9方差分析2
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第9章 方差分析
第九章方差分析➢学习目标◆了解方差分析的一般原理◆掌握方差分析的步骤◆掌握事后检验方法➢学习内容◆方差分析的一般原理◆完全随机设计方差分析◆多因素方差分析◆随机区组方差分析◆事后检验➢方差分析的基本原理及步骤方差分析又称变异分析，其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异贡献的大小，从而确定实验中自变量是否对因变量有重要影响。
◆方差分析的基本原理:综合的F检验（1）综合虚无假设和部分虚无假设主要处理两个以上的平均数之间的差异检验问题。
研究为多组实验设计，需要检验的虚无假设是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
设定虚无假设为，样本归属的所有总体平均数都相等，一般把这一假设称为“综合的虚无假设”（方差分析）。
组间的虚无假设相应的就称为“部分虚无假设”（事后检验）。
◆方差分析的基本原理:综合的F检验（2）方差的可分解性方差分析依据的基本原理就是方差（或变异）的可加性原则。
确切的说应该是方差的可分别性。
方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。
不同强度噪音下解数学题犯错误频数由于被试分组是随机分派，个体差异及实验误差带有随机性质，因而组内变异与组间变异相互独立，可以分解。
方差分析中组间均方和组内均方分别表示为：平方和的大小与项目数有关（即k 或n ）。
方差分析中组间变异与组内变异的比较不能直接比较各自的平方和，必须将项目数的影响去掉求均方。
比较组间均方与组内均方要用F检验。
方差分析关心的是组间均方是否显著大于组内均方。
如果组间均方小于组内均方，无须检验其是否小到显著性水平，因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验。
即F> 1 且落入F分布的临界区域说明数据的总变异基本上由不同的实验处理所造成，或者说不同的实验处理之间存在着显著差异。
◆方差分析的过程（1）求平方和为了简便，一般直接从原始数据计算平方和：◆方差分析的过程（2）计算自由度（3）计算均方◆方差分析的过程（4）计算F值（5）查F值表进行F检验并作出决策（6）陈列方差分析表◆方差分析的基本假定进行方差分析时，数据必须满足几个假定条件，否则得出的结论可能产生错误。
9方差分析2
把表中有关数据代入这些公式，可得：
C=(55.0)2/24=126.0417
A药效应合计 TA =15.1+14.2=29.3，
B药效应合计 TB =13.0+12.7= 25.7
SS总=(2.72+3.12+…+2.92+2.02)- 126.0417
=5.983
SS个体=(4.32+5.22+…+5.42+4.42)/2- 126.0417 =1.8683
260.0416
12 12
SSB ( X B )2 nB C
3952 4982 33227.0417 442.0416 12 12
SSAB SS处理 SSA SSB 392.0418
ν总=Ｎ-1= 24 -1=23
ν处理=(A的水平数B的水平数)-1 =(2 2)-1=3
νA=A的水平数-1=2-1=1 νB=B的水平数-1=2-1=1 νAB= (2 -1) (2 -1) = 1 νe =(2 2) (6-1)=20
由表9.13可知，按 0.05 水准，均不拒
绝个H体0，间尚的不总能体认均为数两不处同理。因素间、两阶段间和
析因设计方差分析
2×2析因设计模式
处理因素 B
处理因素 A
b1
b2
a1
a1b1
a1b2
a2
a2b1
a2b2
例9.6
为研究某降血糖药物对糖尿病及正常大鼠心 肌磺脲类药物受体SUR1的mRNA的影响，某 研究者进行了如下实验：将24只大鼠随机等分 成4组：两组正常大鼠，另两组制成糖尿病模 型，糖尿病模型的两组分别进行给药物和不给 药物处理，剩余两组正常大鼠也分别进行给药 物和不给药物处理
第9章 方差分析
Dependent List：weight Factor：fodder Contrasts选项: 多项式比较（AD与BC比较和AC与BD比较） Post Hoc选项: 均值多重比较LSD和Tamhane’s T2 ，一致性子集 检验Duncan（各种方法的使用条件－方差齐或不齐） Options选项:Descriptive描述统计量，Homogeneity-ofvariance方差齐次性检验，Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结果 结论：四种饲料对猪体重增加的作用有显著性差异，还可得知 ABCD四种饲料对猪平均体重增加多少（越来越多）。
9.3.2 单因变量多因素方差分析的菜单和选择项
菜单：Analyze->General Linear Model-> Univariate 选项：
选择分析模型Model: 默认全模型Full Factorial：包括所有因素变量的主效应、所有 协变量的主效应、所有因素与因素的交互效应，不包括协变量与 其他因素的交互效应。 自定义模型Custom：主效应（Main effects及其因素变量）、交 互变量（有交互效应维数之分） 选择分解平方和的方法（默认为TYPE III） Include Intercept in model：系统默认截距包括在回归模型中。 选择对照方法Contrasts 选择分布图形Plots 选择多重比较分析Post Hoc 保存运算结果的选择项Save 选择输出项Options
零假设H0：组间均值无显著性差异（即四种饲料对 猪体重增加的平均值无显著性差异）；
9.２.2--9.２.3 单因素方差分析的选择项和例子
使用选择项的单因素方差分析：
9方差分析
随机区组设计的多个样本均数的比较可用多
个样本均数比较的两因素方差分析。两因素是指 主要的研究因素和配伍组（区组）因素，研究因 素有k个水平，共有n个区组。
表9－7
A.B.C三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量(g/L))
区组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A方案 2.21 2.32 3.15 1.86 2.56 1.98 2.37 2.88 3.05 3.42 10 2.5800 0.2743 B方案 2.91 2.64 3.67 3.29 2.45 2.74 3.15 3.44 2.61 2.86 10 2.9760 0.1581 C方案 4.25 4.56 4.33 3.89 3.78 4.62 4.71 3.56 3.77 4.23 10 4.1700 0.1605
X ij
ni Xi s i2
19 5.8000 18.1867
表9－4 方差分析试验数据示意图
用Xij表示第i个处理组的第j个观察值； 方差分析的目的就是通过分析各个处理组均数之间的差 i=1、2…k; j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数总例数 别，推断它所代表的k个总体均数间是否存在差别。 N =∑ni。第i个处理组的均数用 X i 表示，全部实验结果的 总均数用 X 表示。
9.23 3.93
9.11 10.90 6.55 4.83
9.24 4.86
9.55 10.28 3.88 3.89
9.12 5.38
8.75 4.08
如要进行两两比较的t检验，即10个样本每两个进行，
其比较的次数为： m k k k 1 1010 1 45 2
2 2
表9－3 .45次比较中5次有统计学意义的结果 实验结果表示：若＝0.05，则在45次比较中，发现有5次 有统计学意义，结果见表9－3。从理论上讲10个样本均来自同 样本编号k 1与3 1与6 1与7 1与9 1与10 一正态总体，应当无差别，但我们用两样本比较的t检验时，规 t 2.601 2.329 2.372 2.727 2.918 定＝0.05，其实际犯第一类错误的概率为5/45＝0.11,显然比 p 0.013 0.025 0.023 0.029 0.006 所要控制的0.05要大。 需采用本章介绍的方差分析(ANOVA)
第9章方差分析
– 因素：所要检验的对象称为因素（如研究某种 药物的不同剂量疗效，药物即因素）
– 水平：因素的具体表现称为水平（药物的每个 剂量为一个水平）
– 观察值：在每个因素水平下得到的样本值
2019/10/26
ANOVA
线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理 有n次重复，共有nk个观测值。试验资料的 数据模式如表5-1所示。
c10 0.562 0.828 1.446 0.487 0.208 0.603 0.549 0.416 -0.472 1.080 0.571
S 0.970
1.072
1.026
0.844 0.887 1.128 ANOVA
0.995 0.876 0.839 0.510 10
两两比较的次数：
Cnm
n!
ANOVA
33
• 变异的测量：
方差：
s2
(xx)2
x2( x)2 n
n1
n1
2019/10/26
ANOVA
34
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内 变异，就是要将总均方分解为处理间均方 和处理内均方。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体看 待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为 相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进而 获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差 估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属总 体平均数是否相等。
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量 分析。
• 常用术语：
j1
表示全部观测值的 总和；
表示第i个处 理的平均数；
– 水平：因素的具体表现称为水平（药物的每个 剂量为一个水平）
– 观察值：在每个因素水平下得到的样本值
2019/10/26
ANOVA
线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理 有n次重复，共有nk个观测值。试验资料的 数据模式如表5-1所示。
c10 0.562 0.828 1.446 0.487 0.208 0.603 0.549 0.416 -0.472 1.080 0.571
S 0.970
1.072
1.026
0.844 0.887 1.128 ANOVA
0.995 0.876 0.839 0.510 10
两两比较的次数：
Cnm
n!
ANOVA
33
• 变异的测量：
方差：
s2
(xx)2
x2( x)2 n
n1
n1
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ANOVA
34
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内 变异，就是要将总均方分解为处理间均方 和处理内均方。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体看 待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为 相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进而 获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差 估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属总 体平均数是否相等。
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量 分析。
• 常用术语：
j1
表示全部观测值的 总和；
表示第i个处 理的平均数；
医学统计学9 χ2检验
1）有效者应为26(41/70)=15.2； 2） 无效者为26(29/70)=10.8； 同理，对照组的44例颅内压增高症患者中 1）有效者应为44(41/70)=25.8; 2）无效者为44(29/70)=18.2。
卡方检验的基本原理
反映实际频数与理论频数的吻合程度可用统计量
A
T T
2
来表示
案例分析
某医院采用甲乙两种方法测定60例结核杆菌阳性率， 如下图。试问这两种检测方法阳性率是否相同。
测定方法 阳性数 阴性数 合计
阳性率
甲法
42
18
60
70.0%
乙法
23
37
60
38.3%
合计
65
55
120
54.2%
错误的方法
根据2*2四格表卡方检验方法进行 可求得 2 =12.62, p<0.001;
2
(ad bc)2n
(a b)(a c)(bd )(c d )
c2
(
29 26 5 2 42
2 5 )( 26 9 )( 2 26 )( 5
9
)
5.49
x2,1 3.84
P 0.05
结论与之相反。
配对四格表资料的 χ2 检验
与计量资料推断两总体均数是否有差别有成组设 计和配对设计一样，计数资料推断两个总体率（构 成比）是否有差别也有成组设计和配对设计，即四 格表资料和配对四格表资料。
若检验假设H0:π1=π2成立，四个格子的实际频 数A与理论频数T 相差不应该很大，即统计量不
应该很大。如果上述统计量值很大，从而怀疑H0 的正确性，继而拒绝H0，接受其对立假设H1，即 π1≠π2 。
这个统计量就称为卡方统计量。
卡方检验的基本原理
反映实际频数与理论频数的吻合程度可用统计量
A
T T
2
来表示
案例分析
某医院采用甲乙两种方法测定60例结核杆菌阳性率， 如下图。试问这两种检测方法阳性率是否相同。
测定方法 阳性数 阴性数 合计
阳性率
甲法
42
18
60
70.0%
乙法
23
37
60
38.3%
合计
65
55
120
54.2%
错误的方法
根据2*2四格表卡方检验方法进行 可求得 2 =12.62, p<0.001;
2
(ad bc)2n
(a b)(a c)(bd )(c d )
c2
(
29 26 5 2 42
2 5 )( 26 9 )( 2 26 )( 5
9
)
5.49
x2,1 3.84
P 0.05
结论与之相反。
配对四格表资料的 χ2 检验
与计量资料推断两总体均数是否有差别有成组设 计和配对设计一样，计数资料推断两个总体率（构 成比）是否有差别也有成组设计和配对设计，即四 格表资料和配对四格表资料。
若检验假设H0:π1=π2成立，四个格子的实际频 数A与理论频数T 相差不应该很大，即统计量不
应该很大。如果上述统计量值很大，从而怀疑H0 的正确性，继而拒绝H0，接受其对立假设H1，即 π1≠π2 。
这个统计量就称为卡方统计量。
第9章 方差分析
们来自于相同的总体。
方差分析简称 ANOVA(analysis of variance)，就是利用试验观测值总偏差的可分解性，
将不同条件所引起的偏差与随机误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定各种偏差 的影响程度和相对大小。当已确定某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检
验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。
第 9 章 方差分析
学习目标
1、理解方差分析的基本思想； 2、熟练掌握单因素方差分析的基本原理及其实际应用； 3、熟练掌握双因素方差分析的基本原理及其实际应用。
基本概念
总离差平方和 组间离差平方和 组内离差平方和 检验统计量 自由度 单因素方 差分析 双因素方差分析
9.1 方差分析的基本认识
9.1.1 问题的提出
由于爽肤水是同一公司生产的，它们的成分、价格等可能影响销售量的因素全部相同，我们
把四种不同颜色的爽肤水的销售量均值分别记为 m1 , m2 , m3 , m4 ，由题意知，要检验假设
H0 : m1 = m2 = m3 = m4 ；
H1 : m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
如果检验结果为 m1 , m2 , m3 , m4 不全相等，则表明爽肤水颜色对销售量产生影响。反之， 如果检验结果为 m1, m2 , m3 不存在显著影响，则可以认为爽肤水颜色对销售量没有影响，他
ST = SA + SB + SE
（9-11）
5
其中，
å å å ì
r
ïSA =
s
r
( Xi× - X )2 = s ( Xi× - X )2
ï
i=1 j=1
双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素 A 和因 素 B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析， 它假定因素 A 和 B 的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜 色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互 作用的背景，否则就是无交互作用的背景。下面我们将分别介绍无交互作用的双因素方差分 析和有交互作用的双因素方差分析。
方差分析简称 ANOVA(analysis of variance)，就是利用试验观测值总偏差的可分解性，
将不同条件所引起的偏差与随机误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定各种偏差 的影响程度和相对大小。当已确定某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检
验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。
第 9 章 方差分析
学习目标
1、理解方差分析的基本思想； 2、熟练掌握单因素方差分析的基本原理及其实际应用； 3、熟练掌握双因素方差分析的基本原理及其实际应用。
基本概念
总离差平方和 组间离差平方和 组内离差平方和 检验统计量 自由度 单因素方 差分析 双因素方差分析
9.1 方差分析的基本认识
9.1.1 问题的提出
由于爽肤水是同一公司生产的，它们的成分、价格等可能影响销售量的因素全部相同，我们
把四种不同颜色的爽肤水的销售量均值分别记为 m1 , m2 , m3 , m4 ，由题意知，要检验假设
H0 : m1 = m2 = m3 = m4 ；
H1 : m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
如果检验结果为 m1 , m2 , m3 , m4 不全相等，则表明爽肤水颜色对销售量产生影响。反之， 如果检验结果为 m1, m2 , m3 不存在显著影响，则可以认为爽肤水颜色对销售量没有影响，他
ST = SA + SB + SE
（9-11）
5
其中，
å å å ì
r
ïSA =
s
r
( Xi× - X )2 = s ( Xi× - X )2
ï
i=1 j=1
双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素 A 和因 素 B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析， 它假定因素 A 和 B 的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜 色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互 作用的背景，否则就是无交互作用的背景。下面我们将分别介绍无交互作用的双因素方差分 析和有交互作用的双因素方差分析。
现代心理与教育统计学第九章：方差分析
（五）查F分布临界值做出判断 当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01， 查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02，p<0.01。
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来变源异来平源方和平方自和由度自由度均方 均方 F F p 组间 组间258.67258.672 2 129.34129.3448.4448.44*0*.01 组内 组内 24 24 9 9 2.67 2.67
组内变异区组变异msr误差变异mse由此总变异的构成由原来的两个部分演变为三个部分总变异组间或处理变异区组变异误差变异组间设计下自变量各水平下被试随机区分而在单因素组内把每个水平下被试进行了等级划分形成了组内效应区组效应
第九章 方差分析
第一节 方差分析基本原理及步骤 第二节 完全随机设计的方差分析
目 录
第三节 随机区组设计的方差分析
第四节 事后检验
第一节 方差分析基本原理及步骤
➢ 补充： 自变量（前因变量）；自变量水平 因变量（后果变量） 组间（被试间）实验设计(自：男，女。因：红色反应时) 组内（被试内）实验设计(自：红，绿。因：男红绿反应时) 混合实验设计(自：男，女；红，绿。因：男女红绿反应时) 实验组、对照组
SB S n X2 nX k2(2470 444 0 6 4 0)4 (5 3 2 2 4 0 8)2
79 6240 20 5 .68 7 12
SW S X 2 n X 2 8 1 76 9 22 4
（二）自由度的分解 总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
思考： 1.如果想要分析A总体和B总体平均数的差异，可以用什么方法
第九章双向方差分析
表2 方差分析结果
变异来源 处理间 窝别间 误差 总的 自由度ν 2 9 18 29
SS
5.638 14.020 0.487 20.146
MS
a. R Squared = .861 (Adjusted R Squared = .772)
第二节
数据变换
一.对数变换(logarithm 对数变换(logarithm transformation)
Y=lgX 常用于： 常用于： 1）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、变化 ）使服从对数正态分布的数据正态化。如生长率、 速度、 抗体滴度等。 速度、 抗体滴度等。 2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数 ）两个及两个以上因素的各种实验设计的定量资料的均值检验场合秩和检验要求正态性方差齐性参数检验非参数检验适用于分布类型不明确或不满足参数检验的条件单组设计配对设计成组设计完全随机设计随机区组设计析因设计裂区设计交叉设计正交设计拉丁方设计第九章方差分析二
第九章 方差分析（二）： 方差分析（ 双向方差分析
Univariate Analysis of Variance
Between-Subjects Factors N A 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 3 3 3 3 3 3 3 3
B
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: X Source Corrected Model Intercept A B Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 4274.140a 105483.300 283.831 3990.310 690.069 110447.510 4964.210 df 9 1 2 7 14 24 23 Mean Square 474.904 105483.300 141.915 570.044 49.291 F 9.635 2140.026 2.879 11.565 Sig. .000 .000 .090 .000
第四章 方差分析2
得误均方 Se 估计，不同与两样本 t 检验仅用两组数据计
算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第9章_方差分析
概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。
【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。
为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。
三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 383043（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。
（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
〖解（1）〗设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）01::,,不全相等A B CA B C H H μμμμμμ==设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表A B C 预处理结果40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=338 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ijx∑913745409970R=23647112221121158558522815152364723430.6jjj n aij j i n aijj i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑计算平方和及自由度如下23647228158321151142364723430.6216.41531223430.622815615.61312T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值()0.052,12F因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333总和83214因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。
第9章 方差分析
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27
第9章 方差分析
确定F 分布的P值：
①选定单元格F11，打开“插入”菜单中“函数”选项， 弹出“粘贴函数”对话框。
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28
第9章 方差分析
②在“函数分类”中选择“统计”，在“函数名”中选择 FDIST函数，单击“确定”按钮，打开FDIST函数对话 框。
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18
第9章 方差分析
2．计算离差平方和 ①打开“第9章 方差分析.xls”工作簿，选择“计算 表”工作表用“（xbar）”来表示样本均值， “Xbar”来表示总体均值。 ②在单元格E1中输入x-xbar，在单元格F1中输入 “(x-xbar)2”，在单元格G1中输入“xbar-Xbar”， 在单元格H1中输入“(xbar-Xbar)2”，在单元格 I1中输入“x-Xbar”，在J1中输入“(x-Xbar)2”。
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14第9章 方差分析Fra bibliotek9.1.2 检验模型
1. 检验原理 • 假定三组数据分别是来自三个相互独立的正态总 体，且方差相等，观察值是分别从总体中随机抽 取的样本，则可以通过三个总体均值是否相等的 检验，判断培训作用效果。 • 一般地说，应用方差分析时要符合两个前提条件： 一是各个水平的观察数据要能够看作是从服从正 态分布的总体中随机抽取的样本，二是各组观察 数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽 取的。
第九章 方差分析
本章内容
9.1 单因素方差分析
9.2 运用单因素方差分析工具
9.3 双因素方差分析
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第9章 方差分析
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第9章 方差分析
确定F 分布的P值：
①选定单元格F11，打开“插入”菜单中“函数”选项， 弹出“粘贴函数”对话框。
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第9章 方差分析
②在“函数分类”中选择“统计”，在“函数名”中选择 FDIST函数，单击“确定”按钮，打开FDIST函数对话 框。
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第9章 方差分析
2．计算离差平方和 ①打开“第9章 方差分析.xls”工作簿，选择“计算 表”工作表用“（xbar）”来表示样本均值， “Xbar”来表示总体均值。 ②在单元格E1中输入x-xbar，在单元格F1中输入 “(x-xbar)2”，在单元格G1中输入“xbar-Xbar”， 在单元格H1中输入“(xbar-Xbar)2”，在单元格 I1中输入“x-Xbar”，在J1中输入“(x-Xbar)2”。
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14第9章 方差分析Fra bibliotek9.1.2 检验模型
1. 检验原理 • 假定三组数据分别是来自三个相互独立的正态总 体，且方差相等，观察值是分别从总体中随机抽 取的样本，则可以通过三个总体均值是否相等的 检验，判断培训作用效果。 • 一般地说，应用方差分析时要符合两个前提条件： 一是各个水平的观察数据要能够看作是从服从正 态分布的总体中随机抽取的样本，二是各组观察 数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽 取的。
第九章 方差分析
本章内容
9.1 单因素方差分析
9.2 运用单因素方差分析工具
9.3 双因素方差分析
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第9章 方差分析
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9第九讲方差分析
7
两样本的t检验？
如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显著 性检验 ，会出现如下问题：
全部检验过程烦琐，做法不经济；
无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低；
犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降
低。
单因素方差分析法（离差分解）
对因素A的个r水平, 作n次试验 得观测值如下 ：
试验号 水平号 1 A1 x11
0.05
3 3.5 2.9 3.04 4
0.0433
4.5 5 5.5 6
例 热带雨林
一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究报告指 出，“环保主义者对于林木采伐、开垦和焚烧导致 的热带雨林的破坏几近绝望”。这项研究比较了类 似地块上树木的数量，这些地块有的从未采伐过， 有的1年前采伐过，有的8年前采伐过。根据数据， 采伐对树木数量有显著影响吗？显著性水平α=0.05。
100 85 88
108 93 88
92 90 77
75 76 87
89
90 94 80 78
89
75 78 72 79
79
71 82 75 81
73
83 82 68 72
1、根据前面的分析，数据符合方差分 析的假设条件。 2、提出零假设和备择假设：
H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4， H1：μ1、μ2、μ3、μ4 不全相等。
1、正态性检验：直方 图
从未采 1年前采 8年前采 伐过 伐过 伐过 27 12 18 22 12 4 29 15 22 21 9 15 19 20 18 33 18 19 16 17 22 20 14 12 24 14 12 27 2 28 17 19 19
自由度
r 1
均方离差
两样本的t检验？
如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显著 性检验 ，会出现如下问题：
全部检验过程烦琐，做法不经济；
无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低；
犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降
低。
单因素方差分析法（离差分解）
对因素A的个r水平, 作n次试验 得观测值如下 ：
试验号 水平号 1 A1 x11
0.05
3 3.5 2.9 3.04 4
0.0433
4.5 5 5.5 6
例 热带雨林
一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究报告指 出，“环保主义者对于林木采伐、开垦和焚烧导致 的热带雨林的破坏几近绝望”。这项研究比较了类 似地块上树木的数量，这些地块有的从未采伐过， 有的1年前采伐过，有的8年前采伐过。根据数据， 采伐对树木数量有显著影响吗？显著性水平α=0.05。
100 85 88
108 93 88
92 90 77
75 76 87
89
90 94 80 78
89
75 78 72 79
79
71 82 75 81
73
83 82 68 72
1、根据前面的分析，数据符合方差分 析的假设条件。 2、提出零假设和备择假设：
H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4， H1：μ1、μ2、μ3、μ4 不全相等。
1、正态性检验：直方 图
从未采 1年前采 8年前采 伐过 伐过 伐过 27 12 18 22 12 4 29 15 22 21 9 15 19 20 18 33 18 19 16 17 22 20 14 12 24 14 12 27 2 28 17 19 19
自由度
r 1
均方离差
第9章方差分析与一元回归分析
第九章 方差分析与一元线性回归分析
[系统(条件)误差]:
概率统计
在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的 试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.
[随机(试验)误差]:
在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控 制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试 验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.
r ni
ST
( Xij X )2
i1 j1
r ni
SE
( Xij Xi )2
i1 j1
r ni
r
SA
( Xi X )2 ni (Xi X )2
i1 j1
i1
ST反映了样本的总变动幅度. SE反映了为从r个总体中选取一个容量为ni的样本所进行的 重复试验而产生的误差. S A反映了从各不同水平总体中取出的各个样本之间的差异.
r i1
1 ni
(
ni j 1
X ij
)2
1 n
(
r i1
ni
Xij )2
j 1
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
概率统计
(3) 若令Y aX b (a 0),有Y aX b SY2 a2SX2
Y
1 n
n i 1
Yi
1 n
n i 1
(aX i
b)
1 n
n
aX i
i 1
第九章 方差分析与一元线性回归分析
教学要求
1.掌握单因素试验的方差分析 2.掌握一元线性回归分析 学时 4- 6
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
第一节、方差分析
一、方差分析的基本原理 二、单因素方差分析的方法 三、单因素方差分析的步骤 四、双因素方差分析的方法
9第七章方差分析II-双向交叉无重复
27.2509
SSA
1 b
xi2.
C
1 (121.332 10
121.122
121.852
)
C
0.0283
1
SSB a
x.2j
C
1(35.102 3
32.262
38.272)
C
26.7591
SSe SST SS A SSB 27 .2509 0.0283 26 .7591
0.4635 dfT ab 1 3 10 1 29 dfA a 1 3 1 2 df B b 1 10 1 9 dfe dfT df A df B 29 2 9 18
A因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素 （天数） 有10个水平 ，即 b =10 ， 共有 a×b=3×10=30个观测值。
1 计算各项偏差平方和与自由度
C x .2 ./a b 3.3 62/0 4 3 ( 1) 0 44 .82 1
SST
xi2j C (11.712 11.782 12.942)4423.8163
εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)
交叉分组两因素无重复观测值的试验，A因素 的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重 复，每个观测值同时受到A、B 两因素及随机误差 的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误 差三部分；自由度也相应分解。
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表2 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
9方差分析(二)
F1 ＝ MS剂量/MS误差
F 2＝ MS种系/MS误差 F 3＝ MS体重/MS误差
t×t 拉丁方设计的方差分析表
SS1 ＝ t 1 SS2 ＝ t 1 SS3 ＝ t 1 SS E ＝ (t 1)(t 2)
P82
方差来源 DF SS MS F值 P值 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 处理组间 行 列 误 间 间 t－1 t－1 t－1 SS 组间 MS 组间 F 组间＝MS 组间/MSE F 行间＝MS 行间/MSE F 列间＝MS 列间/MSE p 组间
方差分析的步骤
（1）建立假设 H0： μ1＝μ2＝…＝μG ， H1: μi不全相等。 取显著水平α＝0.05
(2) 变异的分解
每个数据关于总均数的变异(离均差）分解成为 两部分： Xij- X=(Xij- Xj ) + (Xj- X ) ∑(Xij- X)2 =∑(Xij- Xj) 2 +∑ nj (Xj - X) 2
重要的关系式
① SS总＝SS处理组＋SS区组 ＋SS误差
② df总＝df处理组＋df区组 ＋df误差
MS处理组 = SS处理组/ df处理组 MS区组 = SS区组 / df区组 MS误差 = SS误差/ df误差
F值及F分布
MS处理 F ＝ MS误差
MS区组
F ＝ MS误差
F分布
0.70.60.50.40.30.20.1υ1=2, υ2=9
处理 区组 误差 总
F值
MS处理/MS误差
P值
处理
区组
MS区组 /MS误差
Hale Waihona Puke 误差六、随机区组设计的优缺点
优点: 随机区组设计的优点是每个区组内的k个实验 对象(单位)有较好的同质性，减少个体间差异 对研究结果的影响，比完全随机组分设计更容 易发现处理组间的差别，提高了研究效率。 缺点: 要求高,各区组内例数与试验因素水平数相同.
F 2＝ MS种系/MS误差 F 3＝ MS体重/MS误差
t×t 拉丁方设计的方差分析表
SS1 ＝ t 1 SS2 ＝ t 1 SS3 ＝ t 1 SS E ＝ (t 1)(t 2)
P82
方差来源 DF SS MS F值 P值 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 处理组间 行 列 误 间 间 t－1 t－1 t－1 SS 组间 MS 组间 F 组间＝MS 组间/MSE F 行间＝MS 行间/MSE F 列间＝MS 列间/MSE p 组间
方差分析的步骤
（1）建立假设 H0： μ1＝μ2＝…＝μG ， H1: μi不全相等。 取显著水平α＝0.05
(2) 变异的分解
每个数据关于总均数的变异(离均差）分解成为 两部分： Xij- X=(Xij- Xj ) + (Xj- X ) ∑(Xij- X)2 =∑(Xij- Xj) 2 +∑ nj (Xj - X) 2
重要的关系式
① SS总＝SS处理组＋SS区组 ＋SS误差
② df总＝df处理组＋df区组 ＋df误差
MS处理组 = SS处理组/ df处理组 MS区组 = SS区组 / df区组 MS误差 = SS误差/ df误差
F值及F分布
MS处理 F ＝ MS误差
MS区组
F ＝ MS误差
F分布
0.70.60.50.40.30.20.1υ1=2, υ2=9
处理 区组 误差 总
F值
MS处理/MS误差
P值
处理
区组
MS区组 /MS误差
Hale Waihona Puke 误差六、随机区组设计的优缺点
优点: 随机区组设计的优点是每个区组内的k个实验 对象(单位)有较好的同质性，减少个体间差异 对研究结果的影响，比完全随机组分设计更容 易发现处理组间的差别，提高了研究效率。 缺点: 要求高,各区组内例数与试验因素水平数相同.
9、方差分析
r ni
记：X 1 X ij n i1 j1
1 ni
Xi n
X ij
j 1
i
构造一个与H
有关的统计量：
0
r ni
记：X 1 X ij n i1 j1
1 ni
Xi n
X ij
j 1
i
r ni
r ni
Q ( X ij X )2 ( X ij X i X i X )2
i
1,, r,
j
1,, ni
n
ni i 0
i1
（3）方差分析任务
1 : 检验假设 H0：a1 a2 ar , 即1 2 r。
2 : i , ai , 2的点估计， ai , 2的区间估计。
构造一个与H
有关的统计量：
0
种类的肥料会对农作物产量有影响，从中找出 最适宜该地区是农作物品种，肥料的种类，提 高单位面积产量。
定义：
（1）实验指标：产量、销售量（受影响的指标） (通常假设服从正态分布).
（2）因素：影响实验指标的原因、条件。
（3）水平：因素的不同状态。
单因素方差分析 多因素方差分析
方差分析：检验在方差相等的条件下，正 态总体均值是否相等，以及均 值的大小，作出合理的推断。
方差分析应用于农业、工业、生物 学、医学等。
（1）固定其它因素，仅考虑一因素A对实验指标的 影响，取因素A的r个水平
A1,, Ar
第i个水平作ni次实验，其观察值xi1 , xi2 ,xini
水平
观察值
A1
X11 , X12 ,, X1n1
Ar
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2020/9/27
ν总=N-1=24-1=23
ν个体=n-1=12-1=11
ν阶段=1
ν处理=1
ν误差=ν总-ν个体-ν阶段-ν处理 =23-11-1-1=10
2020/9/27
MS处理=SS处理/ν处理=0.540 / 1= 0.540 MS阶段=SS阶段/ν阶段= 0.015 / 1= 0.015 MS个体=SS个体/ν个体=1.8683 / 11= 0.1689 MS误差=SS误差/ν误差=3.475 / 10 = 0.3475
2020/9/27
建立假设检验，确定检验水准
H0：任意两对比组的总体均数相等，即 A B
H1：任意两对比组的总体均数不等，即 A B
=0.05
2020/9/27
计算统计量q
首先将3个样本均数由大到小排列，并编组次：
组别 15%大豆饲料 10%大豆饲料 普通饲料
Xi
组次
7.30 1
5.52
4.38
SS误差=SS总 - SS个体 - SS阶段 - SS处理
2020/9/27
把表中有关数据代入这些公式，可得：
C=(55.0)2/24=126.0417
A药效应合计T A =15.1+14.2=29.3，
B药效应合计T B =13.0+12.7= 25.7
SS总=(2.72+3.12+…+2.92+2.02)- 126.0417 =5.983
2020/9/27
Байду номын сангаас
F=MS处理/MS误差= 0.540 / 0.3475 =1.5540 F=MS阶段/MS误差= 0.015 / 0.3475 =0.0432 F=MS个体/MS误差= 0.1689 / 0.3475 =0.4886
2020/9/27
变异来源 总变异 药物 阶段 个体
误差
表9.13 交叉设计方差分析表
νA=A的水平数-1=2-1=1 νB=B的水平数-1=2-1=1 νAB= (2 -1) (2 -1) = 1 νe =(2 2) (6-1)=20
SS个体=(4.32+5.22+…+5.42+4.42)/2- 126.0417 =1.8683
2020/9/27
SS阶段=(27.82+27.22)/12- 126.0417 =0.0150
SS处理=(29.32+25.72)/12- 126.0417 =0.5400
SS误差 =5.983-1.8683-0.0150- 0.5400 =3.475
2020/9/27
建立假设检验，确定检验水准
H0：任一实验组与对照组的总体均数相同 H1：任一实验组与对照组的总体均数不同
=0.05
2020/9/27
计算检验统计量
MSe 150.8167 n1 n2 n3 n4 6
S XT XC
1 MSe (nT
1 )
nC
150.8167 (1 1) 7.09 66
0.22
13.27
3
3.49 4.45 <0.01
1与2
1.78
0.22
8.09
2
2.89 3.89 <0.01
2与3
1.14
0.22
5.18
2
2.89 3.89 <0.01
2020/9/27
确定P值并作出统计推断
q检验结果显示，喂养三种不同饲料的大 鼠红细胞数之间的差别均有统计学意义，总 体均数不同。
2020/9/27
离均差平方和与自由度的分解
SS总 SS处理 SS阶段 SS个体 SS误差
总 处理 阶段 个体 误差
2020/9/27
建立检验假设和确定检验水准
• 处理
H0：A、B两种药物对失眠患者改善睡眠的效果相同
H1：A、B两种药物对失眠患者改善睡眠的效果不同
• 阶段
H0：两阶段药物对失眠患者改善睡眠的效果相同 H1：两阶段药物对失眠患者改善睡眠的效果不同
4862 ) 33227.0417
260.0416
12 12
SSB ( X B )2 nB C
3952 4982 33227.0417 442.0416
12 12
SSAB SS处理 SSA SSB 392.0418
2020/9/27
ν总=Ｎ-1= 24 -1=23
ν处理=(A的水平数B的水平数)-1 =(2 2)-1=3
2020/9/27
确定P值并作出统计推断
表9.10 例9.2资料的Dunnett-检验计算表
对比组 (1)
15℃与 20℃ 15℃与 25℃ 15℃与 30℃
均数差 值 (2)
-2.12 11.36 29.38
标准误 (3)
7.09 7.09 7.09
tD
(4)=(2)(3)
Dunnett-t 界值
数相等 H1：使用药物和不使用药物治疗吸光度值的总体均
数不相等 AB交互作用 H0：使用和不使用药物治疗对糖尿病和正常大鼠吸
光度值无影响 H1：使用和不使用药物治疗对糖尿病和正常大鼠吸光
度值有影响
0.05 2020/9/27
计算检验统计量
C ( X )2 / N (893)2 / 24 33227.0417
第二阶段
1.6 2.1 1.6 2.3 2.3 3.1 13.0 2.7 1.7 2.6 2.3 2.9 2.0 14.2
n个体
２ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ２ ２ ２ ２
∑X个体
4.3 5.2 4.5 4.5 4.9 4.7
5.4 3.6 4.4 3.7 5.4 4.4
变异的分解
处理的变异 个体的变异 阶段的变异 误差的变异
• 个体
H0：患者个体间药物改善睡眠的效果相同
H1：患者个体间药物改善睡眠的效果不同
0.05
2020/9/27
计算检验统计量
总离均差平方和分解成4部分： SS个体、 SS阶段、 SS处理以及SS误差
CX2/N SS总X2C S 个 S 体 （ X 个 ） 2体 n 个 C 体
S 阶 S 段 （ X 阶 ） 2段 n 阶 C 段 S 处 S 理 （ X 处 ） 2理 n 处 C 理
2020/9/27
Dunnett-t检验 用于证实性研究
tD
XT S
XC
XT XC
XT XC
MSe(n1T
1) nC
e
式中T代表多个处理组，C为对照组；分子
为任意处理组与对照组样本均数的差值；分母
是差值的标n准T，误n；C
分别为处理组与对照
组的样本例数。
2020/9/27
例9.4
对 例 9.2 资 料 ， 问 20℃ 、 25℃ 和 30℃(均为实验组)分别与15℃(对照组)的 总体均数是否不同？
40.50
糖尿病大鼠( a2 ) 使用药物 不使用药
( b1 )
物(b2 )
31
52
38
45
42
46
20
40
29
50
33
60
6
6
193
293
32.17
48.83
nB
12
XB
395
XB
32.92
12 498 41.50
合计
n 24
X =893
X 37.21
• 单独效应 (simple effect) • 主效应 (main effect) • 交互效应
SS
MS
F
5.8983 23
0.5400 1 0.5400 1.5540
0.0150 1 0.0150 0.0432
1.8683 11 0.1698 0.4886
3.4750 10 0.3475
P
>0.05 >0.05 >0.05
2020/9/27
由表9.13可知，按 0.05水准，均不拒绝
，间H尚的0 不总能体认均为数两 不处 同理 。因素间、两阶段间和个体
离均差平方和与自由度的分 解
SS总 SS处理 SS误差 (SSA SSB SSAB ) SS误差
总 处理 误差 ( A B AB ) 误差
2020/9/27
建立检验假设并确定检验水准
因素A H0：糖尿病和正常大鼠吸光度值的总体均数相等 H1：糖尿病和正常大鼠吸光度值的总体均数不相等 因素B H0：使用药物和不使用药物治疗吸光度值的总体均
2020/9/27
AB交互效应 ＝ BA交互效应
1[0.05(16.66)] 2
1[1.5(14.66)]8.08 2
2020/9/27
55
50
吸
光 度
45
均 数
40
（ ％
35
） 30
25
20
用药( b1 ) 不用药( b2 )
糖尿病大鼠( a2 )
图9.1 2×2析因设计交互作用示意图
2020/9/27
2020/9/27
析因设计方差分析
2×2析因设计模式
处理因素 B
处理因素 A
b1
b2
a1
a1b1
a1b2
a2
a2b1
a2b2
2020/9/27
例9.6
为研究某降血糖药物对糖尿病及正常大 鼠心肌磺脲类药物受体SUR1的mRNA的 影响，某研究者进行了如下实验：将24只 大鼠随机等分成4组：两组正常大鼠，另 两组制成糖尿病模型，糖尿病模型的两组 分别进行给药物和不给药物处理，剩余两 组正常大鼠也分别进行给药物和不给药物 处理
ν总=N-1=24-1=23
ν个体=n-1=12-1=11
ν阶段=1
ν处理=1
ν误差=ν总-ν个体-ν阶段-ν处理 =23-11-1-1=10
2020/9/27
MS处理=SS处理/ν处理=0.540 / 1= 0.540 MS阶段=SS阶段/ν阶段= 0.015 / 1= 0.015 MS个体=SS个体/ν个体=1.8683 / 11= 0.1689 MS误差=SS误差/ν误差=3.475 / 10 = 0.3475
2020/9/27
建立假设检验，确定检验水准
H0：任意两对比组的总体均数相等，即 A B
H1：任意两对比组的总体均数不等，即 A B
=0.05
2020/9/27
计算统计量q
首先将3个样本均数由大到小排列，并编组次：
组别 15%大豆饲料 10%大豆饲料 普通饲料
Xi
组次
7.30 1
5.52
4.38
SS误差=SS总 - SS个体 - SS阶段 - SS处理
2020/9/27
把表中有关数据代入这些公式，可得：
C=(55.0)2/24=126.0417
A药效应合计T A =15.1+14.2=29.3，
B药效应合计T B =13.0+12.7= 25.7
SS总=(2.72+3.12+…+2.92+2.02)- 126.0417 =5.983
2020/9/27
Байду номын сангаас
F=MS处理/MS误差= 0.540 / 0.3475 =1.5540 F=MS阶段/MS误差= 0.015 / 0.3475 =0.0432 F=MS个体/MS误差= 0.1689 / 0.3475 =0.4886
2020/9/27
变异来源 总变异 药物 阶段 个体
误差
表9.13 交叉设计方差分析表
νA=A的水平数-1=2-1=1 νB=B的水平数-1=2-1=1 νAB= (2 -1) (2 -1) = 1 νe =(2 2) (6-1)=20
SS个体=(4.32+5.22+…+5.42+4.42)/2- 126.0417 =1.8683
2020/9/27
SS阶段=(27.82+27.22)/12- 126.0417 =0.0150
SS处理=(29.32+25.72)/12- 126.0417 =0.5400
SS误差 =5.983-1.8683-0.0150- 0.5400 =3.475
2020/9/27
建立假设检验，确定检验水准
H0：任一实验组与对照组的总体均数相同 H1：任一实验组与对照组的总体均数不同
=0.05
2020/9/27
计算检验统计量
MSe 150.8167 n1 n2 n3 n4 6
S XT XC
1 MSe (nT
1 )
nC
150.8167 (1 1) 7.09 66
0.22
13.27
3
3.49 4.45 <0.01
1与2
1.78
0.22
8.09
2
2.89 3.89 <0.01
2与3
1.14
0.22
5.18
2
2.89 3.89 <0.01
2020/9/27
确定P值并作出统计推断
q检验结果显示，喂养三种不同饲料的大 鼠红细胞数之间的差别均有统计学意义，总 体均数不同。
2020/9/27
离均差平方和与自由度的分解
SS总 SS处理 SS阶段 SS个体 SS误差
总 处理 阶段 个体 误差
2020/9/27
建立检验假设和确定检验水准
• 处理
H0：A、B两种药物对失眠患者改善睡眠的效果相同
H1：A、B两种药物对失眠患者改善睡眠的效果不同
• 阶段
H0：两阶段药物对失眠患者改善睡眠的效果相同 H1：两阶段药物对失眠患者改善睡眠的效果不同
4862 ) 33227.0417
260.0416
12 12
SSB ( X B )2 nB C
3952 4982 33227.0417 442.0416
12 12
SSAB SS处理 SSA SSB 392.0418
2020/9/27
ν总=Ｎ-1= 24 -1=23
ν处理=(A的水平数B的水平数)-1 =(2 2)-1=3
2020/9/27
确定P值并作出统计推断
表9.10 例9.2资料的Dunnett-检验计算表
对比组 (1)
15℃与 20℃ 15℃与 25℃ 15℃与 30℃
均数差 值 (2)
-2.12 11.36 29.38
标准误 (3)
7.09 7.09 7.09
tD
(4)=(2)(3)
Dunnett-t 界值
数相等 H1：使用药物和不使用药物治疗吸光度值的总体均
数不相等 AB交互作用 H0：使用和不使用药物治疗对糖尿病和正常大鼠吸
光度值无影响 H1：使用和不使用药物治疗对糖尿病和正常大鼠吸光
度值有影响
0.05 2020/9/27
计算检验统计量
C ( X )2 / N (893)2 / 24 33227.0417
第二阶段
1.6 2.1 1.6 2.3 2.3 3.1 13.0 2.7 1.7 2.6 2.3 2.9 2.0 14.2
n个体
２ ２ ２ ２ ２ ２
２ ２ ２ ２ ２ ２
∑X个体
4.3 5.2 4.5 4.5 4.9 4.7
5.4 3.6 4.4 3.7 5.4 4.4
变异的分解
处理的变异 个体的变异 阶段的变异 误差的变异
• 个体
H0：患者个体间药物改善睡眠的效果相同
H1：患者个体间药物改善睡眠的效果不同
0.05
2020/9/27
计算检验统计量
总离均差平方和分解成4部分： SS个体、 SS阶段、 SS处理以及SS误差
CX2/N SS总X2C S 个 S 体 （ X 个 ） 2体 n 个 C 体
S 阶 S 段 （ X 阶 ） 2段 n 阶 C 段 S 处 S 理 （ X 处 ） 2理 n 处 C 理
2020/9/27
Dunnett-t检验 用于证实性研究
tD
XT S
XC
XT XC
XT XC
MSe(n1T
1) nC
e
式中T代表多个处理组，C为对照组；分子
为任意处理组与对照组样本均数的差值；分母
是差值的标n准T，误n；C
分别为处理组与对照
组的样本例数。
2020/9/27
例9.4
对 例 9.2 资 料 ， 问 20℃ 、 25℃ 和 30℃(均为实验组)分别与15℃(对照组)的 总体均数是否不同？
40.50
糖尿病大鼠( a2 ) 使用药物 不使用药
( b1 )
物(b2 )
31
52
38
45
42
46
20
40
29
50
33
60
6
6
193
293
32.17
48.83
nB
12
XB
395
XB
32.92
12 498 41.50
合计
n 24
X =893
X 37.21
• 单独效应 (simple effect) • 主效应 (main effect) • 交互效应
SS
MS
F
5.8983 23
0.5400 1 0.5400 1.5540
0.0150 1 0.0150 0.0432
1.8683 11 0.1698 0.4886
3.4750 10 0.3475
P
>0.05 >0.05 >0.05
2020/9/27
由表9.13可知，按 0.05水准，均不拒绝
，间H尚的0 不总能体认均为数两 不处 同理 。因素间、两阶段间和个体
离均差平方和与自由度的分 解
SS总 SS处理 SS误差 (SSA SSB SSAB ) SS误差
总 处理 误差 ( A B AB ) 误差
2020/9/27
建立检验假设并确定检验水准
因素A H0：糖尿病和正常大鼠吸光度值的总体均数相等 H1：糖尿病和正常大鼠吸光度值的总体均数不相等 因素B H0：使用药物和不使用药物治疗吸光度值的总体均
2020/9/27
AB交互效应 ＝ BA交互效应
1[0.05(16.66)] 2
1[1.5(14.66)]8.08 2
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55
50
吸
光 度
45
均 数
40
（ ％
35
） 30
25
20
用药( b1 ) 不用药( b2 )
糖尿病大鼠( a2 )
图9.1 2×2析因设计交互作用示意图
2020/9/27
2020/9/27
析因设计方差分析
2×2析因设计模式
处理因素 B
处理因素 A
b1
b2
a1
a1b1
a1b2
a2
a2b1
a2b2
2020/9/27
例9.6
为研究某降血糖药物对糖尿病及正常大 鼠心肌磺脲类药物受体SUR1的mRNA的 影响，某研究者进行了如下实验：将24只 大鼠随机等分成4组：两组正常大鼠，另 两组制成糖尿病模型，糖尿病模型的两组 分别进行给药物和不给药物处理，剩余两 组正常大鼠也分别进行给药物和不给药物 处理