初三数学一元二次方程教案综合培优练习

一元二次方程

知识点一、一元二次方程的定义

1、方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．

注：一元二次方程的定义包括三个要素： ①只含一个未知数．

②未知数的最高次数是2． ③整式方程．

例1：判断下列方程是否是一元二次方程，为什么？

（1）()

()22123a x x x a x a -+-=+； （2）()

()22221m x m x x x m ++=+-．

【变式一】求下列各题m 的值或取值范围

（1）方程()22510m x x +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是________．

（2）若方程()1

131m m x x +-+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．

（3）m =__________时，关于x

的方程2

((3)43m m x m x m -+=+是一元二次方程．

【变式二】关于x 的方程1

(1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则（ ）

A ．1a ≠±

B ．1a =

C ．1a =-

D ．1a =±

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a （0a ≠）是二次项系数；bx 是一次项，b （b 为任意实数）是一次项系数；c （c 为任意实数）是常数项．

注：一元二次方程的一般形式中，0a ≠的条件十分重要，一般地，如果题目中明确说明“关于x 的一元二次方程”，都需要检验一下二次项系数是否为0．

知识点&例题

例2：下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ）．

A ．21x x +=

B ．2250x x -+-=

C ．()()22131x x -=-

D ．()

2212x x +=+

【变式一】关于x 的一元二次方程()221510m x x m -++-=的常数项为0，则m =___________．

【变式二】已知关于x 的方程()

()22110m x m x m --++=．

（1）m 为何值时，方程为一元一次方程？

（2）m 为何值时，方程为一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数以

及常数项．

【变式三】已知关于y 的一元二次方程()

()223811m y m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．

3、一元二次方程的根

一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．

若实数0x 满足2000ax bx c ++=，则称0x 为方程20ax bx c ++=的实根． 注：并不是任意的一元二次方程都有实根，如方程210x +=无实根．

例3：若0x 是方程()2200ax x c a ++=≠的一个根，设M=1ac -，()20N=1ax +，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）

【变式一】已知1x =-是方程220170ax bx --=的一个根，求a b +的值为_________．

【变式二】若x =1是方程270x ax -+=的根，则a =______．

【变式三】已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值．

知识点二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

如果()20x m m =≥，则x =，即1x =2x =

例4：用直接开平方法解方程：

（1）()2349x -= （2）()2

113x +=

【变式一】用直接开平方法解方程：

（1）22590x -= （2）2225x =

【变式二】用直接开平方法解方程：

（1）()2

19x += （2）()2

95036x -=

（1）()2

3720x ++= （2）()()2

2

2332x x +=+

例5：用配方法解下列方程：

（1）2235x x += （2）2680y y ++=

【变式一】用配方法解下列方程：

（1）2650x x -+= （2）26160y y +-=

（1）23610x x -+-= （2）21

404

x x --=

【变式三】用配方法解下列方程：

（1）20x px q ++= （2）20ax bx c ++=

3、公式法

对于一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠：当2

40b ac -≥时，方程有解x =．

例6：用公式法解下列方程：

（1）2610x x -+= （2）22370x x +-=

【变式一】用公式法解下列方程：

（1）21122x x -= （2）21124x x -=

【变式二】用公式法解下列方程：

（1）23x =- （2）2

210x -+=

（1）2232

x x x -+= （2）5(2)(2)1t t t =+--

例7：用公式法解方程：()()()()73154m m m m m -++-+=

【变式一】用因式分解法解下列方程：22320x mx m -+=

【变式二】解关于x 的方程()()24250m n x m n x n m ++-+-=．

【变式三】解关于x 的方程()22231x mx mx x m ++=+≠；