6.函数的奇偶性与周期性考点及题型

第三节 函数的奇偶性与周期性

❖ 基础知识

1．函数的奇偶性❶

❶函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． ❷若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；

(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．

2．函数的周期性 (1)周期函数

对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质

存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期

如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

❖ 常用结论

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ：

(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1

f (x )，则T ＝2a (a >0)．

3．函数图象的对称性

(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．

考点一 函数奇偶性的判断

[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2

|x ＋3|－3；

(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)

|x －2|－2

；

(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.

[解]

(1)由f (x )＝36－x 2

|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧

－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，

故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定

义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．

(2)由⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2≥0，

x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－

x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．

(3)由⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1

定义域关于原点对称．

此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，

故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)

x ＝－f (x )，

所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法

画出函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋x ，x <0，

x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．

法二：定义法

易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．

[题组训练]

1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( )

A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x

D ．y ＝ln|x |－sin x

解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－

x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B. 2．设函数f (x )＝e x －e －

x

2

，则下列结论错误的是( )

A ．|f (x )|是偶函数

B ．－f (x )是奇函数

C ．f (x )|f (x )|是奇函数

D ．f (|x |)f (x )是偶函数 解析：选D ∵f (x )＝e x －e －

x

2

，

则f (－x )＝e －

x －e x

2＝－f (x )．

∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，

∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．

考点二 函数奇偶性的应用

[典例]

(1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )

A ．－2x

B ．2－

x C ．－2－

x

D ．2x

(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1

(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )