高中数学三角函数综合复习讲义

高中数学三角函数综合复习讲义

1：产生背景：初中锐角三角函数

定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么

正弦: sinα=y/r

余弦: cosα=x/r

正切: tanα=y/x

余切: cotα=x/y

正割: secα=r/x

余割: cscα=r/y

都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。

2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。

本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)

3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；

[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的

[对应法则]包括：正弦: y= sinx

余弦: y= cosx

正切: y= tanx

余切: y= cotx

正割: y= secx

余割: y= cscx

[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数

4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。

5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}

基本三角函数的性质：

同角的三角函数：

倒数关系: 商的关系：

平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

sin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α

诱导公式

sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα

cot （－α）＝－cotα

sin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan α

sin （π/2＋α）＝cos α

cos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α

sin （π＋α）＝－sin α

cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α

sin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan α

sin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin α

cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式

sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ

（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =

1 ?tan tan tan tan tan αβ

αβαβ

＋（＋）－

1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ

－（－）＝

＋

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

万能公式

2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————

1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

sinα＋sinβ＝2sin

2β

α+

cos

2β

α-

sinα－sinβ＝2cos

2β

α+

sin

2β

α-

cosα＋cosβ＝2cos

2β

α+

·cos

2β

α-

cosα－cosβ＝－

2sin

2β

α+

·sin

2β

α-sinα ·cosβ＝

2

1

[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα ·sinβ＝-

2

1

[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ＝

2

1

[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα ·sinβ＝－

2

1

[cos（α＋β）－cos（α－β）]