非正弦函数有效值

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29第二十九讲有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

I = 1 T
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测对于同一非正弦周期电流，量时，会得到不同的结果。例如：量时，会得到不同的结果。例如：用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流用磁电系仪表（直流仪表）测量，的恒定分量；的恒定分量；用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适因此，在测量非正弦周期电流和电压时，的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W

对非正弦电压的有效值及电表读数的探讨

（）弦整流半波的展开式１正
正弦整流半波的波形如图２所示，则在区间［丌，上一丌］的函数关系式为分段函数，即
Ｕ￡（）＝０一７≤ ｃ ≤ ０，ｒｏｔ；Ｕ（）＝Ｕ＿ｉｃ，ｔ删ｎｏ０＜６ ≤ ７．ｓｔ０ｒ
“
（当＝２４、、
，
由题意可知，电热毡输入的是正弦交变电压，入保温进
状态时，经二极管半波整流，出非正弦的半波脉动直流电输压，么由交流电压表测量这个非正弦电压的读数是多少那
ａ：
０・ｏｎ＋ｃｓｘｄ
Ａｓｊ
辽宁凌源
１２０）２５０
由高等数学知识司知，对于周期为２ｒｚ的函数ｆｘ）其展（，开成三角级数的公式为
装置Ｐ使输入电压变为图ｌｂ（）所示波形，而进入保温状从
厂）ｏ（＝ａ＋∑（Ｏ．＋ｎ）￣ｎ６ｉｘ，ＳＴｓｎ
电
执
ｂ＝专Ｉｆｘ・ｎｄ，０１， … ．（）ｓｎｘ（，２，）ｉｘ＝，３
对于不问断的连续图象，无穷级数收敛于 “ ｔ． “ ￡（）设（）
丝
＝ｆｘ）下面利用系数公式求展开式中的系数：（，
（）ａ（）ｂ
图ｌ
２Ａ０＿＿。。：＿＿’ １：０，０＝ａ ’ ＝
式中系数的求解公式为
＝
态，若电热丝电阻保持不变，交流电压表的读数是此时
Ａ．１１０ＶＢ．５１６ＶＣ．２２０ＶＤ．１２１Ｖ

电工技术-第十二章非正弦交流电

❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下，电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中所遇到的各种波形的周期信号，都可以由许多不同频率的正弦波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路的各电流分量（或电压分量）进行叠加，即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次对称性。
《电工技术》
第十二章非正弦交流电
12-1 非正弦量的（傅里叶级数）分解与计算

第5章非正弦周期信号电路

第5章非正弦周期信号电路
§5.1 周期Biblioteka 号的傅里叶级数 §5.2 非正弦周期信号的平均值、有效值和非正弦
周期信号电路的平均功率 §5.3 非正弦周期信号电路的谐波分析法
后一页退出
本章基本要求
1.了解非正弦周期信号及谐波的概念。 2.理解和掌握非正弦周期信号的有效值，非
正弦周期信号电路的谐波分析法及平均功率的计算。
•
•
U om1
•
R I m1
R U im1
10V
Z1
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（3）将直流分量及谐波分量分别激励时响应电压的瞬
时值叠加得 uo 10 sin 1tV
即输出响应电压与激励电压的一次谐波近似相等。本例中，由于电容的隔直流作用，在输出响应电压中
没有直流分量；又由于容抗和频率成正比，
适当选择电路参数，使 R 1 ，输入激励电压
1C
ui中的正弦分量就几乎全部作用在电阻元件上。在电子技术中，这种电路称为RC耦合电路，被广泛用于低频放大器中。
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本章小结
本章重点内容为非正弦周期信号线性电路的谐波分析，非正弦周期信号有效值以及非正弦周期信号线性电路的平均功率计算。 1.电工技术中常见的非正弦周期信号都可以被分解为一系列与该信号频率成整数倍的正弦分量，也称为该信号的谐波分量，即
An an2 bn2
演示
n
arctan
an bn
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§5.2 非正弦周期信号的平均值、有效值
和非正弦周期信号电路的平均功率
一、平均值 f (t) a0 [ Ansin(n1t n )
Iav
1 T

非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率

k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间，才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波，次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着频率的增加振幅衰减。这种规律体现在频谱图中。方波信号的频谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整流波
波形图
傅立叶级数

非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值,平均值和平均功率,非正弦周期电流电路的计算

振幅角频率初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波分量的代数和。
10
例周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频率变化的图形称为相位谱。
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
电子示波器内的水平扫描电压锯齿波自动控制计算机等领域的脉冲电路中的脉冲信号和方波信号脉冲电流方波电压非正弦周期电路的分析把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号称为非正弦周期信号的各次谐波
第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)

交变电流的有效值及计算方法

交变电流的有效值及计算方法
在交流电路中，电流的有效值是指在交变电流周期内具有相同功率效果的恒定
电流值。

有效值是电流波形的均方根值，通常用符号Irms表示。

计算交变电流的
有效值需要考虑电流的波形，因为交变电流是随时间变化的，其大小和方向都在不断变化。

对于正弦波交变电流，可以直接使用以下公式来计算有效值：
Irms = Imax / √2
其中，Irms表示有效值，Imax表示交变电流的最大值。

这个公式适用于正弦
波形的交变电流，因为正弦波形的电流在一个周期内的变化规律是已知的。

对于非正弦波形的交变电流，计算有效值就需要通过积分计算。

首先需要将电
流波形表示为一个函数，然后对波形的平方进行积分，最后再将积分结果除以一个周期的长度来计算有效值。

这个过程比较繁琐，一般通过计算机软件来进行。

在实际工程中，交变电流的有效值对于电路设计和电器选择都非常重要。

有效
值可以用来计算电流的功率，评估电路的安全性，以及选择适当的电器设备。

因此，对交变电流的有效值进行准确计算是非常重要的。

总的来说，交变电流的有效值是指交变电流的均方根值，计算方法取决于电流
波形的形式。

对于正弦波形的交变电流，可以直接使用简单的公式来计算有效值；对于非正弦波形的交变电流，则需要通过积分计算来得到准确的结果。

有效值的计算对于电路设计和电器选择都有重要的意义，因此在实际工程中需要进行准确的计算和评估。

非正弦周期电流i的有效值

所以：u(t) 4Um (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sinkt )

3
5
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解：锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
T 0.2ms 0.0002s
奇函数（原点对称）
f t f t
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个周期内的积分
为零
当 f t 是奇函数时，f t cos kt 也是一个奇函数，因而有：
1T
A0
f (t)dt 0
T0
2
AK
T
f (t)cos ktdt 0
2 2 3.14 rad s 31400rad s
T 0.0002 I m 10 A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 53.18sin 31400t 1.59sin 62800t 1.06sin 94200t A
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
1T
Iav T 0 i dt
非正弦周期电流在一周期内绝对值的平均值称为该电流
的平均值
磁电式仪表（直流仪表）可以测量
直流分量
用电磁式或电动式仪表测量
所得结果是
有效值
用全波整流
磁电式仪表测量所得
结果是电流的
平均值
平均功率：
i
u
无源二端网络

u U0 Umk sinkt uk k 1

2019高三专题突破64交变电流有效值的计算与“四值”的理解应用Word版含解析

专题64交变电流有效值的计算与“四值”的理解应用一、计算交变电流有效值的方法1．利用有效值的定义计算(非正弦式电流)交变电流的有效值是根据电流的热效应(电流通过电阻生热)进行定义的，所以进行有效值计算时，要紧扣电流通过电阻生热(或热功率)．注意“三同”：即“相同电阻”，“相同时间”内产生“相同热量”．计算时“相同时间”要取周期的整数倍，一般取一个周期．2.公式法利用E ＝E m2、U ＝U m2、I ＝I m2计算，只适用于正(余)弦式交变电流．3. 多种形式组合的有效值的计算（1）分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量．（2）利用两个公式Q ＝I 2Rt 和Q ＝U 2Rt 可分别求得电流有效值和电压有效值．（3）若图象部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的14(但必须是从零至最大值或从最大值至零)和12周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I ＝I m 2、U ＝U m2求解．【典例1】如图所示为一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是( )． A ．5 2 AB ．5 AC ．3.5 2 AD ．3.5 A 【答案】 B【典例2】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B .电阻为R 、半径为L 、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O 轴以角速度ω匀速转动(O 轴位于磁场边界)．则线框内产生的感应电流的有效值为( )．A.BL 2ω2RB.2BL 2ω2RC.2BL 2ω4RD.BL 2ω4R【答案】 D【解析】线框转动的角速度为ω，进磁场的过程用时18周期，出磁场的过程用时18周期，进、出磁场时产生的感应电流大小均为I ′＝12BL 2ωR，则转动一周产生的感应电流的有效值I 满足：I 2RT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12BL 2ωR 2R ×14T ，解得I ＝BL 2ω4R ，D 项正确．【典例3】如图所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波式的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，经过1 min 的时间，则( )A ．图甲所示交变电流的有效值为33 A B ．图乙所示交变电流的有效值为22A C ．两电阻消耗的电功之比为1∶3D ．两电阻消耗的电功之比为3∶1 【答案】AC【跟踪短训】1．某交流电的电流随时间变化图像如图所示，则此交变电流的有效值为A． l A B． 3 A C． D． 2 A【答案】C【解析】据有效值的定义可得：，代入数据解得：此交变电流的有效值。

非正弦周期函数的有效值和平均功率

iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算

T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅角频率初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j

第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱

k
)
其中:
A
0
：恒定分量 (直流分量)
：一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1

(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A

sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A

(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T

k

cke
jk 1 t

T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、说明：
因为：且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P

k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k

电流有效值计算公式

电流有效值计算公式对于正弦交流电流，其有效值等于其峰值电流的0.707倍。

换句话说，如果交流电流的峰值电流是I0，则其有效值为Irms = I0 × 0.707、这个公式适用于正弦交流电流的情况。

然而，在实际应用中，很多交流电流并不是正弦波形的，且频率也不一定一致。

为了计算这种非正弦波形交流电流的有效值，需要用到实际信号的波形特征。

为了计算非正弦波形交流电流的有效值，可以利用均方根法。

均方根法将交流电流信号平方后取均值，然后再开平方根。

这样可以保留原始信号的幅值信息，并且忽略它的相位信息。

设交流电流信号为I(t)，其平方为I2(t)。

令周期为T，则有：I2(t) = I1²sin²(ωt + φ1) + I2²cos²(ωt + φ2) +I3²sin²(ωt + φ3) + ...其中，I1, I2, I3...为不同频率的分量幅值，φ1, φ2, φ3...为不同频率的分量相位差。

根据均方根法，交流电流的有效值Irms可以通过以下公式计算：Irms = √[ (1/T)∫T[I2(t)dt] ]展开计算可得：Irms = √[1/T ∫T(I1²sin²(ωt + φ1) +I2²cos²(ωt + φ2) +I3²sin²(ωt + φ3) + ... )dt]将其中的正弦函数和余弦函数用它们的关系式转换为三角函数形式：sin²(ωt + φ) = (1 - cos(2ωt + 2φ))/2cos²(ωt + φ) = (1 + cos(2ωt + 2φ))/2代入原公式得：Irms = √[1/(2T) ∫T(I1²(1 - cos(2ωt + 2φ1)) + I2²(1 + cos(2ωt + 2φ2)) + I3²(1 - cos(2ωt + 2φ3)) + ... )dt]由于整个信号周期的积分值是一样的，所以可以将积分项化简为：Irms = √[1/2(I1² + I2² + I3² + ...) ]从上述公式可以看出，计算交流电流的有效值需要对不同频率的分量幅值进行平方求和，然后再开平方根。

第6章非正弦周期信号电路

14
第 6 章非正弦周期信号电路
15
第 6 章非正弦周期信号电路
当k为奇数时，当k为偶数时，由此可得
16
第 6 章非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
17
第 6 章非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
18
第 6 章非正弦周期信号电路
第 6 章非正弦周期信号电路
第 6 章非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如电子示波器中
47
第 6 章非正弦周期信号电路
同理，电压平均值的表示式为 (6-10)
比较式(6-3)、(6- 6)、(6-9)可以看出，非正弦交流电路中的直流分量、有效值和平均值是三个不同的概念，应加以区分。
48
第 6 章非正弦周期信号电路
例6.6 已知半波整流电压的最大值为150 V，若分别用电磁式电压表、磁电式电压表和全波整流式电压表对其进行测量，求各电压表的读数。
28
第 6 章非正弦周期信号电路
画一个直角坐标，以谐波角频率kω为横坐标，在各谐波角频率所对应的点上，作出一条条垂直的线叫做谱线。如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅，这样画出的图形称为振幅频谱图，如图6.9所示。
29
第 6 章非正弦周期信号电路
图 6.9 振幅频谱图
30
第 6 章非正弦周期信号电路

周期性非正弦电流、函数的谐波分析和傅里叶级数、电流的有效值、电路的平均功率相关知识讲解

的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率电压电流相乘才形成平均功率）。
例已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)

电工学课件第5章-非正弦周期电流的电路

5.2 非正弦周期量的有效值
一、平均值
若
u U0 U km sin(kwt k )
k 1
则其平均值为： (直流分量)
U AV
1
2
02 udwt
U0
平均值
面积周期
二，有效值
若 i I0 Ikm sin(kwt k )
k 1 则有效值:
I 1 T i2dt
T0
1 T
T 0
I0
WA i
u
R
求（1）电流的瞬时表达式;
（2） A 、V 的读数； V
（3） W 的读数.
解: I1 U1 4A
R
I 3 U 3 3A R
i1 4 2 sin(wt 30o )A i3 3 2 sin(3wt 60o )A
电流i的瞬时表达式 i 4 2 sin(wt 30o ) 3 2 sin(3wt 60o )A
o
t
T
5.1 非正弦周期量的分解
i e1 E0
e e1
E0
0
已知E0为直流电源, e1为正弦信号源
该电路总电动势为
R e E0 e1 E0 E1m sinw t
其波形如图所示,显然不是正弦量电路中的电流也不是正弦量
E1m
i e E0 E1m Sinwt
RR R
wt
由此题可知:
直流电量+正弦交流电量=非正弦周期电量
第5章非正弦周期电流的电路
目录
5.1 非正弦周期量的分解 5.2 非正弦周期量的有效值 5.3 非正弦周期电流的线性电路的计算 5.4 非正弦周期电流电路中的平均功率
概述
一. 非正弦周期交流信号的特点
不是正弦波按周期规律变化

第10章非正弦周期电流电路

P0 P1 P2 ......
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有
P I 2R I02R I12R I22R Ik2R
注意
1. 只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。非同频率的平均功率为零。
10.3 有效值、平均值和平均功率
非正弦周期函数的有效值

若 i(t ) I0 Ikmcos(kω1t ψk )
则有效值:
k 1
I 1 T i2dt
T0
1 T
T

2
0
I0

Ikmcos kω1t
k 1
ψk
dt
I
I
2 0

1 2
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数
的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为
频谱图或频谱。
1. 幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份
2. 电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。
3. 有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波” ，这种说法对吗？为什么？
4. 试述谐波分析法的应用范围和应用步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f(t) = f(t+kT) (k = 1, 2, 3, …) 若满足狄里赫利条件
非正弦周期量 (激励)
不同频率正弦量的和

电工基础第八章非正弦周期电流电路

3.视在功率
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect

1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率）根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)

a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的

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第十二章电路定理一、教学基本要求1、了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。

2、理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。

3、掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器的概念。

二、教学重点与难点教学重点：1、非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2、非正弦周期电流电路的平均功率3、非正弦周期电流电路的计算方法叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。

教学难点：1、叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2、非正弦周期电流电路功率的计算三、本章与其它章节的联系：本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。

非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。

四、学时安排总学时：4五、教学内容§12.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。

在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。

图 12.1 为一些典型的非正弦周期信号。

（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波图12.1本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。

采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。

§12.2周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。

注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、a、b k，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波k分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。

如以下几种周期函数值得注意：(1) 偶函数波形对称于纵轴，如图 12.2 所示，图 12.2满足：(2) 奇函数波形对称与原点如图 12.3 所示，图 12.3满足：(3) 奇谐波函数波形镜对称如图 12.4 所示，图 12.4满足：(4) 若函数是偶函数又是镜对称时，则只含有奇次的余弦项，即(5) 若函数是奇函数又是镜对称时，则只含有奇次的正弦相，即实际中所遇到的周期函数可能较复杂，不易看出对称性，但是如果将波形作一定的平移，或视为几个典型波形的合成，则也能使计算各次谐波的系数简化。

例12-1 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。

例 12 — 1 图解：周期性方波电流在一个周期内的函数表示式为：各次谐波分量的系数为：（ K 为奇数）因此，的傅里叶级数展开式为：即，周期性方波可以看成是直流分量与一次谐波、三次谐波、五次谐波等的叠加，如下图所示。

例12-2 给定函数f(t) 的部分波形如图所示。

为使f(t) 的傅里叶级数中只包含如下的分量：(1) 正弦分量；(2) 余弦分量；(3) 正弦偶次分量；(4) 余弦奇次分量。

试画出f(t) 的波形。

例 12 — 2 图解：(1) f(t) 的傅里叶级数中只包含正弦分量，说明f(t) 为奇函数，对原点对称，可用下图波形表示。

(2) f(t) 的傅里叶级数中只包含余弦分量，说明f(t) 为偶函数，对坐标纵轴对称，可用下图波形表示。

(3) f(t) 的傅里叶级数中只包含正弦偶次分量，可用下图波形表示。

(4) f(t) 的傅里叶级数中只包含余弦奇次分量，可用下图波形表示。

§12.3有效值、平均值和平均功率1. 三角函数的性质(1) 正弦、余弦函数在一个周期内的积分为0 ，即：(2) sin2、cos2在一个周期内的积分为π ，即：(3) 三角函数的正交性如下式所示：2. 非正弦周期函数的有效值设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：代入有效值的定义式中有:利用上述三角函数的性质，上式中i 的展开式平方后将含有下列各项：这样可以求得i 的有效值为：由此得到结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。

此结论可以推广用于其他非正弦周期量。

3. 非正弦周期函数的平均值设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：则其平均值定义为：即：非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。

按上式可求得正弦电流的平均值为：注意：(1) 测量非正弦周期电流或电压的有效值要用电磁系或电动系仪表，测量非正弦周期量的平均值要用磁电系仪表。

(2) 非正弦周期量的有效值和平均值没有固定的比例关系，它们随着波形不同而不同。

4. 非正弦周期交流电路的平均功率设任意一端口电路的非正弦周期电流和电压可以分解为傅里叶级数：则一端口的平均功率为：代入电压、电流表示式并利用三角函数的性质，得：式中由此得出结论：非正弦周期电流电路的平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率。

§12.4非正弦周期交流电路的计算根据以上讨论可得非正弦周期电流电路的计算步骤如下：（1）把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解，将非正弦周期量展开成若干频率的谐波信号；（2）利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应；（3）将以上计算结果转换为瞬时值迭加。

注意:（1）交流各次谐波电路计算可应用相量法，（2）对不同的频率，感抗与容抗是不同的。

对直流 C 相当于开路、L 相于短路。

对k 次谐波有：例12-3 电路如图（a）所示，电流源为图（b）所示的方波信号。

求输出电压u0。

已知：例 12-3 图（a）（b）解：计算步骤如下：（1）由例 12－1 知方波信号的展开式为：代入已知数据得直流分量基波最大值三次谐波最大值五次谐波最大值角频率为：因此，电流源各频率的谐波分量表示式为：（2）对各次频率的谐波分量单独计算（a）直流分量I S0单独作用时：把电容断路，电感短路，电路如图（c）所示，计算得：（c）（b）基波单独作用时，，电路如图（a）所示。

计算得容抗和感抗为：所以阻抗为：因此(c) 三次谐波单独作用时，，计算得容抗和感抗为：阻抗为：则：(d) 五次谐波单独作用时，，计算得容抗和感抗为：阻抗为：则：(3) 把各次谐波分量计算结果的瞬时值迭加：例12-4 图（a）所示电路中各表读数 (有效值) 及电路吸收的功率。

例 12 — 4 图（ a ）解：(1) 当直流分量u0=30V 作用于电路时，L1、L2短路，C1、C2开路，电路如图（b）所示。

（ b ）所以(2) 基波作用于电路，u1=120cos1000t VL、C1对基波发生并联谐振。

所以，基波电压加于L1、C1并联1电路两端，故，，(3) 二次谐波u2=60cos(2000t+π/4)V 作用于电路，有L、C2对二次谐波发生并联谐振。

所以，电压加于L2、2C并联电路两端，故2所以电流表 A1=1AA2 =A3 =电压表 V1 =V2 =例12-5 图（a）所示电路中，已知电源u(t) 是周期函数，波形如图（b）所示，L=1/2πmH ，C=125/πμF。

求：理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。

例 12-5 图（a）（b）解：由图（b）知当直流分量u0 =12V 作用于电路时，电容开路、电感短路，有：当作用于电路时，有：图（a）的原边等效电路如图（c）所示。

（ c ）电容和电感发生并联谐振，电源电流为零，因此：则例12-6 求图示电路中 a、b 两端电压有效值U ab、电流i 及功率表的读数。

已知：例 12 — 6 图解：电压有效值一次谐波作用时：三次谐波作用时：所以功率表读数为注意：同频率的电压电流构成有功功率。

例12-7 已知图（a）电路中，L=0.1H，C3＝1μF，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。

例 12-7 图解：C1中只有基波电流，说明L 和C2对三次谐波发生并联谐振。

所以：C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振。

所以：3个谐波分量单独作用时的电路如图（b）、（c）、（d）所示。

（b）直流作用（c）一次谐波作用（d）三次谐波作用由图可计算得：。