新课标八年级数学竞赛讲座：第十二讲等腰三角形的判定

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等腰三角形的判定说课稿公开课获奖课件省赛课一等奖课件

E E
B B
O FF
1 4C
2
3C
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？
课堂小结
今日你学到了什么?
1、等腰三角形旳鉴定定理：等角对等边。
2、会利用等腰三角形旳性质和鉴定进行计算和证明。
小结
名图形概念称
等
腰
三
A 有两边
角形
相等旳
三角形
是等腰
三角形
事地点（不考虑风浪原因）？
O
A
B
13.2 等腰三角形旳鉴定
把“等腰三角形旳两个底角相等”改写成 “假如------那么-----”形式。
假如一种三角形是等腰三角形,那么这个三角形旳两个底角相等.
逆命题: 假如一种三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
它是真命题吗?
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对旳边也相等
折叠，重叠部分是一种等腰三角形吗？
B
3、如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
4、已知：如图，CD是等腰直角三
C
角形ABC斜边上旳高，找出图中有
哪些等腰直角三角形。
等腰直角三角形有： △ABC ，
△ACD ，△BCD。
A
D
B
5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。
A
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
12
证明: 作∠BAC旳平分线AD交BC于点D
则∠1=∠2 在△BAD和△CAD中
B
DC
∠1=∠2 ∠B=∠C
AD=AD (公共边)

第13讲_等腰三角形的判定

13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)

两角相等的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明线段相等的一种重要的方法
等腰三角形性质与判定的区分
等
腰
变式模型
三角形的判
A
3
D
21
定
B
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：A⊿BA=BACC等腰三角形
证明：经过点A作AD⊥BC，垂足为D. A
∴ ∠1= ∠2=90°
练习在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
M 3 1
O
6
N
∴MN=BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
两边相等的三角形
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行，同位角相等 )
∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
如图，OA=OB， AB∥DC，求证：OC=OD. 分析：
(1)从求证看：要证 OC=OD
需证 ∠D=∠C
(2)从已知看：
由OA=OB 得到 ∠B=∠A 由AB∥DC得到∠D= ∠B ∠C= ∠A
所以：∠D=∠C
如图，OA=OB， AB∥DC，求证：OC=OD.

等腰三角形的判定（课件ppt）

∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°．求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解

八年级数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版

初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。

二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。

对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。

这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。

在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。

知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。

解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。

其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。

∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。

例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。

解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。

北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案

北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。

本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。

通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。

但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。

2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。

3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。

六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。

2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。

提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。

八年级数学竞赛等腰三角形的判定

等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A ．300B ．300或1500C ．1200或1500D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）ADBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915第5题图第8题图第9题图9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．B ACDBACD EBCABCADFG EENMBD⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，A BDFE C图1A B D FEC图2A ′E ′D ′ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6C．A7D．A87．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，P A=3，PC=4，则PB的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=P A+PB+PC．（湖州市中考试题）8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=12(AB+AC)．（重庆市竞赛试题）ABQCAB PACBB′图1 图210．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）11．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：12y x m =-+与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10．⑴求直线l 的解析式；⑵求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A (4，4)．ABD MCFE⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。

冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定课件

13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有 ( D )

人教版八年级上册数学第十三章等腰三角形的判定说课稿

4.采用多媒体教学手段，如几何画板等，让学生直观地感受等腰三角形的性质和判定方法，提高他们的学习兴趣。
5.定期进行学习反馈和激励，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的主动学习意识。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
在本节课的教学中，我将以“问题驱动”和“合作探究”为主要教学方法。问题驱动教学法能够激发学生的思考，培养他们解决问题的能力；合作探究教学法则有助于培养学生的团队协作精神和探究能力。这两种方法都符合建构主义教学理论，即学生是建构自己知识的过程，而教师则是引导者和协助者。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会采取逐步呈现知识点的的方式，引导学生深入理解。首先，我会通过多媒体课件展示等腰三角形的定义和性质，同时结合实物模型进行演示，让学生直观地理解等腰三角形的特征。然后，我会逐步引导学生们探讨和证明等腰三角形的性质，例如底角相等、底边上的高、中线、角平分线相互重合等。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出自己的观点和疑问，并与同学们进行交流和讨论。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.利用实际生活中的例子引入等腰三角形的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.通过小组合作探究活动，让学生在动手操作中体验数学的乐趣，培养他们的合作意识和探究精神。
3.设置不同难度的练习题，让学生在解决问题的过程中感受到成就感，增强他们学习数学的自信心。
（五）作业布置
课后作业的布置目的是让学生巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。我计划布置以下作业：
1.完成课本中的相关练习题，以巩固对等腰三角形性质的理解。
2.设计一个小组合作任务，让学生们利用几何画板软件制作一个等腰三角形，并撰写一份解题报告，描述制作过程和所用的判定方法。

等腰三角形的判定

等腰三角形的判定等腰三角形是指两条边长相等的三角形。

在几何学中，判断一个三角形是否为等腰三角形一直是重要的问题，本文将介绍几种判定方法。

方法一：根据角度判定一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个角度相等。

设三角形的三个角度为A、B、C，则可以通过比较角度大小来判断等腰三角形。

方法二：根据边长判定另一种常用的判断等腰三角形的方法是根据三角形的边长。

一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两条边长相等。

具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三条边长，记作a、b、c；2. 判断是否存在两条边长相等的边；3. 如果有两条边长相等的边，那么该三角形就是等腰三角形；4. 如果不存在两条边长相等的边，那么该三角形就不是等腰三角形。

方法三：根据边与角的关系判定还有一种判定等腰三角形的方法是根据边和角之间的关系。

一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它两边之间的夹角相等。

具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三个角度，记作A、B、C；2. 查找两个相等的角度；3. 对应这两个相等的角度，判断它们对应的两条边是否相等；4. 如果相等，那么该三角形是等腰三角形。

方法四：使用勾股定理判定勾股定理是指直角三角形中的一个性质，即直角边的平方等于另外两条边平方的和。

据此，可以使用勾股定理判定等腰三角形。

具体判定步骤如下：1. 设等腰三角形的两条等边长度为a，底边长度为b；2. 根据勾股定理，可以得到a^2=b^2/2，或者b^2=2a^2；3. 根据等式判断三角形是否为等腰三角形。

总结：判定一个三角形是否为等腰三角形，可以根据角度、边长、边与角的关系以及勾股定理进行判定。

根据需求选择不同的判定方法，更加准确地判断等腰三角形。

注意：在进行判定时，需要准确测量三角形的角度和边长，以避免误判。

同时，可以结合不同的判定方法进行综合分析，提高判断的准确性。

北师大2024八年级数学下册 1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法教案

1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？师生活动：让学生自主探究，举手回答问题（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）复习回答：问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的判定前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?回顾导入：建立数学模型：如图，在△ABC中，∠B =∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?方法思考：∠作高AD可以吗?∠作角平分线AD呢?∠作中线AD呢?师追问：你能验证你的结论吗？证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在∠ABD与∠ACD中，∠∠ABD∠∠ACD (AAS).∠ AB = AC.学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的设计意图：中这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫，设计意图：由浅入深，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养数形结合思想.设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作等腰三角形底边上的高线、顶角的角.公理化思想的机会，教师应注意引导，教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).应用格式：在∠ABC中，∠∠B =∠C，∠ AB = AC (等角对等边).辨一辨：如图，下列推理正确吗?∵∵1 = ∵2 ，∵ BD = DC(等角对等边).∵∵1 =∵2 ，∵ DC = BC(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.典例精析例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD与CA相交于点E.求证：∠AED是等腰三角形.证明：∠ AB = DC，BD = CA，AD = DA，∠∠ABD∠∠DCA (SSS).∠∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).∠ AE = DE (等角对等边).∠∠AED是等腰三角形.知识点二：反证法设计意图：给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗?在∠ABC中，如果∠B ≠∠C，那么AB ≠ AC.师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.小明是这样想的：如图，在∠ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB= AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠ AC.你能理解他的推理过程吗?师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.反证法概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤：1. 假设：先假设命题的结论不成立；2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角三、当堂练习，巩固所学是直角.已知：∠ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．三、当堂练习，巩固所学1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，∠∠1 = °，∠2 = °；∠ 图中有个等腰三角形；∠ 若AD = 4 cm，则BC = cm；∠ 若过点D作DE∠BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.2. 已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.求证：∠OBC为等腰三角形.3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.设计意图：通过例2，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.设计意图：通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∠ l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交.证明：假设______________，那么________.因为已知_________，所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，这与“__________________________________________” 矛盾.所以___________，即求证的命题正确.等腰三角形的判定与反证法。

《等腰三角形的判定》优质课比赛说课课件沪科版八年级

地位作用
教学目标
重点难点
教学学法
教学程序
教学特色
教学方法：
新课程理念强调我们的课程不仅是文本课程，更是体验课程，它不再是知识的载体，而是教师和学生共同探究新知的过程；使教学成为一种对话、交往，一种沟通，合作与共建。教师不仅要传授知识，更要与学生一起分享对课程的理解。因此，本节课我主要采用两种教法： 1、引导探索法：在数学教学中，作为教师应善于引导学生去观察、去分析、去归纳、去总结，从而培养学生主动求知的探索精神。 2、情景教学法：数学课程的特点之一是内容抽象，而多媒体在数学教学中的应用可以较好的解决这个难题。
地位作用
教学目标
重点难点
教学学法
教学程序
教学特色
学生分析：
学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识。八年级学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。
学法指导：
本节课按照质疑、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，让学生感受由实践到理论再到实践的学习过程，也体现了数学源于生活，而又服务于生活的基本理念。本节课将着力培养学生的实践探究能力、合作交流和抽象概括能力。
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
地位作用
பைடு நூலகம்教学目标
重点难点
教学学法
教学程序
教学特色
创设情境定理教学范例讲解反馈练习总结作业等腰三角形的性质定理等边对等角
区别与联系
等腰三角形的判定定理等角对等边
等腰三角形性质定理条件结论简称推理形式在一个三角形中，如果有两条边相等这两条边所对的两个角相等在同一个三角形中等边对等角 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C

八年级数学竞赛题：等腰三角形的判定

八年级数学竞赛题：等腰三角形的判定等腰三角形判定的基本方法有：从定义出发，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例1 如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠l+∠2=______________度．例2 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1）．请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）．A．6个B．7个C．8个D．9个例3 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．例4 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF．例5 两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．1．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____________cm．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，∠B：∠C的值为_____________．3．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B等于_____________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）．A．6个B．7个C．8个D．9个5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC=（）．A．40°B．45°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转到△A’B’C 的位置，B在A’ B’上，CA’交AB于D．则∠BDC的度数为（）．A．40°B．45°C．50°D．60°7．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．8．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC,BC=AB+DC，取AD的中点P，连结PB，PC．判断△PBC的形状．9．如图，在凸五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD的中点，求证：AM⊥CD．10．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF ∥AD，则FC的长为____________．11．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是_____________．12．一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是_________．13．如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（）．A．大于EF B．小于EF C．等于EF D．于EF的大小关系无法确定14．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）．A．2个B．4个C．6个D．8个15．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（）．A．2 B．3 C．4 D．516．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD于P，已知AB=5，BP=2，AC=9，试说明∠ABC=3∠ACB．17．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．18．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF=12（AB+AC）．19．如图是一个小巷的截面，把长度为a 米的梯子，下端放在C 点，向左靠在墙上的D 点，梯子倾斜角为45°，向右靠在离地面b 米的E 点，倾斜角为75°．（1）连结DE ，想一想，请回答△CDE 是什么三角形．（2）猜一猜，请选择小巷宽度AB 的正确答案是（）． ‘A ．2a b +米B ．2a b -米 C ．a 米 D ．b 米并用“全等三角形”等知识说明你选择的理由。

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定(附答案)

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O BCMD EEABDCF BCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图ACDB B ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABC ADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B DFE C图2A ′ E ′D ′ AENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（）A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 87．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CPA =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，PA =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=PA +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC D(第1题)(第2题)ABD E CABPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )．（重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABPQCABD MCFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF ，BA 交于E ，延长FM 至点P ，使MP =MF ，连BP ，则△BMP ≌△CMF ，∴BP =CF . ∵AD 平分∠BAC ，AD ∥FM ，∠BAD =∠DAC =∠MFC =∠AFE =∠E =∠P ，∴AE =AF ，BE =BP ，即AB +AE =AB +AF =AB +AC -CF =CF ，∴CF =12(AB +AC )= 12(7+11)=9.例2 D例3 提示：△EMC 为等腰直角三角形，连AM ，易证：△ADE ≌△BAC .∴AD =AB ，又∠DAB =90°.又∵M 为BD 中点，∴AM ⊥DB 且DM =BM =AM . 又∵∠MDE =∠MAC =105°，∴△EDM ≌△CAM . ∴EM =MC ，∠DME =∠AMC ， ∴∠DME +∠EMA =∠AMC +∠EMA =90°. ∴△EMC 为等腰直角三角形.例4延长AD 至G ，使DG =AD ，连接BG . 由△ADC ≌△GDB ，得AC =BG ，AC ∥BG . ∵BE =AC ，∴BE =BG ，得∠BED =∠BGD ， ∴∠F AE =∠BGD =∠BED =∠AEF ，故AF =EF .例5 提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO ≌△ACO ，∴∠BAO =∠CAO =10°，∴∠ABO =∠ACO =20°，∴∠AOB =∠AOC =150°.又∵BO =BC =CO = AD ，∴△ACD ≌△CAO ，∴∠AOC =∠CDA =150°，故∠BDC =30°.A 级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D 提示：将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD ≌△CBF ，∴∠CAD =∠BCF .又∵∠CAD +∠CDG =∠BCF +∠CDG =90°， ∴∠CGD =90°，∴AD ⊥CF . ⑵△ACF 为等腰三角形.10.提示：延长DB 至E ，使BE =AB ，连结AE ，证明∠E =∠C ，AC =AE . 11. 提示：证明△DCA ≌△ECB 、△DCM ≌△ECN ，∠NCM =60°. 12. ⑴提示：先证明∠CEF =∠CFE .⑵作EG ⊥AC 于G ，证明△CEG ≌△BE ´D ´，可得CE = BE ´，又CF =CE ，BE ´=CF .B 级1.2:12.110°3.104.D5.C 提示：在五边形内作等边三角形ABF ，则E 、F 、C 在一条直线上.6.B7. 提示：⑴ ⑵ 在BB ´上取点P ，使∠BPC =120°，再在PB ´上取点E 使PE =PC ，连结CE . 则由△PCE 为等边三角形，可得：PC =CE ，∠PCE =60°，∠CEB ´=120°∵△ACB ´为正三角形，∴可证：△ACP ≌△B ´CE . ∴∠APC =∠B ´EC =120°，P A =EB ´.ACGDEF∴∠APC =∠BPC =∠CP A =120°，∴P 为△ABC 的费马点. ∴BB ´过△ABC 的P ，且BB ´=EB ´+PB +PE =P A +PB +PC .8. 提示：延长AB 至M ，使BM =BP ，连结PM ，则AB +BP =AM ，可证明BQ =QC . ∴AQ +QB =AQ +QC =AC ，又由△AMP ≌△ACP 得AM =AC ，故AB +BP =AQ +BQ .9. 提示：延长FM 至P ，使PM =FM ，连结BP ，则△BMP ≌△CMF ，AE =AF ，BE =BP .10. 提示：当D 为BC 的端点，显见△AED 是等边三角形；当D 为BC 边的中点，取AC 的中点F ，连接DF ，易证△CDF 为等边三角形，又△ADF ≌△EDC ，故△ADE 为等边三角形．猜测：当D 为BC 上任意点时，△ADE 也为等边三角形． 11．（1）142y x =-+；（2）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，证明△AOB ≌△BHC 即可；（3）符合条件的P 点共有5个，分别为()()()()84,12,4,,4,8,4,4,4,43⎛⎫-------- ⎪⎝⎭．12．提示：（1）B (8，0)；（2）如图a ，过A 作AS ⊥OB 于S ，过D 作DT ⊥x 轴于T ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，∴OS =AS =BS ，再由△ASC ≌△CTD ，可得：AS =CT ，SC =TD ． ∴CT =AS =OS ，∴OT =CS =TD ． ∴∠TOD =45°，则∠AOD =90°；（3）等式成立，理由如下：如图b ，在AM 上截取AS =OF ，连ES ，可证△EAS ≌△EOF ，可得：ES =EF ，∠AES =∠OEF ∴∠SEF =∠AEO =90°，∴∠FEM =∠SEM =45°．又∵EM =EM ，∴△EFM ≌△ESM ，∴FM =SM ， ∴AM =AS +SM =OF +FM ，∴1AM FMOF-=．x图a图b。

《等腰三角形的判定》PPT课件-2024鲜版

形。
在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、 F，且DE = DF。求证： △ABC是等腰三角形。
因为D是BC的中点，所以BD = CD（中点的定义）。又因为DE⊥AB， DF⊥AC，且DE = DF，
所以△BED ≌ △CFD （HL）。因此，∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）。所以，AB = AC（等角对等边），即 △ABC是等腰三角形。
20
利用中线判定等腰三角形
判定定理：如果一个三角形的一条中线同时也是该三角形的高和角平分线，那么这个三角形是等腰三角形。
3. 如果满足上述条件，则三角形为等腰三角形。
2. 验证该中线是否同时是高和角平分线。
2024/3/27
判定步骤 1. 确定三角形中的一条中线。
21
实例分析
2024/3/27
13
实例分析
• 例题1：在三角形$ABC$中，已知$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = \angle C$，求$\angle B$和 $\angle C$的度数。
• 解析：由于$\angle A = 50^\circ$，且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$，可以求出$\angle B + \angle C = 130^\circ$。又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle B = \angle C = 65^\circ$。
注意事项
在判定一个三角形是否为等腰三角形时，必须严格按照定义进行验证，确保两腰确实相等。同时，要充分利用等腰三角形的性质来解决问题。
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八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形2等腰三角形的判定课件新版华东师大版

A．2 C．4
B．3 D．5
10．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则△ABC 是( D )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
11．(武汉中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以 △ABC 的一边为边画
等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不
解：△MEF是等腰直角三角形．证明如下：连接AM，如图所示，∵点M
为BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，BM＝MC，
AM平分∠BAC，AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MAB＝
1 2
∠BAC＝45°，∠AMB
＝90°.∴∠B＝∠MAB，∴AM＝BM.∵∠BAC＝90°，DE⊥AC，DF⊥
7．如图，△ABC 是等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，你能证明△DEF 是等边三角形吗？为什么？
解：是等边三角形．理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ C，又∠1＝∠2＝∠3，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE，∴∠1＋∠ADF＝∠2 ＋∠BED＝∠3＋∠CFE，∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE，∴△DEF 是等边三角形．
AB，∴DE∥AB，DF∥AC.∴∠AEF＝∠DFE，∠AFE＝∠DEF，∵EF＝
FE，∴△AEF≌△DEF(ASA)．∴AE＝DF.∵BF⊥DF，∠B＝45°，∴∠
BDF＝45°，∴∠BDF＝∠B.∴BF＝DF，∴AE＝BF.∵AM＝BM，∠MAE
＝∠B＝45°，∴△AEM≌△BFM(SAS)．∴EM＝FM，∠AME＝∠BMF.
∵∠AMB＝90°，∵∠AMF＋∠BMF＝90°，∴∠AME＋∠AMF＝90°，即
∠EMF＝90°，∴△MEF是等腰直角三角形．

等腰三角形的判定PPT课件

4:1
13. (易错题)用粗细均匀的电热丝烧水，通电10 min可烧
开一壶水，若将电热丝对折起来接在原来的电路中,
知1－讲
1.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同：相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知2－练
1
(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线
于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给
出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
三角形是等腰三角形”来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”来证明．
1.必做: 完成教材P138 T2 2.补充: 请完成《点拨》剩余部分习题
第十五章电能与电功率
15.4 探究焦耳定律
第1课时认识焦耳定律
(1)图乙是等质量的水和煤油温度随加热时间变化的图象，为了使图甲中温度计示数变化更明显，则烧瓶内的液体
电流大小
9．在如图所示的电路中，电阻丝R1＝R3＝10 Ω，R2＝R4 ＝5 Ω，电源电压相等且不变。闭合开关S1、S2后，电路都正常工作，则在相同时间内产生热量最少的电阻丝是_____。若电阻丝R1、R2都由同种材料制成且长度相同R，2 则电阻丝_____比较细。

等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版

2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：等腰三角形与等边三角形的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这两种图形；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧判定性质定义等边三角形判定性质定义等腰三角形等腰三角形知识点讲解一、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

二、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论中考考纲知识体系定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

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第十二讲等腰三角形的判定
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．
例题求解
【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．
注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：
(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；
(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；
(3)寻找中间线段，通过等量代换证明．
类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结．
不同形状的几何图形之间可互相转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式．【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )
A．2个B．4个C．6个D．8个
(江苏省竞赛题)
思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．
【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．
(天津市竞赛题)
思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．
(荆门市中考题)
思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．
注若仅将题中的条件∠A＝30°改为∠A=45°，则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°，改为∠A≠30°，∠A≠45°，则符合条件的P点有几个?请读者思考．分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法．
处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：
(1)向外构造等腰三角形；(2)对内作角平分线．
【例5】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD．(武汉市选拔赛试题)
思路点拨证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．
学历训练
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O点．作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC＝a，AC=b，AB＝c，则△GMO周长+△ENO的周长－△FHO的周长．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有个．
3．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠D ：∠C 的值= ．（“五羊杯”竞赛题）
4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2
1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题)
5．如图，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF 、MN 分别是AB 、AC 的中垂线，E 、M 在BC 上，则∠EAM 等于( )
A ．58°
B ．32°
C ．36°
D ．34°
6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( )
A ．AC>2A
B B ．A
C ＝2AB C ．AC ≤2AB
D ．AC<2AB
(山东省竞赛题)
7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ． 120°或150°
D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛试题)
8．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( )
A ．只有一个且为等腰三角形
B ．至少有两个且都为等腰三角形
C ．只有一个但不是等腰三角形
D ．至少有两个，其中有非等腰三角形
9．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点．
(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系．
(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论． (广东省中考题)
10．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
11．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD=AE ，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点．
12．在△ABC 中，AB=AC ，高线AD=2
1BC ，AE 为∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为． (北京市竞赛题)
13．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ．
14．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市竞赛题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度． (江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )
A ．1个
B ．4个
C ．7个
D ．10个
17．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=2
1DE ，则∠D ＝（） A ．30° B ．450° C ． 60° D ．67．5°
18．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( )
A ．PA+PB+PC<AB+AC
B ． PA+PB+PC>AB+AC
C ．PA+PB+PC=AB+AC
D ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关
19．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．
(2002年全国初中数学竞赛矗)
20，如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一2
1∠BDC ，
求证：AC=BD+DC．(天津市竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．
22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明．
(潍坊市中考题)
23．（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且
∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD．(江苏省竞赛题)
24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD 上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．
(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?
(2)求△BEF面积的最小值．。