平面分析-等参单元
等参单元
5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。
在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。
图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=（5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。
在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。
与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。
表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。
为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。
图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。
04-等参数单元
第四章 等参数单元为了方便应用和提高计算精度，目前许多实用程序采用了等参数单元，取得了较好的效果。
本章从平面问题的任意四边形单元入手，介绍等参数单元的一些基本概念，并根据工程实际应用需要，重点介绍空间六面体等参数单元分析。
§4-1 等参数单元的概念一、平面等参数单元1. 四节点四边形等参数单元在平面问题的有限单元法中，最简单和最常用的是三节点三角形单元，其次是四节点矩形单元。
由于三节点三角形单元采用的是线性位移模式，是实际位移分布的最简单逼近形式，求解精度受到限制。
而四节点矩形单元，由于它的位移函数是坐标的二次函数，单元内的应力不是常量而是线性变化的，所以能比简单三角形单元较好地反映实际应力变化情况。
但是矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界，也不便随意改变大小，应用范围受到很大限制。
如果采用任意四边形单元(如图4-1所示)，而仍采用矩形单元的位移模式，则基本上能够克服矩形单元的上述不足之处。
但是此时在不平行于坐标轴的边界上，由于y=kx(k ≠0)，位移函数为C Bx Axxy y x u ++=+++=24321αααα是坐标的二次函数，这样就不能由边界上二个节点的位移来唯一地确定该边界上的位移，故位移的连续性将得不到保证，其变形协调条件就得不到满足。
采用坐标变换可解决这一矛盾，现说明如下。
在图4-1所示的任意 四边形单元上，用等分四边的两族直线分割该四边形。
以两族直线的中心为原点(ξ=η=0)，并令四边上的ξ值、η值分别为±1,这样就得到一个新的坐标系，单元上的任一点都取一个新的坐标(ξ，η)。
这里的ξ，η是一种局部坐标，只适用于一个单元的范围内。
与此相反，原坐标x ，y 则是一种整体坐标，和以前一样地通用于所有单元的整体。
为确保局部坐标ξ，η和原坐标x,y 有一一对应关系，即存在确定的坐标变换关系，应使任意四边形不能大歪斜，它的任意 一条边的延伸线不能再分割单元(如图4-2)。
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
平面等参元
1.1 等参元刚度矩阵
Ni
x
Bie
0
Ni y
0
Ni y
（i=1，2，…，8）
Ni x
在上式中，Ni 是ξ、η的函数，因此必须用坐标变换式来转 换导数关系，根据复合函数的求导法则，有
Ni x
Ni
x
y Ni Ni
y
x
Ni
J
x Ni
（ i=1，2，…，8）
y y
1.1 等参元刚度矩阵
Ni x
Ni
x
y Ni Ni
y
x Ni
J
x
Ni
y y
式中的J称为雅可比（Jacobi）矩阵，为
x y
J
=
x
y
则
Ni x Ni
形函数N2、N3和N6均是η的二次函数，其余的形函数均为零。
这样变换就成为二次非线性变换，它可将母单元的直边2－3映
射成子单元的曲边2－3。根据等参元的思想，利用上述的形函
数 Ni , ，可得等参元的位移模式为
8
8
u Ni , ui ,v Ni , vi
i 1
i 1
1.1 等参元刚度矩阵
此单元的位移模式为
u a1 a2 a3 a4 2 a5 a6 2 a7 2 a8 2
v b1 b2 b3 b4 2 b5 b6 2 b7 2 b8 2
4
7
3
8
o
6
1
5
2
1.1 等参元刚度矩阵
式中的16个常数用8个节点的位移（ui ，vi ）表示后，则
上式为
8
8
u Ni , ui ,v Ni , vi
J
第5章 等参数单元
等参数单元的基本思想：首先导出规则单元（母单元） 的形函数，然后进行坐标变换，导出对应的不规则单元 的形函数和单元刚度矩阵。
等参数三角形单元应用不多。 等参数的思想，由易到难，由规则单元的特殊情况推广到 不规则单元的一般情况。 等参数单元应用最广，至今国际上流行的大型结构分析软 件中，几乎都包含有等参数单元库。 应用实践表明，采用等参数单元离散结构，可以达到更高 的计算精度，而且结构离散和数据准备工作量相对减少。
等参数单元的优点：
1.应用范围广。在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中 都可应用。 2.将不规则的单元变换成规则的单元后，易于构造位移模 式。
3.在原结构中可以采用不规则的单元，易于适用边界的形 状和改变单元的大小。 4.可以灵活地增减节点，容易构造各种过渡单元。
5.推导过程具有通用性。一维、二维和三维的推导过程基 本相同。
1 1 N 4 L1 ( ) L ( ) 1 2 4 (1 )(1 )
把形函数写成统一的形式：
Ni 1 1 i ) 4 (1 i )(
(i=1,2,3,4)
ξi,ηi表示该节点的相应局部坐标值。
坐标变换
母单元可以按照前面讲述的有限元分析的步骤，直接进行分析。 但母单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复 杂形状。 为解决这个问题，需要用坐标变换的方法，将形状规整的 母单元转换成具有曲线边界、形状复杂的子单元。 这样，对于一个实际结构，就可以采用各种复杂形状的 子单元，在整体坐标系中进行划分来逼近其复杂的曲线或 曲线边界； 每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐 标系下的规整单元（母单元），计算比较简单。
二、等参数单元的概念
平面问题的单元，最简单的是三节点三角形单元，其次是四节点矩形单元。
平面四节点等参单元分析程序
平面四节点等参单元分析程序(总27页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March变分原理与有限元大作业平面四节点等参单元分析程序姓名：潘清学号：SQ10018014033完成时间：2011-4-26一、概述通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件(如ANSYS、ABAQUS、SAP等)进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。
具有较强数值计算和处理能力的Fortran语言是传统有限元计算的首选语言。
随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中，但在实际应用中也暴露出一些问题。
有时网格离散化的区域较大,而又限于研究精度的要求，使得划分的网格数目极其庞大，结点数可多达数万个，从而造成计算中要运算的数据量巨大，程序运行的时间较长的弊端，这就延长了问题解决的时间，使得求解效率降低。
因为运行周期长，不利于程序的调试，特别是对于要计算多种运行工况时的情况；同时大数据量处理对计算机的内存和CPU 提出了更高的要求，而在实际应用中，单靠计算机硬件水平的提高来解决问题的能力是有限的。
因此，必须寻找新的编程语言。
随着有限元前后处理的不断发展和完善，以及大型工程分析软件对有限元接口的要求，有限元分析程序不应只满足解题功能，它还应满足软件工程所要求的结构化程序设计条件，能够对存储进行动态分配，以充分利用计算机资源，它还应很容易地与其它软件如CAD 的实体造型，优化设计等接口。
现在可编写工程应用软件的计算机语言较多，其中C语言是一个较为优秀的语言，很容易满足现在有限元分析程序编程的要求。
C语言最初是为操作系统、编译器以及文字处理等编程而发明的。
随着不断完善，它已应用到其它领域，包括工程应用软件的编程。
近年来，C语言已经成为计算机领域最普及的一个编程语言，几乎世界上所有的计算机都装有C 的编译器，从PC机到巨型机到超巨型的并行机，C与所有的硬件和操作系统联系在一起。
第4章 平面问题的等数参单元√ 有限元
2
2
变换到母单元上的单元刚度矩阵为
[ K ]e h [ B]T [ D][ B] J dd
1 1
(10' )
这个式子中包含雅可比矩阵的逆矩阵，使上式的解析积分相当困 难，因此，通常用数值积分法进行积分。
（见沈永欢：实用数学手册，科学出版社；王勖成：有限单元法，清华大学出 版社）
４单元的等效荷载 体积力的等效荷载 考虑单元内任一点的体积力为
i 1,2,3,4 (11) j 5,6,7,8
实际单元中任一点坐标可用下式表示
x N i ( , ) xi，y N i ( , ) yi
i 1 i 1
8
8
２单元刚度矩阵 几何方程为 u x x x v { } y 0 y xy v u x y y 其中
u 1 2 3 4 2 5 6 2 7 2 8 2 2 2 2 2 v 9 10 11 12 13 14 15 16
(8)
应变可写为
{ } [ B]{ }e
其中应变矩阵为
(6' )
N r x 0 N r y N s x 0 N s y 0 N s y N s x
N i 0 x x [ B] 0 [N ] 0 y N i y x y
1 形函数与坐标变换 在母单元上，取位移函数为 u 1 2 3 4 v 5 6 7 y 8
按照上一章求插值函数的方法，得
第04章 等参数单元
7.1 注意事项
(1) 选择 位移插 值函数 时，自 然坐标系中的形函数 表达式 必须满足满足完备协调条件。 课 本上介绍的各 类等参元都是 完备协调单元。
等参元的 收敛性 (4) 为 了 确保等参元坐标变换 ，在每 一个单元上能 确定整 体坐标与自然坐标之间 的一一 对应关系，使变换真 正能够 进 行 ，必须 使变换 行列式 在 J 整个单元上均 不等于 零。 (5) 实 践证明 ，一般 等参元计算精度最高的所谓 应力佳 点 都在高 斯积分点上， 各边中间节点 其次，角节点 处精度 最 差。 如 果 想得到 节点处 的应力，可以在计算 出高斯积分应 力 后，再 用形函 外插到 节点上 去，这样做可以提高计算精 度。
注意：形函数表达式是自然坐标的函数。两种坐标之
间 的变换一般只 能按上式作正 变换， 逆变换 不存在。
等参元的 基本概 念
形 函数
2 形函数
1.2.2 等参数单元的定义
由于 两坐标系的坐标系变 换与位移插值 采用的 是同一 形状 函 数，亦 即进行 坐标变 换采用的节点数与插 值单元位移所 用的 节 点数相 等，故称此类单元为等参数单元， 简称等参元。 以 一维结构为例加以说明： 考虑 单元内 x 方向位移。令 ui 表示节 点位移， xi 表示节 点 坐标， 则插值公式为
七 等参元的收敛性
详细讲 述有限 元的收敛性、 收敛速 度和收敛精度，需要 涉 及一些专门的数学知识，而且在某些动力 问题和非线性 问题中， 收敛性 问题仍 是有待 解决的有限元高级课 题。 对 于 线性平面问题 ， 有 限元分 析的收敛性和 收敛精度主 要 取决于 位移插 值函数的性质 、单元 剖分的数量和 质量。
4.3 二维高斯积分公式
单元等效节点载荷
平面有限元分析-等参单元
等参元变换的条件为 J ≠ 0 ，因此在有限元网格划分时，要 特别注意这一点。
等参单元等效节点力（4节点）
（1）集中力引起的单元节点载荷
单元内某点受到集中载荷P=[Px Py]T，移置到单元节 点上的等效节点力为：
j
同理 得
dη = ∂x dηi + ∂y dη j
∂η
∂η
∂x dξ
dA =
dξ × dη
=
∂ξ
∂x
dη
∂µ
∂y dξ ∂x
∂ξ
∂y
dη
=
∂ξ
∂x
∂η ∂µ
∂y
∂ξ
∂y
dξdη
∂η
等参单元刚度（4节点）
因为
∂x ∂y
J
=
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η ∂η
雅可比行列式 Jacobi
曲边面积元dA:
dA = J dξdη
8 平面问题有限元分析 等参单元
8.1等参曹单国元华刚度（4节点） 8.2等参单元等效节点力（4节点） 8.3矩形单元（8节点） 8.4等参单元（8节点） 8.5高斯积分法
等参单元刚度（4节点）
4
4
=u ∑= Ni (ξ ,η )ui ,v ∑ Ni (ξ ,η )vi
=i 1 =i 1
4
4
=x ∑= Ni (ξ ,η ) xi , y ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
4
y = ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
第三章--等参数单元(等参元)
Fab
ax bx
ay by
x d x d
y d y d
而 F ab 又可以看成是在整体坐标中的微分面积Fabdxd，y故有
dd x y x xd d
y yd d x x
y
yddJdd
（3-15） 式中
x y
J
x
y
(3-15)’
为了进一步阐明和计算任意四边形等参元的单元刚度矩阵k e
然后，将式(3-19)代入 B 中，就把 B 的各元素化成 ,的函
数；再将式(3-17)代入式(3-15)，并将式(3-15) 及 B 代入
ke BTDBtdxd ，就y把 k e的每个元素化成对局部坐标
,
A
的重积分
k e1
1B T D B tJdd，其被积函数
1 1
都是 和的复杂函数，对于各单元的应力 也可以化成是和
根据上述已求得的 J，J 及 J 1 等函数表达式，就可以将
及 k e表达式中的有关B 及 dx dy都换成局部坐标的函数表达式。
此时，任意四边形等参元的一切计算都可以立足在局部坐标系下进 行了。
首先，由式(3-13)引出：
N i
x N i
J
1
N i
N i
y
4
( a1a 4 a 2 a 3 ) ( Ba 1 Aa 2 ) ( Aa 4 Ba 3 )
的函数式。
应该指出，k e 中的每个元素都含有对和 的重积分，尽管
其积分区域变得十分简单，而其被积函数都比较复杂，需要采用数
值积分（通常是采用高斯求积法），由于任意四边形等参元的应力
是和 的函数，因此在求解单元应力时，必须指明是求哪一
由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满 足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式 (3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形 单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍然是连续的，两相邻 单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠 和开裂现象。
有限元分析第5章 平面矩形单元与平面等参单元
f
1 1
x3 y3
f
1 1
x3 y3
f
1
1
求出待定系数，得
xN1x1N2x2N3x3N4x4 yN1y1N2y2N3y3N4y4
其中： N 1
1 1 1
r,si, j,m,k
平面矩形单元小结
1. 优点：矩形单元的应力、应变为一次线性函 数，精度要比三角形三节点高；
2. 不足：实际问题很难用4节点矩形单元划分， 特别是边界适合性不强；
3. 问题：能否构造一种任意四边形单元，则在 提高精度得前提下，边界适应性还强？
等参单元
二、平面等参单元
等参单元（iso-parametric element）的概念
um
vi i (xi , yi)
vj
e
uj
ui
j (xj , yj)
一、平面矩形单元
b
vk uk
k (xk, yk)
vi
(xi, yi)
i
u
i
a
y, x,
a
vm
m
um
(xm, ym)
vj j
(x , y )
jj
uj
b
矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三 角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的 位移状态和应力状态。
J
1
N i
y
x
J
等参数单元
k17 . . . . . . k87
k18 . . . . . . k88
CUST
4.3
空间20节点六面体等参数单元
16 14 15 14 19 18
16 15 19
18
11
母单元 边长为2的立方体基本单元
等参数单元 二十节点曲棱曲面六面体实际单元
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8 e
B是关于、的函数
N i x Bi 式中： 0 N i y 0 N i y N i x
i 1、 2、 38
CUST
3.单元应力
单元内的应力表达式为
CUST
1.单元位移函数 ：
等参数的位移函数主要取决于单元的形函数，它即反映 单元的位移状况，也反映单元的几何形状。由于各种实 际单元都可看成由相同节点数的标准单元变换而成，因 此，讨论实际单元的位移函数只需分析标准单元局部坐 标系下表示的位移函数。
N1 0 0 e N8
f N e
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
N5 0
0 N5
N6 0
0 N6
N7 0
0 N7
N8 0
CUST
式中的形函数分别为：
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8
ห้องสมุดไป่ตู้
1 (1 )(1 )( 1) 4 1 (1 )(1 )( 1) 4 1 (1 )(1 )( 1) 4 1 (1 )(1 )( 1) 4 1 (1 2 )(1 ) 2 1 (1 2 )(1 ) 2 1 (1 2 )(1 ) 2 1 (1 2 )(1 ) 2
第5章 平面问题有限元分析-等参单元
2020/6/30
平面问题有限元分析-等参单元
2
5.1四节点矩形单元位移函数
如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、
宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，即 共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同样 可以完成对矩形单元的力学特性分析。
y
4 3
2b
o
1
2a
2
o
x
2020/6/30
14
5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵
由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常
应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相
当于xy项），把这种位移模式称为双线性模式。在这种模 式 下 ， 单 元 内 的 应 变 分 量 将 不 再 是 常 量 ， 这 一 点 可 以 从Be 的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的1 ~ 7 与 三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单
求出α1, α2, α3, α4；α 5, α 6 , α7 , α8
u1 1 1 1
u2 1 1 1
u3 1 1 1
1
u4 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 u1
23 4
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
uu23 u4
5 1 1 1 1 v1
K
e rs
4ab
Et 1
2
K1
K3
K2
K4
式中：
K1
b2rs
1
rs
3
1
等参单元
§6.2 平面四节点等参单元
• 该局部坐标系使得在x-y平面上的任意四边形与ξ-η平面上的正 方形之间形成了1-1对应的映射。正方形的4个顶点对应任意四边 形单元的四个节点； 4条边对应任意四边形单元的4条边；正方形 内任一点p(ξ,η)对应于任意四边形内一点p(x,y)。
• 称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元。x-y平面内的 任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然，母单元的节点对 应于不同的x，y坐标就得到不同的任意四边形单元。
0
N
i
y
0
Ni y
(i
1,2,3,4)
N
i
x
第六章 等参单元
§6.2 平面四节点等参单元
2）刚度矩阵积分式的坐标变换
• 对平面问题的四节点等参元，单元刚度矩阵由下式决定：
k e e BT DBhdxdy
积分区域是x-y坐标系下的任意四边形。
其中，形函数为：
Ni
1 4
(1 i )(1 i)
(i=1,2,3,4)
i ,i 为i节点的局部坐标。
显然该位移模式在ξ,η坐标系下是双线性位移模式，在x，y坐标
系下不是双线性位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标
为常数，因此位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。
i 1
Ni
1 4
(1
i )(1 i)
(i=1,2,3,4)
第六章 等参单元
§6.2 平面四节点等参单元
• 这样就得到一个事实上的映射，只要验证该映射把母单元映射成 实际单元，就是所需要的映射，实际单元上局部坐标系就满足前 面规定的要求。而事实上正是如此。
7平面分析-等参单元-1-PPT精选文档
x2 x3 x4 x5 x4 y x3 y x2 y x3 y 2
v 5 6 7 8
x2 y 2
对称轴
该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上 式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程 ，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8
2019/3/22 平面问题有限元分析-等参单元 6
2019/3/22
平面问题有限元分析-等参单元
5
7.1四节点矩形单元位移函数
由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8个待 定参数的位移模式，如下 常数项
C
x
y xy y2 xy 2 x2 y3 y3 xy 3 y4 xy 4 y5
线性项 二次项 三次项 四次项 五次项
u 1 2 3 4
式中：x o 、y
o
——矩形形心处坐标。
y 4 3
矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算
x0 ( x1 x2 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 y0 ( y2 y3 ) / 2 ( y1 y4 ) / 2 a ( x2 x1 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1 ) / 2
7.1四节点矩形单元位移函数
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
4(-1,1)
3(1,1)
u1 1 1 1 1 1 u 1 1 1 1 2 2 u3 1 1 1 1 3 u 1 1 1 1 4 4
o
1(-1,-1)
2(1,-1)
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v1
u2
0 N4
uv23
v3
u4
v4
4(-1,1)
o
1(-1,-1)
f N e e
3(1,1)
2(1,-1)
式中： Ni ——矩形单元的形函数，i＝1，2，3，4；
N—e —形函数矩阵； e ——单元节点位移列阵，i ui viT，i＝1，2，3，4。
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平面问题有限元分析-等参单元
6 7
8
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
vv23 v4
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平面问题有限元分析-等参单元
8
7.1四节点矩形单元位移函数
ue
u
v
N1
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
4
4
u Ni , ui ,v Ni , vi
i 1
i 1
u1
平面问题有限元分析-等参单元
3
6.1四节点矩形单元位移函数
这里引入一个局部坐标系、，这样可以推出比较 简洁的结果。如图所示，取矩形单元的形心o为局部坐标系 的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在
有以下的坐标变换关系
x xo a
y yo b
式中：xo、yo ——矩形形心处坐标。
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平面问题有限元分析-等参单元
11
7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵
有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程 求出单元内任意点的应变，将位移代入几何方程，得
1
e B1e
B2e
B3e
B4e
2 3
Be
e
4
式中的应变转换矩阵Be的子块 Bie（i＝1，2，3，4）为
9
7.1四节点矩形单元位移函数
N
e
N1
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
N1e
N
e 2
N
e 3
N
e 4
Nie
Ni I
=
Ni
1 0
0 1
（i＝1，2，3，4）
形函数的表达式为
N1
1 4
1
1
N2
1 4
1
1
N3
1 4
1
1
N4
1 4
1
1
4(-1,1)
7 平面问题有限元分析
等参单元
7.1四节曹点国矩华形单元位移 函数 7.2四节点矩形单元应变与应力矩
阵
7.3四节点矩形单元刚度矩阵
7.4等参单元
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平面问题有限元分析-等参单元
1
7.1四节点矩形单元位移函数
虽然三角形单元具有很好的“适应性”，几乎任何 复杂边界的弹性体总可以划分为三角形，并且三角形单元计 算公式简单，但精度较低。
矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算
x0 y0 a(
x((2xy12x1xy)23)/)/2/22( x((3xy31x4xy)44)/)/2/22
b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1) / 2
y 4
2b 1
o
3
o
2 2a
x
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平面问题有限元分析-等参单元
由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8
个待定参数的位移模式，如下
C
常数项
xy
线性项
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
x2 xy y2 x3 x2 y xy2 y3 x4 x3 y x2 y2 xy3 y4
二次项 三次项 四次项
x5 x4 y x3 y2 x2 y3 xy4 y5 五次项
三角形单元间虽然能够保证位移连续，但应力的精 度较差，不能很好的反映弹性体内应力的准确分布规律。 为了提高计算精度，准确反映弹性体内的应力状态，可以 采用一些较精密的单元类型。
本节将介绍常用的矩形单元，它采用了比常应变三 角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹 性体中的位移状态和应力状态。另外，对一些边界比较 规则且呈直线的平面结构的分析，采用矩形单元较合适。 这时单元总数可以减少，相应的原始数据准备工作和单 元特征计算工作均可节省。
Ni x
4
7.1四节点矩形单元位移函数
y 4
2b
1
3
o
2 2a
4(-1,1)
3(1,1)
o
o
x
1(-1,-1)
2(1,-1)
在局部坐标系中，节点i的坐标是 (i ,i ) ，其值分别
为±1。如节点1在局部坐标系下的坐标为（－1，－1）。
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7.1四节点矩形单元位移函数
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2
7.1四节点矩形单元位移函数
如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的
长、宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，
即共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同 样可以完成对矩形单元的力学特性分析。
y
4 3
2b
o
1
2a
2
o
x
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o
1(-1,-1)
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平面问题有限元分析-等参单元
3(1,1)
2(1,-1)
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7.1四节点矩形单元位移函数
引入符号0 i 0 i ， 4，则上式可以统一写为
Ni
1 4
1 0 10
，i＝1，2，3，
可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形 函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有 “本点是1、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个 形函数之和等于1；单元任意一条边上的形函数，仅与该边 的两端节点坐标有关。有关证明过程比较简单，请自行推导。
求出α1, α2, α3, α4；α 5, α 6 , α7 , α8
u1 1 1 1
u2 1 1 1
u3 1 1 1
1
u4 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 u1
23 4
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
uu23 u4
5 1 1 1 1 v1
对称轴
该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上 式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程
，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8
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7.1四节点矩形单元位移函数
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
4(-1,1)
u1 1 1 1 1 1
uu23 u4
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
23 4
v1 1 1 1 1 5
vv23 v4
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 176 8 Nhomakorabea 2020/10/14
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o
1(-1,-1)
3(1,1)
2(1,-1)
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7.1四节点矩形单元位移函数