球函数，进一步分离变数，以：代入球函数方程(3)得：用遍乘各项并适当移项，即得：左边是θ的函数，与无关，右边定的函数，跟θ无关，两边相等，只有等于一常数，记为l。
这样就分解为两个常微分方程。
(4)(5)先看关于Φ的方程，注意到自然周期条件：(6)方程(4)与自然周期条件(6)构成本征值问题，本征值是l=m2(m=0,1,2,3……)本征函数是：这样方程(5)应为：(7)通常令而代入(7)得：(8)一般将记为y(x).方程(8)为连带(缔合)勒让德微分方程。
如果球坐标的极轴是对称轴，则u与无关，从而Φ()与无关，即：m=0．在m=0的情况下，方程(8)成为：(9)这叫勒让德方程。
二、幂级数解和勒让德多项式的定义1、常点邻域上的级数解法在常微分方程理论中，对于二阶常微方程是存在一种解法，称为级数解法，把二阶常微分方程的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数，这是一个比较普遍的方法，对方程并无特殊要求。
特殊函数第十五章Legendre多项式 球函数
第十五章 Legendre 多项式球函数本章要求：（1）了解n 阶连带勒让德微分方程和n 阶勒让德微分方程的形式22222d d (1)2[(1)]0d d 1y y m x x n n y x x x --++-=--连带勒让德方程222d d (1)2(1)0d d y y x x n n y x x--++=-勒让德方程知道它们的解及其解的特性。
（2）学会微分方程的级数解法，了解勒让德多项式的导出过程，知道勒让德多项式的定义。
第十五章习题答案1.求方程0y y ''+=的幂级数解。
解：由该方程的标准形式可以得出：()y y x =在0x =点解析，所以设该微分方程的解为kk k y c x ∞==∑0，求出222(1)(2)(1)k k k k k k y k k c xk k c x ∞∞-+==''=-=++∑∑，带入微分方程，有：2(2)(1)0kk k k k k k k cx c x ∞∞+==+++=∑∑上式各幂次前的系数为零，有：2(2)(1)0k k k k c c ++++=即21(2)(1)k k c c k k +=-++由上式得到偶数次幂、奇次幂前面的一系列系数分别为：204202012111434321....1(1)(2)!k k c c c c c c c k ⎧=-⎪⋅⎪⎪=-=⎪⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩3153121113211545432....1(1)(21)!k k c c c c c c c k +⎧=-⎪⋅⎪⎪=-=⎪⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪⎪=-⎪+⎩得到微分方程的幂级数解为()()()!()!kk k k k k y x x k k ∞∞+===-+-+∑∑2210011112212.求方程0y xy y '''--=的幂级数解。
解：设该微分方程的解为kk k y c x∞==∑0，求出11k k k y k c x ∞-='=∑和222(1)(2)(1)k k k k k k y k k c xk k c x ∞∞-+==''=-=++∑∑，带入微分方程，有：21(2)(1)0kkk k k k k k k k k cx kc x c x ∞∞∞+===++--=∑∑∑上式各幂次前的系数为零，有：2(2)(1)0k k k k k c kc c +++--=即212k k c c k +=+ 由上式得到偶数次幂、奇次幂前面的一系列系数分别为：20420620201211442116642....1(2)(22)(24)42k c c c c c c c c c c k k k ⎧=⎪⎪⎪==⎪⋅⎪⎪==⎨⋅⋅⎪⎪⎪⎪=⎪--⋅⋅⋅⋅⎪⎩315317312111311553117753....1(21)(21)(23)53k c c c c c c c c c c k k k +⎧=⎪⎪⎪==⎪⋅⎪⎪==⎨⋅⋅⎪⎪⎪⎪=⎪+--⋅⋅⋅⋅⎪⎩得到微分方程的幂级数解为()()()()()()kk k k y x x k k k k k k ∞∞+===+--⋅⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅∑∑2210011222244221212353。
勒让德多项式及性质
例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程 的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l
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n ( 1) 2n ( )! ( n 1)(n 2) 3 ( n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 2 Qn ( x ) x x x , n! 3 ! 5 !
n 为偶数
( 1) Qn ( x )
n1 2
勒让德多项式的生成函数-母函数
函数
1 1 2x t t2
n ( x ) t n
n 0
称为勒让德多项式的生成函数 , 它在导出勒让德多项式的诸多性质时很有用 .
勒让德函数的递推公式
2n 1 n (1) n 1 ( x ) x n ( x ) n1 ( x ) n1 n1 ( n 1).
2 d d 2 2 2 sin sin cos ( sin m ) 0 2 d d 对上式进行变量替换 t cos ,变为对t的微分方程
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
M
1 x 1
其中,
n 2, M n1 , 2
n 为偶数
或
n 为奇数
1 dn 2 n n ( x ) n ( x 1 ) . n 2 n! d x
称 n ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
在所有情况下, 都有 n (1) 1 , n (1) (1)n .
得：
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1
n( n 1) ck x k 0
k 0
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1 k n ( n 1 ) c x 0 k k 0
n( n 1) n( n 2)( n 1)( n 3) 2 c0 y0 c0 [1 x x ] 2! 4! ( n 1)( n 2) 3 ( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) 5 c1 y1 c1[ x x x 3! 5!
令Y ( , ) ( ) ( )并带入公式(15.4)得到：
2 2 1 d 1 d 1 d 2 2 2 m sin sin cos sin d 2 d d 2
令上式等于m2（为什么？后面就会知道），m为非负整数， 得到两个微分方程： d2 2 m 0 (15.5) 2 d
一般来说，规定了c0或者c1，其他系数就可以定了，但是在 这里，这种方法太复杂；我们换另一种思维：既然解是多 项式，最高次幂为n次方，规定最高次幂其那面的系数cn
由于
n(n 1)1 2n (n! )2 (2n 1)(2n 3)3 1 (2n)!
取
(2n)! cn n 2 ( n !)2
n( n 2)( n 1)( n 3) c0 4!
n( n 2)( n 4 )( n 1)( n 3)( n 5) c6 c0 6! n( n 2)( n 4 )( n 6)( n 1)( n 3)( n 5)( n 7) c8 c0 8!
令上式等于常数 ，得到两个微分方程 2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr
(15.3)
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(15.4)
其中方程（15.3）为变系数常微分方程，用尤拉方程去解。 Y与r无关，称为球函数，对式（15.4）再用一次分离变量法。
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x y 0 dx dx
d y dy m (1 x ) 2 2 x ( )y 0 2 dx dx 1 x
2
2
(15.6)
Legendre方程
(15.7)
问题 ：如何 解 Legendre方程（15.7） 2 dy 2 d y (1 x ) 2 2 x y 0 (15.7) dx dx
y ck x
k 0
k
(15.10)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 ( 15.9 ) dx dx 把幂级数y及其一阶、二阶导数求出带入上式
y ck x k
k 0
2 d y dy k 2 k ( k 1 ) c x kck x k 1 k 2 dx dx k 1 k 2
1 ( x) n 1 ( x) (2n 1) n ( x) (2) n
1 ( x) 2 xn ( x) n 1 ( x) n ( x) . (3) n
第二类勒让德函数
若
x 1
n 2
, 相应于 n 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下:
ck 2 ( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
k 为正偶数
n( n 1) c2 c0 2! ( n 2)( n 3) c4 c2 34
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
上式为多项式中最高次幂前面的系数，那其他次幂前 面的系数呢？
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( k 1)( k 2) ck ck 2 ( n k )( n k 1)
ck 2
对上式取k=n
k ( k 1) ck ( n k 2)( n k 1)
(15.1')
(15.3)
(15.5)
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
(15.6)
其中 t cos
令t x, (t ) y( x), 则式(15.6)变为常写函数形式：
缔合(连带)勒让德方程
式（15.6’）称为 连带Legendre微分方程。 m=0时称为Legendre微分方程
第十五章
Legendre多项式 球函数
第一节
Legendre微分方程 及其Legendre多项式
一、勒让德方程的导出
直角坐标下的Laplace方程
uxx uyy uzz 0
在球坐标系中的形式为
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin (15.1')
n1 2n1 ( )! 2 1 n ( n 1) x 2 n ( n 2)(n 1)(n 3) x 4 , n! 2! 4!
在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程
u(r , , ) R( r ) Y ( , )
代入公式（15.1’）
得到
r 2 d2 R 2 d R 1 2Y cos Y 1 2Y ( 2 ) ( 2 2 ) 2 R dr r dr Y sin sin
ck 2
k 为正奇数
( n 1)( n 2) c3 c1 3!
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) ( n 3)( n 4 ) c1 c5 c3 5! 45 ( n 1)( n 3)( n 5)( n 2)( n 4 )( n 6) c7 c1 7! ( n 1)( n 3)( n 5)( n 7)( n 2)( n 4 )( n 6)( n 8) c9 c1 7!
当 n 为正偶数时
( 2n 2m )! Pn ( x ) ( 1) n x n 2 m 2 m! (n m )!(n 2m )! m 0
n/ 2 m
当 n 为正奇数时
Pn ( x )
( n 1 ) / 2 m0
(2n 2m )! (1) n x n 2 m 2 m!(n m )!(n 2m )!
( 35cos4 20cos 2 9)
对应的图形:
n ( x)
x
三、 勒让德多项式的微分表达式
当 n 为整数时, 满足在 x 1 处有界的解为多项式
(1)m (2n 2m )! n ( x ) n x n 2 m , m 0 2 m ! ( n m )!( n 2m )!
(n-2)次幂 的系数
cn 2
n(n 1) (2n 2)! cn n 2(2n 1) 2 ( n 1)!( n 2)!
(2n 2m )! ( 1) n 2 m !( n m )!( n 2m )!
m
用归纳法可 以得到各次 幂前面的系 数为：
cn2 m
二、Legendre方程的解-Legendre多项式
令 n(n 1), n为非负整数。why ? 最后揭晓
d y dy (1 x ) 2 2 x n(n 1) y 0 dx dx
2
2
(15.9)
在区间-1=<x<=1，y(x)解析，则y(x)在x=0点可以展开为幂级数， 因此，令Legendre方程解形式为：
把上式各项中x的幂次都写成k次幂：
(k 2)(k 1)c
k 0
k 2