教案：函数概念的引入

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学科数学年级高一教材版本人教版

课题名称函数及其表示课时计划第（1，2）课时

共（2）课时

上课时间

教学目标

同步教学知识内容明确知识点，了解知识结构和内容

个性化学习问题解决

1.将这章的知识，综合的应用起来；

2.及时发现问题，解决问题。

教学重点明确知识点

教学难点将知识灵活应用

教学过程

教师活动写在课前：

开始上课：

1.2.1 函数的概念

（Ⅰ）引入问题

问题1 初中我们学过哪些函数？

（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）

问题2 初中所学函数的定义是什么？

（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）。

（Ⅱ）函数感性认识

教材例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系2

1305h t t =- （*）。从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。

例子（3）中数集{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==，且对于数集A 中的每一个时间（年份），按表格，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。

（III ）归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为

两个数集A 、B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个x ，按照某个对应关系，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作:f A B →。

（IV)理性认识函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作(),y f x x A =∈。

其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域(range)。

（2）定义域是自变量x 的取值范围；

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x 2

(x 与)R ∈y=x 2

(x>0)； y=1与y=x

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm ，长是宽的2倍，其面积为y=2x 2

，此函数的定义域为x>0,而不是R x ∈。

定义域除了自身定义外，我们只需要注意四点：

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

(V)区间的概念

设a 、b 是两个实数，且a

（1）满足不等式b x a ≤≤的实数的x 集合叫做闭区间，表示为[]b ,a ； （2）满足不等式b x a <<的实数的x 集合叫做开区间，表示为()b ,a ； （3）满足不等式b x a <≤的实数的x 集合叫做半开半闭区间，表示为[)b a ，； （4）满足不等式b x a ≤<的实数的x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(]b ,a ；

说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右

端点，称b-a 为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3

7x 3x <<；区间表示法：()73，

； ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包

括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x

例题分析： 例1．已知函数1

()32

f x x x =++

+，（教材第20页例1） （1）求函数的定义域； （2）求2(3),()3

f f -的值；

（3）当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式()y f x =，

例2．求下列函数的定义域。

（1）1()(12)(1)

f x x x =-+；(2)()42f x x x =-++；(3)

分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那

么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f (x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： （1）如果f (x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

（2）如果f (x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。 x

x x f -+

+=

211)(