统计学数学符号版公式(相对数 平均数 标准差 指数)
教育统计学符号公式
教育统计学是统计学的一个重要分支，用于研究教育领域的变量和数据。
以下是教育统计学中常用的一些符号和公式：
总体和样本：总体是研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分。
总体均值（μ）和总体标准差（σ）分别表示总体数据的平均水平和离散程度。
样本均值（x）和样本标准差（s）则用于表示样本数据的平均水平和离散程度。
概率和概率分布：概率是描述事件发生可能性的数值，常用P 表示。
概率分布是指各种可能事件发生的概率的集合。
常见的概率分布有二项分布、泊松分布和正态分布等。
参数和统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体标准差等。
统计量是描述样本特征的数值，如样本均值、样本标准差等。
回归分析：回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计分析方法。
线性回归分析中，自变量（X）和因变量（Y）之间建立线性关系，可以使用最小二乘法求解回归系数。
方差分析：方差分析是用于比较不同组间数据的差异的统计分析方法。
它通过分解不同组间的变异和组内变异，来判断不同因素对总体变异的影响。
检验：检验是用于判断两个或多个样本之间是否有显著差异的统计分析方法。
常见的检验方法有t检验、卡方检验和Z检验等。
以上仅是教育统计学中常用的一些符号和公式，还有很多其他的符号和公式可以根据具体的研究需求进行选择和应用。
统计学常用公式
统计学常用公式统计学是一门研究数据收集、分析、解释和表达的科学。
在统计学中，有许多常用的公式被广泛应用于数据处理和推断分析。
本文将介绍一些统计学常用公式，并对其进行说明和用途解释。
一、描述统计学公式1. 平均值（Mean）平均值是一组数据的总和除以数据的个数，即：$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$其中，$\bar{X}$表示平均值，$X_i$表示第i个数据，n表示数据的个数。
2. 中位数（Median）中位数是将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值。
当数据个数为奇数时，中位数即为排列后正中间的数；当数据个数为偶数时，中位数为排列后中间两个数的平均值。
3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现频率最高的数值。
4. 标准差（Standard Deviation）标准差衡量数据的离散程度，其计算公式为：$SD = \sqrt{\frac{(X_1 -\bar{X})^2 + (X_2 -\bar{X})^2 + \cdots + (X_n -\bar{X})^2}{n-1}}$5. 方差（Variance）方差是标准差的平方，即：$Var = SD^2$6. 百分位数（Percentile）百分位数是指一组数据中某个特定百分比处的数值。
比如，第25百分位数是将一组数据从小到大排列后，处于前25%位置的数值。
二、概率与统计公式1. 随机变量期望（Expectation）随机变量期望是描述随机变量平均值的指标，也称为均值。
对于离散型随机变量X，其期望计算公式为：$E(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$对于连续型随机变量X，其期望计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx$其中，$X_i$表示随机变量X的取值，$P(X_i)$表示对应取值的概率，$f(x)$表示X的概率密度函数。
均数和标准差的符号
均数和标准差的符号
在统计学中，均数和标准差是两个非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地
理解和描述数据的分布特征。
在本文中，我们将介绍均数和标准差的符号表示方法，希望能够帮助读者更好地理解这两个概念。
首先，让我们来看一下均数的符号表示。
在统计学中，均数通常用希腊字母μ（读作mu）来表示。
μ是一个常数，表示总体的均数。
总体均数是指对整个总体
进行统计得到的均数，通常用来描述总体的平均水平。
而样本均数通常用x（读作
x bar）来表示，它是根据样本数据计算得到的均数，用来估计总体的均数。
接下来，让我们来看一下标准差的符号表示。
标准差通常用希腊字母σ（读作sigma）来表示。
σ是一个常数，表示总体的标准差。
总体标准差是指对整个总体
进行统计得到的标准差，用来描述总体数据的离散程度。
而样本标准差通常用s来
表示，它是根据样本数据计算得到的标准差，用来估计总体的标准差。
在实际应用中，我们经常会用到均数和标准差来描述数据的分布特征。
均数可
以帮助我们了解数据的平均水平，而标准差可以帮助我们了解数据的离散程度。
通过对均数和标准差的分析，我们可以更好地理解数据的特点，从而做出更准确的推断和决策。
总之，均数和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理
解和描述数据的分布特征。
通过对均数和标准差的符号表示方法的了解，我们可以更好地应用这两个概念，从而更好地分析和解释数据。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。
统计学常用公式汇总
《统计学原理》常用公式汇总组距＝上限－下限组中值＝（上限+下限）÷2 缺下限开口组组中值＝上限－1/2邻组组距缺上限开口组组中值＝下限+1/2邻组组距111平均指标 1.简单算术平均数：2.加权算术平均数或iii.变异指标1.全距＝最大标志值－最小标志值2.标准差: 简单σ=；加权σ= 3.标准差系数:第五章抽样估计1.平均误差：重复抽样：不重复抽样：2.抽样极限误差3.重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目成数抽样时必要的样本数目4.不重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目第七章相关分析 1.相关系数2.配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ3.估计标准误：第八章指数分数一、综合指数的计算与分析(1)数量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度。
(-)此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
(2)质量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度。
（-）此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
加权算术平均数指数=加权调和平均数指数=(3)复杂现象总体总量指标变动的因素分析相对数变动分析：=×绝对值变动分析：-= (-)×（-）第九章动态数列分析一、平均发展水平的计算方法：(1)由总量指标动态数列计算序时平均数①由时期数列计算②由时点数列计算在间断时点数列的条件下计算：a.若间断的间隔相等，则采用“首末折半法”计算。
公式为：b.若间断的间隔不等，则应以间隔数为权数进行加权平均计算。
公式为：(2)由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数基本公式为：式中：代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数；代表分子数列的序时平均数；代表分母数列的序时平均数；逐期增长量之和累积增长量二. 平均增长量＝─────────＝─────────逐期增长量的个数逐期增长量的个数(1)计算平均发展速度的公式为：(2)平均增长速度的计算平均增长速度＝平均发展速度-１（100%）。
标准差符号
标准差符号
标准差是统计学中一种描述数据离散程度的重要指标，用于衡量一组数据的波动程度。
它可以告诉我们数据点与平均值的差距，以及数据点彼此之间的差异程度。
在统计学中，标准差的符号通常表示为σ。
它是通过计算每个数据点与平均值之间的差异，然后求平均的平方根来得到的。
标准差越大，表示数据的离散程度越高，数据点之间的差异也越大；反之，标准差越小，表示数据的离散程度越低，数据点之间的差异也越小。
标准差的符号σ来源于希腊字母的小写"sigma"，它在统计学中广泛使用。
除了在标准差中使用的符号外，我们还会在其他统计学的概念和公式中看到它的使用。
标准差的计算公式如下：
σ = √((Σ(xi - μ)²) / N)
其中，σ表示标准差，xi表示第i个数据点，μ表示平均值，N 表示数据点的数量。
标准差是一个非常有用的统计量，在各种领域都有着重要的应用。
在金融领域，标准差可以用于衡量资产的波动性和风险；在质量控制领域，标准差可以衡量产品的稳定性和一致性；在医学研究中，标准差可以用于比较不同组之间的差异性。
标准差还可以与均值结合使用来进行数据分析。
例如，我们可
以使用标准差来判断一组数据是否符合正态分布。
根据统计学的规则，大约68%的数据点会落在平均值加减一个标准差的范围内，而大约95%的数据点会落在平均值加减两个标准差的范围内。
总之，标准差是统计学中一种衡量数据离散程度的重要指标，它可以帮助我们理解数据点之间的差异，并用于各个领域的数据分析和决策中。
在统计学的符号中，标准差通常用希腊字母小写"sigma"表示。
统计学原理重要公式
一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算 加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf x m m x频数也称次数。
在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。
再如在3.14159265358979324中，…9‟出现的频数是3，出现的频率是3/18=16.7% 一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与总数的比为频率。
频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。
而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
在变量分配数列中，频数（频率）表明对应组标志值的作用程度。
频数（频率）数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大，反之，频数（频率）数值越小，表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。
掷硬币实验：在10次掷硬币中，有4次正面朝上，我们说这10次试验中…正面朝上‟的频数是4例题：我们经常掷硬币，在掷了一百次后，硬币有40次正面朝上，那么，硬币反面朝上的频数为____.解答，掷了硬币100次，40次朝上，则有100-40=60（次）反面朝上，所以硬币反面朝上的频数为60.一．加权算术平均数和加权调和平均数的计算 加权算术平均数： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxxx 代表算术平均数；∑是总和符合；f 为标志值出现的次数。
加权算术平均数是具有不同比重的数据（或平均数）的算术平均数。
比重也称为权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。
依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。
加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。
加权平均数 = 各组（变量值 × 次数）之和 / 各组次数之和 = ∑xf / ∑f加权调和平均数： ∑∑∑∑==fxf xm m x 加权算术平均数以各组单位数f 为权数，加权调和平均数以各组标志总量m 为权数但计算内容和结果都是相同的。
统计学平均值符号
统计学平均值符号统计学中的平均值是指一组数据的总和除以数据个数所得的数值。
在数学符号中，平均值用x̄来表示。
下面我们详细介绍一下平均值符号的含义和用法。
一、平均值的含义平均值是描述数据集中趋势的一种方式，它是通过对数据的集中程度进行度量来描述一组数据的中心位置。
平均值可以让我们更加清晰地了解数据的分布情况，从而更好地进行数据分析和研究。
二、平均值的计算方法计算平均值需要先将一组数据的所有数值相加，然后除以数据个数。
用n来表示数据个数，那么计算平均值的公式为：x̄= (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n其中，x1、x2、x3 … xn都是数据集中的数据。
平均值x̄是这些数据的平均数，并且它是一个代表了这组数据的中心位置的数值。
平均值是一种非常常用的统计学参数，它广泛应用于各个领域。
以下是一些使用平均值的例子：1. 经济学：平均值用于计算国家或者地区的GDP，人均收入等。
2. 医学：平均值用于计算研究对象的平均生命期，平均体重等。
3. 教育学：平均值用于计算学生的平均成绩，班级的平均分等。
4. 计算机科学：平均值用于计算某个算法的平均执行时间。
这些例子只是平均值的一小部分应用范围，实际上平均值的应用非常广泛。
它可以描述一组数据的整体情况，从而作为基准来比较或者评估其他数据。
四、平均值的局限性使用平均值时需要注意，它并不是描述一组数据的全部信息。
有时候，数据集中有一些异常值或者极端值，这些值可能会对平均值产生影响。
为了解决这个问题，我们可以使用中位数来代替平均值，这样可以减少异常数据对平均值的影响。
另外，平均值的计算还需要数据的数量一定，如果数据缺失或者数据质量不好，那么平均值的计算结果可能不准确。
因此，在使用平均值时需要注意这些局限性，并结合实际情况综合分析，才能得到更加准确的结果。
五、总结平均值是统计学中非常重要的一个概念，它既可以帮助我们描述一组数据的整体情况，又可以作为基准来比较和评估其他数据。
平均数,标准差,方差的字母表示
在统计学中，平均数、标准差和方差是非常重要的概念。
它们在数据分析和描述中扮演着至关重要的角色，有助于我们更好地理解数据的分布和变化情况。
接下来，我将分别从平均数、标准差和方差的角度进行深入探讨，帮助你更好地理解这些概念。
1. 平均数平均数通常用来描述一组数据的集中趋势。
它是指在一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
在统计学中，平均数通常用符号X¯来表示。
对于一组数据x1, x2, …, xn，其平均数可以表示为(X¯ = (x1 + x2 + … + xn) / n)。
平均数可以帮助我们快速了解数据的集中程度，是描述数据的一种简洁的统计量。
2. 标准差标准差是衡量一组数据离散程度的统计量，它是平均数和各个数据点的距离的平方的平均数的平方根。
标准差的符号通常用希腊字母σ来表示。
对于一组数据x1, x2, …, xn，其标准差可以表示为(σ =sqrt[((Σ(xi - X¯)²) / n)])。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，表示数据的离散程度越小。
3. 方差方差是标准差的平方，它也是衡量一组数据离散程度的统计量。
方差的符号通常用σ²来表示。
对于一组数据x1, x2, …, xn，其方差可以表示为(σ² = (Σ(xi - X¯)²) / n)。
方差和标准差一样，可以帮助我们了解数据的离散程度。
但是相比于标准差，方差更容易受到特殊值的影响。
在数据分析中，我们经常会用到平均数、标准差和方差来描述数据的特征。
通过对这些统计量的计算和分析，我们可以更好地理解数据的分布和变化情况，从而做出合理的决策。
个人观点和理解：平均数、标准差和方差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数据的特征。
在实际工作中，对于不同类型的数据，我们需要灵活运用这些统计量，并结合具体的业务场景进行分析和应用。
还需要注意数据的质量和背后的数据分布情况，以确保我们得到的结论和决策是准确和可靠的。
统计学常用计算公式
统计学常用计算公式
均值（Mean）
均值是一组数据的平均值，通过将所有数据求和并除以数据的个数来计算。
公式：$\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
其中，$\bar{x}$ 表示均值，$x_i$ 表示第 i 个数据，n 表示数据的个数。
中位数（Median）
中位数是一组数据中的中间值，即将数据按升序排列后，找到位于中间位置的数。
公式：
- 若数据个数为奇数：中位数为排序后的中间值。
- 若数据个数为偶数：中位数为排序后中间两个值的平均数。
众数（Mode）
众数是一组数据中出现次数最多的值。
标准差（___）
标准差是数据离均值的平均偏差，用来衡量数据的离散程度。
公式：$s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$
其中，$s$ 表示标准差，$x_i$ 表示第 i 个数据，$\bar{x}$ 表示均值，$n$ 表示数据的个数。
方差（Variance）
方差是数据离均值的平方平均偏差，是标准差的平方。
公式：$Var(x) = s^2$
其中，$Var(x)$ 表示方差，$s$ 表示标准差。
以上是统计学常用的计算公式。
在进行统计分析时，这些公式能够帮助我们计算和理解数据的特征和变化程度。
统计学常用的公式总结—均值、方差和指数等
N
组距分组数据：
K
( X i X )2 Fi
i 1
K
Fi
i 1
样本方差和标准差
(计算公式)
方差的计算公式
未分组数据：
n
(xi x)2
S2 n1
i1
n 1
组距分组数据：
k
(xi x)2 fi
S2 n 1
i1
k
fi 1
i 1
标准差的计算公式
• 未分组数据：
Sn1
n
(xi x)2
1. 绝对数时间序列
– 一系列绝对数按时间顺序排列而成 – 时间序列中最基本的表现形式 – 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 – 分为时期序列和时点序列
• 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 • 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
2. 相对数时间序列
▪ 一系列相对数按时间顺序排列而成
3. 平均数时间序列
累积增长量 观察值个数1
环比发展速度与定基发展速度
（要点）
1. 环比发展速度
– 报告期水平与前一期水平之比
Ri YYi i1
(i1,2,,n)
2. 定基发展速度
报告期水平与某一固定时期水平之比
Ri Y Y0i
(i1,2,,n)
环比发展速度与定基发展速度
（关系）
1. 观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末 期的定基发展速度
N
XX1X2XN i1Xi
N
N
设分组后的数据为：X1 ，X2 ，… ，XK
相应的频数为： F1 ， F2，… ，FK
加权均值的计算公式为
K
XX1F1X2F2 XNFN F1F2 FN
统计学公式大全
X F
i 1 K i
K
i
F
i 1
i
均值
(数学性质)
• 1. 各变量值与均值的 离差之和等于零
n
(X
i 1
i
X) 0
2. 各变量值与均值的离差平方和最小
(X
i 1
n
i
X ) min
2
众数、中位数和均值的关系
均值 中位数 众数
均值 = 中位数 = 众数
众数 中位数 均值
2. 取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上 式可化简为
Y na 2 tY b t
a Y tY 解得： b 2 t
相关关系的测度
（相关系数）
• 样本相关系数的计算公式
r
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
1. 个体指数
– – – – 反映单一项目的变量变动 如一种商品的价格或销售量的变动 反映多个项目变量的综合变动 如多种商品的价格或销售量的综合变动
• • 不同时间上对比形成的指数称为时间性指数 不同空间上对比形成的指数称为区域性指数
2. 指数的性质
–
– –
综合性：反映一组变量在不同场合下的综合变动 平均性：指数是总体水平的一个代表性数值
指数的分类
指数的分类
按内容 划分 按项目多少 划分 按计算形 式划分 按对比场 合划分
数 量 指 数
质 量 指 数
2. 模型
线性模型法
（概念要点与基本形式）
1. 现象的发展按线性趋势变化时，可用线性 模型表示 2. 线性模型的形式为
ˆ — 时间序列的趋势值 Y t t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观 察值的平均变动数量
统计学公式汇总word精品
统计学公式汇总均数（mean ）:X = x 「X2XnX 式中-表示样本均数，X 1, X 2, nnX n 为各观察值。
几何均数（geometric mean, G ）:G =nX 1 ・X 2 X n =igh) = ig 」(一)式中一nG 表示几何均数，X 1, X 2, X n 为各观察值。
中位数（median, M ）n 为奇数时，M = X n 勺（）n 为偶数时，M =[X n X n ]/2（一）（一 ■*）2 2式中n 为观察值的总个数。
数, i 为其组距，if L 为小于L 各组段的累计频数。
四分位数（quartile, Q ）第25百分位数P 25，表示全部观察值中有 的观察值比它小，为下四分位数，记作 Q L ;第75百分位数有25% （四分之一）的观察值比它大，为上四分位数，记作 四分位数间距(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)aBS^cvnpu t u F X百分位数Px =Lf X (n x°/7)式中L 为P x 所在组段的下限,f x 为其频25% （四分之一） P 75,表示全部观察值中Q u 。
等于上、下四分位数之差。
总体方差3(X 「亠)2总体标准差3(X - J 2样本标准差3(X -X)21X 2-(1X)2/nn -1n -1变异系数 (coefficient of variation,sCV ) CV 100%X样本均数的标准误理论值二X =r 估计值s Xn式中b 为总体标准差，s(20)较的总体均数，配对设计d为总体标准差，n为样本含量。
差值的符号秩和检验正态近似法公式：-n(n 1)/4n(n 1)(2n 1) ' (t：-t j)式中T为秩和，求秩和方法：差值d= ( X-24 48卩0);依差值的绝对值从小到大编秩；差值为平均秩次；分别求出正、负秩次之和T ( +)、T样本含量，但不包括差值等于0者；t j ( =1 , 2,0者，舍去不计；如果差值相等，取 (-);T为二者绝对值较小者；n为•…)为第j个相同差值的个数。
统计学常用公式汇总
《统计学原理》常用公式汇总第三章统计整理a) 组距＝上限－下限 b) 组中值＝（上限+下限）÷2c) 缺下限开口组组中值＝上限－1/2邻组组距d) 缺上限开口组组中值＝下限+1/2邻组组距第四章综合指标i. 相对指标1.结构相对指标＝各组（或部分）总量/总体总量2.比例相对指标＝总体中某一部分数值/总体中另一部分数值3.比较相对指标＝甲单位某指标值/乙单位同类指标值4.强度相对指标＝某种现象总量指标/另一个有联系而性质不同的现象总量指标5.计划完成程度相对指标＝实际数/计划数＝实际完成程度（%）/计划规定的完成程度（%）ii.平均指标1.简单算术平均数：2.加权算术平均数或iii.变异指标1.全距＝最大标志值－最小标志值2.标准差: 简单σ= ；加权σ=3.标准差系数:第五章抽样估计1.平均误差：重复抽样：不重复抽样：2.抽样极限误差3.重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目成数抽样时必要的样本数目4.不重复抽样条件下：平均数抽样时必要的样本数目第七章相关分析1.相关系数2.配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ3.估计标准误：第八章指数分数一、综合指数的计算与分析(1)数量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体数量指标综合变动的方向和程度。
( - )此差额说明由于数量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
(2)质量指标指数此公式的计算结果说明复杂现象总体质量指标综合变动的方向和程度。
（ -）此差额说明由于质量指标的变动对价值量指标影响的绝对额。
加权算术平均数指数=加权调和平均数指数=(3)复杂现象总体总量指标变动的因素分析相对数变动分析：= ×绝对值变动分析：- = ( - )×（ -）第九章动态数列分析一、平均发展水平的计算方法：(1)由总量指标动态数列计算序时平均数①由时期数列计算②由时点数列计算在间断时点数列的条件下计算：a.若间断的间隔相等，则采用“首末折半法”计算。
统计公式及说明范文
统计公式及说明范文统计公式是一种数学表达方法，用于表示和求解统计学问题。
统计公式广泛应用于各个领域，包括经济学、社会学、管理学和自然科学等。
本文将介绍一些常见的统计公式及其说明。
一、描述统计公式1. 平均值（Mean）：平均值是一组数据的总和除以数据个数。
平均值可以表示数据集的集中趋势。
平均值的公式如下：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 中位数（Median）：中位数是有序数据集中的中间值。
对于有奇数个数据，中位数是中间那个数；对于有偶数个数据，中位数是中间两个数的平均值。
中位数的公式如下：median = (n + 1) / 23. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值。
一个数据集可以有一个众数或多个众数。
众数的公式没有统一的数学表示，通常使用频数表或直方图来表示。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是数据集的离散度度量，表示数据集中各个数据与平均值之间的偏离程度。
标准差的公式如下：standard deviation = sqrt((x1-mean)^2 + (x2-mean)^2 + ... + (xn-mean)^2) / n5. 方差（Variance）：方差是标准差的平方，也是数据集的离散度度量。
方差的公式如下：variance = ((x1-mean)^2 + (x2-mean)^2 + ... + (xn-mean)^2) / n二、概率统计公式1. 概率密度函数（Probability Density Function，PDF）：概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布。
它表示了随机变量取一些值的概率密度。
概率密度函数的公式如下：f(x) = dF(x) / dx2. 累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）：累积分布函数描述了随机变量小于等于一些值的概率。
累积分布函数的公式如下：F(x)=P(X<=x)3. 期望值（Expectation）：期望值是随机变量的平均值，表示对随机变量取值的长期平均结果。
统计学重要公式
统计学重要公式()()D 22221. X X2. N3. Q4. 1 (2) S 1U L iiXnIQR Q Q XNX n μμσμ====--=-=-∑∑∑∑样本平均数：总体平均数：四分位差：方差：（）总体方差：样本方差：225. 1 2 S S6.100%100%100%CV S CV X σσσμ==⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭标准差：（）总体标准差：（）样本标准差：变异系数标准差总体：平均数样本：()()()()()22121111117.() ,8. (,)19. ,,,i i i i iiXY XYXYXY X YXX YYn i nni XX i ii i n n i i nni i XY iii i i i YY i X X X Z Z Z S XXYYCov X Y S n S L r S S L L X L X XXnX Y L XXYYX Y nL Y μσ=======--==--==-==⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑标准分数分数或样本协方差皮尔逊相关系数()22121111,,n i nni ii i nniii i Y YYnX YX Y n n=====⎛⎫ ⎪⎝⎭=-==∑∑∑∑∑()()()()()2210. X 11. X 12. S 113.!121,!!12,!,!!!iiiiiiiim nm mn nm n mn nW X WF X FF XXn n P n n n n m m n n P n Cm m n m C C -==-=-==--⋅⋅⋅-+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==-=∑∑∑∑∑加权平均数分组数据样本平均数分组数据样本方差排列组合公式ni i 114. ()1()15. P(A B)P(A)P(B)-P(A B)P(A B)P(A B)16. P(A|B), P(B|A)()()17. P(A B)()P(A|B)()P(B|A)18. P(A B)()()19. P(B)()P(B|A )20.i P A P A P B P A P B P A P A P B P A ==-⋃=+⋂⋂⋂==⋂=⋅=⋅⋂==⋅∑事件补的概率加法公式条件概率乘法公式独立事件全概率公式贝叶i i i njj 1()P(B|A )()P(B|A )P(A |B)P(B)()P(B|A )i i jP A P A P A =⋅⋅==⋅∑斯公式()22221.()()22.()()23.(),0,1,2,...,,124.(),()(1)25.()!!27.()x x n x n x x x n xr N rE X xp x Var X x p x p x C p q x n q p E X np Var X np p e e p x x x C C p x C μλμσμμσμλ-----====-===-====-==⋅=∑∑离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的方差二项分布的概率函数二项分布的数学期望和方差泊松分布超几何分布()222,0128.()229.nN x x r f x e x Z μσπσμσ--≤≤=-=正态概率密度函数标准正态分布变换30. X :(), 131.:(),(1)1(1)X X PPE X N n N n nP E p p N n p p N n p p nμσσσσσσ=-⎛⎫= ⎪-⎝⎭==⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭-=的数学期望和标准差有限总体时无限总体时比例的数学期望和标准差有限总体时无限总体时2222222232.:33.(1):,(2):,(3),,,(4),,34.:X X Z n S X Z nX Z n S X t nZ n αααααμμσσσμ-±±±±=∆估计时的抽样误差总体均值的区间估计大样本且方差已知大样本且方差未知总体正态小样本方差已知总体正态小样本方差未知估计时所需的样本容量222200(1)35.(1)36.37.::,/:/38.:,1/39.:(1)p p P p Z nZ p p p n X Z n X Z S nX t df n S np p Z p p nααμσμμ-±⋅-=∆-=-=-==--=-总体比率的区间估计的区间估计时所需的样本容量大样本总体均值的检验统计量方差已知方差未知小样本总体均值的检验统计量总体比率检验统计量()()()122222011212121222121240.:,41.,::(),XX Z Z n Z Z X X X X E X X n n αβαασμμμμσσσ--=----=-=+总体均值的单侧检验中所需样本容量用代替即为双侧检验的公式独立样本时两个总体均值之差的点估计量的期望值与标准差()()()()()()()()()()12121212121212121222212121212222222121212121212242.:(1)(,30),,:(2),, 11,()(3),X X X X X X X XX X X Xn n XX Z S S S n n X X Z S X X n n n n XX t S ααασσσσσσσσσσσσ------≥-±=+-±=-=+=+-±两个总体均值之差的区间估计大样本已知的点估计量为大样本未知时的标准差小样本正态()()()()()12121222121212122121212121211221112143.X (1) Z ,X (2),11(3)44.:(1)(1)(1)p dd p p X n n X t S n n d t S np p p p E p p p p p p p p p p p n n n μμσσμμμσ----=+---=⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---=----=+=+两个总体均值之差的假设检验统计量大样本小样本相关样本两个比率之差的点估计量的期望值与标准差1212222112212(1)(1)(1):p p p p p n p p p p S n n σ-----=+的点估计量 ()()()()()()12121212111122221221212112212121245.:,(1),,(1)5,46.::11:(1)p p pppp p p n p n p n p n p p p Z S p p p p Z n p n p p n n p p S p p n n ασσ------≥-±---=+=+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭两个总体比率之差的区间估计大样本时两个总体比率之差的检验统计量总体比率合并估计时的点估计量()()()()()22222/2(1/2)2222122221221147.:148.:49.:50.:,151.::ki ii ii j ij ij ijjijn S n S n S S F S f e df k e RT CT i j e n f e e αασχχχσχχ-=--≤≤-==-==-⨯⨯==-=∑一个总体方差的区间估计一个总体方差的检验统计量两个总体方差的检验统计量拟合优度检验统计量独立假设条件下列联表的期望频数第行之和第列之和样本容量独立性检验统计量()(),11idf R C =--∑∑()()1221111212152.:,:,1:,1:,1:():,:1jjjn iji jjn ij ji jj n kijkj i t t jj t kjjt j t kjjj K XXn XXSn XX n nn SSTRMSTR k SSTR nXX SSEMSE n kSSE nS k ========-=-==-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑检验个均值的相等性第ｊ个处理的样本均值第ｊ个处理的样本方差总样本均值处理均方处理平方和误差均方误差平方和个均值相等检()211i ::::X LSD :t 11jn kij tj i ji j MSTRF MSESST X X SST SSTR SSE XFisher MSE n n ====-=+-=⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭∑∑验统计量总平方和平方和分解多重比较方法的检验统计量()()()()()()2112.12.12254.::,1,:,1,:,1,:,11::,1,:k at ij tt t j i k b j t b j ar i tr i e t b r e ij t ijt i b SS X X df n SS a X X df k SS k X X df a SS SS SS SS df k a X SS Xdf ak akX SS =====-=-=-=-=-=-=--=--=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑随机化区组设计总平方和处理平方和区组平方和误差平方和求平方和的另一种方法总平方和处理平方和()()()()()()2222,1,:,1,:,11j ij b ijijr r e t b r e X df k aakX X SS df a k akSS SS SS SS df k a -=-=-=-=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑区组平方和误差平方和()()()()()()21112.12.12..1155.::,1:,1,:,1,:,11:,abrijk ttt i j k ai tAi bj tB j abij i j tABi j e SST X X dfn A SSA br X X df a B SSB ar X X df b SSAB r X X X X dfa b SSE SST SSA SSB SSAB df a ========-=-=-=-=-=-=--+=--=---=∑∑∑∑∑∑∑析因试验总平方和因子平方和因子平方和交互作用平方和误差平方和(1)br ab ab r -=-()()()()01010121220157.::::min :,i i iii i i y x E y xy b b xy y x y x y nb x xnb y b xββεββ=++=+=+--=-=-∑∑∑∑∑∑简单线性回归模型简单线性回归方程估计的简单线性回归方程最小二乘法估计的回归方程的斜率和截距()()()()()()()()()222222222222221122::::()::():i i iiiii i i i i i iixy SST SSR SSESSE y y y SST yyynX SSR y yb X nX Y X Y n X XnSSRR r SSTr b b r S M σ=+=-=-=-⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑平方和分解误差平方和总平方和回归平方和判定系数决定系数样本相关系数的符号判定系数的符号均方误差的估计量2:2SSE SE n SSE S MSE n =-==-估计量的标准误差()()()()()1110012212212002200/20::::1:1:():1:1b iib i ib y i i y y y b X XnSb S X Xnb t t S SSR SSRMSR SSRMSRF F MSE X Xy S S n X X n E y y t S X XS S n ασσ-=-=-=====-=+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦±⋅-=++∑∑∑∑∑∑的标准差的估计的标准差统计量回归均方自变量的个数检验统计量的估计的标准差的置信区间估计一个个别值估计的标准差()0022200/2:i i yy X X n y y t S α-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦±⋅∑∑的预测区间估计()()()0112201122222258.::::min ,,::1:111::1p p p pi i a y x x x E y x x x y y SST SSR SSE SST SSR SSESSRR SSTn R R n p SSRMSR p SSEMSE n p F ββββεββββ=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+-=+=-=--⋅--==--∑ 多元线性回归模型多元回归方程估计的多元回归方程最小二乘法之间的关系多元决定系数修正的多元决定系数回归均方误差均方检::iib MSRF MSE bt t S ==验统计量检验统计量。
统计学中的基本概念和重要公式
2 σ2
(3)小样本, 正态
(X
1
− X 2 ± tα 2 S ( X 1 − X 2 )
)
43.两个总体均值之差的假设检验统计量 (1)大样本 Z =
(X − X )− (µ − µ ) ,
1 2 1 2
σ 12
n1
+
2 σ2
(2)小样本t =
(X − X )− (µ − µ ) ,
1 2 1 2
χ 2 = ∑∑
i j
(f
ij
− eij )
2
eij
, df = (R − 1)(C − 1)
52.检验K个均值的相等性 第ｊ个处理的样本均值 : X j =
∑X
i =1
nj
ij
nj
, −Xj
第ｊ个处理的样本方差 : S 2 = j
∑ (X
nj i =1
ij
)
2
n j −1
( x − µ )2 −
2σ 2
=
λx e −λ
1 28.正态概率密度函数f ( x) = e 2π σ x−µ 29.标准正态分布变换Z =
σ
30. X的数学期望和标准差 : E( X ) = µ, 有限总体时σ X = 无限总体时σ X = N −n σ N −1 n
σ
n
100、期望频数（理论频数） 101、观察频数（实际频数） 102、φ相关系数 103、列联系数
二、重要公式
∑X 1. 样本平均数： = X
n N 3. 四分位差： D = IQR = QU − QL Q 4.方差： （ ）总体方差：σ 2 = 1 (2) 样本方差： 2 = S
∑X 2. 总体平均数： = µ
统计学数学符号版公式（相对数平均数标准差指数）
统计学数学符号版公式（相对数平均数标准差指数）
统计相对数：计划完成相对数=实际完成数?100%
计划完成数
本批实际数=上批实际数（1+实际增长率）本批计划数=上批计划数（1+
本批实际数=上批实际数（1-实际降低率）本批计划数=上批计划数（1- 1+实际增长率
=?100%
1+计划增长率
1-实际降低率
=?100%
1-计划降低率
x1+x2??+xnx
统计平均数：数值平均数：算术平均数：简单式=x==
nn
xf+xf??+xnfnxf 加权式=x=1122=
n f
xfm 11x==== 1111mfm1+m2??+mn∑m∑
x1x2xnx
mm1+m2??+mn
nn
调和平均数：简单式=xH==
1111+??+ ∑x1x2xn
x
m
m1+m2??+mn 加权式=xH==
m
nmm1m2 +??+∑x
x1x2xn
几何平均数：
中位数（下限公式）：
标准差：
简单式=xG=
=加权式=xG==
位置平均数：众数（下限公式）：
M0=L+
1
i
1+?2
f
Me=L+
-Sm-1Fm
i
简单式=σ=
加权式=σ=
统计指数：
pq=pq?pqpqpqpq∑pq-∑pq=(∑pq-∑pq)+(∑pq-∑pq)111101000100110011010100。
统计学基本公式
平均数基本公式： 一、总体单位总量总体标志总量算术平均数=（调和平均数）简单算术平均： nx x ∑=加权算术平均： ∑∑=fxf x 或 ∑∑=ffxx二、调和平均数： 简单调和平均： ∑=xn H 1 加权调和平均： ∑∑=xm m H三、几何平均数： 简单：nx G ∏= 加权： ∑∏=ff x G四、众数：下限： d L M O 211∆+∆∆+= 上限：d U M O 212∆+∆∆-=五、中位数：下限： d f S fL M mm e 12--+=∑ 上限：d f S fU M mm e 12+--=∑中位数的位次： M e 2∑=f标志变异指标：标准差： 简单： nx x ∑-=2)(σ 加权：∑∑-=ffx x 2)(σ方差： 简单： nx x ∑-=22)(σ加权： ∑∑-=ffx x 22)(σ成数： N N p 1=NN q 0= 1=+p q交替标志： 平均数:p x = 标准差： )1(p p p -=σ方差)1(2P P P -=σ标准差系数： %100⨯=xV σσ分析计算题：1、星河公司2009年四个季度的销售利润率分别是12%、11%、13%和10%，同期的销售额分别是1000万元、1200万元、1250万元和1000万元。
友谊公司同期的销售利润率分别是13%、11%、10%和12%，利润额分别是130万元、132万元、120万元和144万元，试通过计算比较两家公司2009年全年销售利润率的高低。
2、课本 P 93 17题动态分析指标：一、平均发展水平： 总量指标时间数列：1、时期数列：na a ∑=2、时点数列： 连续型： 等间隔：na a ∑=不等间隔：∑∑=ffa a不连续型： 等间隔： na a a a a n n 22110++⋅⋅⋅++=-不等间隔： 12111232121222---+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++=n n n n f f f f a a f a a f a a a相对指标时间数列： ba c =平均指标时间数列： 同上二、增长量： 逐期增长量： 01a a -12a a - 23a a -… 1--n n a a 累计增长量： 01a a -02a a -03a a -…0a a n -平均增长量1)1()()()(011201-+-=-+⋅⋅⋅+-+-=-n a a n a a a a a a n n n三、发展速度： 环比发展速度：01a a 12a a 23a a …1-n n a a 定基发展速度：1a a2a a3a a …a a n两者之间关系： 1、112010-⨯⨯⨯=n n n a a a a a a a a 2、110--=n n n na a a a a a平均发展速度： n x x ∏=nn a a x 0= n R x =长期趋势测定方法：（时间数列变动分析）方程法：根据时间数列的数据特征，建立一个合适的趋势方程来描述时间数列的趋势变动，推算或预测个时期的趋势值。
标准差计算公式各个字母的含义
标准差计算公式各个字母的含义
标准差计算公式的各个字母的含义如下：
X：代表数据集中的各个数据点，是数据的取值，可以是连续数据也可以是离散数据。
n：代表数据的数量，即X的个数。
μ：代表数据的平均值，是X的均值。
σ：是标准差，代表数据的离散程度，表示数据分布的分散程度。
d：代表数据X到平均值μ的距离，即Xi-μ。
σ²：代表数据的方差，表示数据的离散程度，表示数据分布的分散程度。
d²：代表数据Xi到平均值μ的平方距离，即(Xi-μ)²。
S²：代表数据Xi到平均值μ的平均方差，即1/n ∑(Xi-μ)²。
√S²：代表数据Xi到平均值μ的平均方差的平方根，即标准差σ。
这些字母的含义在计算标准差的步骤中有所体现，标准差是衡量一组数据的离散程度的统计量。
计算标准差的步骤包括计算平均值、计算差值、求和、计算平均方差和取平方根，其中方差计算出后再进行平方根运算，得出的结果即为标准差。
注意，标准差只适用于数值型数据，且在计算时需考虑数据的分布情况和离群值等因素。
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统计相对数：计划完成相对数=实际完成数⨯100%
计划完成数
本批实际数=上批实际数（1+实际增长率）本批计划数=上批计划数（1+
本批实际数=上批实际数（1-实际降低率）本批计划数=上批计划数（1- 1+实际增长率
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1+计划增长率
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x1+x2⋯⋯+xnx
统计平均数：数值平均数：算术平均数：简单式=x==
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几何平均数：
中位数（下限公式）：
标准差：
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位置平均数：众数（下限公式）：
M0=L+
∆1
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f
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-Sm-1Fm
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简单式=σ=
加权式=σ=
统计指数：
pq=pq⨯pqpqpqpq∑pq-∑pq=(∑pq-∑pq)+(∑pq-∑pq)111101000100110011010100。