平面分析-等参单元

三角形单元间虽然能够保证位移连续，但应力的精 度较差，不能很好的反映弹性体内应力的准确分布规律。 为了提高计算精度，准确反映弹性体内的应力状态，可以 采用一些较精密的单元类型。
本节将介绍常用的矩形单元，它采用了比常应变三 角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹 性体中的位移状态和应力状态。另外，对一些边界比较 规则且呈直线的平面结构的分析，采用矩形单元较合适。 这时单元总数可以减少，相应的原始数据准备工作和单 元特征计算工作均可节省。
对称轴
该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上 式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程
，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8
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7.1四节点矩形单元位移函数
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
4(-1,1)
u1 1 1 1 1 1
7 平面问题有限元分析
等参单元
7.1四节曹点国矩华形单元位移 函数 7.2四节点矩形单元应变与应力矩
阵
7.3四节点矩形单元刚度矩阵
7.4等参单元
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7.1四节点矩形单元位移函数
虽然三角形单元具有很好的“适应性”，几乎任何 复杂边界的弹性体总可以划分为三角形，并且三角形单元计 算公式简单，但精度较低。
uu23 u4
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
23 4
v1 1 1 1 1 5
vv23 v4
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
76 8
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o
1(-1,-1)
3(1,1)
2(1,-1)
7
7.1四节点矩形单元位移函数
Ni x
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3
6.1四节点矩形单元位移函数
这里引入一个局部坐标系、，这样可以推出比较 简洁的结果。如图所示，取矩形单元的形心o为局部坐标系 的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在
有以下的坐标变换关系
x xo a
y yo b
式中：xo、yo ——矩形形心处坐标。
矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算
x0 y0 a(
x((2xy12x1xy)23)/)/2/22( x((3xy31x4xy)44)/)/2/22
b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1) / 2
y 4
2b 1Βιβλιοθήκη Baidu
o
3
o
2 2a
x
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v1
u2
0 N4
uv23
v3
u4
v4
4(-1,1)
o
1(-1,-1)
f N e e
3(1,1)
2(1,-1)
式中： Ni ——矩形单元的形函数，i＝1，2，3，4；
N—e —形函数矩阵； e ——单元节点位移列阵，i ui viT，i＝1，2，3，4。
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o
1(-1,-1)
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平面问题有限元分析-等参单元
3(1,1)
2(1,-1)
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7.1四节点矩形单元位移函数
引入符号0 i 0 i ， 4，则上式可以统一写为
Ni
1 4
1 0 10
，i＝1，2，3，
可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形 函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有 “本点是1、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个 形函数之和等于1；单元任意一条边上的形函数，仅与该边 的两端节点坐标有关。有关证明过程比较简单，请自行推导。
4
7.1四节点矩形单元位移函数
y 4
2b
1
3
o
2 2a
4(-1,1)
3(1,1)
o
o
x
1(-1,-1)
2(1,-1)
在局部坐标系中，节点i的坐标是 (i ,i ) ，其值分别
为±1。如节点1在局部坐标系下的坐标为（－1，－1）。
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7.1四节点矩形单元位移函数
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7.1四节点矩形单元位移函数
如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的
长、宽分别为2a、2b。矩形单元有4个节点，共8个自由度，
即共有8个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同 样可以完成对矩形单元的力学特性分析。
y
4 3
2b
o
1
2a
2
o
x
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7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵
有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程 求出单元内任意点的应变，将位移代入几何方程，得
1
e B1e
B2e
B3e
B4e
2 3
Be
e
4
式中的应变转换矩阵Be的子块 Bie（i＝1，2，3，4）为
6 7
8
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
vv23 v4
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7.1四节点矩形单元位移函数
ue
u
v
N1
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
4
4
u Ni , ui ,v Ni , vi
i 1
i 1
u1
求出α1, α2, α3, α4；α 5, α 6 , α7 , α8
u1 1 1 1
u2 1 1 1
u3 1 1 1
1
u4 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 u1
23 4
1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
uu23 u4
5 1 1 1 1 v1
由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8
个待定参数的位移模式，如下
C
常数项
xy
线性项
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
x2 xy y2 x3 x2 y xy2 y3 x4 x3 y x2 y2 xy3 y4
二次项 三次项 四次项
x5 x4 y x3 y2 x2 y3 xy4 y5 五次项
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7.1四节点矩形单元位移函数
N
e
N1
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
N1e
N
e 2
N
e 3
N
e 4
Nie
Ni I
=
Ni
1 0
0 1
（i＝1，2，3，4）
形函数的表达式为
N1
1 4
1
1
N2
1 4
1
1
N3
1 4
1
1
N4
1 4
1
1
4(-1,1)