数学实验第4章线性代数
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S (a1 ,, an1 ) [ y j P ( x j )]2 min
j 1 m
使得
MATLAB求解多项式拟合方法如下: P =polyfit(x，y，n) 输出变量P是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示 拟合多项式P(x)的系数(多项式降幂排列 )。
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汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
150 100
50
0 1
150
2
3
4
5
6
7
100
50
0 1 2 3 4 5 6 7
120. 126. 130.68 134.33 137.17 139.39 141.13 150. 144. 139.32 135.66 132.82 130.60 128.86
11/16
营业部汽车总数量：120+150=270 =147+123 矩阵
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x=[4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756]'; y=[0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265]'; D=[x.^2 2*x.*y y.^2 2*x 2*y]; E=[1;1;1;1;1];e=-D\E; A=[e(1) e(2);e(2) e(3)];b=[e(4);e(5)]; X0=-A\b; F=X0'*A*X0+2*X0'*b+1; [U d]=eig(A);a=sqrt(-F/d(1,1));b=sqrt(-F/d(2,2)); t=linspace(0,2*pi,2000); u=a*cos(t);v=b*sin(t); X=U*[u;v]+X0*ones(1,2000);xt=X(1,:);yt=X(2,:); plot(xt,yt,x,y,'b*',0,0,'ro'),hold on comet(xt,yt)
1u 2v F 0
2 2
6/16
u2 v 2 2 1 2 a b
其中 a
2
F
1
b
2
F
2
u a cost v b sint
0 t 2
变量 t 的离散数据 轨道数据 ( u, v )
x u x0 y U v y 0
= –1 = –1 = –1 = –1 = –1
2/16
Az = b
z A 1 b
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 x2 5
2 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 x 4 y4 2 x 5 y5
2 y1 2 y2 2 y3 2 y4 y5
原坐标下的轨道离散数据
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矩阵特征值问题
A是n阶方阵,求非零向量 和数 使得
A 称 为特征向量,称 为特征值.
MATLAB解算特征值问题方法
lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A 的全部特征值构成的列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特 征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征 值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。
有特征值 1 ,对应的特征向量
[q p]T
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0.9 0.12 特征值 1 1 A T 特征向量 [ 0 . 12 , 0 . 1 ] 1 0.1 0.88
150 100 50 0
150 100 50 0
X=[147;123]Leabharlann Baidu A=[0.9,0.12;0.1,0.88];
Cars=X; for k=1:6 X=A*X; Cars=[Cars,X]; end
( n1) ( n) x1 0.9 0.12 x1 ( n1) ( n) x2 0.1 0.88 x2
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营业部汽车总数量：120+150=270
X=[120;150]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 X=A*X;Cars=[Cars,X]; end Cars figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
T
20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266
V表示刹车时汽车行驶速度(英里/小时),T表示刹车 后汽车滑行距离(英尺)
v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70]*1.609; T=[20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266]*.3048; figure(1),plot(v,T,'*') P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v); R2=sum((T-T2).^2) figure(2),plot(v,T,'*',v,T2) R2 = 1.9634
a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5
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例4.5 出租汽车问题。 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上,设了A,B两营 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有
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V=[20,40,60,80,100,120]; format bank T=polyval(P2,V); figure(3),bar(V,T) [V;T]
T=
100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120
6.07 车速
8.50 18.44 35.88 60.82 93.27
x1 x2 x3 x4 x5
y1 a1 1 y2 a 2 1 y3 a 3 1 y4 a4 1 a 1 y5 5
MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法：
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a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0
a1 [ x y] a 2
或
a2 x a4 2[ x y] 1 0 a3 y a5
XTAX + 2XTb + 1 = 0
平移变换,X = X0 + Z, 其中X0(椭圆中心)待定 (X0 + Z)TA(X0 + Z) + 2(X0 + Z)Tb + 1 = 0 ZTAZ + 2ZT(AX0 + b) +( X0TAX0 + 2X0Tb + 1) = 0
0
F = X0TAX0 + 2X0Tb + 1
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消去方程中一次项,令
AX0 + b = 0
a1 a 2
a 2 x0 a4 a 3 y0 a5
二次方程化简: ZTAZ + F = 0 设1，2 是 A 的特征值,对应特征向量为 1 , 2 1 令 U [1 2 ] AU [11 2 2 ] U 2 1 u T 令 Z U U AU 2 v
表 汽车行驶速度与刹车滑行距离
20
40
60
80
100
60.8
120
93.27
滑距 6.07
8.5 18.44 35.88
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思考题与练习题
1. 行星轨道的二次曲线方程中，二次项系数满足什 么条件时，能保证二次曲线方程是椭圆方程？
2.设非零正数p<1,q<1. 证明矩阵
q 1 p A p 1 q
A=[X.^2, 2*X.*Y, Y.^2, X, Y]
y1 x1 x2 y2 X x 3 Y y3 y4 x4 y x 5 5
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程序文件 mlab42.m X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756]; Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; E=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\E; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on,plot(X,Y,'ro')
第四章 线性代数
小行星的轨道方程 特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合
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例4.2 小行星轨道方程 椭圆二次曲线方程 a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0
以太阳为坐标原点,测得小行星坐标
x y 4.5596 0.8145 5.0816 1.3685 5.5546 1.9895 5.9636 2.6925 6.2756 3.5265
1
2
3
4
5
6
7
figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
1
2
3
4
5
6
7
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离散数据的多项式拟合方法
x f(x) x1 y1 x2 y2 …… xm …… ym
求 n 次多项式 ( n < m ) P(x) = a1xn + a2 xn-1 + …… + an x + an+1
j 1 m
使得
MATLAB求解多项式拟合方法如下: P =polyfit(x，y，n) 输出变量P是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示 拟合多项式P(x)的系数(多项式降幂排列 )。
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汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
150 100
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0 1
150
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100
50
0 1 2 3 4 5 6 7
120. 126. 130.68 134.33 137.17 139.39 141.13 150. 144. 139.32 135.66 132.82 130.60 128.86
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营业部汽车总数量：120+150=270 =147+123 矩阵
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x=[4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756]'; y=[0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265]'; D=[x.^2 2*x.*y y.^2 2*x 2*y]; E=[1;1;1;1;1];e=-D\E; A=[e(1) e(2);e(2) e(3)];b=[e(4);e(5)]; X0=-A\b; F=X0'*A*X0+2*X0'*b+1; [U d]=eig(A);a=sqrt(-F/d(1,1));b=sqrt(-F/d(2,2)); t=linspace(0,2*pi,2000); u=a*cos(t);v=b*sin(t); X=U*[u;v]+X0*ones(1,2000);xt=X(1,:);yt=X(2,:); plot(xt,yt,x,y,'b*',0,0,'ro'),hold on comet(xt,yt)
1u 2v F 0
2 2
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u2 v 2 2 1 2 a b
其中 a
2
F
1
b
2
F
2
u a cost v b sint
0 t 2
变量 t 的离散数据 轨道数据 ( u, v )
x u x0 y U v y 0
= –1 = –1 = –1 = –1 = –1
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Az = b
z A 1 b
2 x1 2 x2 2 x3 2 x4 x2 5
2 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 x 4 y4 2 x 5 y5
2 y1 2 y2 2 y3 2 y4 y5
原坐标下的轨道离散数据
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矩阵特征值问题
A是n阶方阵,求非零向量 和数 使得
A 称 为特征向量,称 为特征值.
MATLAB解算特征值问题方法
lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A 的全部特征值构成的列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特 征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征 值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。
有特征值 1 ,对应的特征向量
[q p]T
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0.9 0.12 特征值 1 1 A T 特征向量 [ 0 . 12 , 0 . 1 ] 1 0.1 0.88
150 100 50 0
150 100 50 0
X=[147;123]Leabharlann Baidu A=[0.9,0.12;0.1,0.88];
Cars=X; for k=1:6 X=A*X; Cars=[Cars,X]; end
( n1) ( n) x1 0.9 0.12 x1 ( n1) ( n) x2 0.1 0.88 x2
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营业部汽车总数量：120+150=270
X=[120;150]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 X=A*X;Cars=[Cars,X]; end Cars figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
T
20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266
V表示刹车时汽车行驶速度(英里/小时),T表示刹车 后汽车滑行距离(英尺)
v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70]*1.609; T=[20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266]*.3048; figure(1),plot(v,T,'*') P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v); R2=sum((T-T2).^2) figure(2),plot(v,T,'*',v,T2) R2 = 1.9634
a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5
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例4.5 出租汽车问题。 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上,设了A,B两营 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有
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V=[20,40,60,80,100,120]; format bank T=polyval(P2,V); figure(3),bar(V,T) [V;T]
T=
100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120
6.07 车速
8.50 18.44 35.88 60.82 93.27
x1 x2 x3 x4 x5
y1 a1 1 y2 a 2 1 y3 a 3 1 y4 a4 1 a 1 y5 5
MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法：
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a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0
a1 [ x y] a 2
或
a2 x a4 2[ x y] 1 0 a3 y a5
XTAX + 2XTb + 1 = 0
平移变换,X = X0 + Z, 其中X0(椭圆中心)待定 (X0 + Z)TA(X0 + Z) + 2(X0 + Z)Tb + 1 = 0 ZTAZ + 2ZT(AX0 + b) +( X0TAX0 + 2X0Tb + 1) = 0
0
F = X0TAX0 + 2X0Tb + 1
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消去方程中一次项,令
AX0 + b = 0
a1 a 2
a 2 x0 a4 a 3 y0 a5
二次方程化简: ZTAZ + F = 0 设1，2 是 A 的特征值,对应特征向量为 1 , 2 1 令 U [1 2 ] AU [11 2 2 ] U 2 1 u T 令 Z U U AU 2 v
表 汽车行驶速度与刹车滑行距离
20
40
60
80
100
60.8
120
93.27
滑距 6.07
8.5 18.44 35.88
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思考题与练习题
1. 行星轨道的二次曲线方程中，二次项系数满足什 么条件时，能保证二次曲线方程是椭圆方程？
2.设非零正数p<1,q<1. 证明矩阵
q 1 p A p 1 q
A=[X.^2, 2*X.*Y, Y.^2, X, Y]
y1 x1 x2 y2 X x 3 Y y3 y4 x4 y x 5 5
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程序文件 mlab42.m X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756]; Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; E=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\E; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on,plot(X,Y,'ro')
第四章 线性代数
小行星的轨道方程 特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合
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例4.2 小行星轨道方程 椭圆二次曲线方程 a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0
以太阳为坐标原点,测得小行星坐标
x y 4.5596 0.8145 5.0816 1.3685 5.5546 1.9895 5.9636 2.6925 6.2756 3.5265
1
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figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))
1
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离散数据的多项式拟合方法
x f(x) x1 y1 x2 y2 …… xm …… ym
求 n 次多项式 ( n < m ) P(x) = a1xn + a2 xn-1 + …… + an x + an+1