整体分析及总体刚度矩阵的性质

F R
e i i e
i=1,...6
K R
整体刚度矩阵的形式
整体平衡方程：
K R
K K K K
1）其中[K]为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩 阵： (1) (2) (3) (4) (e)
a
a
整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 k (2) 子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为： K 局部码 j2 m2 i2 而相应的单元刚度 总码 1 2 3 4 5 6 方程
[K jj ]( 2 )
n d

d

矩阵[K] 对角线 r行
* 矩阵 [K]
第1 列 r行 45度斜线 r行s-r+1列元素
n
n
r列 r 行s 列 元素

(a)[K]
(b) [K]*
整体刚度矩阵的特点
同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带 宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节 点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。 因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带 宽，从而节省存贮容量。
[K jm ]( 2) [K ji ]( 2 )
m2 4
[K mj ]( 2)
[K ij ]( 2 )
[K mm ]( 2 )[K mi ]( 2 ) [K im ]( 2 ) [K ii ]( 2 )
5
i2
6
0 1 2 F2 2 3 (2) 0 K 2 F 4 4 2 5 F5 0 6
[K jm ]( 2 )
[K ji ]( 2 )
[K ij ]( 3)
[K mj ]( 3) [K jm ]( 4 )
i1 m3 j4
m2 4
3
[K mm ]( 3) [ K jj ]( 4 )
[K ji ]( 4 )
[K mm ]( 2 )
[K mi ]( 2 ) [K ii ]( 2 )
K K
集成包含搬家和迭加两个环节： e A、将单元刚度矩阵 K 中的子块搬家，得出单元的扩 e 大刚度矩阵 。 K e B、将各单元的扩大刚度矩阵 K 迭加，得出结构刚度 矩阵[K]。 T T n 2） R R1 Rn 为节点载荷向量， 1 为节点位移向量。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
一般，一个节点的相关结 点不会超过九个，如果网格中 有200个节点，则一行中非零 子块的个数与该行的子块总数 相比不大于9/200，即在5%以 下，如果网格的节点个数越多， 则刚度矩阵的稀疏性就越突出。 利用矩阵[K]的稀疏性， 可设法只存贮非零元素，从而 可大量地节省存贮容量。
利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的 元素，叫半带存贮。
整体刚度矩阵的特点
图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮 时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵 [K]* 的排列方 式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量 与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。
建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。
3、解方程组，求出节点位移。
通常采用消元法和迭代法两种方法。
4、根据节点位移求出应力。
整体刚度矩阵的形式 e 整体刚度矩阵 K 是单元刚度矩阵 k 的集成。
1、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。 e e k k 在单元刚阵 中， 表示 ij j节点单位位移，其他节点位移为 零时，单元e在i节点引起的节点力；类似，在整体刚阵中， kij 表示j i节点 节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在 引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i、 j节点相关的单元在i节点引起的节点力之和）。 如上图结构，计算 k 23 时，与节点2和3相关的单元有单元 ①和③，当节点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在节点 2引起节点力，将相关单元在节点2的节点力相加，就得出结构 1 3 k k k 在节点2的节点力 23 23 23 。由此看出，结构的刚度 系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是 相关单元的对应子块的集成。
整体分析 及总体刚度矩阵的性质
整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组 合成结构，进行整体分析。
1
Py1
a
Ù ¢
2
Py3
3
Px2
a
Px3
Û ¢ Ú ¢
4 5
Ü ¢
6
图示结构的网格共有四 个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 3、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。

局部码 总码
j1
1
[K jj ](1)
m1 , j 2 , i 3
2
[ K jm ](1)
i1 , m 3 , j 4
3
[ K ji ](1)
m2
4
i 2 , j3 , m 4
5
i4
6
j1
m1 j2 i3
1
[K mm ](1) 2
[K jj ]
[K ii ]
( 2)
( 3)
[K mi ](1) [K im ]( 3) [K ii ](1)

整体分析
2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有
考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。
在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四 个支杆处相应位移已知为零：
u1 0，u4 0，v4 0，v6 0
a
a
整体分析
1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量和12 个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时， 转换关系为： F K 分块形式为： F 1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 1 F K K K K K K 22 23 24 25 26 2 2 21 F 3 K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36 3 F K K K K K K 42 43 44 45 46 4 4 41 F5 K 51 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 5 K 61 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66 F 6 6 其中子向量 i 和 Fi 都是二阶向量，子矩阵 K ij 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。
整体刚度矩阵的特点
2、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 节点5只与周围的六个节点 (2、3、4、6、8、9)用三角形 单元相连，它们是5的相关节 点。只有当这七个相关节点产 生位移时，才使该节点产生节 点力，其余节点发生位移时并 不在该节点处引起节点力。因 此，在矩阵[K]中，第5行的非 零子块只有七个(即与相关节 点对应的七个子块)。
1 2 4 7 3 5 8 6 9 10 1 2 6 7 3 5 8 4 9 10 1 2 3 4 9 10 5 8 6 7
整体刚度矩阵的特点
3、带形分布规律。
上图中，矩阵[K]的非零元素分布在以对角线为中心 的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角 线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。 半带宽的一般计算公式是： 半带宽 d = ( 相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2 上图中相邻节点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10
1 ③ ④ 2 i ① ②
4 Ri
F R
e i i e
3
整体刚度矩阵的形式
• 2、整体刚度矩阵的集成方法 • 具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩 e 阵 k ，然后将其中的每个子块 kij 送到结构刚 度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构 刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵 [K]。 e • 关键是如何找出 k 中的子块在[K]中的对应位置。 这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之 间的对应关系。

整体刚度矩阵的形式
2、刚度矩阵的集成规则： 1）在整体离散结构变形后，应保 证各单元在节点处仍然协调地相互 连接，即在该节点处所有单元在该 节点上有相同位移，
1 ③ ④ 2 i ① ② 4

1 i 2 i n i i
3
2）整体离散结构各节点应满足平 衡条件。即环绕每个节点的所有单 元作用其上的节点力之和应等于作 用于该节点上的节点载荷Ri，



整体刚度矩阵的形式
1
j1
a
①
2
m1
i1
j2
a 4
i3
②
m3
3
③
j4
④
m2
i2
j3
5