平方差,完全平方公式的几何意义3.9
七年级数学-第03讲 平方差与完全平方公式(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第03讲平方差与完全平方公式【考点梳理】考点1：完全平方公式1.2222)(bab a b a +±=±公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2.三项式的完全平方公式：bcac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++考点2：平方差公式22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：))((z y x z y x +--+【题型归纳】题型一：完全平方公式1．（2022·全国·七年级）下列关系式中，正确的是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2【答案】D 【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题的关键．2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）运用完全平方公式()2222a b a ab b -=-+计算212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则公式中的2ab 是（）A ．12x B ．﹣x C ．x D ．2x【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算，然后和()2222a b a ab b -=-+对比即可解答.【详解】解：2222111122224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对比()2222a b a ab b -=-+可得-2ab =-x ，则2ab =x .故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.3．（2022·广东东莞·八年级期末）如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（）A ．6B ．9C ．32D ．94【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期末）要使24x kx ++是完全平方式，那么k 的值是（）A ．4k =±B ．4k =C ．4k =-D ．2k =±【答案】A 【分析】根据完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行求解即可．【详解】∵24x kx ++是完全平方式，∴2()42k =，解得：4k =±，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．5．（2022·辽宁庄河·八年级期末）若2a b +=-，3ab =，则代数式22a ab b -+的值是（）A ．5-B ．13C ．5D ．9【答案】A 【分析】将2a b +=-两边平方，利用完全平方公式化简，把3ab =-代入求出22a b +的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：将2a b +=-两边平方得：222()24a b a b ab +=++=，把3ab =代入得：2264a b ++=，即222a b +=-，则22235a ab b -+=--=-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．（2022·重庆·八年级期末）如果216x mx ++是完全平方式，那么m 的值是（）A ．8B ．4C ．4±D ．8±【答案】D 【分析】先写出22816(4)x x x ±+=±，进一步求出m 的值，即可求解．【详解】解：∵22816(4)x x x ±+=±，且216x mx ++是完全平方式，∴8m =±；故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方式，掌握满足完全平方式的情况只有222a ab b ++和222a ab b -+两种，两种情况的熟练应用是解题关键．7．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）下列运算中，结果正确的是（）A ．824a a a ÷=B ．()222a b a b +=+C ．()2242a b a b =D ．()()2122a a a -+=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式的计算法则计算求解即可．【详解】解：A 、826a a a ÷=，计算错误，不符合题意；B 、()2222a b a ab b +=++，计算错误，不符合题意；C 、()2242a b a b =，计算正确，符合题意；D 、()()2212222a a a a a a a -+=+--=+-，计算错误，不符合题意；故选C ．本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．（2022·北京·八年级期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．4a＋4【答案】A【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．9．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）若x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10B．－5C．5D．±5【答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【详解】解：∵x2+mxy+25y2＝x2+mxy+（5y）2，∴mxy＝±2x×5y，解得：m＝±10．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．题型二：平方差公式11．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（）A．1B．32C．3D．不能确定【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y += ，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=，6412y x ∴⋅=，332xy ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）【答案】B 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．13．（2022·河南川汇·八年级期末）如图，在边长为()x a +的正方形中，剪去一个边长为a 的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x ，a 的恒等式是（）．A ．()()22x a x a x a -=-+B ．()222x ax x x a +=+C ．()()222x a a x x a +-=+D ．()()222x a x a a x +-=+【答案】C 【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案．【详解】解：正方形中阴影部分的面积为22()x a a +-，平行四边形的面积为x （x +2a ），由此得到一个x ，a 的恒等式是()()222x a a x x a +-=+，故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．14．（2021·福建同安·八年级期中）若02021a =，2201920212020b =⨯-，202020212332c ⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则下列a ，b ，c 的大小关系正确的（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【答案】C 【分析】利用零次幂的含义求解a 的值，利用平方差公式求解b 的值，利用积的乘方的逆运算求解c 的值，再比较大小即可.【详解】解： 020211,a ==()()222220192021202020201202012020=2020120201,b =⨯-=-+---=-()202020212020202023233331,3232222c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而311,2-<<,b ac \<<故选C 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，平方差公式的应用，积的乘方运算的逆运算，先计算,,a b c 的值再比较大小是解本题的关键.15．（2022·黑龙江肇源·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）【答案】B 【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16．（2022·天津红桥·八年级期末）下列计算正确的是（）A ．22224a b a b +=+（）B ．2225225104x y x xy y -=-+（）C ．2221122x y x xy y-=-+（）D ．221111123439x x x +=++（）【答案】D 【分析】根据完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A.22224+4a b a ab b +=+（），故不正确；B.2225225204x y x xy y -=-+（），故不正确；C.2221124x y x xy y -=-+（），故不正确；D.221111123439x x x +=++（），正确；故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．17．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）若2210a b -=，2a b -=，则a b +的值为（）A ．5B ．2C ．10D ．无法计算【答案】A 【分析】利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-进行求解即可．【详解】解：∵2a b -=，()()2210a b a b a b -=+-=，∴5a b +=，故选A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．18．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a（a－b）＝a2－abC．b（a－b）＝ab－b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）【答案】D【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．【详解】解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故选D．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2021·河南原阳·八年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x－y）（－x＋y）B．（－x＋y）（－x－y）C．（－x－y）（x－y）D．（x＋y）（－x＋y）【答案】A【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x−y）（−x＋y）＝−（x−y）（x−y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；【点睛】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【答案】A【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．【详解】解：如图所示，右边阴影部分面积为：22a b -，左边阴影部分面积为：()()a b a b +-，由阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b +-=-，故选A ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．【双基达标】1．（2021·福建南安·八年级期中）若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k 的取值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±10【答案】D【解析】两个完全平方式：222a ab b ±+，利用完全平方式的特点可得答案.【详解】解： x 2＋kx ＋25225,x kx =++而x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，2510,k \=贝=故选D【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方式的特点求解完全平方式中的字母系数是解题的关键.2．（2021·四川江油·八年级阶段练习）已知x ²-2mx +9是完全平方式，则m 的值为（）A ．±3B ．3C ．±6D ．6【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知x 2-2mx +9是完全平方式，∴m =3或m =-3，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．3．（2021·河南·郑州外国语中学九年级期中）无论a ，b 为何值代数式226112a b b a +++-的值总是（）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【解析】【分析】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．解：原式22(21)(69)1a ab b =-+++++22(1)(3)1a b =-+++，2(1)0a - ，2(3)0b +，22(1)(3)10a b ∴-+++>，即原式的值总是正数．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．4．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．2249-y x B ．4149-x C ．42--m n D ．21()94+-p q 【答案】C【解析】【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A 、2249-y x ＝（y ＋7x ）（y −7x ），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；B 、4149-x ＝（17＋x 2）（17−x 2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；C 、−m 4−n 2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；D 、21()94+-p q ＝（12p ＋12q ＋3）（12p ＋12q −3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．5．（2021·湖南双峰·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A ．()()a b a b --+B ．(2x 3y)(2x 3)z +-C ．()()x y x y ---D ．()()m n n m --【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()()a b a b --+不能用平方差进行计算，故不符合题意B.(2x 3y)(2x 3)z +-不能用平方差进行计算，故不符合题意C.()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-，D.()()m n n m --不能用平方差进行计算，故不符合题意故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2022·全国·七年级）已知：13x x +=，则221x x+=____．【答案】7【解析】【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：13x x += ，21()9x x∴+=，22129x x ++=2217x x ∴+=，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．7．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________【答案】84【解析】【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a +b =8，ab =-5∴()2a b -=()24a b ab +-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．8．（2022·全国·七年级）若（x 2＋y 2＋1）（x 2＋y 2﹣1）＝48，则x 2＋y 2＝___【答案】7【解析】【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x 2＋y 2的值．【详解】解：因为（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝48，所以（x 2+y 2）2﹣12＝48，所以（x 2+y 2）2＝49，x 2+y 2＝±7（负值舍去）．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．9．（2022·全国·七年级）已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3(1)求（x ＋1）（y ＋1）的值；(2)求x 2＋y 2的值．【答案】(1)112-(2)164【解析】【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．(1)（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1=-3+12+1=112-；(2)（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy =164+，=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．10．（2021·福建同安·八年级期中）计算：（1）()22436310a a a a ⋅+--（2）()()()211a a a a +-+-【答案】（1）0；（2）21a +【解析】【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ⋅+--6669100a a a =+-=（2）()()()211a a a a +-+-2221a a a =+-+=21a +【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.【高分突破】1．（2021·黑龙江·无八年级期末）已知x +y =4，xy =3，则x 2+y 2的值为（）A ．22B ．16C ．10D ．4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：()2222242316610x y x y xy +=+-=-⨯=-=．故选择C ．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．2．（2022·陕西陇县·八年级期末）下列运算正确的是（）A ．428a a a =·B ．224()xy xy =C ．623y y y ÷=D ．222()2x y x xy y --=-+-【答案】D【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式分别计算得出答案．【详解】解：A 、426=a a a g ，故此选项错误；B 、2224()xy x y =，故此选项错误；C 、624÷=y y y ，故此选项错误；D 、222()2x y x xy y --=-+-，正确；【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a+b B．（a-b）2C．ab D．a2－b2【答案】B【解析】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．4．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）下列等式中，一定成立的是（）A．(x - y)2 = (y - x)2B．(x + 6)(x - 6) = x2 - 6C．(x + y)2 = x2 + y2D．(x - y)2 = x2 + 2xy + y2【解析】【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式判断各选项即可．【详解】解：A .22()()x y y x -=-成立，故选项A 正确；B .2(6)(6)36x x x +-=-，选项B 不成立；C .222()2x y x xy y +=++，选项C 不成立；D .222()2x y x xy y -=-+，选项D 不成立；故选：A【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．5．（2021·全国·七年级期中）已知M 、N 表示两个代数式，M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），则M 与N 的大小是（）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据作差法进行比较即可；【详解】解：∵M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），∴M -N =（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1）-（2x +y ）（2x ﹣y ），=x 2-1-2y 2+2y -2-4x 2+y 2，=-3x 2-y 2-3＜0，∴M ＜N ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键．6．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0，∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=，∵21()02m -≥，213()02n +≥，∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-，∴m －2﹣n 0＝201122-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝4-1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．7．（2021·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）若a ＋b ＝3，ab ＝1，则（a ﹣b ）2＝________．【答案】5【解析】【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【详解】解：∵a +b =3，ab =1，∴（a +b ）2=9，则a 2+2ab +b 2=9，∴a 2+b 2=9-2=7；（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=7-2=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．8．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定a b ad bc c d=-，则当2250x x --=时，121x x x +=-____．【答案】4【解析】【分析】先根据题意化简212211x x x x x +=---，将2250x x --=变形为225x x -=，再整体代入即可求解．【详解】解：由题意得()()212112211x x x x x x x x +=+--=---，∵2250x x --=，∴225x x -=，∴原式221=51=4x x ---．故答案为：4【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将121x x x +-化简是解题关键．9．（2022·重庆·八年级期末）已知ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ．（1）求x +y 和x ﹣y 的值；（2）运用完全平方公式，求x 2+y 2的值．【答案】（1）x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）13【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据完全平方公式解答即可．【详解】解：（1）因为ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ，所以ax +y ＝a 5，ax ﹣y ＝a ，所以x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）因为x +y ＝5，x ﹣y ＝1，所以（x +y ）2＝25，（x ﹣y ）2＝1，所以x 2+2xy +y 2＝25①，x 2﹣2xy +y 2＝1②，①+②，得2x 2+2y 2＝26，所以x 2+y 2＝13．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式．解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则，以及完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．10．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【答案】（1）22()()a b a b a b -=+-；（2）①4；②20100．【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出224(2)(2)a b a b a b =+--，代入求值即可；②利用平方差公式将22200199-写成(200199)(200199)=200199+⨯-+，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积()()a b a b +-，所以，得到公式22()()a b a b a b -=+-故答案为22()()a b a b a b -=+-．（2）①∵22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-∴(2)(2)=24a b a b +-又∵2a +b ＝6，24a b ∴-=故答案为4．②222222222001991981974321-+-+⋯+-+-(200199)(200199)(198197)(198197)(43)(43)(21)(21)=+⨯-++⨯-+⋯++⨯-++⨯-2001991981974321=+++⋯++++20100=【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．。
8.3完全平方公式与平方差公式(1)
b² ab
b
2
( a b) a ab ab b a 2ab b
2
2
2
2
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想一想: 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎 样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
义务教育教科书（沪科）七年级数学下册
第8章 整式乘法与因式分解
——完全平方公式
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多项式与多项式相乘 (a+b)(m+n)= am+bm+an+bn
法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加。
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（1）已知(a+b)2 = 21， (a-b)2 =5，则 ab=( A ) A ．4 B．-4 1 （2）如果a + C．0 =4，则 a2 1 D．4或-4
a
+ a2 =( A C．10
)
A．14
B．9
D．11
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（3）若2a2-2ab+b2-2a+1=0则a、b分别（ B A．1，-1 B．1，1 C．-1，1 D． 0，0 （4）已知x=a+2b，y=a-2b，求：x2 +xy+y2． 解： x2 +xy+y2 =(a+2b)2＋（a＋2b）（a-2b）＋(a-2b)2
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完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
《平方差公式》教案(精选15篇)
《平方差公式》教案（精选15篇）《平方差公式》教案1教学目的进一步使学生理解把握平方差公式，并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。
教学重点和难点：公式的应用及推广。
教学过程：一、复习提问1.(1)用较简洁的代数式表示下图纸片的面积.(2)沿直线裁一刀，将不规章的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积.讲评要点：沿HD、GD裁开均可，但肯定要让学生在裁开之前知道HD=BC=GD=FE=a-b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形.期望推出公式：a2-b2=(a+b)(a-b)2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.说明：平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点。
(1)公式详细，易于理解;(2)公式的特征也表现得突出，易于初学的人“套用”;(3)形式简洁。
但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，这样也就造成对详细问题存在一个判定a、b的问题，否则简单对公式产生各种主观上的误会。
依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，敏捷运用公式的'两种表达式，比如用文字公式推断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b，这样才能使自己的计算即准确又敏捷.3.推断正误：(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;(×)(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;(×)(3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;(×)(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;(×)二、新课例1运用平方差公式计算：(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)(y2+4).解：(1)102×98(2)(y+2)(y-2)(y2+4)=(100+2)(100-2)=(y2-4)(y2+4)=1002-22=10000-4=(y2)2-42=y4-16.=9996;2.运用平方差公式计算：(1)103×97;(2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8×60.2;(4)(x-)(x2+)(x+).3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2填空：(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习填空：1.x2-25=()();2.4m2-49=(2m-7)();3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();例3计算：(1)(a+b-3)(a+b+3);(2)(m2+n-7)(m2-n-7).解：(1)(a+b-3)(a+b+3)(2)(m2+n-7)(m2-n-7)=[(a+b)-3][(a+b)+3]=[(m2-7)+n][(m2-7)-n]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9.=(m2-7)2-n2=m4-14m2+49-n2.三、小结1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?3.怎样推断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?四、布置作业1.运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).2.运用平方差公式计算：(1)69×71;(2)53×47;(3)503×497;(4)40×39.《平方差公式》教案2平方差公式一、学习目标：1.经历探究平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简洁的运算.二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，敏捷应用平方差公式.三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗?12001×19992998×1002导入新课：计算下列多项式的积.1x+1x-12m+2m-232x+12x-14x+5yx-5y结论：两个数的和与这两个数的差的`积，等于这两个数的平方差.即：a+ba-b=a2-b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：13x+23x-22b+2a2a-b3-x+2y-x-2y例2：计算：1102×982y+2y-2-y-1y+5随堂练习计算：1a+b-b+a2-a-ba-b33a+2b3a-2b4a5-b2a5+b25a+2b+2ca+2b-2c6a-ba+ba2+b2五、小结：a+ba-b=a2-b2《平方差公式》教案3学习目标：1、经历探究完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜想、验证等能力。
8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。
平方差公式和完全平方差公式
平方差公式和完全平方差公式
1、公式不同
完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²。
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。
2、计算具体数据结果不同（若a=2，b=1）
完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²=1。
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）=3。
3、表达意思不同
完全平方差公式：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
平方差公式：指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
完全平方公式口诀：
首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
（a±b）²=a²±2ab+b²
同号加、异号减，负号添在异号前。
1
即（a+b）²=a²+2ab+b²（a-b）²=a²-2ab+b²
注意：后面一定是加号。
2。
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式1.完全平方公式：其中，±表示取两个值，分别对应方程的两个解。
让我们来看一个例子：例子1：解方程x^2+6x+8=0根据完全平方公式，我们可以知道a=1，b=6，c=8根据完全平方公式，我们可以得到x=(-6±√(6^2-4*1*8))/2*1，即x=(-6±√(36-32))/2化简后，我们可以得到x=(-6±√4)/2，即x=(-6±2)/2分别求出两个解，我们可以得到x=-4和x=-2所以，方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=-22.平方差公式：平方差公式是一个用于将两个平方差表示为因式积的公式。
平方差公式有两种形式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2和(a-b)(a+b)=a^2-b^2、两种形式是等价的，根据实际情况选择使用。
让我们来看一个例子：例子2：计算(3+2)(3-2)根据平方差公式，我们可以将(3+2)(3-2)展开为3^2-2^2计算后，我们可以得到(3+2)(3-2)=9-4=5所以，(3+2)(3-2)=5在解决问题时，我们还可以将完全平方公式和平方差公式结合使用。
例子3：解方程x^2-9=0观察到x^2-9是一个差的平方形式，即(x+3)(x-3)。
所以，方程x^2-9=0可以改写为(x+3)(x-3)=0。
根据乘法法则，当一个积等于0时，至少有一个因子等于0。
所以，我们得到x+3=0或x-3=0。
解得x=-3或x=3所以，方程x^2-9=0的解为x=-3或x=3通过以上的例子，我们可以看到完全平方公式和平方差公式在解决一元二次方程和计算平方差时的作用。
在实际应用中，熟练地掌握它们可以帮助我们更快地解决问题，提高数学解题的效率。
平方差公式课件
07
CATALOGUE
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
平方差公式的推导过 程
平方差公式与实际生 活的联系
平方差公式的形式和 应用
需要进一步理解的问题
如何根据题目选择合适的公式进行解答
对于一些变形公式，如何正确理解和使用
下节课预告
将介绍新的数学概念和公式， 如完全平方公式和平方差公式 的扩展形式
习题与解答
习题一
总结词：简单基础
详细描述：本题主要考察平方差公式 的简单应用，适合基础薄弱的同学练 习。
习题二
总结词：中等难度
详细描述：本题涉及平方差公式的变形和组合，需要学生 具备一定的思维能力和计算能力。
习题三
总结词：较难
VS
详细描述：本题综合考察了学生的数 学能力和思维深度，需要学生灵活运 用平方差公式和其他数学知识。
平方差公式课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用 • 平方差公式的扩展与推广 • 习题与解答 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
课程背景
平方差公式是数学中基础且重要的公式之一，它描述了两个 数的平方差与这两个数之间的关系。在代数、几何和三角学 中，平方差公式都有广泛的应用。
在几何中的应用
证明勾股定理 求几何图形的面积和体积
通过平方差公式，我们可以证明勾股定理，了解三角形 三边的关系。
利用平方差公式，我们可以计算一些几何图形的面积和 体积，例如矩形、梯形、圆等。
在三角函数中的应用
01 02 03 04
三角恒等式的证明
通过平方差公式，我们可以证明一些三角恒等式，例如两角和与差的 余弦、正弦公式等。
北师大版七年级数学下册《完全平方公式》
做一做
一块完边长全为a平米的方正方公形实式验田，
要将其边长增加 b 米。形成四
块实验田，以种植不同的新品
种(如图1—6).
b
用不同的形式表示实验
田的总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?a
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
间
法二
接 求
总面积=a2+ ab+ ab+b2.
a
图1—6
公式: (a+b)2=a2+ 2 ab + b2.
(2) 某同学写出=了如下的算式:
(a−b)2=[a+(−b)]2 他是怎么想的?
利用两数和的 (a−b)2= [a+(−b)]2
平方 推证 = a 2 + 2a (−b)+ (−b)2
= a2 − 2ab + b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2
结构特征: 左边是 两数和 (差) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家
，老人一共给了这些孩子多少块糖？
a2
合作探究：
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
第03讲 平方差和完全平方公式(知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八版)(原卷版
第03讲 平方差和完全平方公式1. 掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )22()()a b a b a b +-=-b a ,=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z2知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【题型1 平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝ ． 【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝ ． 【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a +b ）（﹣b +4a ）＝ ． 【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x ﹣3y ）（3y +2x ）＝ ． 【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【题型2 平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝．【题型3 平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【题型4 完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【题型5 完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝；方法一：S小正方形方法二：S＝；小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：；方法二：．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【题型6 完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a62．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5 3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2 5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．13．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66 4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1 5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4 6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18 7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2 8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．。
[数学]-专项3.4 乘法公式(知识解读)(原版)
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专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 222()()a b a b a b +-=-b a ,知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【典例分析】【考点1：平方差公式】 【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x ）（1﹣x ）； （2）（a +3b ）（a ﹣3b ）；（3）（3+2a ）（3﹣2a ）； （4）（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）．【变式1-1】计算：（a ﹣b ）（a +b ）．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（）A．±18B．±9C．9D．18【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（）A．4B．±4C．8D．±8【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别张．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【变式7-1】（2022春•平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．。
完全平方公式与平方差公式-经典教学教辅文档
第8章整式乘法与因式分解8.3 完全平方公式与平方差公式（续表）_________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_____________________________________________错题题号_____________________________________________第1课时完全平方公式学案1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一同，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可抽象的叙说为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也能够表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特点是：左侧是两个相反的二项式相乘，右侧是三项式，是左侧二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也能够表示单项式或多项式等代数式.只需符合这一公式的结构特点，就可以运用这一公式.3、在运用完全平方公式时应留意成绩：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a 2±b 2的错误；（2）不要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给标题的特点能否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思绪】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定能否具备运用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数 例2、计算：()2c b a ++【解题思绪】完全平方公式的左侧是两个相反的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用全体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++=()()bc ac ab c b a c c b a b a 222222222+++++=++++.【方法归纳】运用全体思想可以使计算更为简便，快捷. 对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+. 【解题思绪】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细观察易发现，只需将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算 例4：计算：9992【解题思绪】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001. 【方法归纳】有些数学计算可拆成两数（式）平方差、完全平方公式的方式，正用乘法公式可使运算简捷、快速. 对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思绪】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右侧，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把留意力和着眼点放在成绩的全体上，多方位考虑、联想、探求，进行全体考虑、全体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使成绩迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a 知识点6：公式的变形例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：（1）22b a +；（2）()2b a -【解题思绪】此例是典型的整式求值成绩，若按常规思想把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探求易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变方式很容易找到解决成绩的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】()()ab b a b a 422-+=-()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟习完全平方公式的变方式，是相关全体代换求知值的关键. 对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值. 知识点7：乘法公式的综合运用 例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思绪】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相反，另外的项互为相反数。
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体． 正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方． 正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。
《数学平方差公式》课件
02
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平方差公式的推导
平方差公式的推导过程
平方差公式是通过多项式乘法、 因式分解和代数恒等式推导出来
的。
首先，将平方差公式左边表示为 两个多项式的乘积，然后进行因 式分解，得到两个一次多项式的
乘积。
最后，利用代数恒等式，将平方 差公式右边表示为两个一次多项
式的乘积。
平方差公式的证明
01
02
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证明平方差公式，可以通过数 学归纳法和完全平方公式进行
证明。
首先，利用数学归纳法证明公 式对任意正整数n都成立。
然后，利用完全平方公式将公 式右边展开，得到一个完全平
方项和一个常数项的和。
最后，通过代数运算化简得到 公式左边。
平方差公式的理解
平方差公式是一种代数恒等式 ，表示两个数的平方差等于它 们的差的平方。
平方差公式的其他变种形式
平方差公式与完全平方公式结合
将平方差公式与完全平方公式结合，可以用于解决一些复杂的数学问题，如求 值、化简等。
平方差公式应用于三角函数
将平方差公式应用于三角函数，可以用于求三角函数的值、化简三角函数表达 式等。
05
CATALOGUE
总结与回顾
总结平方差公式的知识点
平方差公式的内容
解决几何问题
平方差公式可以用来解决一些几 何问题，例如计算角度、线段长 度等。
平方差公式在实际问题中的应用
金融计算
在金融领域中，平方差公式可以 用来计算复利、折现等金融数值
。
统计学
在统计学中，平方差公式可以用来 计算方差、标准差等统计数值。
物理学
在物理学中，平方差公式可以用来 计算位移、速度、加速度等物理量 。
理解完全平方公式和平方差公式的意义
2、直接口答教材88页1题，90页练习（1）---（4）
3、课堂评测反馈
六、教学设计特色：
三、教学目标及重难点设计
知识技能：1.理解完全平方公式和平方差公式的意义，以及它们与多项式乘法的关系，
2.会选择和应用乘法公式进行简单计算。
数学思考：在乘法公式的推导和借助图形面积进行说明的过程中，领悟“一般→特殊”的研究方法，体会数学结合思想。
问题解决：经历小组合作，分析、探究乘法公式与多项式乘法的关系以及它们的特殊性，体验多项式乘法计算方法的多样性。
学情分析：
七年级学生刚刚经历了数与式的承接，已经初步体会了用字母表示数的数学思想，在整式这一章前半部分的学习中已经初步掌握了多项式加减法和乘法的一般运算法则以及相关概念，能够运用多项式与多项式相乘的法则对任意多项式乘法进行计算，并能对计算结果通过合并同类项进行化简。同时在学习多项式乘法过程中体验了如何用图形的面积关系来说明多项式乘法的法则，有了初步的数形结合意识，这些都为这节课的学习奠定了基础。
在本节课的学习内容中，需要学生能够根据特殊的多项式与多项式相乘的结果进行归纳和总结，形成规律，并经过磨炼，用语言表述，得出平方差公式和完全平方公式，同时能抓住公式特征进行初步的选择、运用，这就是说，要求学生具备一定的观察能力、归纳能力和数学语言表达能力。而在运用图形的面积关系说明公式的过程中，对学生的空间想象能力和动手操作能力有一定的要求，这也是学生学习中遇到的一个难点。
（4） .
3、巩固练习
(1)；
(2)；
(3) .
引导学生从知识、技能、方法、情感等方面自主小结，教师点评、总结.
必做题：教材88页2题，91页2题
完全平方公式与平方差公式时完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 4x2 4xy y2
第11页/共17页
例1 利用乘法公式计算：
（1）(2x y)2
解：
（2）(3a 2b)2
（2）(3a 2b)2 (3a)22 (3a)(2b) (2b)2
(a b)2 a2 2ab b2
(a+b) (m+n) = am + bm + an + bn
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探究新知
计算：(a b)2 ，(a b)2
(a b)2 (a b)(a b)
a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 (a b)(a b) a2 ab ab b2 a2 2ab b2
2.若 x2 2kx 9是一个完全平方式,
则 k _______;
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感谢您的观看。
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课堂小结
这节课你有哪些收获？我们一 起来分享一下吧！
完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
首平方，尾平方，
积的2倍放中央 .
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课后作业
一、必做：课本71页，习题8.3第1、7、8题 二、选做：
1. 20082 2 2008 2009 20092 =_______;
第13页/共17页
2.利用乘法公式计算:
(1)(3x 1)2;
(2)(a 3b)2;
(3)(2x y )2； 2
(4)(2x 3y)
3．如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各
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平方差，完全平方公式的几何意义
例1．已知大长方形两边长，面积定，求各类纸片张数
如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？
例2已知各类长方形张数，面积定，求大长方形边长
现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张．请你把它拼成一个长方形，并写出你的拼图思路．
巩固练习
1．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值；（3）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2
（4）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（5）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）=．
（6）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．
例3特例：（从一般到特殊）
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2
中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图2请你写出下列三个
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，
mn之间的等量关系．
；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；
②如果图3中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．
③已知：，求：的值．
（4）如图3，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
例4.平方差公式的几何意义
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
（3）设图3中阴影部分面积为S1，图4中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
请写出上述过程所揭示的乘法公式．
（4）比较图5、6两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．
（5）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
③a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．
④（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
（6）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．
8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为b，宽为a 的矩形．C型是边长为b的正方形．
（1）请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式的图形（要求三种型号的卡片都用上），这个乘法公式是；
（2）现有A型卡片1个，B型卡片6个，C型卡片10个，从这17个卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都是哪些情况？请你通过运算说明理由．。