内蒙古包头钢铁公司第四中学2021届高三上学期期中考试数学(文)试卷

包钢四中2020---2021学年第一学期阶段性考试
高三数学（文科）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若集合{1,2,3,4,5}A =,集合(){}|40B x x x =-<,则图中阴影部分表示(
) A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3
C.{}4,5
D.{}1,4 2.若43i z =+，则 ||Z Z 在复平面的对应点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.给出下列说法，其中正确说法的个数为( )
（1）若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∨(¬q)”为真命题
（2） 4x π
=是tan 1x =的充分不必要条件；
（3）命题“∃x 0∈(0,+∞),x 0+
1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0,+∞),x +1
x <2” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 下列关于函数f(x)=sin(2x +π3)(x ∈R)的真命题是（ ）
A .函数f(x)在(−π2,π
2)上是增函数； B. ()y f x =的图像关于直线6
x π=对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称； D 为得到函数g(x)=sin2x 的图象，只要把函数f(x)图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度
5.已知|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=2，若|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则向量a ⃗ 在向量b
⃗ 方向的投影( ) A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则BE
⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.− 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3
4AC ⃗⃗⃗⃗⃗
7. 已知a ⃗ =(cosα,1)，b ⃗ =(sinα,2)，若a ⃗ //b ⃗ ，则sin2α−cos 2α的值( )
A. 45
B. 35
C. 25
D. 15 8. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，
则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1⋅a 6⋅a 11=8,b 1+b 6+b 11=3π，
则tan b 3+b 91−a
4⋅a 8的值是( )
A. 1 D. √3
10.在△ABC ，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，
且不等式−2x 2+ax +c >0的解集为(−1,2)，则b 等于( )
A. 2√3
B. 3
C. 4
D. 4√7
11. 定义运算ab
ad bc c d =-。

若1cos 7α=，sin sin cos cos αβαβ= 02πβα<<<，则β=（ ） A. 4π B. 3π C. 6
π D. 12π 12.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则下列命题错误的是( )
A. d <0
B. S 13<0
C. {S n }中的最大项为S 11
D. |a 6|>|a 7|
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知奇函数f(x)(x ∈R)满足f(x +4)=f(x)，当x ∈(−2,0)时，f (x )=x 2+ln (−x )，
则f (2021)=_____________
14.设函数f (x )=12x 2−x −2lnx ，则函数f(x)在[1,e ]的最小值为_______．
15. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ．则角C=_____
16.已知数列{a n }中，111,21n n a a a n +=-=-，则数列{a n }的通项公式a n =______________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17. 设向量(cos ,sin ),a αλα=(cos ,sin )b ββ=其中0λ>，02παβ<<<
且a b +与a b -相互垂直 （1）求实数λ的值。

（2）若45
a b ⋅=且tan 2β=，求tan α的值 18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −1(n ∈N ∗)，数列{b n }满足b 1=1，点P (b n ,b n+1)
在直线x −y +2=0上.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n ；
(2)令c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ；
19.在梯形ABCD 中，AB CD ，23
D ACB π∠=∠=
22AD CD ==， （1）求sin ACD ∠的值（2）求ABC ∆的面积
20.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=a
n 2a n +1(n ∈N ∗)， (1)证明：数列{1
a n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设
b n =a n a n+1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和S n 。

21.设函数f(x)=a x +lnx ． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a ≥1，证明f(x)>1
e x 恒成立．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做第一题计分。

22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−t,y =4+t (t 为参数)，曲线C 1的方程为x 2+(y −
1)2=1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程；
(2)曲线2:3C π
θ=分别交直线l 和曲线C 1于点A ，B ，求||AB 的长。

23. 已知函数()|12||1|f x x x =--+．
(1)若不等式()4f x <的解集为{|}x a x b <<，求a ，b 的值；
(2)求使不等式()(2)f x k f x --≤有解的实数k 的取值范围．。