证明切线的两种方法

证明切线的两种方法

朱元生

判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.

例1 如图1,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于E. 求证:DE 是⊙O 的切线.

分析:由题设可知,DE 与⊙O 有交点D,要证明DE 是⊙O 的切线,只要连接OD,证明OD ⊥DE 即可. 证明:连接OD.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ODB=∠ACB. ∴OD ∥AC.

∴∠ODE=∠DEC.

∵DE ⊥AC,

∴∠DEC=900.

∴∠ODE=900, 即OD ⊥DE .

∴DE 是⊙O 的切线.

二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.

例2 如图2,在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,以点O 为圆心,6为半径作⊙O.

求证:AB 是⊙O 的切线.

分析:由题设知,⊙O 与直线AB 是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB 是⊙O 的切线,只能证明圆心O 到直线AB 的距离等于圆的半径6即可.

证明:过点O 作OC ⊥AB 于点C.

在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,由勾股定理,得

AB=()()1556532222=+=+OB OA .

根据三角形面积公式,得OB OA OC AB ⋅=⋅2

121. ∴OC=615

5653=⨯=⋅AB OB OA . ∴点O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径.

∴AB 是⊙O 的切线.

[牛刀小试]

如图3,,点O 是等腰三角形ABC 底边BC 的中点,若AB 是⊙O 的切线,试证明AC 也是⊙O 的切线.

提示: 设点D 为AB 与⊙O 的切点,连接OD,过点O 作OE ⊥AC 于点E,证明OE=OD 即可.

图3