第十五章 勒让德多项式 球函数
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2
n ( 1) 2n ( )! ( n 1)(n 2) 3 ( n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 2 Qn ( x ) x x x , n! 3 ! 5 !
n 为偶数
( 1) Qn ( x )
n1 2
在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程
u(r , , ) R( r ) Y ( , )
代入公式（15.1’）
得到
r 2 d2 R 2 d R 1 2Y cos Y 1 2Y ( 2 ) ( 2 2 ) 2 R dr r dr Y sin sin
第十五章
Legendre多项式 球函数
第一节
Legendre微分方程 及其Legendre多项式
一、勒让德方程的导出
直角坐标下的Laplace方程
uxx uyy uzz 0
在球坐标系中的形式为
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin (15.1')
二、Legendre方程的解-Legendre多项式
令 n(n 1), n为非负整数。why ? 最后揭晓
d y dy (1 x ) 2 2 x n(n 1) y 0 dx dx
2
2
(15.9)
在区间-1=<x<=1，y(x)解析，则y(x)在x=0点可以展开为幂级数， 因此，令Legendre方程解形式为：
把上式各项中x的幂次都写成k次幂：
(k 2)(k 1)c
k 0
k 2
x - k ( k 1)ck x 2kck x
k k k 2 k 1
k
n( n 1)ck x k 0
k 0
然后找出x的k次幂的系数，让其=0
(k 1)(k 2)ck 2 [n(n 1) k(k 1)]ck 0
1 ( x) n 1 ( x) (2n 1) n ( x) (2) n
1 ( x) 2 xn ( x) n 1 ( x) n ( x) . (3) n
第二类勒让德函数
若
x 1
n 2
, 相应于 n 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下:
勒让德多项式的生成函数-母函数
函数
1 1 2x t t2
n ( x ) t n
n 0
称为勒让德多项式的生成函数 , 它在导出勒让德多项式的诸多性质时很有用 .
勒让德函数的递推公式
2n 1 n (1) n 1 ( x ) x n ( x ) n1 ( x ) n1 n1 ( n 1).
M
1 x 1
其中,
n 2, M n1 , 2
n 为偶数
或
n 为奇数
1 dn 2 n n ( x ) n ( x 1 ) . n 2 n! d x
称 n ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
在所有情况下, 都有 n (1) 1 , n (1) (1)n .
ck 2
k 为正奇数
( n 1)( n 2) c3 c1 3!
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) ( n 3)( n 4 ) c1 c5 c3 5! 45 ( n 1)( n 3)( n 5)( n 2)( n 4 )( n 6) c7 c1 7! ( n 1)( n 3)( n 5)( n 7)( n 2)( n 4 )( n 6)( n 8) c9 c1 7!
y ck x
k 0
k
(15.10)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 ( 15.9 ) dx dx 把幂级数y及其一阶、二阶导数求出带入上式
y ck x k
k 0
2 d y dy k 2 k ( k 1 ) c x kck x k 1 k 2 dx dx k 1 k 2
( 35cos4 20cos 2 9)
对应的图形:
n ( x)
x
三、 勒让德多项式的微分表达式
当 n 为整数时, 满足在 x 1 处有界的解为多项式
(1)m (2n 2m )! n ( x ) n x n 2 m , m 0 2 m ! ( n m )!( n 2m )!
得：
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1
n( n 1) ck x k 0
k 0
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1 k n ( n 1 ) c x 0 k k 0
]
勒让德方程幂级数解
y ck x k c2 k x 2 k c2 k 1 x 2 k 1 c y ( wenku.baidu.com ) c y ( x ) 0 0 1 1
k 0 k 0 k 0
当 n 为正偶数时, y0(x)为多项式, y1(x) 为无穷级数， y1(x) 在x=1，-1处发散，要使y有意义，y必须在 [-1,1]内收敛，所以此时必须c1=0 同理，当 n 为正奇数时, y1(x)为多项式, y0(x) 为无 穷级数，c0=0
上式为多项式中最高次幂前面的系数，那其他次幂前 面的系数呢？
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( k 1)( k 2) ck ck 2 ( n k )( n k 1)
ck 2
对上式取k=n
k ( k 1) ck ( n k 2)( n k 1)
(n-2)次幂 的系数
cn 2
n(n 1) (2n 2)! cn n 2(2n 1) 2 ( n 1)!( n 2)!
(2n 2m )! ( 1) n 2 m !( n m )!( n 2m )!
m
用归纳法可 以得到各次 幂前面的系 数为：
cn2 m
令上式等于常数 ，得到两个微分方程 2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr
(15.3)
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(15.4)
其中方程（15.3）为变系数常微分方程，用尤拉方程去解。 Y与r无关，称为球函数，对式（15.4）再用一次分离变量法。
2 d d 2 2 2 sin sin cos ( sin m ) 0 2 d d 对上式进行变量替换 t cos ,变为对t的微分方程
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
(15.6)
解偏微分方程（15.1’）就变成了解三个微分方程： （15.3）、（15.5）和 （15.6）
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr d2 2 m 0 2 d
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x y 0 dx dx
d y dy m (1 x ) 2 2 x ( )y 0 2 dx dx 1 x
2
2
2
(15.6)
Legendre方程
(15.7)
问题 ：如何 解 Legendre方程（15.7） 2 dy 2 d y (1 x ) 2 2 x y 0 (15.7) dx dx
n( n 2)( n 1)( n 3) c0 4!
n( n 2)( n 4 )( n 1)( n 3)( n 5) c6 c0 6! n( n 2)( n 4 )( n 6)( n 1)( n 3)( n 5)( n 7) c8 c0 8!
一般来说，规定了c0或者c1，其他系数就可以定了，但是在 这里，这种方法太复杂；我们换另一种思维：既然解是多 项式，最高次幂为n次方，规定最高次幂其那面的系数cn
由于
n(n 1)1 2n (n! )2 (2n 1)(2n 3)3 1 (2n)!
取
(2n)! cn n 2 ( n !)2
令Y ( , ) ( ) ( )并带入公式(15.4)得到：
2 2 1 d 1 d 1 d 2 2 2 m sin sin cos sin d 2 d d 2
令上式等于m2（为什么？后面就会知道），m为非负整数， 得到两个微分方程： d2 2 m 0 (15.5) 2 d
m
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos
2 P2 ( x ) 1 ( 3 x 1) 1 2 4 ( 3 cos 2 1) 3 1 P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 ( 5 cos 3 3 cos ) 4 2 P4 ( x ) 1 ( 35 x 30 x 3) 8 1 64
ck 2 ( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
k 为正偶数
n( n 1) c2 c0 2! ( n 2)( n 3) c4 c2 34
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
(15.1')
(15.3)
(15.5)
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
(15.6)
其中 t cos
令t x, (t ) y( x), 则式(15.6)变为常写函数形式：
缔合(连带)勒让德方程
式（15.6’）称为 连带Legendre微分方程。 m=0时称为Legendre微分方程
当 n 为正偶数时
( 2n 2m )! Pn ( x ) ( 1) n x n 2 m 2 m! (n m )!(n 2m )! m 0
n/ 2 m
当 n 为正奇数时
Pn ( x )
( n 1 ) / 2 m0
(2n 2m )! (1) n x n 2 m 2 m!(n m )!(n 2m )!
n( n 1) n( n 2)( n 1)( n 3) 2 c0 y0 c0 [1 x x ] 2! 4! ( n 1)( n 2) 3 ( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) 5 c1 y1 c1[ x x x 3! 5!
n1 2n1 ( )! 2 1 n ( n 1) x 2 n ( n 2)(n 1)(n 3) x 4 , n! 2! 4!
n ( 1) 2n ( )! ( n 1)(n 2) 3 ( n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 2 Qn ( x ) x x x , n! 3 ! 5 !
n 为偶数
( 1) Qn ( x )
n1 2
在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程
u(r , , ) R( r ) Y ( , )
代入公式（15.1’）
得到
r 2 d2 R 2 d R 1 2Y cos Y 1 2Y ( 2 ) ( 2 2 ) 2 R dr r dr Y sin sin
第十五章
Legendre多项式 球函数
第一节
Legendre微分方程 及其Legendre多项式
一、勒让德方程的导出
直角坐标下的Laplace方程
uxx uyy uzz 0
在球坐标系中的形式为
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin (15.1')
二、Legendre方程的解-Legendre多项式
令 n(n 1), n为非负整数。why ? 最后揭晓
d y dy (1 x ) 2 2 x n(n 1) y 0 dx dx
2
2
(15.9)
在区间-1=<x<=1，y(x)解析，则y(x)在x=0点可以展开为幂级数， 因此，令Legendre方程解形式为：
把上式各项中x的幂次都写成k次幂：
(k 2)(k 1)c
k 0
k 2
x - k ( k 1)ck x 2kck x
k k k 2 k 1
k
n( n 1)ck x k 0
k 0
然后找出x的k次幂的系数，让其=0
(k 1)(k 2)ck 2 [n(n 1) k(k 1)]ck 0
1 ( x) n 1 ( x) (2n 1) n ( x) (2) n
1 ( x) 2 xn ( x) n 1 ( x) n ( x) . (3) n
第二类勒让德函数
若
x 1
n 2
, 相应于 n 为偶数或奇数的第二类勒让德函数分别表示如下:
勒让德多项式的生成函数-母函数
函数
1 1 2x t t2
n ( x ) t n
n 0
称为勒让德多项式的生成函数 , 它在导出勒让德多项式的诸多性质时很有用 .
勒让德函数的递推公式
2n 1 n (1) n 1 ( x ) x n ( x ) n1 ( x ) n1 n1 ( n 1).
M
1 x 1
其中,
n 2, M n1 , 2
n 为偶数
或
n 为奇数
1 dn 2 n n ( x ) n ( x 1 ) . n 2 n! d x
称 n ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
在所有情况下, 都有 n (1) 1 , n (1) (1)n .
ck 2
k 为正奇数
( n 1)( n 2) c3 c1 3!
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) ( n 3)( n 4 ) c1 c5 c3 5! 45 ( n 1)( n 3)( n 5)( n 2)( n 4 )( n 6) c7 c1 7! ( n 1)( n 3)( n 5)( n 7)( n 2)( n 4 )( n 6)( n 8) c9 c1 7!
y ck x
k 0
k
(15.10)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 ( 15.9 ) dx dx 把幂级数y及其一阶、二阶导数求出带入上式
y ck x k
k 0
2 d y dy k 2 k ( k 1 ) c x kck x k 1 k 2 dx dx k 1 k 2
( 35cos4 20cos 2 9)
对应的图形:
n ( x)
x
三、 勒让德多项式的微分表达式
当 n 为整数时, 满足在 x 1 处有界的解为多项式
(1)m (2n 2m )! n ( x ) n x n 2 m , m 0 2 m ! ( n m )!( n 2m )!
得：
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1
n( n 1) ck x k 0
k 0
k 2 k k k ( k 1 ) c x k ( k 1 ) c x 2 kc x k k k k 2 k 2 k 1 k n ( n 1 ) c x 0 k k 0
]
勒让德方程幂级数解
y ck x k c2 k x 2 k c2 k 1 x 2 k 1 c y ( wenku.baidu.com ) c y ( x ) 0 0 1 1
k 0 k 0 k 0
当 n 为正偶数时, y0(x)为多项式, y1(x) 为无穷级数， y1(x) 在x=1，-1处发散，要使y有意义，y必须在 [-1,1]内收敛，所以此时必须c1=0 同理，当 n 为正奇数时, y1(x)为多项式, y0(x) 为无 穷级数，c0=0
上式为多项式中最高次幂前面的系数，那其他次幂前 面的系数呢？
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
( k 1)( k 2) ck ck 2 ( n k )( n k 1)
ck 2
对上式取k=n
k ( k 1) ck ( n k 2)( n k 1)
(n-2)次幂 的系数
cn 2
n(n 1) (2n 2)! cn n 2(2n 1) 2 ( n 1)!( n 2)!
(2n 2m )! ( 1) n 2 m !( n m )!( n 2m )!
m
用归纳法可 以得到各次 幂前面的系 数为：
cn2 m
令上式等于常数 ，得到两个微分方程 2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr
(15.3)
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(15.4)
其中方程（15.3）为变系数常微分方程，用尤拉方程去解。 Y与r无关，称为球函数，对式（15.4）再用一次分离变量法。
2 d d 2 2 2 sin sin cos ( sin m ) 0 2 d d 对上式进行变量替换 t cos ,变为对t的微分方程
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
(15.6)
解偏微分方程（15.1’）就变成了解三个微分方程： （15.3）、（15.5）和 （15.6）
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr d2 2 m 0 2 d
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x y 0 dx dx
d y dy m (1 x ) 2 2 x ( )y 0 2 dx dx 1 x
2
2
2
(15.6)
Legendre方程
(15.7)
问题 ：如何 解 Legendre方程（15.7） 2 dy 2 d y (1 x ) 2 2 x y 0 (15.7) dx dx
n( n 2)( n 1)( n 3) c0 4!
n( n 2)( n 4 )( n 1)( n 3)( n 5) c6 c0 6! n( n 2)( n 4 )( n 6)( n 1)( n 3)( n 5)( n 7) c8 c0 8!
一般来说，规定了c0或者c1，其他系数就可以定了，但是在 这里，这种方法太复杂；我们换另一种思维：既然解是多 项式，最高次幂为n次方，规定最高次幂其那面的系数cn
由于
n(n 1)1 2n (n! )2 (2n 1)(2n 3)3 1 (2n)!
取
(2n)! cn n 2 ( n !)2
令Y ( , ) ( ) ( )并带入公式(15.4)得到：
2 2 1 d 1 d 1 d 2 2 2 m sin sin cos sin d 2 d d 2
令上式等于m2（为什么？后面就会知道），m为非负整数， 得到两个微分方程： d2 2 m 0 (15.5) 2 d
m
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos
2 P2 ( x ) 1 ( 3 x 1) 1 2 4 ( 3 cos 2 1) 3 1 P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 ( 5 cos 3 3 cos ) 4 2 P4 ( x ) 1 ( 35 x 30 x 3) 8 1 64
ck 2 ( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
k 为正偶数
n( n 1) c2 c0 2! ( n 2)( n 3) c4 c2 34
ck 2
( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
(15.1')
(15.3)
(15.5)
d d m (1 t ) 2 2t ( ) 0 2 dt dt 1 t
2 2 2
(15.6)
其中 t cos
令t x, (t ) y( x), 则式(15.6)变为常写函数形式：
缔合(连带)勒让德方程
式（15.6’）称为 连带Legendre微分方程。 m=0时称为Legendre微分方程
当 n 为正偶数时
( 2n 2m )! Pn ( x ) ( 1) n x n 2 m 2 m! (n m )!(n 2m )! m 0
n/ 2 m
当 n 为正奇数时
Pn ( x )
( n 1 ) / 2 m0
(2n 2m )! (1) n x n 2 m 2 m!(n m )!(n 2m )!
n( n 1) n( n 2)( n 1)( n 3) 2 c0 y0 c0 [1 x x ] 2! 4! ( n 1)( n 2) 3 ( n 1)( n 3)( n 2)( n 4 ) 5 c1 y1 c1[ x x x 3! 5!
n1 2n1 ( )! 2 1 n ( n 1) x 2 n ( n 2)(n 1)(n 3) x 4 , n! 2! 4!