第二节随机变量的方差与矩

Xi
∼
N(µ,σ 2 n
)
例 9 设随机变量 X 与Y 相互独立, 且 X ∼ N (720, 302 ), Y ∼ N (640, 252 )。
求概率 P{X > Y} , P{X + Y > 1400} .
解: 由 X 与 Y 相互独立知,
E ( X − Y ) = E(X ) − E(Y ) = 80 ,
ci2σ
2 i
i =1
i =1
i =1
i =1
若 X ∼ N (µi ,σ i2 ) , i = 1, 2,L, n ; c1, c2 ,L, cn 不全为 0, 则Y 仍为正态变量,
n
n
∑ ∑ 且 Y ∼ N ( ci µi , ci2σ i2 ) .
i =1
i =1
∑ 特别有：.
X
=
1 n
n i =1
由此可见, 泊松分布中的参数 λ , 既是服从泊松分布的随机变量的数学期望, 又是该随
机变量的方差.
例 3 设随机变量 X ∼ U (a, b) 分布, 求 D( X ) .
解: 因为 X ∼ U (a, b) ， 所以 E( X ) = a + b . 2
( ) ∫ 又 E X 2 = b x2 ⋅ 1 dx = a2 + ab + b2
k!
k=0 k !
∑ ∑ ( ) ( ) = ∞ k k −1 ⋅ λk e−λ + EX = λ 2 ∞ λ k−2 e−λ + λ = λ 2 + λ
k =0
k!
k=2 k − 2 !
( ) 故由（4.2.5）式有： D( X ) = E X 2 − ( E( X ))2 = λ2 + λ − λ2 = λ .
D( X1 + X2 +L+ Xn ) = D( X1) + D( X2 ) +L+ D( Xn ).
证明: 只证 n = 2 的情形（一般情形由数学归纳法推出）
{ } D ( X1 + X 2 ) = E ⎡⎣( X1 + X 2 ) − E ( X1 + X 2 )⎤⎦2 { } = E ⎡⎣( X1 − EX1 ) + ( X 2 − EX 2 )⎤⎦2
( ) 定义 2 设 X 为随机变量. 若 E X k 存在（ k 为正整数）, 则称它为随机变量 X 的 k 阶矩,
( ) 记为 µk . 即 µk = E X k
（4.2.2）
由定义知, D(X ) 描述了随机变量 X 与其期望 E(X ) 的偏离程度. D(X ) 越小, 说明
X 取值越集中; 反之, D( X ) 越大, X 取值越分散, 即 X 取值的波动性越大. D(X ) 同
= E ( X1X2 ) − E ( X1) E ( X2 ) = 0
所以证得： D ( X1 + X 2 ) = D ( X1 ) + D ( X 2 ) .
性质 4 D( X ) = 0 的充要条件是 P{X = E( X )} = 1.
证明: 略
例 6 设随机变量 X ∼ B(n, p) , 求 D( X ) .
=
E
⎛ ⎜⎝
X
− σ
µ
⎞2 ⎟⎠
=
1 σ2
E(X
−
µ )2
=
1 σ2
⋅σ
2
=1.
例 8 设 X1, X 2 ,L, X n 为相互独立的随机变量, E( X i ) = µ, D( X i ) = σ 2 , i = 1, 2,L, n .
∑ 令
X
=
1 n
n i =1
Xi
,
求 E( X ), D( X ) .
（4.2.4） （4.2.5）
可见, 随机变量的二阶矩减去其一阶矩（数学期望）的平方, 就是该随机变量的方差. 利用 数学期望的性质可给出（4.2.5）式的证明. 即：
D( X
)
=
E
(
X
−
E(X
))2
=
E
⎡ ⎣
X
2
−
2XE( X
)
+
(E(X
))2
⎤ ⎦
( ) ( ) = E X 2 − 2E(X ) ⋅ E(X ) + ( E(X ))2 = E X 2 − ( E(X ))2 .
解: 由上节例 10 知, X = X1 + X 2 +L + X n . X1, X 2 ,L, X n 为相互独立的随机变量, 且
X k (k = 1, 2,L, n) 服从（0-1）分布. 又 D ( Xk ) = p (1− p) , 故由性质 3 有：
D ( X ) = D ( X1 ) + D ( X2 ) +L+ D ( Xn ) = np (1− p) .
例 2 设随机变量 X ∼ P(λ ) 分布, 求 D( X ) .
解: 因为 X ∼ P(λ ) ， 所以 E( X ) = λ .
又
( ) ∑ ∑ ∑( ) ∑ E
X2
∞
= k 2 ⋅ pk
k =0
=
∞ k2 ⋅ λk e−λ
k =0
k!
∞
=
k =0
k2 −k
⋅ λk e−λ + ∞ k ⋅ λk e−λ
差异性. 为此, 需引入随机变量的另一重要的数字特征, 即方差的概念.
一. 随机变量的方差与矩的定义
定义 1 设 X 为随机变量. 若 E ( X − E(X ))2 存在, 则称它为随机变量 X 的方差, 记为
D(X ) . 即 D(X ) = E ( X − E(X ))2
（4.2.1）
称 D( X ) 为随机变量 X 的标准差, 或均方差.
( ) 证明: D (c) = E c2 − ( E(c))2 = c2 − c2 = 0 .
性质 2 设 X 为随机变量, c 是常数, 则 D (cX ) = c2D ( X ) .
( ) 证明:
D (cX
)
=
E
(cX
)2
−(E
(cX
))2
=
c2
⎡ ⎣
E
X2
−
(
E(
X
))2
⎤ ⎦
=
c2
D(
X
)
性质 3 设 X1, X 2,L, X n (n ≥ 2) 为相互独立的随机变量, 则
解: 由期望与方差的性质有：
∑ ∑ E(X )
=
E
⎛ ⎜⎝
1 n
n i =1
Xi
⎞ ⎟⎠
=
1 n
n i =1
E( Xi )
=
1 n
nµ
=
µ
∑ ∑ D(X ) =
D
⎛ ⎜⎝
1 n
n i =1
X
i
⎞ ⎟⎠
=
1 n2
n i =1
D(Xi ) =
1 n2
nσ 2
=σ2 n
.
可以将本例的结果推广到更一般的情形：若 X1, X 2,L, X n 为相互独立的随机变量,
例 7 设有随机变量 X , E( X ) = µ, D( X ) = σ 2 , 称Y = X − µ 为 X 的标准化变量. σ
证明: E(Y ) = 0, D(Y ) = 1.
证明::
E(Y
)
=
E
⎛ ⎜⎝
X− σ
µ
⎞ ⎟⎠
=
1 σ
E(
X
−
µ)
=
0;
( ) ( ) D(Y ) = E Y 2
− ( E(Y ))2 = E Y 2
n
∑ E( X i ) = µi , D( X i ) = σ i2 , i = 1, 2,L, n ; 令 Y = ci X i , c1, c2 ,L, cn 均为常Hale Waihona Puke Baidu, i =1
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ 则 E(Y ) =
ci E( X i ) =
ci µi
,
D(Y ) =
ci2D( X i ) =
P{X
+
Y
> 1400}
=
1−
Φ
⎛ ⎜⎝
1400 −1360 1525
⎞ ⎟⎠
=
1−
Φ (1.02)
=
1− 0.8461 =
0.1539
下面介绍著名的切比雪夫不等式.
定理 设随机变量 X 的期望与方差均存在, 则对任意 ε > 0 有下式成立：
P{
X
−
E(X
)
≥
ε}
≤
D( X ε2
)
.
其等价形式为：
( ) 望. 本例告诉我们, 正态分布 N µ,σ 2 中的另一个参数σ 2 , 就是服从正态分布的随机变量
( ) 的方差. 至此, 正态分布 N µ,σ 2 中的两个参数都有了明确的含义.
二. 随机变量的方差的性质 方差还具有下述性质（假设所遇到的随机变量的方差都是存在的）:
性质 1 设 c 是常数, 则 D (c) = 0 .
D ( X −Y ) = D(X ) + D(Y ) = 1525
且 X − Y ∼ N (80,1525) , 所以得：
P{X
> Y}
=
P{X
−Y
>
0}
=
1−
Φ
⎛ ⎜⎝
0 − 80 1525
⎞ ⎟⎠
=
Φ (2.0486)
=
0.9798
同理知 X + Y ∼ N (1360,1525) , 所以得：
解: 因为 X 服从指数分布，所以 E( X ) = θ .
( ) ∫ ∫ 又 E X 2 = ∞ x2 f ( x) dx = ∞ x2 ⋅ 1e−x θ dx
−∞
0θ
∫ = −x2 e−x θ ∞ + ∞ 2xe−x θ dx = 2θ 2 ,
o
0
( ) 故由（4.2.5）式有： D( X ) = E X 2 − ( E( X ))2 = 2θ 2 −θ 2 = θ 2
第二节 随机变量的方差与矩
数学期望反映了随机变量取值的平均水平, 是一个很重要的数字特征. 但在某些场合,
只知道数学期望还是不够的. 如设随机变量 X U (−1,1) , Y U (−1000,1000) . 易知
EX = EY , 但随机变量 Y 取值的波动性明显大于 X , 而数学期望无法描述 X 与 Y 的这种
P{
X
−
E(X )
<
ε} ≥ 1−
D(X ) ε2
.
证明: 我们仅就连续型随机变量的情形给出证明.
设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) , 则对任意 ε > 0 , 有：
{ } ∫ ∫ ( ) ( ) P X − E(X ) ≥ ε =
式（4.2.5）不但给出了随机变量 X 的方差的公式，同时也给出了方差与数学期望，方差与 与矩之间的关系。
例 1 设随机变量 X ∼ (0, 1) 分布, 求 D( X ) .
解: 因为 X ∼ (0, 1) ， 所以 E( X ) = p .
( ) 又 E X 2 = 02 ⋅ (1− p) +12 ⋅ p = p , 由（4.2.5）式有 ( ) D(X ) = E X 2 − ( E(X ))2 = p − p2 = p (1− p) .
= E ⎡⎣( X1 − EX1 )2 + ( X2 − EX 2 )2 + 2( X1 − EX1 )( X2 − EX 2 )⎤⎦ = DX1 + DX 2 + 2E ⎡⎣( X1 − EX1 ) ( X 2 − EX 2 )⎤⎦
因为 X1 与 X 2 相互独立, 故由数学期望的性质得
E ⎡⎣( X1 − EX1 )( X 2 − EX 2 )⎤⎦ = E ⎡⎣ X1X 2 − X1E ( X 2 ) − X 2E ( X1 ) + E ( X1 ) E ( X 2 )⎤⎦ = E ( X1X2 ) − E ( X1) E ( X2 ) − E ( X2 ) E ( X1) + E ( X1) E ( X2 )
−∞
−∞
2π σ
令
x−µ σ
=
t
,
得：
∫ ∫ D(X ) = σ 2
2π
∞ t 2e−t2 2dt =
−∞
σ2 2π
⎛⎜⎝ −t e−t2
2
∞ −∞
+
∞ −∞
e−t2
2dt
⎞⎟⎠
∫ = σ 2 ∞ e−t2 2dt = σ 2 .
2π −∞
( ) 由上节讨论知, 正态分布 N µ,σ 2 中的参数 µ , 是服从正态分布的随机变量的数学期
a b−a
3
( ) 故由（4.2.5）式有： D( X ) = E X 2 − ( E( X ))2 = (b − a)2 . 12
例 4 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
f ( x) = ⎧⎪⎨θ1 e−x θ , x > 0,
⎪⎩ 0,
x ≤ 0.
其中θ > 0, 求 D( X ) .
样也描述了随机变量 X 取值的偏离程度, 但值得注意的是, D( X ) 与 D( X ) 的量纲不同,
而与 X 有相同的量纲. 故在实际问题中多采用 D( X ) .
若 X 为离散型随机变量, 其分布律为: P{X = xk } = pk ,
则由（4.1.3）式有：
∞
∑ D( X ) = ( xk − E( X ))2 pk k =1
k = 1, 2,L ,
（4.2.3）
若 X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f ( x) , 则由（4.1.3）式有：
∫ D(X ) = ∞ ( x − E(X ))2 −∞
f
( x) dx
无论 X 为离散型还是连续型随机变量, 通常采用下式计算方差：
( ) D(X ) = E X 2 − ( E(X ))2 .
例 5 设随机变量 X ∼ N (µ,σ 2 ) , 求 D( X ) .
解: 因为 X ∼ N (µ,σ 2 ) ， 所以 E( X ) = µ . 直接由（4.2.4）式有：
∫ ∫ D( X ) = ∞ ( x − E( X ))2 f ( x) dx = ∞ ( x − µ )2 ⋅ 1 e−(x−µ)2 2σ 2 dx