幂级数展开法部分分式展开法围线积分法——留数法自学
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精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
n0
n!
lim ( 1) ( n) xn1 0.
n
n!
又 x 1, 有 1 x 1 , 且0 1 1, 从而有 1 x
第二十页，总共三十四页。
1 1 x
n
1.
再当 | x | 1时, 有0 (1 x)1 (1 | x |)1 21.于
是当 1 时 (1 x)1是与 n 无关的有界量;当
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
第六页，总共三十四页。
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展
论如下:
当 1 时, 收敛域为 (1, 1);
当 1 0 时, 收敛域为 (1, 1];
当 0 时, 收敛域为[1, 1].
第二十二页，总共三十四页。
当 (7)式中 1时就得到
1 1 x x2 1 x
当 1 时得到
2
(1)n xn
, x (1, 1). (8)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1]. (9)
解 由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1, 2, ), 因此 f
的拉格朗日余项为
Rn( x)
e x (n 1)!
x n1 (0
1).
显见
第十一页，总共三十四页。
第三章幂级数展开
17
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
函数的幂级数的展开与技巧.docx
1引言函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位，在研究泵级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地 位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2泰勒级数泰勒定理指出：若函数/在点兀。
的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数，则/(x) = /(x 0) + /(x 0)(x-x 0) + /(x Q )^X这里心（兀）=。
（（兀-兀）〃）称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“/（X ）有H + 1阶连续 导数”，那么心（0还可以写成三种形式（柯西余项） （积分型余项） 如果在（1）中抹去余项心（X ）,那么在兀。
附近/可用（1）式中右边的多项式来近似代 替。
如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数，这吋称形式为：的级数为函数/在x 0的泰勒级数，对于级数（2）是否能够在X 。
附近确切地表达/, 或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问 题。
下面我们先看一个例子：例1山由于函数/(%)= \ 八，心 °,（拉格朗日余项）心。
）+广（％）（-切+%（—订+・・・+匚糾 （兀一兀0）+…（2）= 广“+1）［兀+0（兀_观卄（］_0）〃 （兀_观）〔0, x = 0,在x = x0处的任何阶导数都为0,即/叫0) = 0/= 1,2,…，所以/在x = 0处的泰勒级数为：C C 0 2 . 0 “0 + 0 • X H X + -------- ------- X+…，2! nl显然，它在(- oo,+oo)上收敛，且其和函数S(X)= 0,由此看到对一切* 0都有/(X)H S(X),这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有lim R n (x) = 0HT8时才能够。
在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。
这时(2)也可以写成刑)+以乩+皿宀…+创乩"+…，1! 2! /1!称为麦克劳林级数。
Z反变换
s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
数字信号处理DSP第二章2z反变换
z1
4n
4
15 2021/4/21
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
5
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4
z
4
解：X
z
1
5 z 1 z1 6z2
z2
5z z 6
5z
z 2z 3
X
z
z
z
5
2z
3
A1 z2
A2 z3
3
j Im[z]
2
0
Re[z]
A1
Res
X
z
zБайду номын сангаас
z2
z
2
z
5
2
z
3
z2
1
A2 Res
2021/4/21
X
z
z
z3
z
3
z
5
2
z
3
z 3
1
16
X z
1
1
z z2 z3
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
X (z)
M N n0
Bn zn
A M r k
k1 1 zk z1
r k 1
Ck [1 zi z1]k
用留数定理求系数：
Ak
Re
s
X (z) z zzk
k 1,2,
,M r
2021/4/21
15
例：X (z)
幂级数函数的幂级数展开法
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
高数-幂级数的展开
f nx n! an n 1nn 1 2an1 x
f x f 0 f 0x
f 0 x2
f
n x n2
n 0
xn
a2 an
f 0
2!
f n0
n!
得证
(3).写出幂级数:
f 0 f 0x
f 0 x 2
2!
f (n) 0 x n
n!
并求出收敛半径 R.
(4).考察当 x R, R 时,
x之间）是否为零?
lim
n
Rn
x lim n
f (n1) n 1!
知 f x 1
1 x2
1n x 2n ,
n0
| x 2 | 1, 即 | x | 1.
说明 若 f x在 R, R内的已得到展式： f x an x n , x R, R.
n0
（1）级数 an x n在x R或x R 处仍收敛；
Rn x
f n1 n 1!
x
x0
n1
,
介于
x0 与 x 之间，
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件
3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数
问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x?
若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数.
逐项求导、逐项求积）, 将所给函数展成幂级数。
常用的已知函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn
chenpc文件数理方法第三章幂级数展开精品文档PPT课件
= 2 1 iC R 1 ' f b 1 z 1 b bd 2 1 iC R 2 ' fz b 1 z 1 b bd
CR1' CR2'
::zzbb= bb 2 1 iC R 1 ' f b k 0 z b b k d 2 1 iC R 2 ' f z b k 0 z b b k d
= k 0 2 1 i C R 1 'f b k 1 d z b k k 0 2 1 i C R 2 ' f b k d z b k 1
1、达朗贝尔判别法：
k充 分 大 时 ， w w kk 1q 1 k 1w kz绝 对 收 敛
证明：k N N p 1 w kz= k N N p 1 w 1zq k 1 w 1zq N 1 q q N p N
wkz收敛 k1
wkz绝 对 收 敛 k1
k = N + 1 k = N + 1
1
1
z 1时，zk收敛 k=1
z 1时， zk绝对收敛 k=1
二、绝对收敛性的判别法：
wk z 收敛
k=1
wk z绝对收敛
k=1
Np
Np
wkz wkz
k=N+1
k=N+1
w kz收 敛 w kz绝 对 收 敛
k = 1
k = 1
二、绝对收敛性的判别法：
第三章 幂级数展开
§3.1 幂级数的收敛性
一、基本概念：
N :任意大正整数
不存在 发 散
n
p :任意正整数 ：任意小正数
wk
k1
z
lni m k1wk
z
存
在
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
8.04 逆z变换
§8.4 逆z变换
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
Z变换详细讲解
极点为： z 1 z 1 . 5 z 2i
圆z 2
例：
1 (2) x(n) u (n 1) 3
1 n n m
n
左边序列
m
1 1 z m 1 3 1 z m j Im[ z ] 1 (3z ) 1 1 1 1 3 z m 0 z Rx2 3 n Re[ z ] n lim (3z ) 1
1 z ZT[a u (n)] a z 1 1 az za n 0
n n n
( z a)
z 由此可以看出Z 变换的基本形式： z-zm
正弦序列的 Z 变换:
z ZT [e ] j 0 z e z j 0 n ZT [e ] j0 z e j 0 n j 0 n ZT [sin 0 n] ZT [(e e ) / 2 j]
n
an1 an
1, 级数收敛。 1, 级数发散。 1, 不能肯定。
如果序列x(n)在每个有限的间隔内是有限的 且当n 时是指数阶的，则它的Z变换存在 于 z R之范围，这里R是收敛半径。
指数阶函数和指数阶序列之间存在着对应关系，
定义：如有一序列x(n)当n 时存在正数A, a和N 使所有的n N时都有 x(n) Aa 称x(n)为指数阶函 1 8 ( z ) 1 z ( 1 1 3 3) X ( z) z 1 7 1 1 3 1 z z ( z n 0 3 3)
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了 0 和
的整个
x ( n) z
n 0
部分分式展开法
X(z)的反变换的围线积分表示式如下：
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
其中c是包围 X ( z)zn1 所有极点的闭合积分路线
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
Re s X (z)zn1, zi
i
zi是X (z)zn1的极点
（二）、留数法（围线积分法）
1、当z=zi 是一阶极点时
Bj的确定与拉氏变换类似：
Bj
(r
1
j)!
d r j
dzr
j
(z
z1)r
X (z)
z
z z1
（一）、部分分式展开法
例4.2-2 已知
X (z)
z2
z2 1.5z
0.5
收敛域为 z 1 试求Z的反变换
解：
X
(z)
z2
z2 1.5z
0.5
(z
z2 1)( z
0.5)
X (z)
z2
z 1 ]z 0
1 (n)
5
x(n) 1 (n) [(1)n 6 5n ]u(n 1)
5
5
留数辅助定理
如果围线积分的被积函数F(Z)在整个Z平面上除有限 个极点外都是解析的，且当Z时,F(Z)以不低于二 阶无穷小的速度0,则当围线C的半径趋于无穷大时，
1
2j
c
F
(
z
)dz
Re
s[
F
(
z),
A0
X ( z )z0
b0 a0
(4.2 3)
于是可得X(z)的反变换为
N
x(n) A0 (n) Ai (zi )n u(n)
i1
部分分式展开法
n i 1
N
（一）、部分分式展开法
二、当X(z)含有一r重极点
Ai z X ( z ) A0 j j 1 ( z z1 ) i r 1 z zi
式中Ai的确定同单极点系数的确定相同
Bj的确定与拉氏变换类似：
r
Bjz
N
1 d r X ( z) Bj r j ( z z1 ) ( r j )! dz z zz 1
i除这个积分值，所得的数
1 Re s[ f ( z ), z0 ] f ( z ) dz C 1 2i C
（二）、留数法（围线积分法）
罗伦级数定理
设f（z）在圆环域 R1 z z0 R2内处处解析， 那么
f ( z)
n
C (z z )
n 0
n
1 f ( ) 其中 Cn d n 1 2i C ( z0 )
2z 1 z X ( z) z 1 z 0.5
所以其反变换为
x(n) 2 u(n) (0.5) u(n)
n
（二）、留数法（围线积分法）
留数的定义
设z0 为函数 f(z) 的孤立奇点，那么积分
为与C无关的定值，以2 叫做在z0的留数。 记作
C
f ( z )dz
（一）、部分分式展开法
N ( z ) bm z bm1z b1z b0 X ( z) n n 1 D( z ) an z an1z a1z a0
因为常用的Z变换对为
m
m1
(n) 1,
n
z 0
za
z 所以在对X(z)做部分分式展开时，力求得到形如 za
N
（一）、部分分式展开法
二、当X(z)含有一r重极点
Ai z X ( z ) A0 j j 1 ( z z1 ) i r 1 z zi
式中Ai的确定同单极点系数的确定相同
Bj的确定与拉氏变换类似：
r
Bjz
N
1 d r X ( z) Bj r j ( z z1 ) ( r j )! dz z zz 1
i除这个积分值，所得的数
1 Re s[ f ( z ), z0 ] f ( z ) dz C 1 2i C
（二）、留数法（围线积分法）
罗伦级数定理
设f（z）在圆环域 R1 z z0 R2内处处解析， 那么
f ( z)
n
C (z z )
n 0
n
1 f ( ) 其中 Cn d n 1 2i C ( z0 )
2z 1 z X ( z) z 1 z 0.5
所以其反变换为
x(n) 2 u(n) (0.5) u(n)
n
（二）、留数法（围线积分法）
留数的定义
设z0 为函数 f(z) 的孤立奇点，那么积分
为与C无关的定值，以2 叫做在z0的留数。 记作
C
f ( z )dz
（一）、部分分式展开法
N ( z ) bm z bm1z b1z b0 X ( z) n n 1 D( z ) an z an1z a1z a0
因为常用的Z变换对为
m
m1
(n) 1,
n
z 0
za
z 所以在对X(z)做部分分式展开时，力求得到形如 za
逆z变换
= Kx(−2)z2 + x(−1)z1 + x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +L
级数的系数就是序列 x(n)
2．右边序列的逆z变换
将X(z) 以z 的降幂排列
X(z) = ∑ x(n)z−n = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + L
n=0 ∞
3．左边序列的逆z变换 将X(z)以z的升幂排列
高阶极点（重根）
设 X(z) = ∑
j =1 s
Bj z ( z − zi )
j
z = zi为s阶极点。 阶极点。
则
1 ds− j s X ( z) Bj = s− j (z − zi ) (s − j)! d z z z=z
i
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是 的有理函数，可表示为： 变换式一般是z的有理函数，可表示为：
推导
1 X (z)zm−1 d z = 2 πj ∫c 1 x(n) z−n+m−1 d z ∑ 2 πj ∫c n=0
∞ ∞
1 m−n π j( m−n)θ R ∫ e dθ = ∑ x(n) −π 2π n=0
只有当 = m积分不为零， = m时积分为 π n 积分不为零， n 2
x(n) 右= 0 n= m n≠ m
m
左边序列 围线积分等于围线 外所有极点的留数之和 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和 x(n) = −∑Re s X ( z)zn−1
[
]
m
z=zm
X ( z) =
n=− ∞
x(n)z −n = x(−1)z1 + x(−2)z 2 + x(−3)z 3 + L ∑
第10章 离散时间信号与系统的Z域分析
例： 已知 f (n) a 解
n m 1
n
n
u (m 1),
m 1
n
求f(n)的双边Z变换F(z)。
u (m 1) u (m 1)
m
n
z 1 u ( n 1) z z 1 z 1
1
|z|>1
根据部分和性质，则
z u (m 1) m u (m 1) ( z 1) 2 m 1
x( n)un
4 4 x( n 2)u( n) 4 x ( n 2)u( n)
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
xn mun, xn mun较xnun的长度有所增减。
若x(n)为双边序列，并 x(n)U(n) X(z)，则
1 n x(n m)U (n) z X ( z ) x(n) z n m m
12
4、时域卷积定理：
若
f1 (n) F1 ( z )
f 2 ( n) F2 ( z )
R x1 Z R x 2
R y1 Z R y 2
则 f1 (n) * f 2 (n) F1 ( z ) F2 ( z )
max( R x 1 , R y 1 ) z min( R x 2 , R y 2 )
f ( n) z n
收敛域
不同f(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在
确定z变换时，必须指明收敛域。
例：
a n f1 (n) 0
n n 0
n0 n0
a z
n n 0 n
j Im( z )
n m 1
n
n
u (m 1),
m 1
n
求f(n)的双边Z变换F(z)。
u (m 1) u (m 1)
m
n
z 1 u ( n 1) z z 1 z 1
1
|z|>1
根据部分和性质，则
z u (m 1) m u (m 1) ( z 1) 2 m 1
x( n)un
4 4 x( n 2)u( n) 4 x ( n 2)u( n)
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
xn mun, xn mun较xnun的长度有所增减。
若x(n)为双边序列，并 x(n)U(n) X(z)，则
1 n x(n m)U (n) z X ( z ) x(n) z n m m
12
4、时域卷积定理：
若
f1 (n) F1 ( z )
f 2 ( n) F2 ( z )
R x1 Z R x 2
R y1 Z R y 2
则 f1 (n) * f 2 (n) F1 ( z ) F2 ( z )
max( R x 1 , R y 1 ) z min( R x 2 , R y 2 )
f ( n) z n
收敛域
不同f(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在
确定z变换时，必须指明收敛域。
例：
a n f1 (n) 0
n n 0
n0 n0
a z
n n 0 n
j Im( z )