您的位置：360文档中心› 八年级数学下册正方形测试题

八年级数学下册正方形测试题

合集下载

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形2．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（）A．1B．C．2D．23．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F 为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．125．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．34B．25C．20D．167．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．38．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分35分）9．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．10．已知：如图，正方形ABCD和EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积是．11．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．12．如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DE ⊥MN，交AB于点E，若AM＝1，DM＝3，则DE的长为．13．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM ＝DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．三．解答题（共5小题，满分45分）16．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．18．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．20．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．2．解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为4，∴AC2＝4，解得AC＝，∵菱形AECF的面积为2，∴AC•EF＝2，即×EF＝2，解得EF＝，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．4．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，则有△BCF≌△BAE（ASA），则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，∴BE＝＝．故选：C．6．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣2，0），B（2，b），∴OA＝2，OM＝2，∴OD＝AM＝4，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，故选：C．7．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．8．解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH＝BE＝PE＝HP，∴AH＝CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PD＝PF，∴PD＝CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP＝AD、P A＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC＝ED，∠DEC＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠FEH＝90°，∴∠OEC＝∠MED，在△OEC和△MED中，，∴△OEC≌△MED（ASA）∴两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积＝△DEC的面积＝×正方形ABCD的面积＝0.25，故答案为：0.25．11．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．12．解：如图，连接AC，过点A作AF∥MN，交BC于F，∵AM＝1，DM＝3，∴AD＝4，∵点O是正方形ABCD的中心，∴AO＝CO，AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，又∵∠AOM＝∠CON，AO＝CO，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AM＝CN＝1，∵AD∥BC，AF∥MN，∴四边形AMNF是平行四边形，∴AM＝FN＝1，∴BF＝2，∵DE⊥MN，AF∥MN，∴DE⊥AF，∴∠AED+∠EAF＝90°，又∵∠EAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠AFB，又∵∠EAD＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF＝2，∴DE＝＝＝2，故答案为2．13．解：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形，∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝，∴正方形EFMN的面积＝（）2＝8．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．15．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．三．解答题（共5小题，满分45分）16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）判断∠PED＝45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB+∠PEC＝180°，∴∠PDC+∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°．17．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则△BEC与△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE与△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，设CE＝x，则AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的长为4或6．18．解：（1）根据题意，作图如下：证明：在AB上截取BM＝BF，如下图，∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFQ，∵BF＝BM，∴CF＝AM，又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°，∴∠AMF＝∠FCQ，在△AMF和△FCQ中，，∴△AMF≌△FCQ（ASA），∴AF＝FQ；（2）当BF＝时，四边形FCQN为平行四边形，证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF，∵BF＝，BC＝1，∴FC＝，由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，∴CQ＝MF＝，∵NQ∥BC，∴∠FCQ+∠NQC＝180°，∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°，∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC，∴，，∴NQ＝FC且NQ∥FC，∴四边形FCQN为平行四边形．19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．20．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．。

2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步测试 (含解析)

2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步测试 (含解析)

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（）A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BDC．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO2．已知正方形ABCD中，对角线AC＝4，这个正方形的面积是（）A．8B．16C．8D．163．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD＝5，则FG为（）A．3B．3.2C．4D．4.84．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（）个等腰直角三角形．A．2B．4C．8D．165．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP 的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°6．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝35°，AF交BD于点E，则∠BEC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°7．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB 的度数等于（）A．60°B．65°C．75°D．80°8．如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N 分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（）A．6B．C．D．9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2B．4C．D．210．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．二．填空题11．在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥DC于点E，若OE＝2cm，则正方形ABCD 的面积为cm2．12．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，则DO＝cm，BO＝cm，∠OCD＝度．13．如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点．若BE＝10，则CE＝．14．如图，P是正方形ABCD内任意一点，△APD与△BPC的面积之和为8cm2，则AB＝cm．15．如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△P AB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC ＝．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF+AE．17．如图，在正方形ABCD中，H是DC边上一点，E是CB延长线上的一点，且DH＝BE，请判断△AEH的形状，并说明你的理由．18．如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：A，不能判定它是正方形；B，不能判定它是正方形；C，不能判定它是正方形；D，能，因为对角线相等且互相垂直平分；故选：D．2．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，2AB2＝42，AB2＝8．故选：A．3．解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，∴∠EDA＝∠CDG，∴△EDA∽△CDG，∴，即，解得，ED＝3.2，∴FG＝3.2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：B．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDF（SAS）．∴∠DCE＝∠DAF＝35°，∴∠BEC＝∠CDE+∠DCE＝45°+35°＝80°．故选：D．7．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAE＝15°，∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．故选：C．8．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AB＝CD＝AD＝BC＝12，AD∥EC，∵BE＝DF＝5，∴AF＝CE＝7，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AB＝12，BE＝5，∴AE＝＝＝13，∵S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，∴7×12＝13×GH，∴GH＝，故选：C．9．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．10．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAG＝∠FCH，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AC＝4AG＝4CH，∴AG＝OG＝OH＝CH，∴△EAG≌△FCH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝∠FHG，∴EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH与EF互相平分，∴EF经过点O，∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，又∵AG＝OG，∴S△EOG＝S△AEO＝1，∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．故选：B．二．填空题11．解：AC、BD为正方形ABCD的对角线，所以AC、BD相等且互相垂直平分，∵OE＝2cm，且O为AC的中点，OE⊥CD，AD⊥DC∴E为CD的中点，∴＝＝，即AD＝4cm，∴正方形ABCD的面积为42cm2＝16cm2，故答案为16．12．解：∵正方形ABCD，AC＝16cm∴DO＝AC＝8＝BO∠OCD＝45°．故答案为8，8，45．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝AD＝8，∴AE＝＝＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2，∴CE＝＝＝2；故答案为：2．14．解：如图，过点P作EF∥AB，MN∥BC，则正方形ABCD被分成四个小矩形，所以，S△APE＝S△APM，S△BPM＝S△BPF，S△CPF＝S△CPN，S△DPE＝S△DPN，∴S△APD+S△BPC＝S正方形ABCD，∵△APD与△BPC的面积之和为8cm2，∴正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB＝4cm．故答案为：4．15．解：设△ADP的高为h1，△BPC的高为h2，根据题意列方程得：S△ADP+S△BPC＝AD×h1+BC×h2＝BC（h1+h2）＝×1×1＝．故答案为．三．解答题16．解：延长DA至点G使AG＝CF，连接BG，在△ABG和△CBF中，∵，∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC＝∠BGA，∠CBF＝∠ABG，∵BF平分∠CBE交CD于F，∴∠CBF＝∠EBF，∴∠ABG＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BGA，∴BE＝GE，∴BE＝CF+AE．17．解：△AEH为等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE．∴∠HAE＝∠DAB＝90°则△AEH为等腰直角三角形．18．证明：∵四边形ABCD是正方形，DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴∠1＝∠4．又∵BD＝FD，∴∠1＝∠2＝∠3＝×45°，∠3＝∠4＝×45°，∴BC＝GC＝CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG＝45°，∴∠CDG＝（180°﹣45°）＝，又∵∠GHD＝90°﹣∠3＝90°﹣＝，∴∠HDG＝∠GHD，从而GH＝GD，即△GHD是等腰三角形．。

18.22 平面直角坐标系中的正方形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)

18.22 平面直角坐标系中的正方形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)

专题18.22 平面直角坐标系中的正方形（专项练习）一、填空题1．（2019·广东红岭中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为(1,1)．若直线y x b =+与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是____________．2．（2020·山东九年级）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕O 点顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕O 点连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，则点2021A 的坐标为_______．3．（2020·河北八年级期末）正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，正方形3332A B C C ，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点1A 、2A 、3A 和1C 、2C 、3C …分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2020B 的坐标是__________．4．（2019·北京人大附中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0),(2,)A B b -，则直线CD 的解析式是_____________．5．（2019·丹东市第七中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中正方形OABC ，点A 的坐标为(1，2)，则点C 的坐标 __6．（2021·湖北八年级期末）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A的坐标为(，则点B 的坐标为______．7．（2020·宁波市第十五中学八年级期末）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．8．（2019·河南八年级期末）如图在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (0,2)，以AB 为边作正方形ABCD ，则点C 的坐标为___________.9．（2020·甘肃八年级期末）如图：在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、．．．在直线l 上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点2018B 的坐标是__________．10．（2020·湖北九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，继续旋转至2020次得到正方形202020202020OA B C ，那点2020B 的坐标是__________．11．（2021·沭阳县修远中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，则正方形OABC 的面积为____．二、解答题12．（2016·浙江八年级月考）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为（﹣4，﹣2），（1）求点A 的坐标.（2）线段BO 的长度.13．（2019·北京八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且A （-3，0），B （2，b ），求正方形ABCD 的面积．14．（2018·青岛超银中学九年级单元测试）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，现将此正方形绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，求正方形111OA B C 各顶点的坐标．15．（2019·四川八年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点A 、C分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点()6,6B 在第一象限，AP 平分CAB ∠交OB 于P .（1）求OPA ∠的度数和OP 的长；（2）点P 不动，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转至图2的位置，60COP ∠=︒，AP 交OB 于点F ，连接CF .求证：OF CF PF +=；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB 交x 轴于点D 、OE 平分BAD ∠，M 、N 是OB 、OE 上的动点，求BN MN +的最小值，请在图中画出示意图并简述理由. 16．（2019·天津中考模拟）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图①，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．17．（2020·广东九年级）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，1），点C （1，0），正方形AOCD 的两条对角线的交点为B ，延长BD 至点G ，使DG BD =．延长BC 至点E ，使CE BC =，以BG ，BE 为邻边做正方形BEFG ．（①）如图①，求OD 的长及AB BG的值； （①）如图①，正方形AOCD 固定，将正方形BEFG 绕点B 逆时针旋转，得正方形BE F G '''，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG '．①旋转过程中，当BAG ∠'=90°时，求α的大小；①在旋转过程中，求AF'的长取最大值时，点F'的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．18．（2020·四川八年级期末）如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中的第一象限，点A，点B分别在y轴，x轴正半轴上，AB所在的直线方程为443y x=-+．（1）求点C和点D的坐标；（2）连接BD，将线段BD绕点B顺时针方向旋转至BE的位置，交线段CD于点F若DE DF=，求直线CE的解析式．19．（2021·广东八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求正方形ABCD的面积；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB∆的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019·福建八年级期末）如果P 是正方形ABCD 内的一点，且满足①APB＋①DPC＝180°，那么称点P 是正方形 ABCD 的“对补点”.（1）如图1，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，求证：点M 是正方形ABCD 的对补点；（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A （1，1），C （3，3）.除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.21．（2020·天津九年级月考）已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E ，F 分别在OA ，OC 上，且4OA =，2OE =．将OEF 绕点O 逆时针旋转，得OEF 点E ，F 旋转后的对应点为1E ，1F ．（①）①如图①，求11E F 的长；①如图①，连接1CF ，1AE ，求证11OAE OCF △≌△； （①）将OEF 绕点O 逆时针旋转一周，当11OE CF ∥时，求点1E 的坐标（直接写出结果即可）．22．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且AB ①OC ，BC OC ⊥，AB =4，BC =6，OC =8．正方形ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO 面积．将正方形ODEF 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形ODEF 的边长；（2）操作与求解：①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S （S ＞0）的变化情况是 ； A ．逐渐增大B ．逐渐减少C ．先增大后减少D ．先减少后增大①当正方形ODEF 顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形ODEF 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．23．（2020·北京四中九年级）在ABC 中，点D 在AB 边上（不与点B 重合），DE BC ⊥，垂足为点E ，如果以DE 为对角线的正方形上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称该正方形为ABC 的内正方形．（1）如图，在ABC 中，4AB =，30B ∠=︒，点D 是AB 的中点，画出ABC 的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；（2）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A t ，(0,0)B ，3,02C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ①若2t =，求ABC 的内正方形的顶点E 的横坐标的取值范围；①若对于任意的点D ，ABC 的内正方形总是存在，直接写出t 的取值范围．24．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线12:43l y x =-+分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将AOB 沿直线29:22l y x =-折叠，使点B 落在点C 处．（1）求点C 的坐标．（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当CDB △与CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式．（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点(),3M m ）和点P ，使四边形EFMP 为正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（2020·湖北江夏一中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，(,)A a b ，(,0)B c 是x轴正半轴上一点，30ABO ∠=︒|2|a -互为相反数．（1）求c 的值；（2）如图2，AC AB ⊥交x 轴于C ，以AC 为边的正方形ACDE 的对角线AD 交x 轴于F ．①求证：2BE OC =；①记22BF OF m -=，2OC n =，求m n的值． 26．（2019·辽宁七年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与正方形ABCD 重叠部分面积为S .（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；①当点F 与点A 重合时，m 的值为______. （2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.27．（2019·北京八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,0)A -，4()2,D -，顶点B 在x 轴的正半轴上．(1)写出点,B C 的坐标；(2)直线55y x =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．求EFC ∆的面积．28．（2019·河北九年级）如图，在平面直角坐标系中，点()()2,1,6,1B C ，四边形ABCD 是正方形，作直线()0y kx k =>与正方形AB CD 、边所在直线相交于E F 、（1）若直线()0y kx k =>经过点A ，求k 的值；（2）若直线()0y kx k =>平分正方形ABCD 的面积，求E 的坐标；（3）若AEF ∆的外心在其内部，直接写出k 的取值范围．29．（2020·天津南开翔宇学校九年级月考）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A -，点(0,6)C .若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形'''OA B C ，记旋转角为α.（①）如图①，当45α=︒时，求BC 与''A B 的交点D 的坐标；（①）如图①，当60α=︒时，求点'B 的坐标；（①）若P 为线段'BC 的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可)．参考答案1．﹣2＜b ＜2【解析】【分析】当直线y =x +b 过D 或B 时，求得b ，即可得到结论．【详解】①正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（1，1），①D （1，3），B （3，1）． 当直线y =x +b 经过点D 时，3=1+b ，此时b =2．当直线y =x +b 经过点B 时，1=3+b ，此时b =﹣2．所以，直线y =x +b 与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是﹣2＜b ＜2．故答案为﹣2＜b ＜2．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①A （0，1），①将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，①A 1），A 2（1，0），A 3，），…，发现是8次一循环，所以2021÷8=252……5，①点A 2021的坐标为（2-，2-）．故答案为（2-，2-）．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．3．20202019201921,2()B ﹣ 【分析】根据直线解析式先求出OA 1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n 个正方形的边长，从而求得点B n 的坐标，即可求得点B 2020的坐标．【详解】解：①直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，①OA 1=1，①B 1（1，1），①OA 1=1，OA=1，①①OAA 1=45°，①①A 2A 1B 1=45°，①A 2B 1=A 1B 1=1，①A 2C 1=2=21，①B 2（3，2）同理得：A 3C 2=4=22，…，①B 3（7，4）；B 4（24-1，24-1），即B （15，8），①B n （2n -1，2n -1），①B （22020-1，22019）故答案为（22020-1，22019）．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键．4．355y x =-+ 【分析】根据A(-3，0)，B (2，b)，得到OA=3，OE=2，易证得≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，得到DF=AO=3，OD=AE=CF=5，即可求得点C 、D 的坐标，从而求得直线CD 的解析式．【详解】作CF①y 轴于F ，BE①x 轴于E ，①A(-3，0)，B (2，b)，①OA=3，OE=2，①AE= OA+OE =5，①四边形ABCD 是正方形，①AB=AD=CD ，①BAD=①ADC=90︒，①①1+①DAO=90︒，①2+①DAO=90︒，①2+①CDF=90︒，①3+①CDF=90︒，①①1=①2=①3，①≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，①DF=AO=3，OD=AE=CF=5，①OF= OD - DF=2，①点C 的坐标为(5，2)，点D 的坐标为(0，5)，设直线CD 的解析式为5y kx =+，把点C 的坐标为(5，2)代入得：255k =+， 解得：35k =-，①直线CD 的解析式为355y x =-+， 故答案为：355y x =-+．【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．(-2，1)【分析】过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，根据同角的余角相等求出①OAD=①COE ，再利用“角角边”证明①AOD 和①OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．【详解】如图，过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，①四边形OABC 是正方形，①OA=OC ，①AOC=90°，①①COE+①AOD=90°，又①①OAD+①AOD=90°，①①OAD=①COE ，在①AOD 和①OCE 中，90OAD COE ADO OEC OA OC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩①OE=AD=2，CE=OD=1，①点C 在第二象限，①点C 的坐标为（-2，1）．故答案为（-2，1）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．(1-+【分析】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，证明①AOE①①BAD，得到BF，DE的长度，后将线段的长度转化为点的坐标即可．【详解】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，①四边形ABCO是正方形，①OA＝AB，①OAB＝90°，①①DBA+①BAD＝90°，①BAD+①EAEO＝90°，①①DBA＝①EAO，在①DBA和①EAO中，①DBA=①AEO,①D=①EAB=OA，①①BDA①①AEO，①BD＝AE，AD＝OE，①A（1），①OE＝AD＝DF=1，BD＝1，+1，①点B坐标为（1+1），故答案为：(1+．【点拨】本题考查了正方形的性质，一线三直角全等模型，线段与坐标的关系，根据图形的特点，熟练构造模型证明三角形全等是解题的关键．7．()3,1-【分析】过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．()2,1C --，2OE ∴=，1CE =．四边形OABC 是正方形，OA OC BC ∴==．易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒①AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，点B 到y 轴的距离为123+=，∴点B 的坐标为()3,1-．故答案为：()3,1-【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．8．(2,6)或(−2,−2)【解析】【分析】当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，易证①AOB①①BEC （AAS ），根据全等三角形的性质可得BE=AO=4，EC=OB=2，从而得到点C 的坐标为（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2）.【详解】解：如图所示，当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，①A (4,0)，B (0,2)，四边形ABCD 为正方形，①①BEC=①AOB=90°，BC=AB ，①①BCE+①EBC=90°，①OBA+①EBC=90°，①①BCE=①OBA ，①①AOB①①BEC （AAS ），①BE=AO=4，EC=OB=2，①OE=OB+BE=6，①此时点C 的坐标为：（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2），综上所述，点C 的坐标为：(2,6)或(−2,−2)故答案为：(2,6)或(−2,−2).【点拨】本题主要考查坐标与图形以及三角形全等的判定和性质，注意分情况讨论，不要漏解. 9．（22017，22018-1）【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质找出A 1、B 1、A 2、B 2、A 3、B 3的坐标，从而求出B n ，从而求出结论．【详解】解：将y=0代入1y x =-中，得x=1①A 1（1，0），①OA 1= A 1B 1=1，即点B 1（1，1）=（21-1，21-1）；将y=1代入1y x =-中，得x=2①A 2（2，1），①A 2 C 1= A 2B 2=2，即点B 2的坐标为（2，1＋2）=（2，3）=（22-1，22-1）；将y=3代入1y x =-中，得x=4①A 2（4，3），①A 3C 2= A 3B 3=2，即点B 3的坐标为（4，1＋2＋4）=（4，7）=（23-1，23-1）； ①点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）．①点2018B 的坐标是（22018-1，22018-1）=（22017，22018-1）．故答案为：（22017，22018-1）．【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．10．（-1，-1）【分析】连接OB ，根据图形可知，点B 在以点O 为圆心、、OB 为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O 逆时针依次旋转45°，可得点B 的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．【详解】解：如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①B （1,1），连接OB ，由勾股定理可得OB = ，由旋转的性质得：1232OB OB OB OB ===== 将正方形OABC 绕点O 逆时针依次旋转45°，得：11245AOB BOB B OB ∠=∠=∠==︒，①(10B ，()21,1B -，()3B ，41(1)B --，，…，可发现8次一循环， ①202082524÷=，①点2020B 的坐标为(11)--，, 故答案为(11)--，． 【点拨】本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键． 11．325【分析】过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，由正方形的性质就可以得出CDO AEO ∆≅∆，就可以得出CD AE =，OD OE =，由一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -，就可以得出(24,)A a a --代入解析式就可以求出a 的值，由正方形的面积等于2OC 就可以求出结论．【详解】解：过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，90CDO AEO ∴∠=∠=︒．四边形OABC 是正方形，90AOC ∴∠=︒，OC OA =．90DOE ∠=︒，AOC DOE ∴∠=∠，AOC AOD DOE AOD ∴∠-∠=∠-∠，COD AOE ∴∠=∠．在CDO ∆和AEO ∆中，CDO AEO COD AOE OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDO AEO AAS ∴∆≅∆CD AE ∴=，OD OE =．一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -， OD a ∴=，24CD a =-，OE a ∴=，24AE a =-，(24,)A a a ∴--，2(24)4a a ∴-=--，125a ∴=． 125OD ∴=，45CD =，在Rt CDO ∆中，由勾股定理，得2222212432555OC OD CD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2OABC S CO =正方形，325OABC S ∴=正方形． 故答案为：325． 【点拨】 本题考查了正方形的性质及面积公式的运用，垂直的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，一次函数图象上点的坐标的特征的运用，构造K 字形全等，得出AC 两点坐标关系是解题的关键．12．（1）A(-2,4)；（2）【解析】试题分析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO①①ODC ，即可求得A 点的坐标；（2）过点B 作BF①CD 交DC 的延长线于点F ，易证①BFC①①ODC ，即可求得点B 的坐标，由勾股定理求得正方形的边长，即可求得正方形的对角线OB 的长.试题解析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO ≅①ODC,得A(-2,4)；（2）同理可证①BFC ≅①ODC ，得B(-6,2)，得.13．34【分析】过点B 作BM①x 轴于点M ，通过证明AOD BMA ≅，可得,AO MB DO AM ==，即可得出AO 、DO 的值，根据勾股定理求出AD 的值，即可求出正方形的面积．【详解】过点B 作BM①x 轴于点M①四边形ABCD 是正方形,90AD AB DAB ︒∴=∠=90OAD BAM ︒∴∠+∠=90BAM ABM ︒∠+∠=OAD ABM ∴∠=∠在①AOD 和①BMA 中AOD AMBOAD ABM AD AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOD BMA ∴≅,AO MB DO AM ∴==(3,0),(2,)A B b -3,2AO OM ∴==3,325MB AM AO OM ∴==+=+=5DO ∴=22292534AD AO DO =+=+=234ABCD S AD ∴==正方形．【点拨】本题考查了正方形的面积问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．14．1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ． 【分析】作A 1D①x 轴于D ，C 1E①x 轴于E ，如图，根据正方形的性质得，①BOA=①BOC=45°，再根据旋转的性质得点B 1在y 轴上，OB 1，①A 1OD=45°，①B 1OC 1=45°，OA 1=OA=OC 1=2，则可判断①A 1OD 和①EOC 1都是等腰直角三角形，于是可根据等腰直角三角形的性质得到A 1D=OD=2OA 1，C 1E=OE=2OC 1，然后根据各象限点的坐标特征和y 轴上点的坐标特征写出正方形OA 1B 1C 1各顶点的坐标．【详解】解：作1A D x ⊥轴于D ，1C E x ⊥轴于E ，如图，①正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，①OB =45BOA BOC ∠=∠=，①正方形OABC 绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，①点1B 在y 轴上，1OB OB ==，145A OD ∠=，1145B OC ∠=，112OA OA OC ===，①1A OD 和1EOC 都是等腰直角三角形，①112A D OD OA ===112C E OE ===，①1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．（1）∠OP A=67.5°；OP ＝6；（2）详见解析；（3）【分析】（1）先求出①3=①2=①BAC=45°，进而得出①CAP=22.5°，即可得出OP=OA ，即可得出结论；（2）先求出①P=15°，进而判断出①FOG 是等边三角形，再判断出①COF①①POG ，即可得出结论，（3）先作出点B 关于OE 的对称点B'，得出BN+MN=B'M ，然后根据垂线段最短的性质可确定M 点坐标，即可计算出结论．【详解】解：（1）如图1，①AC ，OB 是正方形OABC 的对角线，①OA ＝AB ，①2＝①3＝①BAC ＝45°，①AP 是①BAC 的角平分线，①①1＝12①BAC ＝22.5°， ①①OAP ＝①3+①1＝67.5°，在①OAP 中，①OP A ＝180°﹣①2﹣①OAP ＝67.5°，①①OAP ＝①OP A ，①OA ＝OP ，①B （6，6），①AB ＝6，①OA ＝AB ＝6，①OP ＝6；（2）如图2，①四边形OABC 是正方形，①OA ＝OC ，①AOC ＝90°，①①COP ＝60°，①①AOP ＝150°，由（1）知，OP ＝OA①①P ＝15°，由（1）知，①POG ＝45°，①①AGO ＝①P +①POG ＝60°，①OB 是正方形的对角线，①①BOC ＝45°，①①COP ＝60°，①POG ＝45°，①①BOG ＝①COP ＝60°，①①OFG 是等边三角形，①OF ＝FG ＝OG ，在①COF 和①POG 中，45OF OGCOF POG OC OP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①COF ①①POG ，①PG ＝CF ，①CF +OF ＝PG +FG ＝PF ；（3）如图3，过点B 作BQ ①OE 于Q ，延长BQ 交x 轴于B '，①OE 是①DOB 的平分线，①BQ ＝B 'Q ，①点B '与点B 关于OE 对称，连接B 'M '交OE 于N '，①BN '+M 'N '＝B 'N '+M 'N '＝B 'M '，过点B '作B 'M ①OB 于M ，交OE 于N ，此时，BN +MN 最小，①OB 是边长为6的正方形的对角线，①OB ＝由作图知，OB '＝OB ＝，由（2）易知，①BOD ＝30°，在Rt①B 'OM 中，B 'M ＝12OB '＝3，即：BN +MN 的最小值为【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识进行推理证明是解题关键．16．（1）(6-；（2）3,3+；（3）3323AP +.【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt①BA′D 中，①OBC ＝45°，A′B ＝6，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明①OMC′①①C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝12OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．【详解】解：（1）①A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），①四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，①OB＝OA′＝OA＝6，①OBC＝45°，①A′B＝6，①BD＝（6）12=-，①CD＝6﹣（12-=6，①BC与A′B′的交点D的坐标为（6-6）；（2）如图①，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，①①OC′B′＝90°，①①OC′M＝90°﹣①B′C′N＝①C′B′N，①OC′＝B′C′，①OMC′＝①C′NB′＝90°，①①OMC′①①C′NB′（AAS），当α＝60°时，①①A′OC′＝90°，OC′＝6，①①C′OM＝30°，①C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，①点B′的坐标为(3,3+；（3）如图①，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，①P为线段BC′的中点，①PK＝12OC′＝3，①P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，①AK＝①AP最大值为3，AP的最小值为3，①AP长的取值范围为3323AP+.【点拨】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．17．（①，12AB BG =；（①）①α=30°，α=150°，①F '），α=315°．【分析】（①）根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题；（①）①因为①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，可知sin①AG ′B ='AB BG =12，推出①AG ′B =30°，推出旋转角α=30°，据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°；①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大．【详解】解：（①）如图①中，①A （0，1），①OA =1．①四边形OADC 是正方形，①①OAD =90°，AD =OA =1，①OD =AC ，①AB =BC =BD =BO =2． ①BD =DG ，①BG ，①AB BG=12． （①）①如图①中，①①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，①sin①AG ′B ='AB BG =12， ①①AG ′B =30°，①①ABG ′=60°，①①DBG ′=30°，①旋转角α=30°，根据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°．综上所述：旋转角α=30°或150°时，①BAG ′=90°． ①如图3中，连接OF ．①四边形BE ′F ′G ′，①BF ′=2，①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F ′（1122+-，）．【点拨】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用． 18．（1）点C 的坐标为(7,3)，点D 的坐标为(4,7)；（2）直线CE 的解析式为746y x =-． 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，从而可得3,4OB OA ==，再根据正方形的性质、直角三角形的性质可得,AB BC OAB HBC =∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得3, 4CH BO BH AO ====，从而可得7OH =，由此即可得出点C 的坐标，同样的方法可求出点D 的坐标；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，先根据正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出30x =︒，再根据直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//BD CE ，然后利用待定系数法求出直线BD 的解析式，从而可得直线CE 的解析式中的一次项系数，最后将点C 的坐标代入即可得． 【详解】 （1）AB 所在的直线方程为443y x =-+， 当0x =时，4y =，即()0,4A ， 当0y =时，4403x -+=，解得3x =，即(3,0)B ， 3,4OB OA ∴==，如图，过点C 作⊥CH x 轴，垂足为H ， 四边形ABCD 是正方形，90,ABC AB BC ∴∠=︒=，90OAB OBA OBA HBC ∴∠+∠=∠+∠=︒， OAB HBC ∴∠=∠，在OAB 和HBC 中，90OAB HBC AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OAB AAS HBC ∴≅，3, 4CH BO BH AO ∴====，347OH OB BH ∴=+=+=，∴点C 的坐标为(7,3)，同理可得：点D 的坐标为(4,7)；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，四边形ABCD 是正方形，45BDC ∴∠=︒，AC BD =，AC BD ⊥， DFE ∠是BDF 的一个外角，45DFE DBE BDC x ∴∠=∠+∠=+︒， DE DF =，45DEF DFE x ∴∠=∠=+︒，由旋转的性质得：BD BE =，45BDE BED x ∴∠=∠=+︒，4545EDF BDE BDC x x ∴∠=∠-∠=+︒-︒=，在EDF 中，由三角形的内角和定理得：180EDF DEF DFE ∠+∠+∠=︒， 即()245180x x ++︒=︒， 解得30x =︒，如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接AC ，交BD 于点N ，则1122CN AC BD ==， 在Rt BEM 中，30EBM x ∠==︒，1122EM BE BD ∴==， EM CN ∴=，,E AC BD M BD ⊥⊥，//EM CN ∴，∴四边形EMNC 是平行四边形，//BD CE ∴，设直线BD 的解析式为y kx b =+，将()3,0B 和()4,7D 代入得：3047k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得721k b =⎧⎨=-⎩， 则直线BD 的解析式为721y x =-，//BD CE ，∴设直线CE 的解析式为7y x m =+，将点()7,3C 代入得：493m +=，解得46m =-，故直线CE 的解析式为746y x =-．【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，较难的是题（2），利用平行四边形的判定与性质得出//BD CE 是解题关键．19．（1）5；（2）()1,3C -，()3,2D -；（3）存在，()1,0M - 【分析】（1）在直角三角形AOB 中，由OA 与OB 的长，利用勾股定理求出AB 的长即可； （2）过C 作y 轴垂线，过D 作x 轴垂线，分别交于点E ，F ，可得三角形CBE 与三角形ADF 与三角形AOB 全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C 与D 坐标即可； （3）作出B 关于x 轴的对称点B′，连接B′D ，与x 轴交于点M ，连接BD ，BM ，此时①MDB 周长最小，求出此时M 的坐标即可． 【详解】 （1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =， ①()2,0A -，()0,1B ，在Rt AOB ∆中，2OA =，1OB =，根据勾股定理得：AB == 所以正方形ABCD 面积为5.（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，可得90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒， ①正方形ABCD ，①BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ①90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒，①90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ①BAO ADF CBE ∠=∠=∠， ①BCE DAF ABO ∆∆∆≌≌，①2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，①213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ①()1,3C -，()3,2D -；（3）找出B 关于x 轴的对称点B ′，连接B D '，与x 轴交于点M ，此时BMD ∆周长最小， ①()0,1B ， ①()0,1B '-设直线B D '的解析式为y kx b =+， 把B ′与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩，即直线B D '的解析式为1y x =--，令0y =，得到1x =-，即()1,0M -．【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）对补点如：N（52，52）．证明见解析【解析】试题分析：(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到①DMC＝①AMB＝90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可,通过证明①DCN①①BCN,得到①CND＝①CNB,利用邻补角的性质即可得出结论.试题解析：（1）①四边形ABCD是正方形，① AC①BD．① ①DMC＝①AMB＝90°.即①DMC＋①AMB＝180°．① 点M是正方形ABCD的对补点．（2）对补点如：N（52，52）．说明：在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可.证明（方法一）：连接AC ，BD由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．则点N（52，52）是直线AC上除对角线交点外的一点，且在正方形ABCD内.连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD的对补点．证明（方法二）：连接AC ，BD，由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设点N是线段AC上的一点（端点A，C及对角线交点除外），连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD除对角线交点外的对补点．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．在1＜x ＜3范围内，任取一点均为该正方形的对补点，如N （52，52）．21．（①）①11=E F ①见解析；（①）点1E 的坐标为(或(1,． 【分析】（1）①根据勾股定理求出EF 的长，11E F 的长；根据SAS 定理证明11OAE OCF △≌△即可； （2）由于①OEF 是等腰Rt①，若OE①CF ，那么CF 必与OF 垂直；在旋转过程中，E 、F 的轨迹是以O 为圆心，OE （或OF ）长为半径的圆，若CF①OF ，那么CF 必为①O 的切线，且切点为F ；可过C 作①O 的切线，那么这两个切点都符合F 点的要求，因此对应的E 点也有两个；在Rt①OFC 中，OF=2，OC=OA=4，可证得①FCO=30°，即①EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E 点的坐标，由此得解． 【详解】解：（①）①①等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，2OE =， ①90EOF ∠=︒，2OF OE ==．在Rt OEF 中，由勾股定理，得EF =．①11OE F △是由OEF 绕点O 逆时针旋转得到的，①11=E F①①四边形OABC 为正方形， ①OA OC =，①将OEF 绕点O 逆时针旋转，得11OE F △， ①11AOE COF ∠=∠，又OEF 是等腰直角三角形， ①11OE F △是等腰直角三角形， ①11OE OF =， ①11OAE OCF △≌△． （①）如图，①OE①OF ，①过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直， 当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时， 则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上． ①过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线．又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2， 此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1①OE 1，CF 2①OE 2． 当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限． cos①COF 1=112OF OC =， ①①COF 1=60°，①①AOE 1=60°． ①点E 1的横坐标为：x E1=2cos60°=1，点E 1的纵坐标为：y E1①点E 1的坐标为(1；当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．同理可求：点E 2的坐标为(1，)．综上所述，三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE①CF ，此时点E 的坐标为E 1(1或E 2(1，． 【点拨】本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形、以及分类讨论的数学思想．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点． 22．（1）①ODEF 1S =(48)6362ABCO S =+⨯=， 设正方形的边长为x ，①236x =，6x =或6x =-（舍去）．。

人教版八年级下册数学18章正方形综合问题大题专练(原卷版)

人教版八年级下册数学18章正方形综合问题大题专练(原卷版)

专题18.12正方形综合问题大题专练姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020春•青山区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC 分别于P、F点，连PC（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4√2，求PF的长．2．（2020•三门县一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若四边形AECF的面积为12．①正方形ABCD的面积是；②当FG＝2时，求EG的长．3．（2018•安丘市模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．4．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．5．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．6．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上（不与点A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，连接PD．（1）求证：四边形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之间的数量关系，并说明理由．7．（2019•黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接P A，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）如图①所示，求证：AP=√2OA；（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2020春•岳麓区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，点F是BP的中点，连结EF、AF，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求PE的长．10．（2020春•江都区期中）如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求∠P AC的度数．11．（2020春•富县期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．12．（2020春•大观区校级期末）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB ＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．（1）求证：BE＝DE；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；（3）△BEF的周长为．13．（2020•海安市一模）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．（1）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；（2）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．14．如图，在正方形ABCD中，BD为一条对角线，点P为CD边上一点，A连接AP，并将△ADP平移使AD与BC边重合，P点落在DC的延长线上的一点G处，过G点作GH⊥BD于点H，连接HP和HC （1）在图中依题意补全图形；（2）求证：PH＝CH．15．（2020•浙江自主招生）已知如图，正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，取DF 中点G，连结EG、CG，探究EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．16．（2013•黄冈模拟）如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE＝4，CF＝3，求EF的长．17．（2016春•洪山区期中）如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2√3．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．18．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．19．（2020春•常州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；（2）若AB＝3√2，BE＝3，求四边形AECF的周长．20．（2020春•江阴市期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：√4+2√3=√3+1，√4−2√3=√3−1）21．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．22．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．23．（2019春•无锡期中）如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．24．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．25．（2020秋•永年区期中）（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．26．（2020春•南岗区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．27．（2020春•梁溪区期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．28．（2020春•下陆区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE ＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．29．（2020春•涧西区校级期中）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．30．（2019春•保山期中）四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）求证：AM＝AD+MC．（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；。

人教版八年级下册数学 正方形 同步测试卷

人教版八年级下册数学 正方形 同步测试卷

正方形同步测试卷一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN 是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF 是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF 不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．① B．② C．③ D．④8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD=时，四边形MENF是正方形．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF 为正方形的是．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个（填代号）．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF 是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2 （1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC 于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案与试题解析一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选：A．3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A、不能，只能判定为矩形；B、不能，只能判定为平行四边形；C、能；D、不能，只能判定为菱形．故选：C．4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN 是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DE BF，AE FC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．故选：A．6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC 不可能是正方形．故选B．7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选C．8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF=90°．∵MN∥BC，∴∠FEC=∠ECH，∵∠ECH=∠ECO，∴∠FEC=∠ECO，∴OE=OC．同理OC=OF，∴OE=OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA=OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB=90°，则CE=CF，∴四边形AECF为正方形．故选：D．9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE ≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD 是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF 为正方形的是①②③．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个①②或①④（填代号）．【分析】因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故填：①②或①④．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2．【分析】作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x﹣1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE 沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，∴∠HAF=90°，∴四边形AHGF是矩形，∵AH=AE，AE=AF，∴AH=AF，∴四边形AHGF是正方形，∴AF=GH=GF，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，∴DG=x﹣1，在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x﹣1）2+x2，解得：x1=4，x2=﹣3（舍），∴AF=x+2=4+2=6，Rt△ACF中，AC==2．故答案为：2．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是57.75 ．【分析】运用拼图的方法，构造一个正方形，用大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可得出所求多边形的面积．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，∴多边形ABCFDE的面积=（大正方形的面积﹣小正方形面积）=（202﹣132）=57.75．故答案为：57.75．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【分析】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF 是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG=DF，同理得到DE=DG，等量代换得到DE=DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．证明：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG；∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DG，∴DE=DF，∴四边形CEDF为正方形．20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2 （1）四边形EFGH的形状是正方形；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）【分析】（1）根据正方形性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，求出AH=DG=CF=BE=5，证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，推出EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，证出∠EHG=90°，即可得出答案．（2）在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，根据正方形面积公式求出即可．（3）四边形EFGH的周长是×4，求出即可．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，∵AE=BF=CG=DH=2，∴AH=DG=CF=BE=5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，∵∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=180°﹣90°=90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE=2，AH=5，由勾股定理得：EH==，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=，∴四边形EFGH的面积是（）2=29．（3）四边形EFGH的周长是×4=4≈4×5.39≈21.6．21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC 于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，由（1）知CE=AB，∴AC=CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对边相等D．邻边相等2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC4．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（）A．8B．12C．16D．206．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（）A．9B．18C．24D．367．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．98．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作F A＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4B．8C．16D．无法计算9．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或210．如图，在正方形ABCD中，动点E在BC边上（点E与点B不重合），∠DAE的平分线AF与CD边交于点M，与BC边的延长线交于点F，连接EM．对于下列四个结论：①AE＝EF；②若CM＝CE，则AF＝2BC；③若EM⊥AF，则CM＝DM；④存在点E，使点E与点D关于直线AF对称．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是．12．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为．13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为．15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件，使四边形AECF是菱形．16．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题17．如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．18．如图，正方形ABCD中，点F是CD边上一点，DF＝2．连接AF并延长，交BC边延长线于点E，∠EFC＝3∠E，连接AC．（1）求证：AC＝EC；（2）求正方形的边长．19．如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC 上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．22．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．参考答案一．选择题1．解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误，故选：A．3．解：因为矩形的四个角是直角，故A正确，因为菱形的对角线互相垂直，故B正确，因为正方形的对角线相等，故C正确，菱形的对角线和边长不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，故选：D．4．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．5．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的边长为4，∴正方形ACEF的面积为16，故选：C．6．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×6×6＝18，故选：B．7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，即∠ABF＝∠D＝90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴S Rt△ABF＝S Rt△ADE，∴S Rt△ABF+S四边形ABCE＝S Rt△ADE+S四边形ABCE，∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．故选：C．9．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），故选：D．10．解：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠EF A，∴∠EF A＝∠EAF，∴AE＝EF，故①正确；若CM＝CE，则DM＝BE，∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△ADM中，，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴∠BAE＝∠DAM＝∠EAF＝30°，∴∠F＝30°，∴AF＝2AB，∴AF＝2BC，故②正确；若EM⊥AF，∴M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ADM和△FMC中，，∴△ADM≌△FMC（AAS），∴CM＝DM，故③正确；只有当点E和点D重合时，才有点E与点D关于直线AF对称．与题意不符，故④错误．综上所述：其中正确结论有①②③，共3个，故选：C．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DEC＝60°．∴∠ADE＝90°+60°＝150°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．12．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝8，BF＝AE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴AE＝6，∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．故答案为14．13．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，故答案为：8．14．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，∴正方形A'B'C'O的面积为4．故答案为：4．．15．解：添加的条件为：BE＝DF，理由：正方形ABCD中，对角线BD，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF＝45°．∵BE＝DF，∴△ABE≌△CBE≌△DCF≌△DAF（SAS）．∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：BE＝DF．∴∠ABD＝90°，AB＝DB，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC＝BE，∵DE2+BE2＝BD2，∴ED2+AC2＝BD2，∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，∴S1+S2＝1，同理可得S3+S4＝3，∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为4．三．解答题17．解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∵∠MCN＝∠NCM，∴∠ACN＝∠BCM，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．∴∠DCE＝90°，∵∠EFC＝3∠E，∠EFC+∠E＝90°，∴4∠E＝90°，∴∠E＝22.5°，•又∵AC是正方形对角线，∠ACB＝45°，∵∠ACB＝∠E+∠EAC，∴∠EAC＝22.5°，∴∠EAC＝∠E，∴AC＝EC；（2）解：设正方形的边长为x，则AC＝EC＝x，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵∠ADC＝∠FDE＝90°，∴x＝2+2，∴正方形的边长为2+2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴CG＝CE；（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，∴BC＝3CG＝，在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．22．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°，∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，在△EBF和△EBN中，，∴△EBF≌△EBN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3B．4C．5D．62．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°3．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF 的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且OE＝2CO，则BE的长度是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（）A．10°B．15°C．25°D．30°6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形9．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形二．填空题10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD 于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB ＝135°，则正方形ABCD的面积为．12．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝．三．解答题13．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．（1）求证：四边形EFDC是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．15．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB 于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？16．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A＝90°，求证：四边形DF AE是正方形．17．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB＝∠DAB；（2）若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．19．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．21．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD 于点G．（1）求证：BG＝DF；（2）求证：EF+EG＝CE．参考答案一．选择题1．解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵MN∥AD，∴MN⊥AB，MN⊥CD，∵S△ABE＝AB•EM＝×4×EM＝2EM＝5，∴EM＝，∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，∴S△CDE＝CD•EN＝×4×＝3，故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵正方形ABCD的边长为2，∴BC＝2，在Rt△BOC中，BO2+CO2＝BC2，即2BO2＝22，解得BO＝，∵OE＝2CO，∴OE＝2，在Rt△BOE中，BE＝．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，在△AED和△CED中，，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠DAE＝∠ECD，又∵∠BEC＝70°，∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝25°，故选：C．6．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．7．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B．对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题错误，不符合题意；C．有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．8．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．9．解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；故选：D．二．填空题10．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴AB＝BC＝OB＝2+．故答案为：2+．11．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH 交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠P AH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠DCP，在△BCF和△DCP中，∴△BCF≌△DCP（AAS），∴BF＝DP，∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴2AB2＝AC2＝32＝9∴AB＝，∴AD＝，∵3DP＝AB，∴DP＝，∴BF＝DP＝，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，AP＝AD+DP＝+＝2，在Rt△AFP中，FP＝＝＝．故答案为：．三．解答题13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵EF∥DC，∴四边形FEDC为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FEDC是菱形，又∵∠C＝90°，∴平行四边形FEDC是正方形；（2）∵四边形FEDC是正方形，∴∠CDE＝45°，∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．14．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．15．解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠F AD＝∠FDA，∴AF＝DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形，理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF为正方形．16．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．∵∠A＝90°，∴四边形DF AE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF．∴四边形DF AE为正方形．17．（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD＝90°，即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF，设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，∴CE＝1；（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠F AD，∠AGD＝∠F AD+∠BAE，在△ABM和△ADG中，，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠M＝∠AGD＝∠F AD+∠EAB，∠MAB＝∠F AD，∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．19．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠F AE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．21．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，∴∠CBG＝∠CDF，在△CBG和△CDF中，，∴△CBG≌△CDF（ASA），∴BG＝DF；（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，∴∠MCG＝∠ECF，在△MCG和△ECF中，，∴△MCG≌△ECF（ASA），∴MG＝EF，CM＝CE，∴△CME是等腰直角三角形，∴ME＝CE，又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝CE．。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3(附答案)

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3(附答案)

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案）1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是( )A ．90°－α－βB ．90°－α＋βC ．90°＋α－βD ．α＋β－90°2．下列命题中，假命题是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．下列命题中，假命题是（ ）A ．矩形的对角线相等B ．菱形的对角线互相垂直C ．正方形的对角线相等且互相垂直D ．梯形的对角线互相平分4．下列命题中正确的是（ ）A ．矩形的对角线一定垂直B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．四个角都相等的四边形是正方形D ．菱形的对角线互相垂直平分 5．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．46．以下命题，正确的是（ ）.A ．对角线相等的菱形是正方形B ．对角线相等的平行四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形8．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直9．正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）A．10 B．20 C．24 D．2510．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（3，4）D．（3，5）11．现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图所示，从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间cm.阴影部分的面积是______212．已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的而积为20，则阴影部分的面积为________．13．如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在边DC 上，且DM =2，N 为对角线AC 上任意一点，则DN +MN 的最小值为______．14．如图，E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，且BE ＝AC ，则∠BED ＝_____．15．已知：正方形ABCD ，E 为平面内任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90︒得到DG ，当点B ，D ，G 在一条直线时，若4=AD ，22DG =，则CE =________．16．如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝2cm ，点P 从B 点出发以1cm /s 的速度沿CB 延长线运动，运动时间为t 秒．以AP 为斜边在其上方构造等腰直角△APD ．当t ＝1秒时，则CD ＝_____cm ，当D 运动的路程为2cm 时，则P 运动时间t ＝_____秒．17．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线cm ，则图1中对角线的长为______cm.18．如图，正方形ABCD 和Rt AEF ∆，5,4AB AE AF ===，连接,BF DE ．若AEF ∆绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S ∆=_____．19．现在全省各大景区都在流行“真人CS“娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则：如图，用绳子围成的一个边长为10m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边BC 、CD 、DA 上插小旗子，最后回到点E.已知EB 3AE =，则游戏者所跑的最少路程是多少______m.20．如图，已知正方形ABCD 的边长为42E 在对角线BD 上，且BE BC =，连接CE ，点P 是线段CE 上的一个动点，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR BE ⊥于点R ，则PQ PR +的值是______.21．如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，F是BA延长线上的一点，AF=AE，．（1）求证：△ABE≌△ADF（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．22．如图，在等腰梯形中，，点是线段上的一个动点（与不重合），分别是的中点．（1）试探索四边形的形状，并说明理由．（2）当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并加以证明．（3）若（2）中的菱形是正方形，探索线段与线段的关系，并证明你的结论．23．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD(1)若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．(2)存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．(3)当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．24．如图，正方形ABCD 中，P 是BA 延长线上一点，且∠PDA =α（0︒<α< 45︒）.点 A ，点 E 关于 DP 对称，连接 ED ，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF .（1）请按照题目要求补全图形.（2）求证：∠EDF=∠CDF（3）求∠EDF(含有α 的式子表示)；（4）过 P 做PH ⊥DP 交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.25．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，连接AC 、BD 交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，（1）求DE 的长；（2）过点E 作EF ⊥CE ，交AB 于点F ，求BF 的长；26．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，()()0,,,0,//A m B n AC OB ，且AC OB =，连接BC 交x 轴于点F ，其中mn 、248160m n n -++=. （1）求A B 、两点坐标；（2）如图2，过A 作C AE B ⊥于E ，延长AE 交x 轴于点D ，动点P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向x 轴正半轴方向运动，设PFD ∆的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE ，将PED ∆沿PE 翻折到PEG ∆的位置（点D 与点G 对应），当四边形PDEG 为菱形时，求点P 和点G 的坐标.27．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．参考答案1．A【解析】【分析】根据∠3=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【详解】解：如图：∵∠BOD=90°-∠1=90°-α，∠EOC=90°-∠2=90°-β，又∵∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，∴∠3=90°-α+90°-β-90°=90°-α-β．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是解决本题的关键．2．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．3．D【解析】【分析】分别根据矩形，菱形，正方形，梯形对角线的特殊性质判断即可．注意只有在特殊情况下才有特殊的对角线之间的关系．【详解】A. 矩形的对角线相等，正确；B. 菱形的对角线互相垂直，正确；C. 正方形的对角线相等且互相垂直，正确；D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；故选D.【点睛】此题考查正方形的性质，梯形，菱形的性质，解题关键在于掌握各性质定理4．D【解析】【分析】根据矩形的性质、正方形的判定和菱形的性质逐项判断即可.【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，所以本选项不符合题意；B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以本选项不符合题意；C. 四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，所以本选项不符合题意；D. 菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，所以本选项符合题意.故选D.【点睛】本题考查的是特殊四边形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是正确判断的关键.5．B【解析】【分析】作FM⊥BC于M，根据等边三角形性质得等边三角形，∠B=60°，BC=AB=6，根据直角三角形性质得FM=112EF=，根据三角形面积公式求解.【详解】如图，作FM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，BC=AB=6，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED=60°，∵四边形DEFG是正方形，EF=DE=2，∠DEF=90°，∴∠FEM=30°，∴FM=11 2EF=∵EC=BC-BE=4，∴△EFC的面积= 1412 2⨯⨯=故选：B．【点睛】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．6．A【解析】【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．7．B【解析】【分析】平行四边形判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.对角线互相平分的四边形是平行四边形.正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形.2.邻边相等的矩形是正方形.3.对角线相等的菱形是正方形.4.对角线相互垂直的矩形是正方形.5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形.菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).3.一组邻边相等的平行四边形是菱形.4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.【详解】A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理即可解题.8．D【解析】【分析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【详解】A.菱形的对角线不一定相等，A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确；故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．B【解析】【分析】正方形内一点到两边的距离之和等于边长，故找到1+4=2+3这个等量关系，可以确定边长=5，正方形周长=4×边长．【详解】解：由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等，由于只有1+4=2+3=5，于是，正方形的边长只能为5，故正方形的周长=4×5=20，故选：B．【点睛】此题主要考查正方形的性质的知识点，题目的设置将正方形的边长为5，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，3，4”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见．故解本题的关键是找到边长=5这个隐藏条件．10．D【解析】【分析】根据正方形的边长加上点A的横坐标得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标得到点C的纵坐标，从而得解．【详解】解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），∴点C的横坐标为4﹣1＝3，点C的纵坐标为4+1＝5，∴点C的坐标为（3，5）．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，根据图形明确正方形的边长与点的坐标的关系是解题的关键．11．8【解析】首先根据题意可计算的AB 的长度，再根据面积计算公式可得阴影部分的面积.【详解】根据题意可得如图所示的AB=22cm所以阴影部分的面积=()2228=cm 2因此答案为8cm 2【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于作图，求出阴影部分的边长.12．11【解析】【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt △QEC 中，可根据勾股定理求得EQ=3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S 阴影的值．【详解】∵正方形ABCD 的面积是25，∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，又∵S 菱形PQCB =PQ×EC=5×EC=20， ∴S 菱形PQCB =BC•EC ， 即20=5•EC ，∴EC=4，在Rt △QEC 中，22QC EC -；∴PE=PQ-EQ=2，∴S 阴影=S 正方形ABCD -S 梯形PBCE =25-12×（5+2）×4=25-14=11． 故答案为：11．此题主要考查了菱形的性质和面积计算以及正方形的性质，根据已知得出EC=8，进而求出EQ的长是解题关键．13．10【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CM=CD−DM=8−2=6，∴在Rt△BCM中，2222=+=+=，BM CM BC6810故答案为：10.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′,由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键.14．22.5°【解析】【分析】首先连接BD，所以得BE＝AC＝BD，即得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD ＝45°，∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BED．【详解】∵正方形ABCD，AD＝AB，∴∠ABD＝45°，∴AC＝BD，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，∴2∠BED＝45°，∴∠BED＝22.5°，故答案为22.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形底角相等的性质，根据∠BED＝∠BDE和∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°求∠BED是解题的关键．15．22210【解析】【分析】分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F；（2）当点G在线段BD的延长是线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F.根据两种情况分别画出图形，证得GDE等腰直角三角形，求出DF=EF=2，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理即可求出CE的长.【详解】解：分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG= 22∴DF=EF=2∴CF=CD-DF=4-2=2∴CE=22（2）当点G在线段BD的延长线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG= 22∴DF=EF=2∴CF=CD+DF=4+2=6∴22+=26210综上所述，CE的长为2或10【点睛】∆是本题考查了正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，通过旋转证得GDE 等腰直角三角形进行有关的计算是解题的关键.16．428【解析】【分析】连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．首先证明AC+CB＝2CD，延长即可解决问题；【详解】解：连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．∵DA＝DP，∠ADP＝90°，∴∠DAP＝∠DP A＝45°，∵∠ACP+∠ADP＝180°，∴A，C，P，D四点共圆，∴∠ACD＝∠APD＝45°，∴∠ACD＝∠DCF，∵DE⊥CA，DF⊥CF，∴DE＝DF，∵∠EDF＝∠ADP＝90°，∴∠ADE＝∠PDF，∵∠DEA＝∠DFP＝90°，∴△DEA≌△DFP（ASA），∴AE＝DF，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝DF，∴四边形ECFD是正方形，∴AC+CP＝EC+AE+CF﹣PF＝2EC＝2CD，∵t＝1s时，AC＝5cm，CP＝3cm，∴CD＝2＝42（cm），当t＝0时，CD＝2＝72，当D运动的路程为42cm时，CD＝42+722＝1522，∵AC+CP＝2CD，∴5+CP＝15，∴CP＝10，∴PB＝8，t＝8.故答案为：42；8．【点睛】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．【解析】【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】如图1，2中，连接AC.在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠B=90°，∵AC=40°，∴AB=BC=a ，在图1中,∵∠B=60°，BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=BC=a.故答案为：a.【点睛】此题考查菱形的性质，正方形的性质，解题关键在于作辅助线.18．6 【解析】【分析】作DH AE ⊥于H ，如图，由于A F=4，则AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，利用勾股定理计算出3BF =，接着证ADH ABF ∆≅∆得到3DH BF ==，然后根据三角形面积公式求解．【详解】作DH AE ⊥于H ，如图，4AF =Q ，当AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，∴当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，在Rt ABF ∆中，22543BF =-=,90EAF ︒∠=Q ，90BAF BAH ︒∴∠+∠=，90DAH BAH ︒∠=+∠Q ，DAH BAF ∴∠=∠，在ADH ∆和ABF ∆中AHD AFBDAH BAFAD AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH ABF AAS∴∆≅∆，3DH BF∴==，1134622ADES AE DH∆∴=⋅=⨯⨯=．故答案为：6．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．202【解析】【分析】延长DC到D¢，使CD CD'=，G关于C对称点为G，则FG FG'=，作D A CD'''⊥，D A DA''=，H关于C的对称点为H'，则G H GH''=；再作A B D A''''⊥，E关于G'的对称点为E'，则H E HE''=；由两点之间线段最短可知当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，延长AB至K使BK AB=，连接E'K，利用勾股定理即可求出EE'的长．【详解】延长DC到D¢，使CD CD'=，G关于C对称点为G，则FG FG'=，作D A CD'''⊥，D A DA''=，H关于C的对称点为H'，则G H GH''=；再作A B D A''''⊥，E关于G'的对称点为E'，则H E HE''=；延长AB至K使BK AB=，连接E'K，如图所示：容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为2222(2)(2)2020202EE AB BC'=+=+=(m)，故答案为：202．【点睛】本题考查的是正方形的性质以及最短路线问题，解答此题的关键是画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解． 20．4【解析】【分析】连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，然后根据BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝，求出h PQ PR +＝，再根据正方形的性质求出h 即可．【详解】解：如图，连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，则,BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝即111•••222BE h BC PQ BE PR +＝， BE BC Q ＝，h PQ PR ∴+＝，∵正方形ABCD 的边长为42，24242h ∴＝． 故答案为4．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ +PR 等于点C 到BE 的距离是解题的关键．21．（1）见解析；（2）(2)BE=DF ，BE ⊥DF ；证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和SAS即可证明；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．【详解】(1)∵ ABCD是正方形，∴DA=BA,∠DAB=∠DAF=90°，在△ABE 和△ADF 中，,DA BADAB DAFAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADF（SAS）证明：(2)BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.22．（1）四边形是平行四边形，理由详见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是菱形；（3）当（2）中的菱形是正方形时．，．【解析】【分析】（1）由中位线定理可知，．利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可；（2）由BE=CE即可得四边形EGFH是菱形；所以需要当点E运动到AD的中点；（3）根据菱形EGFH是正方形即可得，；从而可得△BEC为等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论.【详解】解：（1）四边形是平行四边形．理由如下：∵分别是，，的中点，∴，．∴四边形是平行四边形（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．证明：∵四边形是等腰梯形，∴，∠A=∠D，∵，∴(SSS)，∴．∵分别是，的中点，∴．由（1）知四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．（3）当（2）中的菱形是正方形时．，．证明：∵四边形是正方形，∴，．∵分别是，的中点，∴．∵是的中点，∴，．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质及菱形的判定，难度不大，关键是掌握菱形、正方形的判定方法和性质．23．（1）详见解析；（2）当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形；（3）∠BAC=60°时，这样的平行四边形ADEF 不存在.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE ＝∠ABC ，根据SAS 推出△DBE ≌△ABC ，根据全等得出DE ＝AC ，求出DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB ＝AC 时，四边形ADEF 是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，求出∠DAF ＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF 不总是存在，当∠BAC ＝60°时，此时四边形ADEF 就不存在．【详解】（1）证明：∵△ABD 、△BCE 和△ACF 是等边三角形，∴AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，∴∠DBE ＝∠ABC ＝60°﹣∠EBA ，在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△ABC ，∴DE ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）解：当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，理由是：∵△ABD 和△ACF 是等边三角形，∴∠DAB ＝∠F AC ＝60°，∵∠BAC ＝150°，∴∠DAF ＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．24．(1)图见解析，（2）证明见解析；（3）∠EDF=45°，（4）BH=2PA.【解析】【分析】（1）根据题目条件直接作图即可；（2）根据对称可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易证Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到结论.（3）根据（2）可得∠EDF=∠CDF=12∠PDC，即可得∠EDF=45°+α；（4）作HG⊥PB，构造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+α；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,进而可证△PDA≌△HPG，HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以BH=2PA.【详解】(1)如图：（2）证明：∵点 A，点 E 关于DP 对称，∴DE=AD ，∠PAD=∠DEP ，∵在正方形ABCD 中，AD=CD ，∠C=∠DAB=90°，∴DE=CD ，∠E=∠C=90°，在Rt △EDF 和Rt △CDF 中，DE AD DF DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EDF ≌Rt △CDF （HL ），∴∠EDF=∠CDF.（3）由（2）得∠EDF=∠CDF=12∠PDC ， 又∵∠PDC=90°+2α. ∴∠EDF=45°+α.（4）结论：BH=2PA.如图：过H 点作HG 垂直于PB ，∵∠PDF=∠EDF-∠EPD ，∵∠EDF=45°+α，∠EPD=α，∴∠PDF=45°.又∵PD ⊥PF ，∴△PDG 是等腰直角三角形，∴AP=HP ，又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°，∴∠PDA=∠HPA,在△PDA和△HPG 中，PD PH PDA HPG DAP PGH =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△PDA ≌△HPG （AAS ）∴PA=HG ,DA=PG ,∵DA=AB ，∴BG=PA ，∴△HGB 为等腰直角三角形，∴BH=2HG ，∴BH=2PA.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用在证明角相等，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．25．（1）DE= 2﹣2；（2）BF= 2﹣2.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，然后根据角平分线的意义求出∠ACE=∠DCE=12∠ACD=22.5°，进而得出△BCE 是等腰三角形，求得BC=BE ，然后根据勾股定理求出BD 的长，从而得到DE 的长；（2）根据正方形的性质，由全等三角形的判定证得△FEB ≌△ECD ，然后根据全等三角形的性质求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE 平分∠DCA ，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE ， ∴BE=BC=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：BD==2， ∴DE=BD ﹣BE=2﹣；（2）∵FE ⊥CE ，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF ﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE ， ∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD ，∴△FEB ≌△ECD ，∴BF=DE=2﹣. 【点睛】此题主要考查了正方形的性质的应用，熟练掌握正方形的性质，并灵活利用正方形的性质求解是解题关键.26．（1）()()0,4,4,0A B -；（2）①当03t ≤<时，62S t =-，②当3t >时，26S t =-；（3）①当03t ≤<，652P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，4651255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②当3t >时，652P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，4651255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。

华师大版八年级下册数学第19章 矩形、菱形与正方形含答案

华师大版八年级下册数学第19章 矩形、菱形与正方形含答案

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，过点D作，垂足为若，，则BM的长为A.1B.C.D.2、如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD＝BC；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD＋∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE.其中正的是（）A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④3、下列说法正确的是（）A.有两个角为直角的四边形是矩形B.矩形的对角线相等C.平行四边形的对角线相等D.对角线互相垂直的四边形是菱形4、如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（）A.9B.9C.27D.275、如图，是北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A.13B.19C.25D.1696、如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是0，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过0点且平行于AB，则图中平行四边形共有（）A.15个B.16个C.17个D.18个7、如图，四边形ACED为平行四边形，DF垂直平分BE甲乙两虫同时从A点开始爬行到点F，甲虫沿着A﹣D﹣E﹣F的路线爬行，乙虫沿着A﹣C﹣B﹣F的路线爬行，若它们的爬行速度相同，则（）A.甲虫先到B.乙虫先到C.两虫同时到D.无法确定8、如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为（）A. B. C. D.39、下列判断错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D.四条边都相等的四边形是菱形10、如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（）A. B. C.3 D.11、如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（）A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形12、如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )A.四边形AEDF是平行四边形B.若∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形 C.若AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是菱形 D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形13、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）A.3 ：4B.5 ：8C.9 ：16D.1 ：214、如图，在△ABC中，∠A=∠B=45 ，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）A.2B.4C.8D.1615、如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D 恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为，则点E的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、工人师傅在做矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精确度，这是根据________．17、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作E F∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC+DE的值为________参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数________18、如图，O是边长为4的正方形ABCD的中心，将一块足够大，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在点O处，并将纸板的圆心绕点O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为 ________。

2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步测试(含解析)

2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步测试(含解析)

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．下列对正方形的描述错误的是（）A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．对角线相等的平行四边形是正方形D．邻边相等的矩形是正方形2．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．4．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（）A．6B．5C．D．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A 以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.56．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：7．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个8．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（）A．1B．C．D．9．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE ＝2，若CE•DE＝4，则正方形的面积为（）A．5B．6C．7D．810．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①BE+DF＝EF；②BM2+DN2＝MN2③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．一个正方形的对角线长为2，则其面积为．12．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．13．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是．14．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE ＝CF．17．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．18．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为边BC上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F．（1）求证：△ABD≌△ACG；（2）若BD＝4，求AE的值；（3）若DF＝5，求BD的值．参考答案一．选择题1．解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项C描述错误；D、邻边相等的矩形是正方形，所以选项D描述正确；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．3．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．4．解：在△BEF与△CFD中，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴＝，∵BF＝3，BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，又∵DF＝＝＝15，∴＝，∴EF＝，故选：C．5．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．6．解：如图，设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵，∴＝，∴＝，∴S1＝S正方形ABCD，∴S1＝x2，∵＝，∴＝，∴S2＝S正方形ABCD，∴S2＝x2，∴S1：S2＝x2：x2＝4：9，故选：A．7．解：分为三种情况：①正方形对角线的交点P1；②作AD边的垂直平分线MN，以点D为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P2和P3；以点C为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P4和P5，如图：③同理，作AB边的垂直平分线，分别以点A和点B为圆心，AD为半径画弧，与该垂直平分线也有4个交点．综上，符合题意的所有点P的个数为：1+4+4＝9（个）．故选：B．8．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，∴∠ADE+∠DAO＝90°，∴∠AOD＝90°，∵E、F分别为AB，BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∵AB＝BC，∴AE＝BF，过C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，∴∠OAD＝∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG（AAS），∴AO＝DG，∵tan∠ADE＝＝＝，∴DO＝2AO＝2DG，∴DG＝OG，∴CG为DO的垂直平分线，∴OC＝DC＝1，故选：A．9．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，CM＝DN，∴四边形OMEN是正方形，∵OE＝2，∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，∴NE＝ON＝2，∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，设DE＝a，CE＝b，∴a+b＝4，∵CE•DE＝4，CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，∴S正方形ABCD＝8．故选：D．10．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∴∠ABI＝90°，在△ADF和△ABI中，，∴△ADF≌△ABI（SAS），∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，∴∠EAI＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AIE≌△AFE（SAS），∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADN，在△ADN和△ABH中，，∴△ADN≌△ABH（SAS），∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，∴∠MAN＝∠HAM＝45°，在△AHM和△ANM中，，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MH＝MN，在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∵BE＝1，∴CE＝2，∴EH＝，∴BE≠HE，∵∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB＝3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，∴∠DNG＝∠DGN＝45°，∴DN＝DG，∵∠ADN＝∠CDG＝45°，∴△ADN≌△CDG（SAS），∴∠DAN＝∠DCG，∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°＝∠CHF，∴EN∥CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG＝EC＝2，∴DN＝CG•sin45°＝2×＝，故④正确，故选：C．二．填空题11．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，S正＝（）2＝2．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：2×2＝2．故答案为：2．12．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．13．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故答案为：139．14．解：连接AC，BD交于点O，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，AC＝10cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴＝120，BD＝24cm，所以菱形的边长AB＝＝13cm．故答案为：13．15．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝×6＝3，∴EF的最小值为3；故答案为：3．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AF＝AE，在Rt△ADF和Rt△ABE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），∴DF＝BE，∴CE＝CF．17．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．18．（1）证明：∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝AG，∠DAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAG，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（SAS）．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，∴BC＝＝＝12，∵BD＝4，∴DC＝BC﹣BD＝12﹣4＝8，由（1）知△ABD≌△ACG，∴GC＝BD＝4，∠ACG＝∠B＝45°，∴∠ACB+∠ACG＝45°+45°＝90°，连接DG，在Rt△DCG中，DG＝＝＝4，∵四边形ADEG是正方形，∴AE＝DG，∴AE＝4．（3）∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠F AC＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，由（1）知△ABD≌△ACG，∴∠BAD＝∠CAG，AD＝AG，BD＝GC，∴∠CAG+∠F AC＝∠BAD+∠F AC＝45°，∴∠F AG＝45°，∴∠F AG＝∠F AD，在△DAF和△GAF中，，∴△DAF≌△GAF（SAS），∴GF＝DF，∵DF＝5，∴GH＝5，设BD＝x，则FC＝12﹣5﹣x＝7﹣x，由（2）知∠FCG＝90°，在Rt△FCG中，GC2+FC2＝FG2，∴x2+（7﹣x）2＝52，∴x1＝3，x2＝4，∴BD的值为3或4．。

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形定向测试试题(含答案及详细解析)

2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形定向测试试题(含答案及详细解析)

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（）A．20 B．40 C．60 D．802、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC＝10cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动．设点P的运动时间为t s，△APC的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．3、若菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为（ ）A ．13B ．26C ．120D ．2404、如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．2.5B ．CD 5、在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AO =COB ．AO =BOC ．AO ⊥BOD ．AB ⊥BC6、如图，长方形OABC 中，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上．4OA BC ==，8AB OC ==．点D 在边AB 上，点E 在边OC 上，将长方形沿直线DE 折叠，使点B 与点O 重合．则点D 的坐标为（ ）A ．()4,4B ．()5,4C ．()3,4D ．()6,47、矩形ABCD 的对角线交于点O ，∠AOD =120°，AO =3，则BC 的长度是（ ）A ．3B ．C ．D ．68、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm 、宽为3cm 的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（ ）A ．B ．C ．D ．9、下列命题正确的是（ ）A ．若a b =，则33a b =B ．四条边相等的四边形是正四边形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．如果2a ab =，则a b =10、如图，已知在正方形ABCD 中，10AB BC CD AD ====厘米，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4AE =厘米，如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．若存在a 与t 的值，使BPE 与CQP 全等时，则t 的值为（ ）A ．2B ．2或1.5C ．2.5D ．2.5或2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，则FC =______2、菱形ABCD 的周长为AC 和BD 相交于点O ，AO ：BO =1：2，则菱形ABCD 的面积为________．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是___．4、在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形n 1n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、…在直线1上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点n B 的坐标是________．5、已知矩形一条对角线长8cm ，两条对角线的一个交角是60°，则矩形较短的边长为 _____cm ．6、判断：（1）菱形的对角线互相垂直且相等( )（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形( )7、如图，a //b //c ，直线a 与直线b c 与直线b 之间的距离为ABC 的三个顶点分别在直线a 、直线b 、直线c 上，则等边三角形的边长是______．8、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CE ，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点F ．若3AF =，5EC =，则正方形ABCD 的面积为______．9、一个长方形的周长是22cm ，若这个长方形的长减少2cm ，宽增加3cm ，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm ．10、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =．将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形HBEF ，点H 落在矩形ABCD 的边CD 上，则CH 的长是 __．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、已知，将水平向右平移AD 的长度得到其中点C 与点D 对应，点B 与点A 对应，点F 与点E 对应），过点E 作BD 的垂线，垂足为M ，连接AM ．(1)根据题意补全图形，并证明MB ME =；(2)①用等式表示线段AM 与CF 的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM ，BM ，DM 之间的数量关系（直接写出即可）2、如图，一次函数1y x b =+与反比例函数2k y x=交于点()1,A a ，()4,1D --，与y 轴，x 轴分别交于点B ，C ． （1）求反比例函数的表达式；（2）作AE y ⊥轴于点E ，连接DE ，求ADE 的面积；（3）根据图象请直接写出当12y y >时，x 的取值范围．3、如图，ABC 和DBC △中，90ACB DBC ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，且ED AB ⊥于点F ，且AB DE =，CD 交AB 于点M ．(1)求证：2BD EC =；(2)求ACM △与BCM 的面积之比．4、问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 边上，DE ＝AF ，DE ⊥AF 于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，△AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE=________．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE的长度5、下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形．作法：①作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；②连接AD，CD．四边形ABCD是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO．又∵BO＝，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形（）（填推理的依据）．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】 解：这个菱形的面积＝12×10×8＝40．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．2、C【解析】【分析】先求解8,BC = 再分别求解“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”时的函数解析式，再根据函数解析式判断函数图象即可.【详解】 解： 矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，对角线AC ＝10cm ， 228,BC AC AB 当03t ≤≤时，点P 在AB 上，2,AP t 11=288,22S AP BC t t当37t <≤时，点P 在BC 上，682142,CP t t 11=6142426,22S CP AB t t所以能大致反映S 与t 之间函数关系的是C.故选：C【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，一次函数的图象，矩形的性质，明确“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”是列函数关系式的关键，也是判断图象的关键.3、C【解析】 【分析】根据菱形的面积公式即可得到结论．【详解】解：菱形的两条对角线长分别为10和24，∴菱形的面积为110241202⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式．4、D【解析】【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．5、C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD 时平行四边形，AO ⊥BO ，∴ABCD 是菱形；故选C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．6、C【解析】设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．【详解】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，在Rt△OAD中，∵OA2+AD2=OD2，∴42+x2=(8-x)2，∴x=3，3,4，∴D()故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．7、C【解析】【分析】画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．【详解】解：如下图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴AC=2OA=4，∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，∴BC=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．8、C【解析】【分析】根据矩形的判定定理判断即可．【详解】∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴A合格，不符合题意；∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，∴B 合格，不符合题意；∵C 满足的条件是有一个角是直角的四边形，∴无法判定，C 不合格，符合题意；∵D 满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴D 合格，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．9、A【解析】【分析】利用等式的性质以及矩形、正方形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、若a b =，则33a b =，故此命题正确；B 、四条边相等的四边形是菱形，故原命题不正确；C 、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题不正确；D 、如果2a ab =，a ≠0时，则a b =，若0a =时，此命题不正确，故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理以及等式的性质等知识，解题的关键是了解矩形及菱形的判定方法．10、D【解析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.【详解】解：当2a=，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴运动时间t=4÷2=2（秒）；当2a≠，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t=252 2.5BP÷=÷=（秒）.综上t的值为2.5或2.故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．二、填空题1、3 2【解析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=32，∴FC=32．故此答案为32．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．2、4【分析】根据菱形的性质求得边长，根据AO ：BO =1：2，求得对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．【详解】解：如图四边形ABCD 是菱形AB AD DC CB ∴===，11,22AO AC BO BD ==菱形ABCD 的周长为AB ∴ AO ：BO =1：2，AB ∴1,2AO BO ∴==2,4AC BD ==1124422ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形 故答案为：4本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．3、（0，-5）【解析】【分析】在Rt △ODC 中，利用勾股定理求出OC 即可解决问题．【详解】解：∵A （12，13），∴OD =12，AD =13，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD =AD =13，在Rt △ODC 中，5==OC ，∴C （0，-5）．故答案为：（0，-5）【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4、()12,21n n --【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．解：当y =0时，有x -1=0，解得：x =1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数），故答案为：()12,21n n --【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn （2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．5、4【解析】【分析】如下图所示：∠AOD =∠BOC =60°，即：∠COD =120°＞∠AOD =60°，AD 是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA =OD =OC =OB =12×8=4cm ，又因为∠AOD =∠BOC =60°，所以AD =OA =0D =4cm ．【详解】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=8cm，∠AOD=∠BOC=60°∵四边形ABCD是矩形×8=4cm，∴OA=OD=OC=OB=12又∵∠AOD=∠BOC=60°∴OA=OD=AD=4cm∵∠COD=120°＞∠AOD=60°∴AD＜DC所以，该矩形较短的一边长为4cm．故答案为4．【点睛】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．6、× √【解析】【分析】根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：（1）菱形的对角线互相垂直且平分；（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．故答案为：（1）×；（2）√【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．7、【解析】【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b c与直线b之间的距==+=AB=AC=BC=x，由勾股定理BF=BE=AD EF BF BE得：AF=，EC=CD=AF EC CD=+，即可得到=【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，∵a∥b∥c，∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c，∴四边形ADEF是矩形，∴AF=DE，AD=EF，∵直线a与直线b c与直线b之间的距离为∴BF=BE=∴AD EF BF BE==+=∵△ABC是等边三角形，∴可设AB =AC =BC =x ，由勾股定理得：AF =EC =，CD =又∵AF EC CD =+，∴22231227x x x -=-+-+∴236x -=∴()()422272129641227x x x x -+=--∴()4242721296439324x x x x -+=-+，∴424272129641561296x x x x -+=-+，∴423840x x -=，解得x =，∴△ABC 的边长为故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识．8、49【解析】【分析】延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，由正方形的性质得45CDB ∠=︒，推出BME 是等腰直角三角形，得出3EM BM ==，由勾股定理求出CM ，故得出BC ，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE 交AB 于点M ，则EM BC ⊥，3AF BM ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=︒，∴BME 是等腰直角三角形，∴3EM BM ==，在Rt EMC 中，4CM =，∴347BC BM CM =+=+=，∴22749ABCD S BC ===正方形．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．9、8【解析】【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．10、4【解析】【分析】根据矩形的性质和旋转性质得出BH=AB=5，∠C=90°，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意知：5BH AB ==，∠C=90°，∴在Rt△BCH 中，BC =3，∴4CH ，故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理，熟练掌握旋转性质和勾股定理是解答的关键．三、解答题1、 (1)见解析FC =，理由见解析 ②2222DM BM AM +=【解析】【分析】（1）如图所示，根据四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，得出45ABD ∠=︒，根据EM BD ⊥，可证BEM △是等腰直角三角形即可；（2）①先证AEM △≌FBM 得AM FM =，由AE BF =知EF BC AB ==，证MEF ≌MBC △得EMF BMC ∠=∠，FM MC =，由90FMC ∠=︒知FCM △是等腰直角三角形，从而得FC =；②连接DE ，证四边形CDEF 是平行四边形得DE CF =，由CF =，MF AM =知DE =，结合BM EM =，90DME ∠=︒得222DM EM DE +=，从而得出答案．(1)如图所示，∵DC =AB =AD =BC ，∴四边形ABCD 为菱形，∵∠DAE =90°∴四边形ABCD 为正方形，BD 是正方形ABCD 对角线，45ABD ∴∠=︒，EM BD ，∴∠EMB =90°，∠MEB =180°-∠EMB -∠ABD =180°-90°-45°=45°，∴∠MEB =∠MBE =45°，BEM ∴是等腰直角三角形，MB ME ∴=；(2)①如图所示，连接CM 、FM ，BEM 是等腰直角三角形，MB ME ∴=，45ABM BEM ∠=∠=︒，135AEM FBM ∴∠=∠=︒，又AE FB =，在△AEM 和△FBM 中，AE FB AEM FBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEM ∴△≌FBM SAS （）， AM FM ∴=，AE BF =，EF BC AB ∴==，∵BD 为对角线，∴∠MBC =45°，∴∠MBC =∠MEF =45°，在△MEF 和△MBC 中，ME MB MEF MBC EF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， MEF ∴≌MBC SAS （）， EMF BMC ∴∠=∠，FM MC =，AM CM FM ∴==，∴∠CMF =∠CMB -∠BMF =∠EMF -∠BMF =∠EMB =90°，∴△CMF 为等腰直角三角形，∴CF=；2222DM BM AM +=②，如图， AE BF =，AE BE BF BE EF ∴+=+=，又//DC AB 且DC AB =，DC EF ∴=，//DC EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形，DE CF ∴=， 2CF =，MF AM =，DE ∴，又BM EM =，90DME ∠=︒，222DM EM DE ∴+=，则2222DM BM AM +=．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点．2、（1）4y x=；（2）52；（3）-40x <<或1x > 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求分别列函数解析式，将点D 坐标代入计算即可；（2）根据反比例函数解析式求A 点的坐标，然后证明四边形EONM 为矩形，用三角形面积公式即可；（3）利用一次函数图像位于反比例函数图像上方的位置，得出在交点D 的右侧，y 轴的左侧和交点A 的右侧满足条件即可．【详解】（1）∵点()4,1D --在反比例函数k y x=的图象上， ∴()414k =-⨯-=， ∴反比例函数的表达式为4y x=； （2）∵点()1,A a 在在反比例函数4y x =的图象上， ∴4a =，∴点A 的坐标为（1，4），∵AE y ⊥轴，∴1,4AE OE ==，作DM AE ⊥交AE 的延长线于点M ，交x 轴于点N ．∴∠NME =90°，∵AE ⊥y 轴，∴∠MEO =90°，∵∠EON =90°∴∠NME =∠MEO =∠EON =90°，∴四边形EONM 为矩形，则4,1MN OE ND ===，∴5MD =，∴Δ11515222ADE S AE DM =⨯⨯=⨯⨯=；（3）当12y y >时，一次函数13y x =+的图像位于反比例函数24y x=的图像上方， ∵两函数图像的交点为()1,4A ，()4,1D -，在交点D 的右侧，y 轴的左侧和交点A 的右侧满足条件，∴-40x <<或1x >．【点睛】 本题考查待定系数法求分别列函数解析式，一次函数解析式，用求三角形面积，矩形判定与性质，图像法求不等式解集，掌握待定系数法求分别列函数解析式方法，一次函数解析式，，数形结合思想利用图像法求不等式解集是解题关键．3、 (1)见解析 (2)12【解析】【分析】（1）易证DEB A ∠=∠，即可证明ACB EBD ∆≅∆，得出BC BD =，根据点E 是BC 的中点即可解题；（2）过点M 作,BC AC 的垂线，交于点,P Q ，证四边形PMQC 为矩形，再证得四边形PMQC 为正方形，得出MP MQ =，根据ACM BCM S AC S BC=． (1) 解：证明：90DEB ABC ∠+∠=︒，90A ABC ∠+∠=︒，DEB A ∴∠=∠，在ACB ∆和EBD ∆中，ACB DBE A DEB AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACB EBD ∴∆≅∆，()AAS ；BC BD ∴=，点E 是BC 的中点，2EC BC ∴=，2BD EC ∴=；(2)解：过点M 作,BC AC 的垂线，交于点,P Q ，//,//,90MP QC MQ PC MPC ∴∠=︒，∴四边形PMQC 为矩形，,90BC BD DBC =∠=︒，BCD ∴△为等腰直角三角形，45MCP ∴∠=︒，CPM ∴为等腰直角三角形，CP MP ∴=，∴四边形PMQC 为正方形，MP MQ ∴=， 11,22ACM BCM SAC MQ S BC MQ =⋅=⋅， ACMBCM S AC S BC ∴=， 12AC BC =， 12ACMBCMSS ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形，正方形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，同时利用等量代换的思想进行求解．4、（1）见解析；（2）△AHF 是等腰三角形，理由见解析；类比迁移：9【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB =∠B =90°，由等角的余角相等可得∠ADE =∠BAF ，利用AAS 可得△ADE ≌△BAF （AAS ），由全等三角形的性质得AD =AB ，即可得四边形ABCD 是正方形；（2）利用AAS 可得△ADE ≌△BAF （AAS ），由全等三角形的性质得AE =BF ，由已知BH =AE 可得BH =BF ，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH =AF ，△AHF 是等腰三角形；类比迁移：延长CB 到点H ，使BH =AE =6，连接AH ，利用SAS 可得△DAE ≌△ABH （SAS ），由全等三角形的性质得AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，由已知DE=AF可得AH=AF，可得△AHF是等边三角形，则AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8，等量代换可得DE=AH=8．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB=∠AGD=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF,∵DE=AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；：（2）①∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB=AD，∴∠ABH=∠BAD，∵BH=AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH=DE，∵DE=AF，∴AH=AF，∴△AHF是等腰三角形．②延长CB到点H，使得BH＝AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=AD,∴∠ABH=∠BAD，∵BH=AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，∵DE=AF，∴AH=AF，∴△AHF是等边三角形，∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=7+2=9，∴DE=AH=9【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5、 (1)补全图形见解析(2)OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形ABCD是矩形，再结合一个角是直角，即可得证．(1)解：如图，四边形ABCD即为所求．(2)证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO．又∵BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．。

2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《正方形》单元考点练习及答案解析一精品试卷

2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《正方形》单元考点练习及答案解析一精品试卷

5．3 正方形(二)(第1题)1．如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向内作等边三角形ABE ，连结EC ，则∠BEC 的度数为(D)A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．75°2．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则S △AEF ＝(B)A.52B.32 C ．2 D.3553．有下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤三角形．其中一定能够找到一点，使该点到各边距离都相等的是(D)A. ①②B. ②③④⑤C. ②④D. ②④⑤4．在正方形ABCD 中，对角线长为2 cm ，E 是AB 边上任意一点，则点E 到两条对角线的距离之和是(B)A. 22cmB. 1 cmC. 2 cmD. 2cm5．已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝16 cm，则DO＝__8__cm，BO＝__8__cm，∠OCD＝__45°__．(第6题)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是__1__，△BPD的面积是__3－1__．(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H.求证：(1)△BCG≌△DCE.(2)BH⊥DE.【解】(1)∵四边形ABCD，四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)由(1)知，△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC.又∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BH ⊥DE.8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连结AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，求DE 的长．(第8题)【解】 过点E 作EF ⊥DC 于点F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD. ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF. ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.9．若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B)A. 6B. 8C. 10D. 12【解】 设正方形的边长为1，则矩形的长为12，该矩形的宽为x ，根据题意，得 x ＋12＋x ＝1， 解得x ＝14.∴k ＝2＋2＋1÷14＝8.(第9题) (第10题)10．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为(－3，1)．【解】 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E. ∵四边形OABC 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°， ∴∠COE ＋∠AOD ＝90°. 又∵∠OAD ＋∠AOD ＝90°， ∴∠OAD ＝∠COE. 在△AOD 和△OCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OAD ＝∠COE ，∠ADO ＝∠OEC ＝90°，AO ＝OC ，∴△AOD ≌△OCE(AAS)．∴OE ＝AD ＝3，CE ＝OD ＝1. ∵点C 在第二象限， ∴点C 的坐标为(－3，1)．(第11题)11．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是45°．【解】 过点E 作HI ∥BC ，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE ＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点， ∴BE ＝EF.∵E 是正方形对角线AC 上的点，即E 是∠BCD 的平分线上一点， ∴点E 到BC 和CD 的距离相等，∴BH ＝EI. 在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EIF(HL)． ∴∠HBE ＝∠IEF. ∵∠HBE ＋∠HEB ＝90°， ∴∠IEF ＋∠HEB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.12．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为BC 边上任意一点(可与点B ，C 重合)，分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′，C ′，D ′，求BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值与最小值．(第12题) (第12题解) 【解】 如解图，连结AC ，DP. 由题意，得S △ACD ＝S △ADP ＝12AP ·DD ′.∵S △ABP ＋S △ACP ＋S △ACD ＝1，∴12AP ·BB ′＋12AP ·CC ′＋12AP ·DD ′＝1， ∴BB ′＋CC ′＋DD ′＝2AP.易知1≤AP ≤2(当点P 与点B 重合时，AP ＝1；当点P 与点C 重合时，AP ＝2)，∴2≤BB ′＋CC ′＋DD ′≤2.即BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值为2，最小值为 2.(第13题)13．如图，正方形ABCD的周长为40 m，甲、乙两人分别从A，B 同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 m，乙按顺时针方向每分钟行30 m.(1)出发几分钟后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)如果用记号(a，b)表示两人走a(min)，并相遇b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是多少？【解】(1)设出发x(min)后，甲、乙第y次相遇(y是正整数)，则有：(55＋30)x＝40(y－1)＋10，即85x＝40y－30，17x＝8y－6，∴y＝17x＋68＝2x＋x＋68.∵当甲、乙都在顶点处时，甲、乙的路程都必须为10的倍数，即55x和30x都为10的倍数，∴x为2的倍数．又∵y是正整数，∴x最小为2.∴出发2 min后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)∵当甲、乙处在正方形的两个相对顶点位置时，他们相差20 m，∴(55＋30)a＝40(b－1)＋10＋20，即85a＝40b－10，17a＝8b－2，∴b＝17a＋28＝2a＋a＋28.由(1)知a为2的倍数，且b为整数，∴a最小为6.当a＝6时，b＝13，∴对应的记号为(6，13)．。

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题一(基础部分含答案)

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题一(基础部分含答案)

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题一（基础部分含答案）1．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A．B．C．D．3．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )A．1B．1.5C．2D．2.55．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形6．下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．308．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形9．七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，如图①整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成，如图②是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12cm，则梯形MNGH的周长是cm（结果保留根号）．10．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH 翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=，AE=8，则S四边形EFMG=________．11．已知正方形的边长为，则该正方形的边长与对角线之比为________．12．是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、．若，，则的长为________．13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形面积依次是、、、，则______．14．如图，在中，点是边上一动点，，，对及线段添加条件________使得四边形是正方形．15．如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．17．以的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：如图中四边形是什么四边形？并说明理由．当满足什么条件时，四边形是矩形？当满足什么条件时，四边形是正方形？18．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．操作发现（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是．（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．拓展探索（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．19．如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P．（1）求证：∠P=90°﹣∠C；（2）当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明．20．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于F.（1）直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，过点A作AM⊥BE ,AM交DB的延长线于点F，其他条件不变.问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；（3）如图3，当BC=CE时，求∠EAF的度数.21．如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；（2）求证：EB=EH．22．如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F.求证：DE＝BF＋EF.答案1．C2．D3．C4．C5．B6．C7．C8．C9．24+24解：观察图形得MH=GN=AD=12，HG=AC，AD=DC=12，AC=12，HG=6．梯形MNGH的周长=HG+HM+MN+NG=2HM+4HG=24+24．故答案为：24+24．10．806 15解：过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°，∵∠EGB=∠CGB，BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP，∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP=12∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形，∵BM=，∴BN=NM==，∴BE=，∵AE=8，∴DE=12﹣8=4，由勾股定理得：AB=12，设BF=x，则EF=x，AF=12﹣x，由勾股定理得：x2=82+（12﹣x）2，x=263，∴BF=EF=263，∵△ABE≌△PBE，∴EP=AE=8，BP=AB=12，同理可得：PG =125，Rt △EFN 中，FN = =3，∴S 四边形EFMG =S △EFN +S △EBG ﹣S △BNM =12FN •EN +12EG •BP ﹣12BN •NM =12××+12（8+125）×12﹣12×80615．故答案为： 80615．11．解:对角线长为：cm ，则边长与对角线之比为1：．12． 解:如图，连接CE ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC在△ABE 和△CBE 中，∴△ABE ≌△CBE ，∴AE=CE ，∵EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，∴∠EGC=∠∠CFE=90°，∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，∴四边形EFCG 是矩形，∴EF=CG=6，根据勾股定理得，CE=．13．4解:由题意可得：∠ACB=∠ABD=∠BED=90°，AB=BD，∴∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠DBE，∴△ABC≌△BDE，∴AC=BE，∵在△BDE中，BE2+DE2=BD2，∴AC2+DE2=BD2，又∵S3=AC2，S4=DE2，BD2=3，∴S3+S4=3，同理可得：S1+S2=1，∴S1+S2+S3+S4=4.故答案为：4.14．是等腰直角三角形，是角平分线解:首先，四边形AEDF是平行四边形，当∠BAC=90°时，四边形AEDF为矩形，只需令边相等即可.当AB=AC时成立，所以增加的条件是是等腰直角三角形，是角平分线. 15．6解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD +PE =PB +PE =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度； ∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB =6．又∵△ABE 是等边三角形，∴BE =AB =6．故所求最小值为6．故答案为：6．16．16924解：过点F 作FG ⊥AD ,垂足为G ,连接AA ′.在Rt △EFG 中,EG5==,∵轴对称的性质可知AA ′⊥EF ，∴∠EAH +∠AEH =90∘.∵FG ⊥AD ，∴∠GEF +∠EFG =90∘.∴∠DAA ′=∠GFE .在△GEF 和△DA ′A 中， 90{ 'EGF D FG AD DAA GFE∠=∠=︒=∠=∠ ，∴△GEF ≌△DA ′A .∴DA ′=EG =5.设AE =x ,由翻折的性质可知EA ′=x ，则DE =12−x .在Rt △EDA ′中,由勾股定理得：A ′E 2=DE 2+A ′D 2,即x 2=(12−x )2+52.解得：x=16924. 故答案为：16924.17．四边形是平行四边形，理由；当时，平行四边形是矩形；当且时，四边形是正方形．解:图中四边形是平行四边形．理由如下：∵四边形、四边形、四边形都是正方形，∴，，，．∴（同为的余角）．在和中，，∴，∴，．∵是正方形的对角线，∴．∵，∴∴，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）．当四边形是矩形时，．则，即当时，平行四边形是矩形；当四边形是正方形时，，且．由知，当时，．∵四边形是正方形，∴．又∵四边形是正方形，∴，∴．∴当且时，四边形是正方形．18．（1）平行四边形；（2）证明（3）四边形AEDG是平行四边形．（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠FAB＝180°，∴DB∥AF，∵DB＝AF，∴四边形DBAF是平行四边形，∵∠DBA＝90°∴平行四边形DBAF是正方形．（3）四边形AEDG是平行四边形．证明：∵四边形ABDF是正方形，∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，又∵∠DBE＝∠AFG＝α，∴∠EBA＝∠GFD．在△ABE和△DFG中，，∴△ABE≌△DFG，∴AE＝DG，又∵DE＝AG＝AB，∴四边形DEAG是平行四边形．19．(1)证明；（2）（1）证明：过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，∴∠FHG+∠P=180°，∴∠DHB+∠P=180°，∴∠DHB=180°﹣∠P，∵BD=BN=DM，∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，∴由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，∵∠DHB=180°﹣（∠GDB+∠FBD）=180°﹣（180°﹣∠DAB）=90°﹣∠DAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，∴∠DHB=90°﹣∠C，∵∠DHB=180°﹣∠P，∴180°﹣∠P=90°+∠C，∴∠P=90°﹣∠C；（2）MP：AM=：2．理由：过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，当∠C=90°时，则∠DPB=45°，∵BN∥CD，∴∠BND=∠BDN=∠SDN，同理：∠PBD=∠PBR，作PK⊥BD于点K，在△PKD和△PSD中，∴△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKB≌△PRB，∴PS=PR，∴四边形PSCR是正方形，延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，设QS=PQ=x，则PS=CS=RC=2x，RB=KB=x，设SD=m，BD=x+m，则（x+m）2=x2+（2x﹣m）2，∴m：x=2：3，∴DK=SD=x，BD=x，∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x，根据勾股定理得，AB==x，在Rt△ABM中，BM=，∴PB=，∴PM=，∴MP：AM=：2．20．(1)OE=OF; (2)OE=OF仍然成立，理由;(3)67.5°.解：（1）OE=OF;（2）OE=OF仍然成立，理由是：由正方形ABCD对角线垂直得，∠BOC=90°，∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，∴∠BOC=∠BMF.∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E，又∵AO=BO，∴△AOF≌△BOE，∴OE=OF;（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，则BF=CE，∵BC=CE，∴AB=BF，∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，又∵∠BAO=45°，∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.21．（1）5；（2）证明.解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，又∵AB=13，∴Rt△ABF中，AF==5；（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE=BA，BF⊥AC，∴AF=FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，AP=EP，∵∠GAE=∠ACB=45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，又∵AG=EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF=EF，AP=AG=CH，又∵BF=CF，∴BP=CE，∵∠APG=45°=∠BCF，∴∠APB=∠HCE=135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB=EH，又∵AB=BE，∴BE=EH．22．解：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE＋∠DAE=90°又∵∠BAF＋∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF与△DAE中，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴BF=AE．DE=AF，∵AF=AE＋EF，∴DE=BF＋EF．。

2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习(含答案)

2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习(含答案)

人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习一、选择题1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为 ( )A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b4.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④6.如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )A.1；B.2；C.3；D.；7.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点顺时针方向旋转90°后，A点的坐标为（）A.（，0）B.（0，7）C.（，1）D.（7，0）8.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD度数是（）A.75°B.60°C.54°D.67.5°9.顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A.25B.36C.49D.3010.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A.4B.2C.2D.2二、填空题11.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .12.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和 .（只写一组）13.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．14.如图所示，正方形ABCD的周长为8cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到正方形EFGH，则EFGH的周长等于_____cm，面积等于______cm2．15.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．三、解答题16.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．（1）求∠AEF的度数；（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．17.如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF.18.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N（1）求证：AE=MN；（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．19.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积．20.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．参考答案1.C2.A3.A4.D5.B6.C；7.D8.B9.B10.A11.答案为：312.答案为：（1，0）和（1，1）；13.答案为：6514.答案为：；215.答案为．16.17.证明：∵∠FAB＋∠BAE=90°，∠DAE＋∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE=BF.18.（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．19.解：作EF⊥BC于F，如图所示：则∠EFB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∵BE=AB，∴BE=BC=2，∴EF=BF=BE=，∴△EBC的面积=0.5BC•EF=0.5×2×=．20.解：。

人教版八年级数学下册《正方形》基础练习

人教版八年级数学下册《正方形》基础练习

《正方形》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD 的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm23．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．《正方形》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2【分析】如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H，可证△ABF≌△AHD，可得HD＝AF ＝2，且BF＝4，根据勾股定理可得AB的长，则可求正方形ABCD的面积．【解答】解：如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∵作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∴∠AFB＝∠AHD＝90°∴∠F AB+∠FBA＝90°∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∴∠BAF+∠HAD＝90°∴∠HAD＝∠FBA且AB＝AD，∠AFB＝∠AHD＝90°∴AF＝HD＝2cm，且FB＝4cm∴AB＝2cm＝AB2＝20cm2∴S正方形ABCD故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造三角形全等．3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是15°．【分析】根据∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，∠EOC＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，又∵∠2＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，∴∠2＝65°+40°﹣90°＝15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是x+y＝15．【分析】先由正方形A的边长为5，得出S A＝25，再根据勾股定理的几何意义，得到x+4+（6+y）＝S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵正方形A的边长为5，∴S A＝25，根据勾股定理的几何意义，得x+4+（6+y）＝S A＝25，∴x+y＝25﹣10＝15，即x+y＝15．故答案为：x+y＝15．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2，可证△BEA≌△CAF，可得AF＝BE＝1，根据勾股定理可求正方形的边AC的长．【解答】解：如图：作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAE+∠CAF＝90°∵BE⊥AE∴∠BAE+∠EBA＝90°∴∠CAF＝∠EBA，且AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△ACF∴BE＝AF＝1在Rt△ACF中，AC＝＝故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2＝（4）2∴a＝4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积＝＝2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．【分析】（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO＝，则可求各顶点的坐标．（2）根据题意可得P点坐标（，），则可求△PDO面积．【解答】解：（1）∵正方形ABOD的周长为4∴AB＝BO＝DO＝AD＝∴A（﹣，），B（0，），O（0，0），D（﹣，0）（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等∴P（，）＝×＝1∴S△PDO【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME （SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【分析】由正方形性质可得，AE＝AB，AG＝AC，∠EAC＝∠BAG，可证△AEC ≌△ABG，结论可得．【解答】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS）∴BG＝CE【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，关键是运用正方形的性质解决问题．。

专题17 正方的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(原卷版)

专题17 正方的判定与性质-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(原卷版)

专题17正方形的判定与性质★知识归纳●正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点梳理：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.●正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点梳理：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.●正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.●特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：●顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点梳理：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.★实操夯实一．选择题（共15小题）1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（）①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（）A．15°B．32.5°C．22.5°D．30°4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形5．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°6．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）A．四边形AEDF一定是平行四边形B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形7．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+，其中正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④9．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB 延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD＝5，则FG为（）A．3B．3.2C．4D．4.811．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD 的面积是（）A．20B．16C．34D．2512．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD ⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④13．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E 作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（）①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）16．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝．17．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为．18．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P，Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ，以PQ为边作正方形PQMN，使得点M，C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为ts．（1）PQ P A（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）如图2，当点M落在边BC上时，t＝s．19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．20．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是．22．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝．23．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝3，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为．三．解答题（共7小题）24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F 分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．25．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．26．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．27．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．28．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：（1）四边形BDEF是四边形；（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是．（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是．（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是．并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．29．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？30．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．。

湘教版数学八年级下册_《正方形》基础训练

湘教版数学八年级下册_《正方形》基础训练

《正方形》基础训练一、选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形3．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．4．满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形B．对角线互相平分且相等的矩形C．对角线互相垂直平分的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°二、填空题6．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为．7．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=度．8．直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．如图，已知▱ABCD和正方形CEFG有一个公共的顶点C，其中E点在AD上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是．10．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC，则∠DAE=．《正方形》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断．【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；【解答】解：A、当AB=BC时，它是菱形，正确；B、当AC⊥BD时，它是菱形，正确；C、当∠ABC=90°时，它是矩形，正确；D、当AC=BD时，它是正方形，错误，应该是当AC=BD时，它是矩形；故选：D．【点评】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．【分析】利用正方形的性质先得到正方形的边长，然后根据正方形的对角线的长为边长的倍求解．【解答】解：∵正方形的周长为12，∴正方形的边长为3，∴这个正方形的对角线长为3．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．4．满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形B．对角线互相平分且相等的矩形C．对角线互相垂直平分的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形【分析】根据正方形的判断方法一一判断即可；【解答】解：A、错误．对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；B、错误．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；C、错误．对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D、正确．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选：D．【点评】本题考查正方形的判断、平行四边形、菱形、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．二、填空题6．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积==2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积=对角线积的一半解决问题．7．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=135度．【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵AB=AG，∠AGB=70°，∴∠BAG=180°﹣70°﹣70°=40°，∴∠DAG=90°﹣∠BAG=50°，∴∠AGD=（180°﹣∠DAG）=65°，∴∠BGD=∠AGB+∠AGD=135°．故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键．8．直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE=1，CF=2，可证△BEA≌△CAF，可得AF=BE=1，根据勾股定理可求正方形的边AC 的长．【解答】解：如图：作BE ⊥直线L ，作CF ⊥直线L 则BE=1，CF=2∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AC ，∠BAC=90°∴∠BAE +∠CAF=90°∵BE ⊥AE∴∠BAE +∠EBA=90°∴∠CAF=∠EBA ，且AB=AC ，∠BEA=∠AFC=90°∴△ABE ≌△ACF∴BE=AF=1在Rt △ACF 中，AC=22AF CF =故答案为 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．如图，已知▱ABCD 和正方形CEFG 有一个公共的顶点C ，其中E 点在AD 上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数是 70° ．【分析】直接利用正方形的内角是直角，再利用平行四边形的对角相等和三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形CEFG 是正方形，∴∠FEC=90°，∵∠AEF=15°，∴∠DEC=180°﹣90°﹣15°=75°，又∵∠ECD=35°，∴∠D=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质，正确把握正方形的性质是解题关键．10．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC=EC，则∠DAE=22.5°．【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数，根据平行线的性质，即可求得∠DAE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，AD∥BC，∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，∴∠E=∠ACB=22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠E=22.5°．故答案为：22.5°．【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．。

初二正方形数学练习题

初二正方形数学练习题

初二正方形数学练习题1. 计算正方形的周长和面积。

2. 已知一个正方形的边长为6cm，求其周长和面积。

3. 如果一个正方形的面积为49平方厘米，求其边长。

4. 一个正方形的周长为20cm，求其面积。

5. 一个正方形的面积是25平方米，求其边长。

6. 如果一个正方形的边长是x厘米，求其周长和面积的表达式。

解答：1. 正方形的周长公式为：周长 = 4 * 边长；面积公式为：面积 = 边长 * 边长。

2. 已知边长为6cm的正方形，周长 = 4 * 6 = 24cm，面积 = 6 * 6 =36平方厘米。

3. 设正方形边长为x厘米，根据面积公式得出方程：x * x = 49。

解这个方程可以得到x = 7厘米，所以边长为7厘米。

4. 已知周长为20cm的正方形，根据周长公式得出方程：4 * x = 20。

解这个方程可以得到x = 5cm，所以边长为5cm。

根据面积公式计算面积：面积 = 5 * 5 = 25平方厘米。

5. 已知面积为25平方厘米的正方形，设边长为x厘米，根据面积公式得出方程：x * x = 25。

解这个方程可以得到x = 5厘米，所以边长为5厘米。

6. 若正方形的边长为x厘米，则周长 = 4 * x，面积 = x * x。

通过以上解答，我们可以发现正方形的周长和面积可以通过简单的计算公式得到。

同时，根据已知条件，我们可以解方程来求解未知的边长或面积大小。

这些练习题有助于我们巩固对正方形的周长和面积概念的理解，并且加强了我们对代数方程的解决能力。

希望以上练习题能够帮助你更加熟练地运用正方形的周长和面积公式，并提升解代数方程的能力。

加油！。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

18.2.3 正方形
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( B )
(A)对角线相等
(B)对角线互相平分
(C)对角线互相垂直
(D)对角线互相垂直平分
2.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A作FA=AE交CB的延长线于点F,若AB=4,则四边形AFCE的面积是( C )
(A)4 (B)8
(C)16 (D)无法计算
3.(2018山西模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF.连接
AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是( C )
(A)AE=BF
(B)∠DAE=∠BFC
(C)∠AEB+∠BFC=90°
(D)AE⊥BF
4.在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+2S2+2S3+S4等于( C )
(A)5 (B)4 (C)6 (D)10
5.(2018咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(-1,5) .
6.如图,E为正方形A B C D对角线B D上一点,且B E=B C,则∠A E C= 135°.
7.(2018台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点
G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为
+3 .
8.(2018天桥区三模)如图,点M在正方形ABCD的对角线BD上.求证:AM=CM.
证明:∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠CBD,AB=BC,
在△ABM和△CBM中
∴△ABM≌△CBM(SAS),
∴AM=CM.
9.(2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.
(1)求证:OM=ON.
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°,
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON.
(2)解:如图,过点O作OH⊥AD于点H,
∵正方形的边长为4,
∴OH=HA=2,
∵E为OM的中点,
∴HM=4,
则OM==2,
∴MN=OM=2.
10.(2018北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
(1)证明:如图1,连接DF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°,
∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,
∴∠DFG=90°,
在Rt△DFG和Rt△DCG中,
∵
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC.
(2)解:BH=AE,理由如下:
法一如图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE,
∵AD=AB,
∴DM=BE,
由(1)知,∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°,即∠EDG=45°,
∵EH⊥DE,
∴∠DEH=90°,△DEH是等腰直角三角形,
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°,DE=EH,
∴∠1=∠BEH,
在△DME和△EBH中,
∴△DME≌△EBH,
∴EM=BH,
Rt△AEM中,∠A=90°,AM=AE,
∴EM=AE,
∴BH=AE.
法二如图3,过点H作HN⊥AB交AB的延长线于N,
∴∠ENH=90°,
由法一可知,DE=EH,∠1=∠NEH,
在△DAE和△ENH中,
∴△DAE≌△ENH,
∴AE=HN,AD=EN,
∵AD=AB,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=HN,
∴△BNH是等腰直角三角形,
∴BH=HN=AE.。

相关文档
最新文档