全国卷高考真题复数专题文科数学
2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+Î，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选：A2. 设z =，则z z ×=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ´=+=Û+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==Þ=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+，所以()03f ¢=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-，所以11tan =-a ，tan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø，故选：B .原10题略10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n Ìa ，因为//m n ，m b Ì，则//n b ，当n b Ì，因为//m n ，m a Ì，则//n a ，当n 既不在a 也不在b 内，因为//m n ，,m m a b ÌÌ，则//n a 且//n b ，故①正确；对②，若m n ^，则n 与,a b 不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ，因为//n a ，过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s Ë平面b ，t Ì平面b ，则//s 平面b ，因为s Ì平面a ，m a b =I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等，如果//,//a b n n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a Þ=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案：64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢，令()()00g x x ¢=>得1x =，当()0,1x Î时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当()1,x ¥Î+时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a Î-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 通项公式.【答案】（1）153n n a -æö=ç÷èø的（2）353232næö-ç÷èø【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=´-=-，故11a =，故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD，进而得证；（2）作FO AD ^，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因BM Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ^交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ^，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ^，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a £时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x -¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，而5,02N æöç÷èø，故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ^轴.（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+，将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+，1x =+，两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî，s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s\=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+ìí=+î，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +³+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +³+，因为3a b +³，所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2022年全国统一高考数学试卷(文科)(全国一卷)
全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|4．（5分）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50406．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．4810．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k ﹣垂直，则k=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．。
复数(2012-2021)高考数学真题
复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 CD ．22．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1CD ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4iD ．4i .4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数113i -的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3106．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．17．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．B ．12C ．1 D12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i +D ．33i +18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ）A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．221．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．322．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BC D ．223．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则z z =A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i -26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．229．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．430．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1-B ．0C ．1D ．231．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2.32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））A ．B ．C ．D ．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)i i +=- A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4D ．4537．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i +=A ．B ．2CD ．138．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32iz i-+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p。
专题03 复数-备战2022年高考数学(文)母题题源解密(全国甲卷)(解析版)
专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。
高考文科数学试卷复数题
1. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何意义是（）A. 与实轴垂直B. 与实轴平行C. 位于实轴上D. 位于实轴的负半轴2. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的辐角为θ，则下列选项中，下列正确的是（）A. |z|=a^2+b^2B. cosθ=a/|z|C. sinθ=b/|z|D. tanθ=b/a3. 设复数z满足|z+1|=|z-1|，则z的取值范围是（）A. (-∞，-1]∪[1，+∞)B. (-∞，-1)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪[1，+∞)D. (-∞，-1]∪(1，+∞)4. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=1，则下列选项中，下列正确的是（）A. a^2+b^2=1B. |a|=|b|C. a^2+b^2=2D. a^2+b^2=05. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的模为|z|=√2，则下列选项中，下列正确的是（）A. a=1，b=1B. a=1，b=-1C. a=-1，b=1D. a=-1，b=-16. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的辐角为θ，则下列选项中，下列正确的是（）A. cosθ=a/|z|B. sinθ=b/|z|C. tanθ=b/aD. tanθ=a/b7. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的实部为a，虚部为b，则下列选项中，下列正确的是（）A. a^2+b^2=|z|B. a=|z|C. b=|z|D. a^2+b^2=|z|^28. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=1，则下列选项中，下列正确的是（）A. a^2+b^2=1B. |a|=1C. |b|=1D. a=1，b=19. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的辐角为θ，则下列选项中，下列正确的是（）A. cosθ=a/|z|B. sinθ=b/|z|C. tanθ=b/aD. tanθ=a/b10. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若z的实部为a，虚部为b，则下列选项中，下列正确的是（）A. a^2+b^2=|z|B. a=|z|C. b=|z|D. a^2+b^2=|z|^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 设复数z=a+bi（a，b∈R），若|z|=1，则|z|^2=__________。
2011—2020年新课标全国卷高考数学试卷分类汇编—复数(含答案)
2011—2020年新课标全国卷高考数学试卷分类汇编—复数（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，共 8 套全国卷）一、选择题1、 (20 20 ·新高考Ⅰ，2 ) （）A ． 1B ．−1C ． iD ．−i2、(20 20 ·全国卷Ⅰ，理 1 ) 若，则（）A ． 0B ． 1C ．D ． 23、(20 20 ·全国卷Ⅰ，文 2 ) 若，则（）A ． 0B ． 1CD ． 24、(20 20 ·全国卷Ⅱ，文 2 ) （ 1–i ） 4 = （）A ．–4B ． 4C ．–4 ID ． 4 i5、 (20 20 ·全国卷Ⅲ，理 2 ) 复数的虚部是（）A ．B ．C ．D ．6、(20 20 ·全国卷Ⅲ，文 2 ) 若，则 z = （）A ． 1– iB ． 1+ iC ．– iD ． i7、(2019·全国卷Ⅰ，理 2 ) 设复数 z 满足， z 在复平面内对应的点为( x ， y ) ，则（）A ．B ．C ．D ．8、(2019·全国卷Ⅰ，文 1 ) 设，则 = （）A ． 2B ．C ．D ． 19、 (2019·全国卷Ⅱ，理 2 ) 设，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、(2019·全国卷Ⅱ，文2 ) 设，则（）A ．B ．C ．D ．11、(2019·全国卷Ⅲ，文理 2 ) 若，则（）A ．B ．C ．D ．12 (2018·新课标Ⅰ，理 1 文 2 ) 设，则（）A. B. C. D.13（ 2018 ·新课标Ⅱ，理 1 ）（）A ．B ．C ．D ．14(2018·新课标Ⅱ，文 1 ) （）A ．B ．C ．D ．15（ 201 8 ·新课标Ⅲ，文理 2 ）（）A ．B ．C ．D ．16（ 2017 ·新课标Ⅰ，理 3 ）设有下面四个命题若复数满足，则；若复数满足，则；若复数满足，则；若复数，则．其中的真命题为（）A ．B ．C ．D ．17、(201 7 ·新课标Ⅰ，文 3 ) 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A ．B ．C ．D ．18、（ 201 7 ·新课标Ⅱ，理 1 ）（）A ．B ．C ．D ．19、（ 201 7 ·新课标Ⅱ，文 2 ）（）A. B. C. D.20、（ 2017·新课标Ⅲ，理 2 ）设复数满足，则（） .A ．B ．C ．D ． 221、 ( 201 7 ·新课标Ⅲ，文 2 ) 复平面内表示复数的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22、（ 2016 ·新课标Ⅰ，理 2 ）设，其中是实数，则（）A ．B ．C ．D ．23、(201 6 ·新课标Ⅰ，文 2 ) 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（）A ．B ．C ．D ．24、（ 201 6 ·新课标Ⅱ，理 1 ）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 ( )A ．（ - 3 ， 1 ）B ．（ - 1 ， 3 ）C ．（ 1 ，+∞ ）D ．（ - ∞ ， - 3 ）25、（ 201 6 ·新课标Ⅱ，文 2 ）设复数 z 满足，则= （）A ．B ．C ．D ．。
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题02复数文(含解析)
专题02复数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 复数的四则运算2019年新课标1文科01 单选题2018 复数的四则运算2018年新课标1文科02 单选题2017 复数的四则运算2017年新课标1文科03单选题2016 数系的扩充与复数的定义2016年新课标1文科02单选题2015 复数的四则运算2015年新课标1文科03 单选题2014 复数的四则运算2014年新课标1文科03 单选题2013 复数的四则运算2013年新课标1文科02 单选题2012 复数的四则运算2012年新课标1文科02 单选题2011 复数的四则运算2011年新课标1文科02 单选题2010 复数的四则运算2010年新课标1文科03历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科01】设z，则|z|＝（）A．2 B．C．D．1 【解答】解：由z，得|z|＝||．故选：C．2．【2018年新课标1文科02】设z2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．3．【2017年新课标1文科03】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．4．【2016年新课标1文科02】设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故选：A．5．【2015年新课标1文科03】已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【解答】解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1，∴z＝2﹣i．故选：C．6．【2014年新课标1文科03】设z i，则|z|＝（）A．B．C．D．2【解答】解：z i i．故|z|．故选：B．7．【2013年新课标1文科02】（）A．﹣1i B．﹣1i C．1i D．1i【解答】解： 1i．故选：B．8．【2012年新课标1文科02】复数z的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．9．【2011年新课标1文科02】复数（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【解答】解： 2+i故选：C．10．【2010年新课标1文科03】已知复数Z，则|z|＝（）A．B．C．1 D．2 【解答】解：化简得Z•••，故|z|，故选：B ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳. 最新高考模拟试题1．复数52iz =-在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】，在复平面上的对应点为()2,1，位于第一象限. 故选A.2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=【答案】D 【解析】 因为，所以220a b -=，22ab =-， 解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0a b +=，故选D.3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．2【答案】B【解析】故，解1a =-故选：B4．复数i （1+i ）的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．1-【答案】B 【解析】∵i （1+i ）=-1+i ， ∴i （1+i ）的虚部为1． 故选：B ．5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( ) A ．2 B ．2C ．10D ．10【答案】B 【解析】 由题得，所以.故选：B6．已知复数312i z i=+，则复数z 的实部为（ ）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -【答案】A 【解析】 解：∵，∴复数z 的实部为25-． 故选A ． 7．复数122ii-=+（ ） A ．1i - B ．i -C ．iD ．1i +【答案】B 【解析】.故选B8．已知i 为虚数单位,复数z 满足：，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为，所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限， 故选D .9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 解: z a i =+Qz a i ∴=-10．已知i 是虚数单位，复数z 满足，则z =（ ）A．2B．2 C．1 D．5【答案】A【解析】，所以，故本题选A.11．复数，其中i为虚数单位，则z的实部是（）A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】D【解析】解：∴，∴z的实部是3故选：D．12．已知复数，则复数z=（）A．2i+B．2i-C．i D．i-【答案】C【解析】由题意，复数，则，故选C. 13．已知i为虚数单位，若，则b a=（）A．1 B．2C．2D．2 【答案】C【解析】i为虚数单位，若，根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：C. 14．已知复数z 满足，则||z =（ ）A ．2B ．5C ．52D ．8【答案】C 【解析】 ∵，∴，∴．故选C ．15．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-【答案】A 【解析】 ∵，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1.故选A.16．若复数z 满足，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题得，所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限. 故选：A17．已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i -C ．2D ．2i【答案】A 【解析】 因为12iz i =+ 所以所以虚部为1- 所以选A 18．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】 因为,所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B. 19．复数的虚部为( ) A ．1- B ．3-C ．1D ．2【答案】B 【解析】所以z 的虚部为3- 故选B 项. 20．已知复数，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 ∵，∴，∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选：C ． 21．设复数z 满足2ii z+=，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】2ii z+=Q,,，故选B.22．已知复数1i z i=-，则2z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】∵，∴， ∴2z +在复平面内对应的点的坐标为211,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．23．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ）A ．1i -B ．12i +C ．1i +D ．1i --【答案】D【解析】由题意得： 1z i ∴=--本题正确选项：D24．若复数是纯虚数，其中m 是实数，则1z =（ ）A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0， 解得m ＝0，故z ＝i ，故i ．故选：B ．25．设i 为虚数单位，则复数22iz i -=+的共扼复数z =（ ）A ．3455i + B ．3455i -C ．3455i -+D ．3455i -- 【答案】 A 【解析】解：，故选：A ．26．已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，113z i =+，则12z z =( )A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】由题意，复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，113z i =+， 则，所以，故选D.27．已知复数z 1＝1+2i ，z 2＝l ﹣i ，则12z z =（ ）A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+【答案】B【解析】∵，∴．故选：B ．28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ）A ．2B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】不妨设，则， 结合题意可知：，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：，不合题意； 对于选项B ：，符合题意； 对于选项C ：，不合题意； 对于选项D ：，不合题意； 故选：B .29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)i z i i +=-的虚部为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2- 【答案】C【解析】因为，所以z 的虚部为1-.30．已知复数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13- 【答案】D【解析】因为，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x =上，所以，解得13a =-. 故选D.。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题02 复数(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题02复数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 复数的四则运算2019年新课标1文科01单选题2018 复数的四则运算2018年新课标1文科02单选题2017 复数的四则运算2017年新课标1文科03单选题2016数系的扩充与复数的定义2016年新课标1文科02单选题2015 复数的四则运算2015年新课标1文科03单选题2014 复数的四则运算2014年新课标1文科03单选题2013 复数的四则运算2013年新课标1文科02单选题2012 复数的四则运算2012年新课标1文科02单选题2011 复数的四则运算2011年新课标1文科02单选题2010 复数的四则运算2010年新课标1文科03历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科01】设，则||＝（）A．2 B．C．D．12．【2018年新课标1文科02】设2i，则||＝（）A．0 B．C．1 D．3．【2017年新课标1文科03】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．【2016年新课标1文科02】设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．35．【2015年新课标1文科03】已知复数满足（﹣1）i＝1+i，则＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i6．【2014年新课标1文科03】设i，则||＝（）A．B．C．D．27．【2013年新课标1文科02】（）A．﹣1i B．﹣1i C．1i D．1i8．【2012年新课标1文科02】复数的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i9．【2011年新课标1文科02】复数（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i10．【2010年新课标1文科03】已知复数，则||＝（）A．B．C．1 D．2考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．复数52iz =-在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．0D ．24．复数i （1+i ）的虚部为（ ）AB ．1C ．0D ．1-5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( )A ．2B CD ．106．已知复数312i z i=+，则复数的实部为（ ）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -7．复数122ii-=+（ ）A ．1i -B ．i -C ．iD ．1i +8．已知i 为虚数单位,复数满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．已知i 是虚数单位，复数满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）AB ．2C ．1D 11．复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则的实部是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．312．已知复数(1)1z i i -=+，则复数z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．iD ．i -13．已知i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则b a =（ ）A ．1B C D ．214．已知复数满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）A BC ．D ．815．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-16．若复数满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数满足12iz i =+，则的虚部是（ ） A ．1-B ．i -C ．2D ．2i18．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．1D ．219．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A ．1-B ．3-C ．1D ．220．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1221．设复数满足2ii z+=，则z =（ ） A ．1BC ．3D ．522．已知复数1i z i=-，则z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．复数满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ） A ．1i -B ．12i +C ．1i +D ．1i --24．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -25．设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共扼复数z =（ ） A ．3455i + B ．3455i - C ．3455i -+ D ．3455i -- 26．已知复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则12z z =( ) A ．2BCD ．127．已知复数1＝1+2i ，2＝l ﹣i ，则12z z =（ ） A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+ 28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数可取（ ） A ．2B ．-1C ．iD ．2i +29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)iz i i+=-的虚部为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-30．已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13-。
2010—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——2.复数
（2014·2） 1+ 3i = （ 1−i
A．1+ 2i?
） B． −1+ 2i
C．1− 2i
【分析】采用复数的除法运算求解即可
1+ 3i
【解析】
1−i
=
(1+ 3i)(1+ i)
(1− i)(1+ i)
=
−2 + 2
4i
=
−1+
2i.
故选
B
D． −1− 2i
【拓展】 z z = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2
A. -4
B. -3
C. 3
D. 4
【分析】结合复数的乘法运算和对应关系即可求解参数 a
【解析】 2 + ai = (1+ i)(3+ i) = 2 + 4i a = 4，故选 D
【拓展】复数求解过程中，有时会当成一个整体进行运算，如本题中 2 + ai 当成整体 A ，1+ i 当成整体 B ， 3 + i 当成整体 C ，则 A = C A = B C （注意这种思想的运用：整体法和除法的逆运算（小学知识！））
A． −1+ 2i
B．1− 2i
C． 3 + 2i
【分析】先求复数 z ，再求 z （共轭复数）
【解析】 z + i = 3− i z = 3− 2i z = 3+ 2i ，故选：C
D． 3 − 2i
（2015·2）若 a 为实数，且 2 + ai = 3 + i ，则 a = （ ） 1+ i
2010—2019 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
高考全国卷Ⅰ文科数学复数及其运算汇编
高考全国卷Ⅰ文科数学复数及其运算汇编Newly compiled on November 23, 2020新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编复数及其运算一、选择题【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i +【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( )A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i【2014，3】3．设11z i i =++，则|z |=( )A ．21B ．22C ．23D ．2【2013，2】212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2--B ．11+i 2-C ．11+i 2D ．11i 2-【2012，2】复数32iz i -+=+的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --【2011，2】复数5i12i =-（ ）.A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+解 析一、选择题【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i +解：22(1)121210i i i i +=++=+-=，故选C【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3解析：选A ． 由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-．【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( )A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i解：选C ． z=11112i z i i i+=+=-+=-． 【2014，3】3．设11z i i=++，则|z |=( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．2 解：选B．111,12222i i z i i z i -=+=+=+∴==+，故选B ． 【2013，2】212i 1i +(-)＝( ) A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 解析：选B ．212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 【2012，2】复数32i z i -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【解析】选D ．因为(3)(2)551(2)(2)5i i i z i i i -+--+===-++-，所以1z i =--． 【2011，2】复数5i 12i=-（ ）. A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+【解析】选C ．()()()()5i 12i 5i 12i 5i 2i 12i 12i 12i 5++===-+--+.。
高考文科数学试题分类汇编复数精品
2009－20年高考文科数学试题分类汇编——复数一、选择题1.（20年广东卷文）下列n的取值中，使＝1（i是虚数单位）的是（）（A）n＝2 （B）n＝3 （C）n＝4 （D）n＝52.（2009浙江卷文）设z＝1＋i（i是虚数单位），则＋z2＝（）（A）1＋i（B）－1＋i （C） 1－i （D）－1－i3.（2009山东卷文）复数等于（）（A）1＋2i（B）1－2i（C）2＋i（D）2－i4. （2009安徽卷文）i是虚数单位，i（1＋i）等于（）（A）1＋i （B）－1－i （C）1－i （D）－1＋i5.（2009天津卷文）i是虚数单位，＝（）（A）1＋2i （B）－1－2i （C）1－2i （D）－1＋2i6. （2009宁夏海南卷文）复数＝（）（A）1 （B）－1 （C）i （D）－i7. （2009辽宁卷文）已知复数z＝1－2i，则＝（）（A）＋i（B）－i（C）＋i（D）－i8.（2010湖南文数1）复数等于（）（A） 1＋i（B） 1－i （C）－1＋i （D）－1－i9.（2010浙江理数）对随意复数z＝x＋（x R，y R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）（A）－|＝2y（B）z2＝x2＋y2（C）－|≥2x（D）≤＋10．（2010全国卷2理数）复数（）2＝（）（A）－3－4i（B）－3＋4i（C）3－4i（D）3＋4i11.（2010陕西文数）复数z＝在复平面上对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限12.（2010辽宁理数（2））设a，b为实数，若复数＝1＋i，则（）（A）a＝，b＝（B）a＝3，b＝1（C）a＝，b＝（D）a＝1，b＝313.（2010江西理数）已知（x＋i）（1－i）＝y，则实数x，y分别为（）（A）x＝－1，y＝1 （B）x＝－1，y＝2（C）x＝1，y＝1 （D）x＝1，y＝214.（2010安徽文数（2））已知i2＝－1，则i（1－i）＝（）（A）－i（B）＋i （C）－－i （D）－＋i15.（2010浙江文数）设i为虚数单位，则＝（）（A）－2－3i （B）－2＋3i（C）2－3i （D）2＋3i16.（2010山东文数）已知＝b＋i（a，b R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1（B） 1 （C）2 （D） 317.（2010北京文数（2））在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为A，B，若C为线段的中点，则点C对应的复数是（）（A）4＋8i （B）8＋2i （C）2＋4i （D）4＋i18.（2010四川理数（1））i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）（A）－1 （B）1 （C）－i（D）i19.（2010天津文数）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋2i （B）2＋4i （C）－1－2i （D）2－i20.（2010天津理数）i 是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i （B）5＋5i （C）－5－5i （D）－1－i21.（2010广东理数）若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝（）（A）4＋2 i （B） 2＋ i （C） 2＋2 i （D）322.（2010福建文数）i是虚数单位，（）4等于（）（A）i （B）－i （C）1 （D）－123.（2010全国卷1理数（1））复数＝（）（A）i （B）－i（C）12－13i（D） 12＋13i24.（2010山东理）已知＝b＋i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1 （B）1 （C）2 （D）325.（2010安徽理数1）i是虚数单位，＋3i) ＝（）（A）－,12) I（B）＋,12) i（C）＋,6) i（D）－,6) i26. （20年北京理）复数＝（）（A）i （B）－i （C）－－i （D）－＋i27.（20年福建理）i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则（）（A）i S（B）i2S（C）i3S（D）S28.（2010湖北理数）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）（A）E（B）F（C）G（D）H29.（20年安徽理（1））设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）（A）2 （B）－2 （C）－（D）30.（20年福建文）i是虚数单位，1＋i3等于（）（A）i （B）－i （C）1＋i （D）1－i31.（20年广东理1）设复数z满意（1＋i）z＝2，其中i为虚数单位，则Z＝（）（A）1＋i （B）1－i （C）2＋2i （D）2－2i 32.（20年广东文1）设复数z满意＝1，其中i为虚数单位，则z＝（）（A）－i（B）i（C）－1（D）133.（20年湖北理1）i为虚数单位，则（）2011＝（）（A）－i（B）－1（C）i（D）134.（20年湖南理1）若a，b R，i为虚数单位，且（a＋i）i＝b＋i，则（）（A）a＝1，b＝1（B）a＝－1，b＝1（C）a＝－1，b＝－1（D）a＝1，b＝－135.（20年江西理1）设z＝i) ，则复数＝（）（A）－2－i（B）－2＋i（C）2－i（D）2＋i36.（20年江西文1）若（x－i）i＝y＋2i，x，y R，则复数x＋＝（）（A）－2＋i （B） 2＋i （C）1－2i（D）1＋2i37.（20年辽宁理1）a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝（）（A）2 （B）（C）（D）138.（20年辽宁文2）i为虚数单位，＋＋＋＝（）（A）0 （B）2i（C）－2i（D）4i39.（20年全国Ⅰ理（1））复数的共轭复数是（）（A）－i（B）i（C）－i（D）i40.（20年全国Ⅰ文（3））已知复数z＝＋i,(1－i)2) ，则＝（）（A）（B）（C）1 （D）241.（20年全国Ⅱ理（1））复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝（）（A）－2i（B）－i（C）i（D）2i42.（20年山东理）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限43.（20年四川理2）复数－i＋＝（）（A）－2i（B）i（C）0 （D）2i44.（20年天津理1）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i（B）5＋5i（C）－5－5i（D）－1－i45.（20年天津文1）i是虚数单位，复数（）（A）1＋2i（B）2＋4i（C）－1－2i（D）2－i46.（20年浙江文）若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则（1＋i）z＝（）（A）1＋3i（B）3＋3i（C）3－i（D）347.（20年重庆理（1））复数＝（）（A）－－i （B）－＋i （C）－i（D）＋i48.【2012安徽文1】复数z满意（z－i）i＝2＋i，则z＝（）（A）－1－i（B）1－I（C）－1＋3i（D）1－2i49.【2012新课标文2】复数z＝的共轭复数是（）（A）2＋i （B）2－i （C）－1＋i （D）－1－i50.【2012山东文1】若复数z满意z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则为（）（A）3＋5i （B）3－5i （C）－3＋5i（D）－3－5i51.【2012浙江文2】已知i是虚数单位，则＝（）（A）1－2i （B）2－i （C）2＋i （D）1＋2i52.【2012上海文】若1＋i是关于x的实系数方程x2＋＋c＝0的一个复数根，则（）（A）b＝2，c＝3（B）b＝2，c＝－1（C）b＝－2，c＝－1（D）b＝－2，c＝353.【2012辽宁文3】复数＝（）（A）－i （B）＋i（C）1－i（D）1＋i54.【2012江西文1】若复数z＝1＋i（i为虚数单位）是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为（）（A）0 （B）－1 （C）1 （D）－255.【2012湖南文2】复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）（A）－1－i （B）－1＋i （C）1－i （D）1＋i56.【2012广东文1】设i为虚数单位，则复数＝（）（A）－4－3i（B）－4＋3i（C）4＋3i（D）4－3i57.【2102福建文1】复数（2＋i）2等于（）（A）3＋4i （B）5＋4i （C）3＋2i （D）5＋2i58.【2102北京文2】在复平面内，复数对应的点的坐标为（）（A）（1 ，3）（B）（3，1）（C）（－1，3）（D）（3 ，－1）59.【2012天津文科1】i是虚数单位，复数i)＝（A）1－i （B）－1＋i（C）1＋i（D）－1－i60.（20年辽宁卷（文））复数的z＝i－1)模为（）（A）（B）,2)（C）（D）261．（20年课标Ⅱ卷（文））||＝（）（A）2（B）2 （C）（D）162．（20年北京卷（文））在复平面内，复数i（2－i）对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限63．（20年山东卷（文））复数z＝（i为虚数单位），则＝（）（A）25 （B）（C）5 （D）64．（20年课标Ⅰ卷（文））＝（）（A）－1－i （B）－1＋i（C）1＋i （D）1－i65.（20年福建卷）复数z＝－1－2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限66．（20年广东卷（文））若i（x＋）＝3＋4i，x，y R，则复数x＋的模是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）567.（20年江西卷）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限68．（20年四川卷（文））如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A （B）B（C）C（D）D69.（20年浙江卷（文））已知i是虚数单位，则（2＋i）（3＋i）＝（）（A）5－5i （B）7－5i （C）5＋5i （D）7＋5i70.（20年安徽）设i是虚数单位，若复数a－（a R）是纯虚数，则a的值为（）（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3二、填空题71.（2009江苏卷）若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数（z1－z2）i的实部为.72.（2009福建卷文）复数i2（1＋i）的实部是．73.（20年江苏3）设复数i满意i（z＋1）＝－3＋2i（i是虚数单位），则z 的实部是74.（20年浙江理2）已知复数z＝，其中i是虚数单位，则＝.75.【2012湖北文12】若＝a＋（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝.76.【2012江苏3】设a，b为实数，a＋＝（i为虚数单位），则a＋b的值为．77.【2012上海文1】计算：＝（i为虚数单位）78.（20年湖南）复数z＝i·（1＋i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于．79.（20年天津卷（文））i是虚数单位. 复数（3＋i）（1－2i）＝ .80.（20年重庆卷（文））已知复数z＝1＋2i （i是虚数单位），则＝.81.（20年上海卷（文科））设m R，m2＋m－2（m2－1）i，是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m＝.82.（20年湖北卷（文））i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝.三、解答题83.（20年上海理19）已知复数z1满意（z1－2）（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．。
2019全国各地高考文科数学试题分类汇编：复数语文
2009－2019年高考文科数学试题分类汇编——复数一、选择题1. （2009年广东卷文）下列n 的取值中，使i n =1 （i 是虚数单位） 22.（2009浙江卷文"％ =1+i （i 是虚数单位），贝咚+Z 2 =3—i3.（2009山东卷文）复数二等于（5.（2。
9天津卷文一是虚数单位,六6.（2009宁夏海南卷文）复数当=（%cR , y G R ）, i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )(A ) I z — z 1 = 2y (B ) z 2=%2+y 2(C ) I z — z |>2% 3—i 10. (2019全国卷2理数)复数()2=()1+i(A )—3—4i (B )—3+4i (C )3—4i11. (2019陕西文数)复数z =-i-在复平面上对应的点位于( 1+i 的是（ (A )n =2(B )n =3(C )n =4(D ) n =5(A )1＋i(B )－1＋i(C ) 1－i (D )(A )1＋2i (B )1－2i(C ) 2＋i(D ) 2－i4. （2009安徽卷文）i 是虚数单位，i （1+i ） 等于(A )1＋i(B )－1－i(C ) 1－i (D ) －1＋i(A )1＋2i(B )－1－2i(C ) 1－2i(D ) －1＋2i(A )1(B )－1(C )(D ) －i7. （2009辽宁卷文） 已知复数z =1—2i ,那么；= () (B)\,5 2 展55 (C)1 +2 i(D)5 —5 i8.（2019湖南文数1） 2复数H 等于（(A) 1＋i(B) 1—i (C) —1+i (D )－1－i(D ) I z 凶%I + I y I(D )3+4i )(D )第四象限（A ）第一象限 （B ）第二象限（0第三象限9. （2019浙江理数）对任意复数z =%+y i1＋2i12. （2019辽宁理数⑵）设a ，b 为实数，若复数赤=1+"则（）(A) a =2 , b =2(B) a =3, b =1(C) a =2 , b =2(D) a =1, b = 313. （2019江西理数）已知（%+i ） （1—i ）= y ,则实数％, y 分别为(A )x =－1，y =1(B) x =－1,y =2(C) x =1,y =1(D) x =1,y =214. (2019 安徽文数(2))已知[2= —1,则 i (1 —\；3 i )= (为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）18. （2019四川理数（1）） i 是虚数单位，计算i +i 2+i 3=（—1＋3i绝（2019天津理数）i 是虚数单位,复数了铉21. （2019广东理数）若复数z 1 = 1 + i ，(A )1＋2i (B )2＋4i(C )(D ) 2－i(A )1＋i (B )5＋5i (C )－5－5i (D ) (A )4＋2 i (B ) 2＋ i (C ) 2＋2 i(D )22. （2019福建文数）i 是虚数单位， /1 +i仁）4等于（）(A )i (B )－i(C )1(D )()(A) \：3 —i(B) \'3 +i (C) — \：3 —i(D) 一，.「+i15.（2019浙江文数）5—i设i 为虚数单位,则再=()(A )－2－3i (B )－2＋3i (C )2－3i(D )2＋3i16.（2019山东文数）a ＋2i已知~i~=b +i （a , b R ）,其中i 为虚数单位，则a +b =（）(A )－1(B ) 1 (C ) (D ) 317. （2019北京文数（2））在复平面内，复数6+5i , －2＋3i 对应的点分别为A , B ，若C(A )4＋8i(B )8＋2i(C ) 2＋4i(D ) 4＋i(A )－1(B )1 (C ) －i (D ) =( )z 2=3 — i ，贝I Z[Z 2=(3＋2i23. （2019全国卷1理数（1））复数;;一—=（）30. （2019年福建文）i 是虚数单位，1 + i 3等于（31. （2019年广东理1）设复数Z 满足（1+i ） z =2,32. （2019年广东文1）设复数z 满足i z =1,其中i 为虚数单位，则z =（ 1＋i33.（2019年湖北理1） i 为虚数单位,则（有）2019=（34. （2019年湖南理1）若a , b e R , i 为虚数单位，且（a +i ） i =b +i ,则(B )a =—1,b =1(A )i (B )—i (C ) 1＋i (D )1—i (A )1＋i (B )1—i (C ) 2＋2i (D ) 2—2i （A ）i (B ) —i (C )12－13i(D ) 12＋13ia ＋2i24. (2019 山东理)已知= b +i(a , b £R ）,其中i 为虚数单位，则a +b =（）(A )－1 (B )1(C )(D )325. （2019安徽理数1） i 是虚数单位，/ 、 1 , 、 1 ,如(A ) 4 -ir I (B )4 + 宣(C ) 1 + 今26(D )i —226.（2019年北京理,复数而()(A )i(B )－i(C )3.4 3(D ) —4+3i27. （2019年福建理）i 是虚数单位， 若集合S ={ —1, 0, 1},则(A) ie S (B) i 2e S(C )i 3e S28. （2019湖北理数）若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ,则表示复数九的点是（ ） (A )E(B )F(C )G(D )H 29. （2019年安徽理 ⑴）设i 是虚数单位,复喏—i 为纯虚数， 则实数a 为（ (A )2(B )—2 (C )(D ) 2其中i 为虚数单位，则Z =（(A )—i(B )i(D )(A )—i (B )—1 (C )i (D )(A )a =1,b =1 )(C ) a = — 1, b = - 1(D ) a =1, b = —11＋2i35. (2019年江西理1)设z = —，则复数z =( )(A )—2—i (B ) —2＋i (C ) 2—i(D ) 2＋i36.(2019年江西文1) 若(%—i ) i =y +2i , %, y R ，则复数 ％+y i = ()(A )—2＋i (B ) 2＋i (C )1—2i (D ) 1＋2i37.(2019年辽宁理1) a 为正实数，L 为虚数单位，1 i , 1 = 2,则a = ()(A )2 (B) \,3(C) *-；2(D ) 1 38.(2019年辽宁文2) i 为虚数单位，1 ,1 ,1,1(、 T +7T+-+-=()i i 3 i 5 i 7(A )0 (B )2i (C )—2i(D ) 4i39. (2019年全国I 理 (1))复数：十：1—:的共轭复数是()(A )—5i (B ) 5i (C )—i(D ) i40. (2019年全国I 文 (3))已知复数 3 +i . .)L(1 一\和 i)2 ,则1"|=((A )4(B ) 2(C )1(D ) 241. (2019年全国H 理(1))复数z =1+i , Z 为z 的共轭复数，则z Z —z —1=()(A )—2i (B )—i(C )i (D )2i2—i布(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()(A )1＋2i (B )2＋4i (C )—1—2i (D )2—i46. (2019年浙江文)若复数z =1+i ,i 为虚数单位，则(1+i ) z = ()(A )1＋3i (B )3＋3i (C )3—i (D )342. (2019年山东理)复数z =(A )第一象限 (B )第二象限 (0第三象限 43. (2019年四川理2)复数一i +；=() (A )—2i (B ) 2i(C ) 0乙—1＋3i44. (2019年天津理1) i 是虚数单位，复数==()1＋2i (A )1＋i(B )5＋5i(C )—5—5i45. (2019年天津文1) i 是虚数单位，复数本 ( ) 1—i (D )第四象限(D )2i(D )—1—i48.12019安徽文1】复数z 满足（z -i ） i =2+i ,则z =（-3＋i49.【2019新课标文2】复数z =丁的共轭复数是（）50.【2019山东文1】若复数z 满足z （2-i ）=11+7i （i 为虚数单位），则为（）52.【2019上海文】若1+亚i 是关于l 的实系数方程％2+bx +c =0的一个复数根，则（）53.【2019辽宁文3】复数六=（部为（ ）57.12102福建文1】复数（2+i ） 2等于（58. 【2102北京文2】在复平面内,复数祟对应的点的坐标为47. （2019年重庆理（1））复数 i 2＋i 3＋i 41－i=() (A )—2—2i(B )—3+o i(C) 2—21(D) 2+2i(A )－1－i (B) 1－I (C) －1＋3i(D )1－2i(A )2＋i(B )2－i (C )－1＋i (D )－1－i(A )3＋5i(B )3－5i(C ) －3＋5i(D )－3－5i51.【2019浙江文2】 已知1是虚数单位，3+i / 则==((A )1－2i(B )2－i (C ) 2＋i (D )1＋2i(A ) b =2, c =3 (B ) b =2，c =－1 (C )b =－2，c =－1(D ) b =－2，c =3(A) 1-2i(B) 2+2i(C ) 1－i (D ) 1＋i54.【2019江西文1】若复数z =1+i （i 为虚数单位）-是z 的共轭复数， 则z 2 + -2的虚 (A )0 (B ) －1 (C )1 (D )55.12019湖南文2】复数z =i （i +1） （i 为虚数单位） 的共轭复数是（(A )－1－i (B )－1＋i (C )1－i(D ) 1＋i56.12019广东文1】设i 为虚数单位，3＋4i则复数三一=（(A )－4－3i(B )－4＋3i(C )4＋3i(D ) 4－3i(A )3＋4i(B )5＋4i (C )3＋2i (D ) 5＋2i(A )(1，3) (B )(3，1) (C )(－1，3) (D ) (3，-1)59. 【2019天津文科1】i 是虚数单位，复数E(A )1－i (B )－1＋i (C )1＋i(D )－1－i60. (2019年辽宁卷(文))复数的z =-1-7模为()i －1(A ) 1(B )(C ) V2 (D ) 222261. (2019 年课标 H 卷(文))l7T^I =() 1＋i(A ) 2\,'2 (B ) 2(C )也(D ) 162. (2019年北京卷(文))在复平面内，复数i (2—i )对应的点位于( ) (A )第一象限 (B )第二象限 9)第三象限(D )第四象限63. (2019年山东卷(文))复数z =■(2—①2 (i 为虚数单位)，则|z |=()(A )—1—2i (C ) 1+2i乙65. (2019年福建卷)复数z = —1—2i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )(A )第一象限 (B )第二象限 (0第三象限 (D )第四象限66. (2019年广东卷(文))若i (%+y i )=3+4i , %, y R ,则复数％+y i 的模是()(A )2 (B )3 (C )4 (D )567. (2019年江西卷)复数z =i (—2—i ) (i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在((A )第一象限(B )第二象限 (0第三象限(D )第四象限68. (2019年四川卷(文))如图，在复平面内，点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( ) 应I .一O W(A ) A (B ) B 度 七(C )C(D )D69. (2019年浙江卷(文))已知1是虚数单位，则(2+i ) (3+i ) = ( )(A )5—5i (B )7—5i (C )5+5i(D )7+5i70. （2019年安徽）设i 是虚数单位，若复数a -7^（a eR ）是纯虚数，则a 的值为（）(A ) 25 (B ) \141 (C ) 5(D ) 5564. (2019年课标I 卷(文)) 1+2i(1—i)2=3－i（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3二、填空题71.（2009江苏卷）若复数q=4+29i, z2=6+9i,其中i是虚数单位，则复数（z 1-z2）i 的实部为一.72.（2009福建卷文）复数i2（1+i）的实部是73.（2019年江苏3）设复数i满足i （z +1）=-3+2i （i是虚数单位），则z的实部是2-i74.（2019年浙江理2）已知复数z=1-,其中'是虚数单位,则1户3＋b i75.【2。
(新课标全国I卷)20102019学年高考数学真题分类汇编专题02复数文(含解析)
专题02复数复数小题：10年10考，每年1题，以四则运算为主，有时与其余知识交汇，难度较小．一般涉及观察看法： 实部、虚部、共轭复数、实数、纯虚数、复数相等、复数的模、对应复平面的点的坐标等．3 i1．（2019年）设z1 2i ，则|z|＝（）A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C3 i3 i 3 i 101 2i1 2i2【分析】由z12i，得|z|5．应选C ．1 i2．（2018年）设z ＝1 i+2i ，则|z|＝（）1A ．0B ．2C ．1D ．2【答案】C1 i1 i 1 i1 i 1 i【分析】z ＝1 i+2i ＝ +2i ＝﹣i+2i ＝i ，∴|z|＝1．应选C ．3．（2017年）以下各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．i （1+i ）2B ．i2（1﹣i ）C ．（1+i ）2D ．i （1+i ）【答案】C【分析】A ．i （1+i ）2＝i?2i ＝﹣2，是实数；B ．i2（1﹣i ）＝﹣1+i ，不是纯虚数；C ．（1+i ）2＝2i 为纯虚数；D ．i （1+i ）＝i ﹣1不是纯虚数．应选 C ．4．（2016年）设（1+2i ）（a+i ）的实部与虚部相等，此中a 为实数，则a 等于（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．3【答案】A【分析】（1+2i ）（a+i ）＝a ﹣2+（2a+1）i ，∵（1+2i ）（a+i ）的实部与虚部相等，∴a ﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．应选A ．5．（2015年）已知复数 z 满足（ z ﹣1）i ＝1+i ，则z ＝（）A ．﹣2﹣iB ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i【答案】C1i1 iiii【分析】由（z ﹣1）i ＝1+i ，得z ﹣1＝i ＝ ＝1 i，∴z ＝2﹣i ．应选C ．16．（2014年）设z ＝1 i +i ，则|z|＝（）123A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】B11 i1 1i 1 12【分析】z ＝1 i1 i +i ＝ ，∴|z|4 4＝2．应选B ．1i +i ＝2 2 ＝1 2i7．（2013年）12i＝（）1111A ．﹣1﹣2i B ．﹣1+2iC ．1+2iD ．1﹣2i【答案】B1 2i12i1 2i 2i2 i11 2【分析】 i＝2i ＝ 2i 2i＝ 2＝﹣1+2i ，应选B ．3 i8．（2012年）复数z ＝2i 的共轭复数是（）A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【答案】D3 i3 i 2 i5 5i3 i2 i2 i【分析】z ＝ 2 i ＝＝5＝﹣1+i ，∴复数z ＝2i 的共轭复数为﹣1﹣i ．应选D ．5i 9．（2011年）复数12i A ．2﹣i ＝（）B ．1﹣2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i【答案】C5i5i 1 2i【分析】12i ＝12i 12i＝﹣2+i ，应选C ．10．（2010年）已知复数z ＝1 A ．4B ．【答案】B3 i123i），则|z|＝（12C ．1D ．23 i3i 1 3 i1 3 i 1 3i 123 2i1221 3i1 3i3i223i ＝2 1 3i ＝24＝【分析】z ＝＝＝3 223 1i 1 14444，∴|z|＝＝2，应选B ．。
(完整版)高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． （–∞，1）B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ． 或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
山东省各地市2024年高考数学(文科)最新试题分类大汇编24：复数-推理与证明
【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】1．已知i 是虚数单位,=-+i i21（ ）A ．i 5151+ B ．i 5351+C ．i 5153+D ．i 5353-【答案】B【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】13．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y = x 与双曲线y = x1的一个交点; 命题2：点(2,4)是直线y = 2x 与双曲线y = x8的一个交点; 命题3：点(3,9)是直线y = 3x 与双曲线y = x27的一个交点; … … .请视察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为： .【答案】),(2n n ） 是直线y=nx 与双曲线yn y 3=的一个交点【山东省济宁市鱼台二中2024届高三11月月考文】6．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -1【答案】D【山东省济宁市汶上一中2024届高三11月月考文】7、计算=+-i i13（ ）A 、i 21+B 、i 21-C 、i +2D 、 i -2【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】6.复数z 满意(12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数z =A.i 31+B. i 31-C. i +3D. i -3【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】16. )(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对随意x 、R ∈y 都有)()()(y x f y f x f +=，若))((,21*1N n n f a a n ∈==，则数列{}n a 的前n 项和n S 为A ．12121+-=n n SB ．1211+-=n n S C.n n S 211-= D ．n n S 2121-=【答案】C【山东省济宁市重点中学2024届高三上学期期中文】11. 若复数3(R,12a iz a i i+=∈-是虚数单位），且z 是纯虚数，则|2|a i +等于( )A ．5B ．210C ．25D ．40 【答案】B【山东省济宁一中2024届高三第三次定时检测文】2．复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【山东省莱州一中2024届高三其次次质量检测】对于连续函数)(x f 和)(x g ,函数|)()(|x g x f -在闭区间［b a ,］上的最大值为)(x f 与)(x g 在闭区间［b a ,］上的“肯定差”，记为b x a x g x f ≤≤∆)).(),((则322221331≤≤-+∆x x)x ,x (= 【答案】103【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】13．若复数312a ii-+（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】6【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】15.在一次演讲竞赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(18)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这8个数据中的平均数，则输出的2S 的值为_ ____【答案】15【山东省青州市2024届高三上学期期中文16．已知数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，则n a = 。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 复数(原卷版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）复数（原卷版）1．(2021年高考全国甲卷文科)已知2(1)32i z i -=+，则z = ( )A ．312i -- B ．312i -+ C ．32i -+ D ．32i --2．(2021年全国高考乙卷文科)设i 43i z =+，则z = ( )A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若312i i z =++，则||=z ( )A ．0B ．1 CD ．24．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)(1–i )4= ( )A ．–4B ．4C ．–4iD ．4i5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若()11+=-z i i ，则z = ( )A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)若(1i)2i z +=，则z = ( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +7．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设()2z i i =+，则z = ( )A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --8．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)设312iz i -=+，则||(z =) ( )A ．2 BCD ．19．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)()()1i 2i +-= ( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)()i 23i += ( )A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+11．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)设1i2i 1i z -=++，则z = ( )A ．0B ．12 C ．1 D12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)复平面内表示复数的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科) ( )i(2i)z =-+(1)(2)i i ++=A ．B ．C ．D ．14．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )A ．B ．C ．D ．15．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)若43i z =+，则||z z = ( )A ．1B ．1-C ．43+i 55D ．43i 55-16．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)设复数z 满足i 3i z +=-，则z = ( )．A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -17．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =( ) A ．3- B ．2- C ．2 D ．318．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若为a 实数,且2i 3i 1i a +=++,则a = ( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．419．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = ( )A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 20．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)131i i +=- ( )Ａ．12i +Ｂ．12i -+Ｃ．12i -Ｄ．12i --21．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设i iz ++=11，则=||z ( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．2 22．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)21i =+ ( )A．B ．2 CD ．123．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)212(1)i i +=- ( ) A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 24．(2012年高考数学课标卷文科)复数32i z i -+=+的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --1i -13i +3i +33i +2(1)i i +2(1)i i -2(1)i +(1)i i +。