2015年高考第一轮复习数学：5.4 解斜三角形

5.4 解斜三角形

●知识梳理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

即

A a sin =

B b sin =C

c

sin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a 2=

b 2+

c 2－2bc cos A ； ①

b 2=

c 2+a 2－2ca cos B ； ②

c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ③

在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得 cos A =bc a c b 22

22-+；

cos B =ca

b a

c 22

22-+；

cos C =ab

c b a 22

22-+.

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.

●点击双基

1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

解析：由2cos B sin A =sin C 得ac

b c a 222-+×a =c ，∴a =b .

答案：C

2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A.sin A +cos A =

5

1 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0

D.b =3，c =33，

B =30°

解析：由sin A +cos A =5

1 得2sin A cos A =－

25

24

＜0，∴A 为钝角. 由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝角.

由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0.

∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由

B b sin =

C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3

π

2.

答案：C

3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的

面积为

23

，那么b 等于 A.2

3

1+ B.1+3

C.

23

2+ D.2+3 解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .

又△ABC

的面积为

2

3

，且∠B =30°，故由S

△

ABC =

21ac sin B =21ac sin30°=41ac =2

3

，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =2

3，解得

b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.

答案：B

4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3

π

.

答案：3

π

5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.

解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴ab

c b a 22

22-+＞0，∴c ＜5.

又c ＞b －a =1，

∴1＜c ＜5.

答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .

剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.

证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C

⇒22cos 1A -－2

2cos 1B

-=sin B sin （A +B ） ⇒

2

1

（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）

， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.

思考讨论

（1）该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由

a 2=

b （b +

c ），得

cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）

（+-+=b

b c 2-，cos2B =2cos 2B －

1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2

2

22c c b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-.

所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B . （2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?

解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=a

b

①，

作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示

的即是

DC BC =BC

AC

，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .