利用数形结合思想理解函数的单调性
《函数的单调性》教学设计
《函数的单调性》教学设计一、教学目标设计：1.理解函数单调性的概念及其几何特征；会根据定义和图象判断函数的单调性，会根据定义证明简单函数的单调性；2.经历函数增减性科学概念的形成过程，体验数学概念形成的基本思想方法，体会数形结合的数学思想；二、教学重难点：１.教学重点：函数单调性的定义和依据图象与定义判断证明函数的单调性。
２.教学难点：函数单调性定义的形成过程以及根据定义证明函数的单调性。
三、教学过程设计：为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；探究发现，建构概念；自我尝试，运用概念；归纳小结，提高认识。
具体过程如下：（一）创设情境引入新课如图为某市一天内的气温变化图：活动１：请同学们思考回答下列问题（1）观察这个气温变化图，说出这一天气温随时间变化变化的趋势；（2）你能用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征吗？学生：（1）凌晨0点到4点，气温随时间的增大而降低；4点到14点气温随时间的增大而增大；14点到24点气温随时间的增大而降低。
（2）思考后会跃跃欲试或欲言又止。
教师：这里气温是时间的函数，记为,。
那么，“凌晨0点到4点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小；“4点到14点气温随时间的增大而升高”，就是函数，当时，随的增大而增大；“14点到24点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小。
这里的函数，当时，随的增大而增大其实就是函数在[4,14]上是增函数；函数，当时，随的增大而减小其实就是函数在[14,24]上是减函数，那么什么叫增函数，什么叫减函数呢？又怎样用数学语言来刻画函数的增减性呢？这也正是我们本节课将要解决的问题---板书课题.[设计意图]：从学生身边的实例入手,即可使学生感受数学源于生活,又可增强问题的趣味性，从而激发学生的学习兴趣。
似曾相识的生活问题用已有的数学知识一时难以得出答案，必会引起学生认知上的冲突，从而激发了学生的求知欲，也使引出本节课题顺理成章.（二）探究发现建构概念在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，设计以下几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1.借助图象直观感知问题１：分别做出函数的图像，指出上面每个函数的变化趋势？通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图象上点的情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过数学和几何图形相结合来进行问题的分析和解决的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于解题和证明过程中，有助于学生理解和掌握数学概念，培养其数学思维能力和创造力。
以下是数形结合思想在初中数学中的应用。
一、解决几何问题通过数形结合思想可以解决许多几何问题，如证明等腰三角形的性质、证明角的平分线相交于顶点角平分线等。
通过画图观察，能够使问题的分析和解决更加直观和容易。
对于一个等腰三角形，我们可以通过画图观察来证明其性质。
我们画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
然后，我们在等腰三角形中找出一些特殊点，如重心、垂心等。
通过观察，我们发现等腰三角形的重心和垂心的位置，以及它们与三角形顶点的连线之间的关系，可以帮助我们证明等腰三角形的性质。
这个过程中，数学和几何图形相结合，既需要运用数学知识，又需要观察和想象能力，培养了学生的思维灵活性和创造力。
二、解决平面几何问题平面几何是初中数学中一个重要的内容，通过数形结合思想，可以帮助学生解决平面几何问题，如平行线的性质、相似三角形的性质等。
通过画图观察和推理，可以帮助学生理解和巩固这些数学概念。
对于平行线的性质，我们可以通过数形结合思想来解决问题。
我们画出两条平行线，然后引入一个横切线。
通过观察，我们发现两条平行线上对应的内角和外角是相等的，同时我们可以看到内、外角和横切线之间的关系。
这样，我们可以通过画图观察的方式，对平行线的性质进行分析和证明，加深学生对这个概念的理解。
三、解决函数与图像问题在函数与图像的学习中，数形结合思想也被广泛应用。
通过画出函数的图像，可以帮助学生理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
对于一个函数的单调性，可以通过数形结合思想来进行分析。
我们画出该函数的图像，然后观察函数的变化趋势。
通过观察，我们可以发现函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，可以通过数学和几何图形相结合的方式来理解和证明函数的单调性。
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。
因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。
（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。
从而该函数的值域为：(]0,4-。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。
所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。
小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。
（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。
函数的单调性教学设计
“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。
一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。
教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。
函数的单调性教学与反思 (1)
函数的单调性教学与反思肥西二中朱德荣一．教学目的1.理解函数的单调性，能判断和证明函数在给定的区间上的单调性；2.体会从特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究学习方法；3.渗透数形结合的数学思想.二．教学重点、难点重点：函数单调性的定义难点：函数增减的数学符号语言表述，函数单调性的定义证明通过观察一次、二次函数图像的升（降），形成增（减）直观的认识，比较具体函数图像升降与函数值的大小变化，认识函数值随自变量增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，从而突出了重点，再通过例2的讲解，归纳出用定义证明单调性的一般步骤，进而，突破了难点三．教法学法分析1、教法分析遵循“教师的主导作用与学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课采用引导发现式的教学法，并充分利用多媒体辅助教学。
通过教师在教学过程中点拨，启发学生主动观察、思考、对手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
2、学法分析本节课所面对的是高一年级学生，这个时期的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待老师指导，本节课从学生原有的知识和能力出发，教师带领学生创设疑问，通过合作交流、共同探索来寻求解决问题的方法。
四．教学基本流程从观察具体函数图象引入新课—》初步探索、概念形成—》概念深化、延伸拓展—》证法探究、应用定义—》学生小结、教师评价五．教学过程1.问题提出、引入新课画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手）请作出函数f(x) = x和f(x) = x2的图象，观察其变化规律？并观察自变量变化时，函数值的变化规律．（学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察）学生回答教师归纳:从上面的观察分析可以看出：不同的函数图像变化趋势不同，同一函数在不同的区间上是变化趋势也不同。
函数图像的变化规律是函数性质的反映。
这教师我们今天研究的函数的一个性质—单调性（引出课题）2.新课讲解先从二次函数f(x) = x 2研究从二次函数f(x) = x 2图像可以看出图象在y 轴左侧“下降”；图象在y 轴右侧“上升”。
“函数的单调性”-教学设计
“函数的单调性”教案一、教材内容分析函数的单调性是人教版数学必修一第二章第一节的内容。
在《普通高中数学课程标准按（2017年版）》中明确指出，要会借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义。
所以本节在学习函数单调性时要引导学生借助函数图像理解函数单调性，并学会用定义法来证明函数单调性。
函数的单调性是函数性质之一，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质，在函数性质中具有举足轻重的地位。
本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。
二、学生情况分析高一学生具有较强的求知欲望，但是欠缺自主探究能力和良好的学习习惯。
本班学生基础一般，两极分化较为严重，大多数学生学习兴趣较高，能够积极踊跃的发表自己的想法，与教师配合默契。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
三、教学目标1、知识目标：（1）理解函数的单调性的概念；（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。
2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度、价值观目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
四、重点难点重点：函数的单调性定义。
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
五、教学方法启发引导与自主探究讨论相结合。
六、教学过程教学中可根据学生的情况而定），并指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
问题1：如何量化的来刻画函数的增减性呢？1.请大家说说上述的“增大”是什么意思？（比较）2.比较至少是几个量之间？（两个）3.怎样取这两个量？取特殊值可以吗？（不可以，必需取遍整个区间的所有值）4.能做到一一全部都取出来吗？度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象。
函数单调性概念的理解及运用
函数单调性概念的理解及运用作者：单凌云来源：《理科考试研究·初中》2013年第04期函数的单调性是函数的概念和图象部分的重要内容。
函数的单调性的学习可以让学生们更加深入地理解函数，函数的单调性还能运用到实际中解决问题。
在函数的单调性的学习中，主要是要让学生们从形与数两方面理解函数单调性的概念，用数形结合的方法来研究函数的单调性，加强对函数单调性定义的理解，并能通过函数单调性的定义来判断或证明一些函数的单调性。
在学习函数的单调性之前，可以先举一些身边实际例子来启发学生们的思维。
如我们生活中常见的气温变化曲线图或折线图，通过气温统计图可以知道一天中的气温变化，如最温是几度、低温是几度、温度升高了几度或者降低了几度，温度变化最大是哪个时段等等。
还有比如股票的价格升降等这些图形，都是生活中常见的。
通过这样的一些举例可以让学生们联系到所学的函数的单调性，让学生们对函数的单调性有个初步的认识和感悟。
一、直观地理解函数的单调性引入初中阶段所接触的函数单调性的内容来帮助学生们进行回顾。
如：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x？，y= 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？通过作图，可以从简单的函数图象中直观地体现函数的单调性，帮助学生们理解函数的单调性。
学生们把函数图像画出来之后，明显可以看到，函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，而函数y=-x+2是一个呈下降趋势的图象，函数在整个定义域内y值随x 的增大而减小。
函数y=x？是一个顶点在原点，开口向上的抛物线，对称轴是y轴，在y轴的左侧，y随x的增大而减小，呈下降趋势，y轴的右侧y随x的增大而增大，图象呈上升趋势。
函数y= 的图象是由两条曲线组成的，在（0，﹢）上，y随x的增大而减小，在（﹣，0）上，y同样随x的增大而减小。
通过观察这几个函数图象的单调性，引导学生们在观察函数单调性的时候一定要先明确函数单调的区间。
函数单调性教案
函数的单调性一、教材分析：本末节是函数性质之一单调性，揭露了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。
在函数性质中具有举足轻重的地位。
本节利用图像观察推导单调性判断方式，该方式再次表现了数形结合的主要思想。
二、教学目标：(一)知识目标：一、理解函数单调性的概念，会按照函数的图像判断函数的单调性；二、能够按照函数单调性的概念证明函数在某一区间上的单调性。
(二)能力目标：一、培育学生利用数学语言对概念进行归纳的能力；二、通过对函数单调性概念的探讨，渗透数形结合的思想方式，培育学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。
(三)情感目标一、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；二、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过踊跃参与教学活动，取得成功的体验，锻炼克服困难的意志，成立学习数学的自信心。
三、教学重难点：重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方式。
难点：函数单调性的判断与证明。
四、课型：新讲课五、教学方式、手腕：方式：启发引导与自主探讨讨论相结合。
手腕：多媒体辅助课堂教学。
六、教学设计思想：我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数xy2=，xy2-=，2xy=图像，以这些大体图形为素材，慢慢由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的转变规律，再推行到一般函数，从而得出增减函数概念。
学生归纳出判断的方式及步骤并进行简单的应用。
应用上：运用讲义例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生独立完成，表现自主特点。
思考题让学生能够触类旁通，体会由特殊到一般的数学思想。
为了让学生掌握概念及判断方式培育周密的数学语言表达能力，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。
《函数的单调性》的教学反思
《函数的单调性》的教学反思•相关推荐《函数的单调性》的教学反思（精选5篇）在日新月异的现代社会中，我们需要很强的教学能力，所谓反思就是能够迅速从一个场景和事态中抽身出来，看自己在前一个场景和事态中自己的表现。
那么大家知道正规的反思怎么写吗？下面是小编帮大家整理的《函数的单调性》的教学反思（精选5篇），仅供参考，欢迎大家阅读。
《函数的单调性》的教学反思1本节课采用导学案引导自学法。
首先，复习函数单调性的定义，单调性又名增减性，判断函数的单调性有两种方法：图像法和定义法。
然后，要求学生自行阅读课本P57—P58，完成表格，表格将课本实例分析中的8个函数全部罗列出来，完成后观察表格的第3列和第6列，说明导数的正负与函数的单调性有何关系？学生易得出结论。
从而说明判断函数的单调性还可以用导数法。
接下来，讲解例1，实际操作，说明如何利用导数判断函数单调性，根据讲解过程，让学生总结求解的一般步骤，并做了2个练习。
很不巧，此时下课铃声响了，本节教学任务没有完成。
本节课，我设计了三个题型，仅完成了一个。
课堂时间之所以把控的不好，原因很多，我反思之后，主要原因有以下两点：(1)学生基础差，对单调性的知识点掌握不扎实，且自主学习习惯尚未养成，导致阅读课本填表格的时间过长。
我在想，是否可以让学生提前复习单调性的概念，并预习课本完成表格，以提高课堂效率。
其实，本来也是这样打算的，但由于对学生的学习态度不自信，所以放弃了，想着课堂上也能完成，结果估计不足。
应该对学生多一点信心和耐心，行为习惯的养成不是一朝一夕能做到的。
(2)例1中，求导后的计算涉及到不等式的求解，学生对此知识点的把握也不是很到位，教师只能先带领学生回忆不等式的解法，再进行例1的求解。
如此，时间又被耽误了。
对于这一点，我也预估不足，说明我在备课时，对学情的分析不足。
《函数的单调性》的教学反思21、本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精神，积累了探究经验。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
高中数学三角函数的单调性知识分析
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
《函数的单调性》教学设计
函数的单调性【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小．(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数．(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①．②若函数．③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例证明函数在上是增函数．1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取, 设元求差变形,断号∴∴即∴函数在上是增函数．定论2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数在上是增函数．问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题．课后探究：(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有．(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．。
高中数学_函数单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
会求单调区间，会讨论含参函数单调性2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)3.含参数的函数讨论单调性（难点）【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。
教学过程：（一）复习回顾，温故知新让学生填写导数公式，运算法则，复合函数求导法则（利用选号程序，挑选两名幸运的同学回答，可提升学生注意力）设计意图：通过复习回顾，加深对公式的记忆和理解，尤其是运算法则，复合函数求导公式的理解，有利于本节熟练应用。
高中数学教学课例《函数单调性》课程思政核心素养教学设计及总结反思
呢 设计说明:给出函数单调性的数学语言。通过教师指图 说明,分析定义,提问等办法,使学生把定义与直观图象 结合起来,加深对概念的理解,渗透数形结合分析问题 的数学思想方法。 问题 4:如果函数 y=x2 在区间[-3,3]内存在-1<2,恰有 f(-1)<f(2),那么函数 y=f(x)在该区间上一定是单调 递增的吗 5 问题 5:函数 x xf1)(=是减函数吗 设计说明:通过学生的积极思维探索,从抽象到具体,并 通过反例反衬,使学生对概念有了本质的认识,同时也 锻炼了学生的逻辑思维能力 (三)学以致用,理解感悟 例 1:证明函数 xxxf1)(+=在(0,1)上单调递减。设计说 明:主要考查定义法。让学生归纳证明单调性的一般步 骤,使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方 法,强化证题的规范性,从而提高学生的推理论证能力。 通过解题,帮助学生初步构建解题模式。 练习:函数 21 )(xxf=在()+∞,0 上是增函数。 设计说明:请学生板演,然后由其他学生完善步骤.
(一)创设情境,引入课题 问题 1:科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天 气温随时间的变化曲线.请你根据曲线图说说气温的变 化情况
设计说明:设置悬念,从实际生活出发使学生懂得 数学来源于生活,激发学生的求知欲望 教学过程 问题:2:观察下列函数图象,请你说说这些函数有什么 变化趋势 设计说明:明确目标、引起思考。给出函数单调性的图 形语言,调动学生的参与意识,通过直观图形得出结论, 渗透数形结合的数学思想。 (二)引导探索,生成概念 问题 3:如何用数学语言准确刻画函数在区间 D 上递增
高中数学教学课例《函数单调性》教学设计及总结反思
学科
称
本节课是北师大版《数学》(必修 1)第二章第 3 节
怎样利用数形结合解决函数单调性教学难点论文
怎样利用数形结合解决函数单调性的教学难点基本初等函数一直以来是高中数学教学中的重点和难点，对于基本初等函数的几个性质，尤其是单调性，都是大多数学生在高一学习和高考复习当中比较难以理解和掌握的部分。
不能深入的理解定义，就很容易在解题中出现或多或少的错误。
由于基本初等级函数是进入高中数学学习和高考复习中和集合在一起的第一模块部分，所以这一部分掌握不好，直接可以造成高中数学整体联系的缺失，对接下来的学习也会造成的影响。
学生进入高中，首先就要面临的问题就是初高中教材的衔接。
从高中教材中最开始出现的概念——集合开始，很多高中生就产生了严重的不适应。
很多学生反映高中教材中很多概念比较抽象难以理解。
不能真正理解定义，就会在分析问题上遇到问题，给解决问题带来隐患。
在高考复习过程中函数单调性的部分有这样一个很有趣的现象：大多数学生会从函数图像中直接判断出函数的单调性，而对于单调性定义很多学生还搞不清所以然。
对于一些书籍的基本函数示单调区间，我们可以画出该函数的图像从图像中直接判断出单调区间。
而对于一些无法直接画出图像的函数，有时我们也可以采用导数的方式来求解。
但是，如果题目本身要求利用定义求函数的单调区间或者证明函数单调性，那么不理解定义的学生多数会采取模仿教材中例题的方式。
单纯只靠模仿在遇到复杂问题的时候肯定会出现问题。
机械性的模仿可以在短期内从分数上见到一些成效，但这们并不是我们教学所要达到的目的。
高中数学的学习包括两个方面：第一轮的初学和高考前的复习。
要想在考前复习到位，就应在第一轮初学的时候夯实基础。
就像建筑一样，基础不牢固就不会有第二层第三层甚至更高。
数学中最基础的就是基本的定理定义。
定义不清，思想不明。
那么在教学中能清楚明了讲解好不容易理解的定义才是教学中的重中之重。
但是讲解定义也不是简单的给学生无数次的重复，或者是以题代题讲重复着大量的习题妄图让学生直接掌握解题的方法。
在不明不白的情况下，重复着不知为何的东西。
《函数的单调性(3)》教学设计
教学设计设计意图：让学生知道此节课要达到什么学习目标。
二复习引入 导函数是研究函数变化的通法。
一方面导函数的正负决定原函数的单调性，利用导函数正负判断函数单调性的一般步骤是：确定定义域，求导函数及其零点，列表，判断导函数正负，得原函数的单调性。
另一方面，导函数的绝对值的大小决定原函数变化的快慢：当导函数在某个区间绝对值较大时，函数变化得较快函数图像就比较“陡峭”, 反之绝对值较小， 函数变化得较慢 函数图像就比较“平缓”。
我们之前学的常见函数的导函数公式和函数四则运算求导法则，以及复合函数的求导法则，你还记得吗？今天我们用这些知识来研究任意一个函数的图象变化。
师生活动：让生单独回答。
设计意图：复习旧知，引入新知。
三探究新知（一）探究导函数的图象与原函数的图象的关系。
例1. 选择函数f(x)=(x 2−2x)e x 的大致图象（ ）问题1：函数的定义域是什么？奇偶性如何？ A .B C . D .师生活动：引导分析研究函数定义域优先，根据解析式知：函数定义域是R, 且非奇非偶函数，排不出选项；问题2：函数的解析式还可以给我们什么信息？师生活动：引导生令f(x)=0得x 等于2和0，两个零点，所以它与x 轴交点个数两个，于是排除C 和D 选项；问题3：再看A 和B 的区别是什么？怎么确定选项？师生活动：引导生得到：函数在(−∞，0)的单调性不同，所以需求导函数判断单调性。
再根据导函数 f′(x)=(x 2−2)e x 的部分因式(x 2−2)这个二次函数的图象得导函数正负，从而得到原函数的单调性。
选择A.设计意图：循序渐进探究原函数的图象与函数的哪些性质有关系，学会用数形结合判断导函数各个因式的正负。
例2 已知函数y =f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）问题1：导函数的函数值的正负确定吗？A CB D导函数的正负，得原函数单调性。
一定要学会利用导函数的图象或者某部分因式的函数图象判断导函数正负，四最后不要忘了小结回答，检验是否做到了不重不漏。
《函数的单调性》教学设计
《函数的单调性》教学设计三维目标1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重难点本节课的教学重点：形成增（减）函数形式化定义教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。
三、教学过程创设情境我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日长沙市24小时的温度曲线．问题1：观察图形，你能得到什么信息？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充．【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察长沙市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．观察探究，形成新知问题2：(学生练习)画出函数()f x x =，2()f x x =的图象探讨随自变量x 的增大，是如何变化的？学生获取函数()2f x x =的图象升降特点后，教师以函数2()f x x =为例，初步认识函数单调性：函数2()f x x =的图象在y 轴左侧随着自变量x 增大而下降，我们说函数2()f x x =在区间(]-0∞，上是减函数；在y 轴右侧随着自变量x 增大上而升，就说函数2()f x x =在区间()0+∞，上是增函数．师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．【设计意图】体会函数()f x x =的图象是上升的，函数2()f x x =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．以函数2()f x x =的图象为例，通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．探究一：用数学符号语言定义增函数． 问题3：①函数()2f x x =的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？②观察表格，y 轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？ 教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表师生活动：学生观察函数()2f x x =图象在y 轴右侧是上升的，提出函数()2f x x =在区间()0,+∞上y 随x 的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．【设计意图】观察函数()2f x x =的图象，用“在()0+∞，y 随x 的增大而增大”描述“图象在y 轴右侧是上升的”，进一步认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述．问题4：函数()=f x x ２,你认为下面说法对吗？22121212(-1)(2)()-(1)(2)(2)(3)(3)(4)()0++,,f f f x f f f f f f f x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∞∞（1）因为＜，所以在区间（1，2） 上是增函数.（2）因为＜，＜，＜所以在区间（，）上是增函数.（3）对（0，）上任意若＜，都有＜师生活动：在教师的引导下，学生解决以上问题。
函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)
函数单调性教案函数单调性教学设计（6篇）为你细心整理了6篇《函数的单调性教学设计》的范文，但愿对你的工作学习带来帮忙，盼望你能喜爱！固然你还可以在搜寻到更多与《函数的单调性教学设计》相关的范文。
《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点，是讨论和争论初等函数有关性质的根底。
把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简洁函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性，应当是顺理成章的。
从学生现有的学习力量看，通过初中对函数的熟悉与试验，学生已具备了肯定的观看事物的力量，积存了一些讨论问题的阅历，在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质，学生也简单产生共鸣，通过比照产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。
【教学目标】1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3．通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经受从详细到抽象，从特别到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增（减）函数-----问题探究3、定量分析增（减）函数）-----归纳规律4、给出增（减）函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华（一）创设情景，提醒课题1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。
函数的单调性教案
（二）、观察某地区温度变化曲线图，引导学生归纳增函数定义
（三）、类比单调增函数的定义,写出单调减
函数的单调性
简要学案
学习目标：
1、从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和
单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养
学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；
3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良
好思维习惯
学习过程
二、自学内容
预习教材27页——28页的内容。
自学引导：理解“上升”、“下降”的本质内涵，归纳出增（减）函数的定义。
三、自主学习
1、观察下面的三个函数图象，回答下列问题。
2、观察某地区温度变化曲线图，回答下列问题。
（1）在图中标示出温度持续上升的部分。
（2）图中粗线标注的部分为区间D，观察区间D，填空：
对区间D内x1，x2 ，
当x1 x2时，有f(x1) f(x2)
（3）试归纳增函数定义。
3、类比单调增函数的定义,写出单调减函数的定义。
四、例题导练
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？
五、扩展练习。
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利用数形结合思想理解函数的单调性
学情分析 函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要用的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数的定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有
着广泛的应用。
学生对定义中“任意”的理解有困难，比较大小的能力不足。
因此对函数的复杂程度要加以控制，帮助学生建立判断单调性的基本步骤。
策略描述 首先，引导学生观察函数图像的变化，描述函数图像特征。
其次，结合图，表，用自然语言描述函数表述图像的上升和下降的特征。
然后，用数学符号的语言定义函数的性质。
最后，学生自主讨论，选择代表讲解。
学生自主评价，老师最后总结。
实施过程
介绍策略在课堂中的使用方法（如什么时机使用，教师应注意什么）通过多媒体对函数图像的操作，让学生从中研究，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。
分层练习 设计一套测试或练习题，用于检验学生是否化解了“重难点”。
这套题分：易、中、难三个层次，每个层次1-3道题（围绕该重难点）
1.对于函数y=f(x),若f(1)＜f(3),则f(x)为增函数。
（ ）
2.定义在R 上的函数对任意两个不等实数a,b,总有成立，则必有 （ ）
A. 函数
是先增后减函数; B. 函数是先减后增函数; C. 是R 上的减函数； D. 是R 上的增函数。
3.设函数
是R 上的减函数，求a 的范围。
4.函数
在上是增函数，在上是减函数。