大学数学 概率论第一章
概率论知识梳理
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多 了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事 特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不 概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关 考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上 有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了， 我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说 的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定 义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个 大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试 验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间， 位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因 而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就 是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？
概率论第一章课件ppt
概率的性质
1. P(F) 0
2.若 A1, A2,..., An是两两互不相容事件,则有 P ( A 1 A 2 . . . A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) . . . P ( A n )
3.设 A , B 是两个事件,若 A B , 则有
P(BA)P(B)P(A); P(B)P(A).
概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学 领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样 调查; 在通讯工程中可用以提高信号的抗干 扰性,分辨率等等.
概率论的起源
大约400年以前, 欧洲一些赌徒遇到这样的问题
1. 同时掷两枚骰子, 以每个骰子朝上的点数之和 作为赌博的内容, 问赌注下在多少点最有利?
2.甲乙二人赌博,各出赌注30元,共60元,每局甲、 乙胜的机会均等,都为1/2。约定:谁先胜满3局,则 他赢得全部赌注60元。现已赌完3局,甲2胜1负,因 故中断赌博,问这60元如何分给2人才算公平?
= P({e1})+ P({e2})+ … +P({en})= nP({ei}) 所以, P({ei})=1/n, i=1, 2, …, n. 那么, P(A)=P({ei1}∪{ei2}∪ … ∪{eik})
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
实例4 “从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品”.
实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.
实例7 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
事先明确试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论第一章PPT课件
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费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
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直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
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§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
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样本点
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特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
第一章概率论基本概念
在古典概型中， 2.概率的古典定义： 概率的古典定义： 概率的古典定义 在古典概型中，设 Ω={ω1， 2， ， n} A = {ωi ， i ， ， i } ω Lω ω2 L ωm 1 则
m 事件 包含的样本点数 事件A P( A) = . = n 样本点总数
n
事实上， 事实上， Q Ω = U {ω k } ∴ P (Ω ) = ∑ P ({ω k }) = nP ({ω k }) k =1 k =1 1 又 P (Ω ) = 1，所以 P ({ω 1 }) = P ({ω 2 }) = L = P ({ω n }) = . n
指每次试验都发生的事 件， Ω表示 5. 必然事件： 必然事件： . 用
6. 不可能事件： 不可能事件： 事件， 指每次试验都不发生的 事件，
用φ表示 .
注意： 必然事件和不可能事件不具有随机性， 注意： 必然事件和不可能事件不具有随机性， 但为了今后研究的方便， 但为了今后研究的方便，我们把它们作为随机事件 的特殊情形来处理。 的特殊情形来处理。
随机事件、 第一节 随机事件、频率与概率
样本空间与随机事件 一、
1、随机试验：指满足以下条件的试验 、随机试验： 1）试验可以在相同条件下重复进行； ）试验可以在相同条件下重复进行； 2）试验的可能结果不止一个，但事先知道试验 ）试验的可能结果不止一个， 的所有可能结果； 的所有可能结果； 3）每次试验恰好出现所有可能结果中的一个， ）每次试验恰好出现所有可能结果中的一个， 但究竟出现哪个结果，试验前不能确切预言 不能确切预言。 但究竟出现哪个结果，试验前不能确切预言。 2、样本点：指随机试验中每一个可能的结果 、样本点： 也称基本事件， 也称基本事件， 通常用ω表示， 3、样本空间：指样本点的全体组成的结果； 、样本空间：指样本点的全体组成的结果； 结果
大学概率论与数理统计第一章(2)-56页PPT资料
练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：
概率论第一、二章主要内容——西南财经大学数学专业
概率论主要内容第一章 随机事件与概率主要内容：一．事件的运算：交、并、补等二．概率的性质：加法公式等三．三种概型：古典概型、几何概型、伯努利概型古典概型，满足有限性（样本点总数有限）、等可能性，计算概率用样本点个数之比； 几何概型，满足有限性（样本空间测度有限）、等可能性，计算概率用测度之比； 伯努利概型，满足两种结果、相互独立，概率不变，计算概率用伯努利定理，n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1(}{L =−==−。
四．条件概率及其三个公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式乘法公式，事件积的概率等于一个事件的概率乘以另一事件的条件概率；全概率公式，用于一个结果可在多种原因下发生，根据原因求结果，∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(； 贝叶斯公式，用于一个结果可在多种原因下发生，结果发生了，问原因，∑==n i ii k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(。
五．事件独立性重点：条件概率及其三个公式；事件独立性。
第二章 随机变量及其分布主要内容：一．三类变量：离散、连续、混合离散随机变量，全部可能取值为有限个或可列无限个，分布函数为阶梯形函数，一般用概率函数刻画，求概率时用概率函数求和；连续随机变量，分布函数为连续函数且不可导的点最多只有可列无限个，一般用密度函数刻画，求概率时用密度函数积分；混合随机变量，分布函数不连续也不是阶梯形函数且不可导的点最多只有可列无限个，只能用分布函数刻画，求概率时用斯蒂阶积分。
二．三个函数：概率函数、密度函数、分布函数概率函数，L ,2,1,}{===k p x X P k k ，基本性质-非负性、正则性，适用于离散随机变量； 密度函数，)(x p ，基本性质-非负性、正则性，适用于连续随机变量；分布函数，}{)(x X P x F ≤=，基本性质-单调性、正则性、右连续性，适用于所有随机变量。
概率论与数理统计第一章ppt课件
事件独立的例题：
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，假设他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率；
❖〔2〕假设他迟到了，试推断他是怎样 来的，说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果：假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90；假设一被诊断 者未患糖尿病，那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性，求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
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❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中，那么它是乙射中的概率是 多少？
❖例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
概率论与数理统计
第一章第一章 随机事件1.1 概述§1.1§1.2 事件的概率§1.3 古典概率模型§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性二.有无限个可数个可能结果的随机试验.例1:观察某交换台早晨8:00-9:00接到电话的次数,设数字i 表示呼叫次数, i =0,1,2=0,1,2……..,则: Ω={0,1,2,={0,1,2,…….}三.可能结果不可数的随机试验.例1:在分析天平上称量某物品并记录称量的结果.记x 为此物的称量, 则Ω={|0}x x ≥例2:在一批灯泡中任取一个，测其寿命记t 为所取灯泡的寿命, 则Ω=}0|{≥t t 例3:观察某块地的玉米产量. 记y 为此块地的玉米产量, 则Ω={|0}y y M ≤≤类似的可推广到多个事件相加,以及无数可列个事件相加.n 个事件的并（和）12,,,n A A A ⋯表示n 个事件中至少有一个发生,记为n A A A +++⋯21nA A A ∪∪∪⋯21可列个事件的并（和）12,,,,n A A A ⋯⋯11n nn A A A ∞=+++=∑⋯⋯表示可列个事件中至少有一个发生,记为或是1nn A ∞=∪或“可列个”在本学科里通常表示无限个可数的。
ABAB-A AAB A-B⇒⇔事件例 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A 表示“奇数点”；B 表示“偶数点”；C 表示“小于3的点”，D 表示“大于2小于5的点” E 表示“大于4的点”,求事件间的关系.D ={3,4}, E ={5,6}, Ω={1,2,3,4,5,6}解:显然有:A ={1,3,5}, B ={2,4,6}, C ={1,2}互不相容事件有:A 与BC 与D, 或说事件C,D,E 两两互不相容对立事件有:A 与BD 与E,C 与EC D E ++=ΩA B +=Ω又因为A,B 构成Ω的一个最小的划分C ,D ,E 构成Ω的一个划分1.[关系]事件的包含2. [关系]事件的相等：3. [运算]事件的并（和）4. [运算]事件的交（积）5.[运算]事件的差(A-B)6.[关系]互不相容事件（互斥事件）7.[关系]对立事件(互逆事件)8.[关系] Ω的一个划分小结本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。
概率论第一章课件
• 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人 是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。 他的主要贡献是建立了概率论中的第一个 极限定理，我们称为“伯努利大数定理” • 到了1730年，法国数学家棣莫弗和数个数 学家建立了关于“正态分布”及“最小二 乘法”的理论 。概率论发展史上的代表人 物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下 的大数定律 ，研究得出了一种新的分布 。
课程说明
• 期末闭卷考试，平时课后留作业，每周五收作业。 • 成绩计算方法：期末考试占70%，平时分占30% • 平时分计算方法：作业上交情况，平时上课做题 情况，思考题，讨论题。按百分制记，每上黑板 每上黑板 做一次题加6分 做一次思考题加10分 做一次题加 分，做一次思考题加 分，讲解讨论 题加16分 一次作业没有交扣5分 旷课扣15分 题加 分，一次作业没有交扣 分，旷课扣 分, 累计旷课3次平时分低于 分。 累计旷课 次平时分低于40分 次平时分低于 • 课程安排：讲解 到7章，13周左右作一次概率论 课程安排：讲解1到 章 周左右作一次概率论 应用专题讲解， 周课堂讨论我给出问题 周课堂讨论我给出问题. 应用专题讲解，15周课堂讨论我给出问题 上限100分，下限 分. 注：上限 分 下限0分
摸球问题（ 例1.摸球问题（抽奖问题） 摸球问题 抽奖问题）
袋中有a只红球，b 袋中有a只红球，b只白球
（除颜色外无任何差别），现依次将球一只只摸出（不放回）， 求第k 求第k次摸到红球的概率
解：将这a + b只球进行编号，其中a只红球为1-a号， b只白球为a+1-a+b号， b只白球为a+1-a+b号，
a b
b
1 f ( x, y ) = 1( a ≤ x ≤b ,0≤ y ≤ M ) M (b − a )
概率论与数理统计第1章
概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.《概率论与数理统计概率论与数理统计》》前言《应用概率统计应用概率统计》》 主要教学参考书陈魁 主编 清华大学出版社《概率论与数理统计概率论与数理统计》》刘军凤 等编著 科技文献出版社（复习指导书)每周第一次课收前一周作业，课代表收齐按名单序号排好后课前交教师。
答疑：每周3，晚7：00~9：00，3教5楼教师休息室国内有关经典著作1.1.《《概率论基础及其应用概率论基础及其应用》》 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.《数理统计引论数理统计引论》》陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作1.《概率论的分析理论概率论的分析理论》》P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 《统计学数学方法统计学数学方法》》H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作 概率统计专业首位中科院院士本学科的 A B C概率(或然率或几率) ) ——————随机事件出现的可能性的量度————其起源用骰子赌博. 1616世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；171717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. B. B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. C. C. 惠更斯惠更斯惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂方法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” 。
概率论是研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科.19331933年苏联柯尔莫哥洛夫完成了概率的公理化体系。
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策的科学艺术使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是瑞士数学家是瑞士数学家J.J.J.伯努利；而概率论的飞速发展伯努利；而概率论的飞速发展则在则在171717世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如1.1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 概率论 紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和数据处理；临床中应用，均需要用到 假设检验；4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法. 正如法国数学家拉普拉斯所说: “生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”第一章概率论的基本概念§1 随机试验§2 样本空间、随机事件§3 频率与概率§4 等可能概型§5 条件概率§6 独立性序 言1.自然界和人类社会中的两类不同现象：例：同性电荷相斥.北京地区7、 8、 9三个月的降雨量.一个标准大气压下,100o 水沸腾.朝某方向一直走，终究返回原地.例：癌症患者手术后生存时间.我校西面马路上一个月内发生车祸的次数.一定条件下必发生称为必然现象新生婴儿的体重.随机现象随机现象是不是没有规律可言?2.随机现象统计规律的实例：肿瘤医院医生对其病人手术后生存时间估计很准确。
第1章 概率论9-11节
k1
院
CY
u
N
ki
C
X
u；
2. EX n jn d nC X u u 0；
du n
3. C X u在原点的台劳级数展开式
CX
u
d nCX u du n
n0
un
u0 n! n0 E
Xn
( ju )n n!
性质3表明：不但C( u )与f ( x )可唯一确定，而且f ( x )与EX n
学
则称 E( X k ) 为X的 k 阶原点矩。
通 若 E X E( X )k , k 1,2,... 存在，则称其为X的
信
k 阶中心矩。
学 院
若 E( X kY l ),k, l 1,2,... 存在，则称其为X和Y的 k+l 阶混合矩。
若 E X E( X )k Y E(Y )l 存在，则称其为X和Y的
院 C11 C12 ...C1n
都存在，则称
C
C C.
21
.
n1
C22 ..
Cn2
. . .
. . .
.C1n . .. .C nn
为n维随机变量的协
方差矩阵。因为 Cij C ji ，故C为对称阵。
上 海
§10 特征函数* （自学参考内容）
大 学
定义: 随机变量X的特征函数定义为
通 信 学
绝对收敛，则称此积分为X的数学期
望。记为
E[
X
]
xf
(
x)dx
上
海
例1.甲乙两人打靶问题,设
大 学
X1 0 1 2
X2 0 1 2
通
Pk 0 0.2 0.8
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
大学_新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载
新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载新编概率论与数理统计(肖筱南著)特色及评论第一章随机事件及其概率1 随机事件及其运算一、随机现象与随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系与运算习题1-12 随机事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义习题1-2(1)三、概率的几何定义四、概率的公理化定义与性质习题1-2(2)3 条件概率与全概率公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯(bayes)公式习题1-34 随机事件的独立性一、事件的相互独立性二、伯努利(bernoulli)概型及二项概率公式习题1-45 综合例题一、基本概念的理解二、几种典型的古典概型问题三、有关概率加法公式的应用四、条件概率和乘法公式五、全概率公式和贝叶斯公式的应用六、独立性的性质与应用七、二项概率公式的应用总习题一第二章随机变量及其分布1 离散型随机变量及其分布律一、随机变量的定义二、离散型随机变量及其分布律三、常见的离散型随机变量的分布习题2-12 随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、分布函数的性质习题2-23 连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量的.概率密度二、连续型随机变量的性质三、离散型随机变量与连续型随机变量的比较习题2-34 几种常见的连续型随机变量的分布一、均匀分布二、指数分布三、正态分布习题2-45 随机变量函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-56 二维随机变量及其联合分布函数一、二维随机变量的概念二、联合分布函数的定义及意义三、联合分布函数的性质习题2-67 二维离散型随机变量一、联合分布律二、边缘分布律三、条件分布律习题2-78 二维连续型随机变量一、联合概率密度二、边缘概率密度三、两种重要的二维连续型分布四、条件概率密度习题2-89 随机变量的相互独立性一、随机变量相互独立的定义二、离散型随机变量相互独立的充分必要条件三、连续型随机变量相互独立的充分必要条件四、二维正态变量的两个分量相互独立的充分必要条件习题2-910 两个随机变量的函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-1011 综合例题一维部分一、基本概念的理解二、求随机变量概率分布中的未知参数三、求分布律四、求分布函数五、已知常见分布，求相关概率六、随机变量函数的分布二维部分一、基本概念的理解二、二维离散型随机变量三、二维联合分布函数四、二维联合概率密度总习题二第三章随机变量的数字特征1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质习题3-12 方差一、方差的定义二、常见分布的方差三、方差的性质习题3-23 协方差与相关系数一、协方差二、相关系数三、相关系数的意义习题3-34 矩与协方差矩阵习题3-45 综合例题一、基本概念的理解二、数学期望和方差的应用三、有关数字特征的计算总习题三第四章大数定律与中心极限定理第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析新编概率论与数理统计(肖筱南著)本书目录《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》是根据教育部__新颁布的全国高校理工科及经济类“概率论与数理统计课程教学基本要求”并参考“理学、工学、经济学硕士研究生入学考试大纲”进行编写的。
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第一章 随机事件及其概率
一、填空题
1．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 .
2．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 .
3．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于
56 ”的概率为 . 4．已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,
(1) 当A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= ; P(AB )= .
(2) 当B ⊂A 时, P(A+B )= ; P (AB )= ；
5. 事件C B A ,,两两独立, 满足21)()()(<
===C P B P A P ABC ，φ,且P (A+B+C )=16
9， )(A P 则= . 6．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A +的概率=+)(B A P .
7．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 .
8. 一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率 .
9. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是5
2 ,21 ,32，三人中恰好有两人合格的概率为 .
10. 一次试验中事件A 发生的概率为p , 现进行n 次独立试验, 则A 至少发生一次的概率为 ；A 至多发生一次的概率为 . 二、选择题
1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A 为（ ）.
（A ）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B ）“甲、乙两种产品均畅销”;
（C ）“甲种产品滞销”; （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P ( ).
(A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-;
（C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.
3. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（ ）.
(A)()()()1;(B)()()()1;
(C)()(); (D)()().P C P A P B P C P A P B P C P AB P C P A B ≤+-≥+-==+
4. 设则下列等式成立的是是三随机事件，且、、,0)(>C P C B A ( ).
() (|)(|)1; () (|)(|)(|)(|);
() (|)(|)1; () (|)(|)(|).
A P A C P A C
B P A B
C P A C P B C P AB C C P A C P A C
D P A B C P A C P B C +==+-+== 5. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（ ）.
1212() ; () ; () ; () .4455A B C D
6. 设则,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P （ ）.
(A) 事件B A 和互不相容； (B) 事件B A 和互相对立；
(C) 事件B A 和互不独立； (D) 事件B A 和相互独立.
7. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）.
222222(A)3(1); (B)6(1);
(C)3(1); (D)6(1).p p p p p p p p ----
三、解答题
1. 从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字，
（1）求最小的数字为5的概率;
（2）求最大的数字为5的概率。
2．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
3．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：
（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p；
（2）取的至少有3个电话号码相同的概率q.
4. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？
5. 已知16
1)()(,0)(,41)()()(====
==BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率.
6. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
7. 某一工厂有C B A ,,三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是C B A ,,车间生产的概率.
8. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
9. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率.
10. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为
81
80, 求该射手的命中率.
11. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.。