第14讲对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
对弧长的曲线积分
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
曲线积分
曲线积分知识点讲稿一.对弧长的曲线积分:1.引例 :设L 是质量分布不均匀的构件，密度为f(x,y)，则弧M i-1M i 的质量△M i =f(ξi , ηi )△s iM=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ2.弧长曲线积分的定义: 设L 为OXY 平面内的一条光滑曲线弧，端点为A,B,函数f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，并取B M A M n ==,0，把L 分成n 个小段，令第i 个小弧段的长度为△s i ，又),(i i ηξ为第i 个小弧段上的任意一点，作乘积i i i s f ∆),(ηξ(i=1,2,3,…，n),并对i 求和i ni i i s f ∆∑=),(1ηξ，如果当各个小弧段的长度的最大值λ→0时，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记为⎰Lds y x f ),(，即⎰Lds y x f ),(=i ni i i s f ∆∑=→),(lim1ηξλ其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 3.对弧长曲线积分的性质: (1). =±⎰Lds y x g y x f )],(),([⎰Lds y x f ),(⎰±Lds y x g ),((2). ⎰Lds y x kf ),(=⎰Lds y x f k ),((3).⎰Lds y x f ),(=⎰1),(L ds y x f +)(),(212L L L ds y x f L +=⎰(4). 变换L 的起点和终点，对弧长的曲线积分的值不变(但一般取下限<上限). (5).⎰=LL ds其中L 表示曲线的弧长,也可看作如下三种情况的推广.a b dxba-=⎰, [b-a]的长度,D dxdyD=⎰⎰ D 的面积,Ω=⎰⎰⎰ΩdxdydzΩ的体积.Y二.对弧长的曲线积分的计算法设f(x,y)在曲线弧L 上有定义且连续 (1).L 是参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ (α≤t ≤β)φ(t),ψ(t)有一阶连续导数 并且0)()(22≠'+'t t ψϕ 22)()(y x s ∆+∆≈∆ 又∵dt t t dt t x )()()(ϕϕϕ'≈-+=∆ , dt t t dt t y )()()(ψψψ'≈-+=∆∴△s 的近似值即弧长元素d s 为222222))(())(()()(dt t dt t dy dx ds ψϕ'+'=+==dt t t )()(22ψϕ'+'∴⎰Lds y x f ),(=])(),([⎰βαψϕt t f dt t t )()(22ψϕ'+'(2).曲线L 的方程 : ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(b x a x y y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰bax y x f )](,[dx x y )(12'+(3). 曲线L 的方程 ⎩⎨⎧≤≤==)(,)(d y c yy y x x 则⎰Lds y x f ),(=⎰dcy y x f ]),([dy y x )(12'+(4).曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则⎰Γds z y x f ),,(=⎰βαωψϕ)](),(),([t t t f dt t t t )()()(222ωψϕ'+'+'★(5)曲线方程是极坐标形式 L: r=r(θ), θ0≤θ≤θ1 ⎩⎨⎧==θθθθs i n )(c o s)(r y r x (θ0≤θ≤θ1) 则θθθθθθθθθd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=1)()(]sin )(,cos )([),(22计算对弧长的曲线积分 : 1.⎰+Lds y x )2(,其中L 为连接两点(2,0),(0,3)的直线段解: AB:132=+y x ,即x y 233-=∴2131,232='+-='y y X0 A(2,0)⎰⎰⎰+=-+=+220)321(213213)2332()2(dx x dx x x ds y x L=2137)341(21322=+x x 2. ∮L(x 2+y 2)n ds,其中L 为圆周 x=acost, y=asint (0≤t ≤2π)解: adt dt y x ds t a y t a x ='+'=='-='22,cos ,sin∮L(x 2+y 2)n ds=1220222])sin ()cos [(+=+⎰n n aadt t a t a ππ3. I=∮L(x 2+y 2+5)n ds= 12π , 其中L 为x 2+y 2=1的圆周.4. I=∮L(4x 2+5y 2-16)ds= 4K , 其中L 为椭圆14522=+yx,周长为K.5. ds eyx L22∮+,其中L 为圆周x 2+y 2 =a 2, 直线x y 3=及X 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 直线OA L 1 : x y 3=, 扇形2 :x=acost,y=asint (0≤t ≤π/3)X 轴 : L 3 y=0 , L=L 1+L 2+L 3 I=ds eyx L22∮+=⎰+122L yx ds e+⎰+222L yx ds e+⎰+322L yx ds e∵dx dx ds y L 2)3(1,3:21=+==' , t a y t a x L cos ,sin :2='-='a d t dt y x ds ='+'=22 , dx ds y L ==',0:3 ∴ I=dx e dt e a dx e axaa x⎰⎰⎰++03222π=a xaa xet ae e 030202)()(++π=2)32(-+ae aπ6.⎰Γyzds x 2,其中四个点为 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,2),D(1,3,2), Γ为折线ABCD解: AB,BC,CD 是直线写成参数(一次)式直线方程: AB: x=0,y=0,z=t (0→2)BC: x=1,y=0,z=2 CD: x=1, y=t (0→3),z=2⎰Γy z d s x 2=⎰AByzds x 2+⎰BCyzds x 2+⎰CDyzds x 2=0+0+⎰CDyzds x2=dt t ⎰++31002=9 X7.求心形线r=a(1+cos θ) 的长度(a>0)解: θθθcos 2cos )]cos 1([222222a a a a r ++=+=θθ222sin )(a r =' ∴ds=θθθθd a d r r 2cos2)(22='+ X]2c o s 2c o s [22c o s 22020⎰⎰⎰-==ππππθθθθθθd d a d a ds L∮=a a 8]2sin22sin 2[220=-ππθθ一.对坐标的曲线积分的概念与性质:1.引例 :变力沿曲线所作的功设质点受力为 F(x,y)=p(x,y)i+Q(x,y)j j y i x M M i i i i )()(1∆+∆=-i i i i i M M F w 1),(-≈∆ηξi i i i i i i y Q x P w ∆+∆≈∆),(),(ηξηξ X]),(),([i i i i i i niniiy Q x P wW ∆+∆≈∆=∑∑ηξηξ]),(),([limi i i i i i niy Q x P W ∆+∆=∑→ηξηξλ2.坐标曲线积分的定义:设L 为OXY 平面内从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧，,函数P(x,y),Q(x,y)在上有界，在L 上沿L 的方向任意插入一系列点),(,),,(),,(111222111---⋯n n n y x M y x M y x M ，，把L 分成n 个有向小弧段，M i-1M i (i=1,2,…; B M A M n ==,0)令△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1,点),(i i ηξ为M i-1M i 上的任意一点，如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，i ni i i x P ∆∑=),(1ηξ，这个和式的极限存在，则称此极限值为函数P(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分，记为⎰Ldx y x P ),(，类似地，如果i ni i iy Q ∆∑=→),(lim1ηξλ总存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分，记为⎰Ldy y x Q ),(即⎰Ldx y x P ),(=i ni iix P ∆∑=→),(lim 10ηξλ⎰Ldy y x Q ),(=i ni i iy Q ∆∑=→),(lim 1ηξλ其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分弧段，此两个积分也称为第二类曲线积分在书写上常把两者合并:⎰Ldx y x P ),(+⎰L dy y x Q ),(= dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰3.坐标曲线积分的性质:(1).如果有向弧 L=L 1+L 2 , 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰=dy y x Q dx y x P L ),(),(1+⎰+dyy x Q dx y x P L ),(),(2+⎰(2).设L 是有向曲线弧段，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧段，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰-=-dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰◣注意◥1.对坐标曲线积分，必须注意曲线L 的方向，化到定积分时，下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点，α不一定小于β. 2.对弧长曲线积分，化到定积分时，虽然α→β，β→α弧长不改变，但下限α一定要小于上限β 二. 对坐标的曲线积分的计算方法设 P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L 上有定义且连续 1.曲线 L : 参数方程⎩⎨⎧≠'+'==0)()(,)()(22t t t y t x ψϕψϕ , (α≤t ≤β) 则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dtt t t Q t t t P ⎰'+'βαψψϕϕψϕ)()](),([)()](),([(2. 曲线Γ为空间曲线其方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===)(,)()()(βαωψϕt t z t y t x 则dz z y x R dyz y x Q dx z y x P L),,().,(),,(++⎰=dt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()]().(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'⎰3. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==b x a x x x y y ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dxx y x y x Q x y x P ba⎰'+)()](,[)](,[4. 曲线 L : 函数方程⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==d x c yy y x x ,)( ,则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰={}dy y y x Q y x y y x P dc⎰+']),([)(]),([三.计算坐标曲线积分 1.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是y 2=x 上从点(1,1)到点(9,3)解:用 x=x(y) , 1≤y ≤3 ,x ’(y)=2y ,dx=2ydy∴dy x y dx y x L)()(-++⎰=⎰-++3122)](2)[(dy y y y y y=3158)213121()2(313123423=++=++⎰y y y dy y y y2.dy x y dx y x L)()(-++⎰ 其中L 是先沿着直线从点A(1,1)到点B(1,3)而后再沿直线到点C(4,3)解: 直线⎪⎩⎪⎨⎧==∴≡→==∴≡→dx dx dy y x BC dydy dx x y AB 03;)41(:01;)31(:dy x y dx y x L)()(-++⎰=dy x y dx y x AB)()(-++⎰+dy x y dx y x BC)()(-++⎰=⎰-ABdy x y )(+⎰+BCdx y x )(=⎰⎰++-4131)3()1(dx x dy y=237)3(21)1(21412312=++-x y3. 22)()(∮y x dy y x dx y x L+--+ ,其中 L: x 2+y 2=a 2逆时针方向 解:设 x=acost ,y=asint ,则 dx=-asint ,dy=acost ,0≤t ≤2π ∴22)()(∮yx dyy x dx y x L+--+=⎰---+π20222]cos )sin (cos )sin )(sin (cos [adtt t t a t t t a=ππ220-=-⎰dt4.dz y x ydy xdx)1(-+++⎰Γ其中Γ是从点A(1,1,1)到点B(3,4,5)的一段直线解: 空间直线AB 的方程 :413121-=-=-z y x ,其参数式为dtdz t z dt dy t y dtdx t x 4,413,312,21=+==+==+= 当 x=1 ,t=0 ; x=3 , t=1∴dz y x ydy xdx )1(-+++⎰Γ=⎰-+++++++10)]13121(4)31(3)21(2[dt t t t t=251)2339()339(121=+=+⎰t t dt t【格林公式】dy y x Q dx y x P dxdy yP xQ LD),(),()(+=∂∂-∂∂⎰⎰∮(D 为单连通区域)1. =+xdy ydx L∮ 0 .2. I=dy y xy dx y x x L)()(3223∮++- 其中 L: x 2+y 2=32逆时针方向 解: 232223,,,y x Q y xy Q xyp y x x P =∂∂+=-=∂∂-=∴ I=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=281)41(230430220ππθπ==⎰⎰r rdr r d3.⎰-Lydx x dy xy 22, L:由A(1,0) 沿着y=21x -到B(-1,0)的圆弧解: 设=r L L+BA (即形成单连通区域 D)2222,,,y xQ xy Q xyP y x P =∂∂=-=∂∂-= X⎰-rL y d x x dy xy 22=⎰-Lydx x dy xy 22=⎰⎰+Ddxdy y x )(22=πθπ41][012=⎰⎰d rdr r而因为022=-⎰BAydx x dy xy (y=0) ∴422π=-⎰Lydx x dy xy。
(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分是一种第一类曲线积分，其计算方法主要包括以下步骤:
1. 确定被积函数：首先需要确定被积函数，通常是曲线的参数方程或极坐标方程。
2. 确定积分区间：确定积分区间，即曲线的不同段，通常需要分成多个区间进行积分。
3. 计算积分值：根据被积函数和积分区间，计算曲线每段弧长乘以段数，再对所有段数进行求和，即可得到曲线积分的值。
4. 化简积分式：如果需要，可以将积分式进行化简，以简化计算过程。
下面是一些典型的例题:
- 计算圆的对弧长的曲线积分：被积函数为圆的参数方程
(x,y)= (rcos(t), rsin(t)),积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算椭圆的对弧长的曲线积分：被积函数为椭圆的参数方程x=rcos(t),y=rsin(t),积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算空间曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为空间曲线的参数方程，积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算分段光滑曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为分段光滑的曲线函数，积分区间为 [0,2π],结果求和。
对弧长的曲线积分的计算方法相对简单，但需要确定被积函数和积分区间，并计算积分值，化简积分式等步骤。
在实际应用中，需要
根据具体情况选择适当的积分方法，并进行详细的计算和分析。
《对弧长的曲线积分》课件
其他实际问题中的应用
曲线积分可用于电路和工程学中描述电流和磁场的 路径积分。
四、总结
曲线积分和弧长的关系
曲线积分可以使用弧长来表示。曲线积分的计算 基于弧长。
总结和拓展
通过本课程，您已经了解了对弧长的曲线积分的 基本概念，计算方法和应用。您还可以拓展研究 其他应用，如计算弯曲量和曲率。
五、参考文献
曲线积分的计算可以分为第一型和第二
股定理计算弧长。
型的积分。第一型积分是对曲线在各点
的函数值进行积分，第二型积分是对曲
线的切线和每点法向量的积进行积分。
3
面积的计算
利用二重积分的方法，可以计算由曲线 围成的面积。这种计算有时是研究曲线 性质的关键。
三、应用
物理学中的应用
曲线积分可用于描述物理学上的某些概念，如力和 能量的路径的课程。本次课程将介绍如何计算弧长和曲 线积分，以及其应用于物理学和其他实际问题中。我们将深入研究这一主题， 让您从中受益。让我们开始吧！
一、基本概念
曲线积分的定义
曲线积分是指在弧线上的积分。它可以用来计算弧线上某些量的累积变化，如速度、位移和 质量分布。
弧长的概念
弧长是曲线从起点到终点的长度。它是计算曲线积分的基本量。
曲线的参数方程与弧长公式
曲线的参数方程可以用来方便地计算弧长。通常采用勾股定理和导数的知识来推导弧长公式。
二、计算方法
1
利用参数方程计算弧长
通过曲线的参数方程，我们可以得到它
曲线积分的计算方法
2
在每个点的切线，从而确定其弧长。通 过把切线摆放为三角形，我们可以用勾
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4.对弧长的曲线积分
§4. 对弧长的曲线积分
曲线型构体的质量M. 设L是一平面曲线. L上分布着质量. L 的线密度µ = µ (x , y)连续. 求L的质量M. 当µ 为常数时(即质量均匀分布时), M = µ ×L 的长. 当 µ = µ (x , y)不是常数时, 如何求 M ?
Xi–1 (ξ i , ηi ) x
(iii) L的质量 M ≈ ∑ µ (ξi ,ηi )∆si
i =1
n
(iv) 若记 λ = max{∆si },
1≤i ≤ n
则 M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
对弧长的曲线积分(第一型曲线积分 对弧长的曲线积分 第一型曲线积分) 第一型曲线积分 f (x, y)是定义在平面曲线L上的二元函数. ds为弧长元素(弧微分)，
y 2 y2=2x
1 dy ds = 1 + dx = 1 + dx 2x dx
2
∴
0 2 x
∫
L
yds = ∫
2
0
1 2 x ⋅ 1 + dx 2x
1 2 x＋ dx = (5 5 − 1) 1 3
=∫
2
0
y2 解 2： L : x = , 0≤y≤2 2
dx 2 ds = 1 + dy = 1 + y dy dy
L a
b
(a<b)
(2) L：x=x(y), c≤y≤d 假设 x(y)∈C1([c, d]). 有
ds = 1 + x' 2 ( y )dy
对弧长曲线积分
f [ (t ), (t )]
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
(2) f (x, y, z)ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
(3) ds l ( l 曲线弧 的长度) ( 由1, 2 组成)
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3. 计算
• 对光滑曲线弧
L
f
(x,
y) ds
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 (0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
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例3. 计算
其中 为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
对弧长的曲线积分
∫α
于是
β
f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
β α
∫L
f (x, y)ds = ∫ f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
二、对弧长的曲线积分的计算
定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=(t), y=ψ(t) (α≤t≤β), 其中(t)、ψ(t)在[α, β]上具有一阶连续导数, 且′2(t)+ψ′2(t)≠0,
a
b
设曲线 L的参数方程为x=(t), y=ψ(t) (α≤t≤β), 则
∫L
讨论:
f (x, y)ds =∫ f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt (α<β).
α
β
(1)若曲线 L 的方程为 y=ψ(x)(a≤x≤b), 则∫ f (x, y)ds =？
L
(2)若曲线 L 的方程为 x=(y)(c≤y≤d), 则∫ f (x, y)ds =？
提示: 曲线形构件L的质量元素为
f (x, y)ds = f [(t),ψ(t)] ′2(t)+ψ′2(t)dt .
二、对弧长的曲线积分的计算
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密 度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为
∫L f (x, y)ds .
另一方面, 如果曲线L是光滑的, 其参数方程为 x=(t), y=ψ (t) (α≤t≤β), 则曲线形构件L的质量为
α
β
(1)若曲线 L 的方程为 y=ψ(x)(a≤x≤b), 则∫ f (x, y)ds =？
L
(2)若曲线 L 的方程为 x=(y)(c≤y≤d), 则∫ f (x, y)ds =？
对弧长的曲线积分
d
【推广】 : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t ) f ( x , y, z )ds Γ为空间曲线
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt
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一、问题的提出
y
实例:曲线形构件的质量
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
线密度为常量时 M s.
A
M1 , M 2 ,, M n1 si , o 分割
x
取近似 求和 取极限
取 ( i , i ) si , M i ( i ,i ) si .
曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
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n
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【注意】 1. 若 L 是分段光滑的, ( L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
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【思考题】 对弧长的曲线积分的定义中 S i的符号 可能为负吗？
【思考题解答】
S i 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
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o
x
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积分弧段(路径)
被积函数
n
弧微分 积分和式
L
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f( x ,y )d s b f( x ,y ( x )) 1 y 2 d x ( 1 ).
L
a
由于对弧长的曲与线起积点分、终点的关选 , 取无
所,以 总可以认为方 弧向 长 x的 与 的 增增 加加 方 . 向
则称该极 f(x,限 y)在 值曲 为 LA线 B 上对弧长的 , 记 曲 为 线
n
L AB f(x,y)dsl i0im 1f(i, i)si.
对弧长的曲线积分的号 记
n
L AB f(x,y)dsl i0im 1f(i, i) si. —对弧长的曲线积； 分号 定义在曲 LAB线 上
故 x d s x d s x d s 1 x d x 1 1 d y 3 .
L
OAAB 0
02
例
求 | y|ds, L
其中 L为右半单 . 位 y 圆 B(0,1)
解 由 ,L 题 :x 2 y 2 意 1 ,x 0 .
C(1,0)
由隐函数求导,法得
O
x
y x , y
将对弧长的为 曲定 线积 积分 分 , 积 计 化分 算下 时限 总小于积分上限.
2. 设曲L线 的方程为 x x ( y ) ,y [ c , d ] ,且 x ( y ) C 1 ( c , d [ ] ,则 )
f( x ,y ) d s d f( x ( y )y ) ,1 x 2 d y ( 2 ).
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 弧微d分 s:
yf(x)
y
dy
dx dx2dy2ds2 当弧长的增变 加量 方 x的向 增与 加自 方向 , 一致 ds 1y2dx.
(1 ).曲 L 的 线方 y y (x ) 程 x , [a ,b 为 ];
ds 1y2 dx
(2 ).曲 L 的 线方 x x (y ) 程 y , [c ,d 为 ];
LAB
f(x,y)ds—被积表达；式 f (x, y)—被积函数；
ds— 弧长(元 弧素 微 )； 分 LAB—积分曲.线
如果积分曲线闭 为曲 一 L线 ,条 则封 积分记为
n
Lf(x,y)dsl i0im 1f(i, i) si.
对弧长的曲线积分的质 性
1. 对弧长的曲线 曲积 线分 的值 起与 点、 无终 关 : 点选
B(1,1)
d s1 y 2 d x 1 4 x 2 d x ,
O
故 x d s 1 x1 4 x 2 d x 1 ( 55 1 ).
L
0
12
A(1,0) x
2) LO A A,B
在 O 上 : y 0 , A d s d x ; 在 A 上 : x 1 B , d s d y ,
L
c
y d
xx(y) c
O
x
四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
设 L :x x ( t ) ,y y ( t ) ,t [,] ,
且 x ( t),y ( t) C 1 (,[],)则
ds x2(t)y2(t)dt,
L f( x ,y ) d s f( x ( t )y ( t , )x ) 2 ( t ) y 2 ( t ) d t (.3)
A i1
si A i
m if(i,i)si
n
m f(i, i)si i1
n
mlim 0i1
f(i,
i)si
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
设函 f(x数 ,y)是定x义 y平在 面上的一 曲条 L 线 AB 可
上的.有 在 L A界 上 B 函 n 任 1 个 数 取 : 点
A A 0 A 1 A i 1 A i A n 1 A n B ,
其密 是 L 上 度点的 : 连 f(x,y)续 (x,y) 函 L . 数
求曲线L构 的件 质. 量
仿照质量非均 直匀 线分 构布 件的 的质 法:量计
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 .
y
B
将构件简化为数学中
具有质量的平面曲线.
A
Oa
bx
y AA1Ai1Ai An1B
Oa
bx
Mi(i,i)
注:意 取弧长的增变 加 t量 的 方增 向加 与方 自 . 向 化为定积,分积后分下限小于积. 分上限
例 计算 Lxds, 其中
1 )L 是 y x 2上由 O (0 ,0 )到 原 B (1 ,点 点 1 )的一 . 段
2 )L 是O 折 ,A 其 线 B A (1 ,中 0 ). y
解 1 )L :y x 2,x [0 ,1 ],而
A(0,1)
故d s1 y 2d xx 2y 2 y 2d x |1 y|d x.
ds 1x2 dy
( 3 ).曲 L 的 线 x 方 x ( t)y ,程 y ( t)t ,[ 为 ,];
ds x2(t)y2(t)dt
( 4 ) .R 3 中 的 曲 x 方 线 x ( t)y ,程 y ( t)z ,z ( t为 )t ,[,] .
ds x2(t)y2(t)z2(t)dt
将 L A分 B成 n个小 S i (i弧 1,2,段 ,n ), 每个小弧
记si为 ,并 记 m 1 i n {a si} .x 若 (i, i) Si, 极限
n
lim
0 i1
f(i,
i)si
存 ,且 在该极L 限 A的 B 值 分 与 (i,法 i)的 对 和 取 曲 点 , 法 线
f(x ,y )d s f(x ,y )d s.
L AB
L BA
2 . 如L ＝ 果 L 1L 2, L 1和 L 2是光, 滑 则曲线
f( x ,y ) d s f( x ,y ) d s f( x ,y ) d s .
L
L 1
L 2
3 .当 f(x ,y ) 1时 ,
Lf(x ,y )d s L d s s(s为L 曲 的).线 弧
第 四 节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景 二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算 五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非的 均光 匀滑 分的 布平面L曲 , 线