平方差,完全平方公式的几何意义3.9

平方差，完全平方公式的几何意义

例1．已知大长方形两边长，面积定，求各类纸片张数

如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？

例2已知各类长方形张数，面积定，求大长方形边长

现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张．请你把它拼成一个长方形，并写出你的拼图思路．

巩固练习

1．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值；（3）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2

（4）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？

（5）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）=．

（6）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

例3特例：（从一般到特殊）

图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2

中阴影部分的面积．

方法1：

方法2：

（2）观察图2请你写出下列三个

代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，

mn之间的等量关系．

；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；

②如果图3中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

③已知：，求：的值．

（4）如图3，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

例4.平方差公式的几何意义

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

（3）设图3中阴影部分面积为S1，图4中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；

请写出上述过程所揭示的乘法公式．

（4）比较图5、6两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．

（5）运用你所得到的公式计算：

①10.3×9.7

②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

③a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．

④（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）

（6）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．

8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为b，宽为a 的矩形．C型是边长为b的正方形．

（1）请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式的图形（要求三种型号的卡片都用上），这个乘法公式是；

（2）现有A型卡片1个，B型卡片6个，C型卡片10个，从这17个卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都是哪些情况？请你通过运算说明理由．