证明切线的两种方法
证明切线的定理
证明切线的定理
明确定义：1. 设曲线上的点P处的正切：曲线C的切线（Q）上的任一点M，使点P 与这个点M构成的直线成为曲线C的切线，这个直线的斜率就称为曲线C的正切；
2. 设交点为A，在A点上正切方程的表达式为：y-y1=k(x-x1)，其中，(x1,y1)代表圆的圆心坐标，k代表圆上任一点P处的正切。
定理1：圆上取任一点P，过P点做一条直线，这条直线与圆C相交于A点，A点到圆心距离为r，那么P点处圆C的正切k＝板根 r。
证明：设取Point P处，做一条直线PA，切点A(x1,y1)满足方程 y-y1=k(x-x1)，
因为A点到圆心R点距离为r，所以可得y1+r=y
代入切线方程，得y-y1=k(x-x1)
继续化简，得k=r/(x-x1)，即P点处圆C的正切k=r。
定理2：若圆C上取任意一点P，过点P作直线PA，PA与圆C相交于A点，此时正切方程为： y-y1=k(x-x1)，则P处y的值为：
把以上公式代入到切点A处求取值，即得y=y1+k（x1-x1）=y1。
由定理1中知道，当A点到圆心距离r时，交点处正切为k=r。
证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法一、通过圆的性质证明圆的切线圆的切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
我们可以通过圆的性质来证明圆的切线。
1. 方法一：利用圆的切线垂直于半径的性质证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到三角形OAP。
根据直角三角形的性质可知，线段OP与线段AP垂直。
因此，直线l与线段OA垂直。
我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l是直线OB的切线。
因此，线段OA与线段OB的长度相等，与直线l只与圆相交于点A的性质相矛盾。
所以，直线l只与圆相交于点A，即直线l是圆的切线。
因此，我们通过圆的切线垂直于半径的性质证明了直线l是圆的切线。
2. 方法二：利用圆的切线与半径的斜率关系证明对于任意一点P在圆上，连接圆心O与点P，并延长线段OP。
根据圆的性质可知，线段OP是圆的半径。
假设有一条直线l与圆相交于点A，且线段OA是圆的半径。
我们要证明直线l是圆的切线。
我们可以得到直线l的方程。
设直线l的斜率为k，直线l的方程为y = kx + b。
我们要证明直线l的斜率与线段OA的斜率相等。
由于线段OA是圆的半径，所以线段OA的斜率等于0。
根据直线的性质可知，直线l 与线段OA垂直，即直线l的斜率与线段OA的斜率的乘积为-1。
因此，直线l的斜率等于0的倒数，即k = 0。
因此，直线l的方程为y = b。
接下来，我们要证明直线l只与圆相交于点A。
假设直线l与圆相交于另一点B，连接线段OB。
根据圆的性质可知，线段OB是圆的半径。
由于线段OA与线段OB都是圆的半径，所以线段OA等于线段OB。
然而，根据直线的性质可知，直线l与线段OB平行，即线段OA与线段OB的长度相等。
切线的证明
中考切线分析证明切线的方法：1.（已知一条切线证明另一条也是切线）通用的方法是三角形全等如果这两条切线相等可以运用两个等腰三角形进行证明，此种方法为等量代换法。
2.（已知中弦长和半径相等或者根据条件可以找到特殊角）通用的方法就是将要证明的角分为两部分去寻找特殊角的度数，然后证明相加为90°3.（已知角之间的相等关系）通用的方法就是在已知条件中寻找直角三角形，将角之间的相等关系转移到要证明的位置，进而得出90°这是切线证明中的三种类型，具体哪种要根据已知条件具体分析。
学会运用上面几种方法，切忌随便乱找关系导致题的分析思路不到位。
步骤方面需注意：经过半径的外端并且垂直与半径的直线是圆的切线。
因此写过程的时候最终要说明谁是半径，要证明的线与半径垂直。
切线中求长度的方法：（1）勾股定理。
直接由线段长度运用勾股定理和间接设未知数的方式运用勾股定理。
在圆中经常体现在垂径定理的运用中。
（2）相似三角形。
可以已知两条线段或三条线段就能求长度。
已知两条线段是在两个三角形有公共的一条边（不是对应边）的情况下，或者类似摄影定理的模型下就用到相似三角形。
（3）锐角三角函数。
已知中有角之间的相等关系，并且此角能够转移到直角三角形中才能运用。
备注：锐角三角函数和相似可以通用的情况是在直角三角形中，锐角三角函数更不容易出错，建议用三角函数去解决问题。
有时候在解决切线的题时，以上方法综合运用才能将问题解决。
切线的证明(09石景山一模)1．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．(09西城一摸)2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O 的半径等于4，4tan 3ACB ∠=，求CD 的长.（09昌平一摸） 3．如图，点A B F 、、在O 上，30AFB ∠=︒，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC AD ⊥于C ，60CBD ∠=︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AB =，求阴影部分的面积.A第19题AA4．（本小题满分5分）如图，以等腰ABC∆中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60BAC∠=，求DE的长．（09房山一摸）5、（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，90ACB∠=，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．（1）求证:AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.求EFAC的值.（09门头沟一摸）6．（本小题满分5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD 平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径ABO·ADC B7．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．（09顺义一摸）8、 已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．（09东城一摸）9．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．（09怀柔一摸） 10．（本小题满分5分）如图，ΔABC 中，AC=BC ，以BC 上一点O 为圆心、OB 为半径作⊙O 交AB 于点D ，已知经过点D 的⊙O 切线恰好经过点C ．（1）试判断CD 与AC 的位置关系，并证明；（2）若ΔACB ∽ΔCDB ，且AC=3，求圆心O 到直线AB 的距离．AAB CD PE ．O （第21题）DCE CB11．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是AB 边的中点，且∠BAC +∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明.（09延庆一摸）12.（本题满分5分）在Rt △ABC 中，∠C=90， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;（2）联结EF ，求EFAC的值.（09密云一摸）13．（本小题满分5分）如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于E ，DA 平分∠BDE .（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若30,1,DBC DE cm ∠=︒=求BD 的长.（09平谷一摸）14. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点 于D ，DE AC ⊥，E 是垂足. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果AB=5,tan ∠B=21,求CE 的长.A （第19题）A15．如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长.（09通州二模）16. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O的切线； (2)若AB =，求BC 的长．（09房山二模）17．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.（09大兴二模）18．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于P ，设AP a PB b ==，．（1）求弦CD 的长；（2）如果10a b +=，求ab 的最大值，并求出此时a b ，的值．（09东城二模）19. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．A BADA20．如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．（09昌平二模） 21．如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.（09门头沟二模）22. （本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．（09延庆二模）23. 点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． ⑴求证：BD 是⊙O 的切线．⑵若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．第19题（第19题）24. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.（09崇文二模）25．如图， AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE AM 的长．（09西城二模）26．如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．A27．如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径．(08丰台一摸)28．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE平分边BC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）当ABC △满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．（08大兴二模） 29．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.（08朝阳一摸）30．（本小题满分5分）已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=E 在AB 的延长线上，且tan 3E =. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O D E '''．求当点E '与点C 重合时，△O D E '''与⊙O 重合部分的面积．30．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为 上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4． （1）当点P 与点C 关于直线AB 对称时（如图①），求PC 的长； （2）当点P 为 的中点时（如图②），求PC 的长． 解：（1） （2）（08石景山一摸） 31．（本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ， （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAE =60°,⊙O 的半径为5，求DE 的长．（08顺义一摸）32．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE =3,⊙O 的半径为5，求BF 的长.（第19题）ACBACA（08延庆二模）33. （本题满分6分）已知:如图6，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD 的一腰BC 为直径做⊙O ，交底AB 于E ，且恰与另一腰AD 相切于Ｍ； （1）求证：△EOM 为等腰直角三角形；（2）求AEBE 的值.（08昌平二模） 34. 如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．（08崇文一摸）35．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ．（1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.BA(08大兴一摸)36．（本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BECE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由.第18题图 （08东城二模）37. 如图，已知等边△ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E 。
切线证明(共5篇)
切线证明〔共5篇〕第1篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进展分析^p 。
〔1〕圆和直线的唯一公共点，方法是：连半径，证垂直〔比拟常用〕。
〔2〕圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析^p ：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、假设直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒ ⌒∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF〔SAS〕. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒ ⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE，∴∠E=∠1. ∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD，∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C.∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切D 证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,C ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用及图上.例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD，∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC是⊙O的切线.D 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP， OCOP.ODOC 又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB，∴∠OCP=900. ∴PC是⊙O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析^p ：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC. ∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4. ∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE〔SAS〕∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC. ∴CE与△CFG的外接圆相切二、假设直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF〔AAS〕∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC 与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 ：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，假设∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5. ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAODO ∵OA=OB，∴ 又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD 于E，延长DO交CA延长线于F. ∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD〔AAS〕∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF，∴OF1CD CF.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.第3篇：圆的切线方程公式证明:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b)直线CP的斜率:k1 = (y0a)因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 =a) / (y0y0 = k2 (xy0 = [- (x0b)] (xx0)(x0y0)(y0ax +ax0 + y0yx0²a)² + (y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a²+ b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2) / (y0 + E/2)根据点斜式, 求得切线方程：yx0)yx0)整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2 -x0²x0²Dx0/2a)² + (yMC²)(根据勾股定理)= √ [(x0b)²MC²)(根据勾股定理)= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ](半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)第4篇：切线的两种证明方法浅谈切线的两种证明方法在中学学习圆的时候，我们学过切线的断定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
切线长定理(用)
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
解得
r＝
a＋b－c
2
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 内切圆的半径 r＝ 或r＝
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
拓展应用
练习5.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
。
2
A
3
B
C
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
M
试一试
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
证切线记住口诀
记住口诀证切线学习了直线与圆的位置关系，经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是圆的切线呢？记住下列口诀，问题便迎刃而解了。
口诀一、见半径，证垂直已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明.例1、如图1，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ，且BAC D ∠=∠.求证：AD 是半圆O 的切线.分析：要证明AD 是⊙O 的切线，因为AB 是⊙O 的直径，所以只要证明AB ⊥AD 即可.证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵OD ∥BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒,∴90DOA BAC ∠+∠=︒，∵BAC D ∠=∠,∴90DOA D ∠+∠=︒，∴AD OA ⊥，∴AD 是半圆O 的切线.口诀二、连半径，证垂直条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，例2、如图2，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过D 作DF ⊥BC ，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．求证：直线DE 是⊙O 的切线．分析：由已知条件可知点D 在⊙O 上，因此要证DE 是⊙O 的切线，只需连结OD ，看OD 与DE 是否垂直即可.证明：如图，连结OD 、BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°, ∴BD ⊥AC,∵AB=BC ，∴AD=DC ，∵OA=OB ，∴OD ∥BC,∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∴直线DE 是⊙O 的切线.口诀三、作垂直，证半径 已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明， 例3、如图3，两个同心圆，弦AB 、CD 相等，AB 切小圆于点E ，那么CD 是小圆的切线图1 E D A O C F D C B A O 图2吗？为什么？分析：已知条件中没有告诉直线CD与小圆O有公共点，由圆心O 向直线CD作垂直OF，若能证明OF与半径OE相等，则可说明CD是小圆的切线.解：CD是小圆的切线.理由如下：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为点F，因为AB切小圆于点E，所以OE⊥AB，在大圆中，因为AB=CD，所以OF=OE，所以CD是小圆的切线.FEDCBAO图3。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA⊥AB。
由于AB是切线，所以AB⊥OB。
综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。
由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。
所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。
方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA=OB=r。
根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。
因为AB是切线，所以∠OAB=90°。
又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。
所以，三角形OAB是直角三角形。
由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。
代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。
化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。
所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。
综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。
如何证明圆的切线
如何证明圆的切线圆的切线的判定条件：①过半径外端，②垂直于这条半径。
证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明:二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接 ．【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O的切线，只图1A图2要证明∠ODC ＝90º即可．证明：连接 ．三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．证明： 四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】 如图3，AO 是△ABC 的中线，⊙O 与AB 边相切于点D ． （1）要使⊙O 与AC 边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个） （2）增加条件后，请你证明⊙O 与AC 边相切． 解:OABD图3。
最新小专题(十) 证明切线的两种常用方法
1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB， OD交于点C，且CD＝BD. (1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
(1)连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBC. ∵OA⊥OD， ∴∠AOC＝90°. ∴∠OAC＋∠OCA＝90°. ∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC. ∵∠DCB＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠DBC. ∴∠DBC＋∠OBC＝90°. ∴∠OBD＝90°. ∵点B是半径OB的外端， ∴BD与⊙O相切．
∵∠ABC＝90°，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，
∴AB⊥BC.
∴EB＝FC.
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∵AB＝AF，
∴BD＝DF.
∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB
∴点F在⊙D上．
＋EB＝AC，
∴AC是⊙D的切线．
∴AC＝5＋3＝8.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
法二：连接DE，AD，作DF⊥AC
∵DF⊥AC，
，F是垂足．
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵AB与⊙D相切，
∵AB＝AC，
∴DE⊥AB.
∴∠B＝∠C.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴∠DAB＝∠DAC.
∴△BDE≌△CDF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE.
小专题(十) 证明切线的两种常用方法
类型1 直线与圆有交点 方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需 “连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的 关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等． 【例1】 如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D ，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．
切线的证明方法和技巧
切线的证明方法和技巧切线的证明方法和技巧主要有以下几种:1. 基本几何证明方法:利用平行、同位角、内外角、角度相等、线段长度相等等基本几何定理,证明切线与被切圆弧的公共角为60度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
2. 利用余弦定理证明切线:利用余弦定理,将圆周角转化为角度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
具体步骤为:设切点为A,被切圆弧为AB,切线为CD,则有:CD · AB = CA · AB + CS · CA,其中 CS 为切点到圆弧中心的连线与圆弧的夹角。
将圆周角转化为角度,则有:CD · AB = |CA| · (180° / 2) - CS · CA = 180° / 2 - CS · (CA / |CA|)化简得:CD · AB = CS |AB| - CS · AB = CS (AB / |AB|) - CS = CS / |AB| = (CD / |CD|) · AB因此,CD · AB · ||CD| = CS · ||CD| · AB = CS · AB = (CD / |CD|) · AB,即切线与被切圆弧切于点。
3. 利用相似三角形证明切线:利用相似三角形的性质,证明切线与被切圆弧的公共弦长为半径,进而证明切线与被切圆弧切于点。
4. 利用圆的性质证明切线:利用圆的性质,证明切线与被切圆弧切于点的方法主要依赖于圆的性质,如半径、直径、对称性、同位角、内角和等。
具体步骤为:(1)设切点为O,被切圆弧为AB,已知弦CO与圆弧AB的公共弦心角为θ。
(2)根据圆的性质,可得弦CO与圆弧AB同弧,即CO = AB / 2,进而可得半径CO = (AB / 2)。
(3)根据圆周角定理,可得角度θ = 60°。
切线长定理的证明及其运用
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
A
E
O
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
A C
O·
P
D B
结论拓展2、
P· ·O
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的 切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
O
M2
⌒
P
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
（3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直”
2、“无交点、作垂直，证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
P ·O
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB △ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
小专题(十三) 证明切线的两种常用方法
小专题(十三)证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.求证：PB是⊙O的切线．证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线1．(常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD ＝∠CAB.求证：BE是⊙O的切线．证明：连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD.∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.∵OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO.∴∠EBD＝∠ABO.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°.∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线．2．(永州中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线．证明：连接CO ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BCD ＝90°.∵E 是BD 中点，∴CE ＝BE ＝12BD. 又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△BOE.∴∠OCE ＝∠OBE.∵BD 为⊙O 的切线，∴∠OBE ＝90°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．3．(丽水中考)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线；(2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE.证明：(1)连接OD ，BD ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB.∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO.∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO.∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°.∴AD 是半圆O 的切线．(2)由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC.∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°.∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°.∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO.∴∠DOC ＝2∠CDE.∴∠A ＝2∠CDE.类型2 不确定直线与圆是否有交点。
证明切线的两种常用方法
(三)利用全等证垂直 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC 交⊙O 于 点 E，弦 AD∥OC.求证：
︵︵ (1)DE＝BE； (2)CD 是⊙O 的切线．
证明：(1)连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠DOC. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
(二)利用平行证垂直 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点 F，C 是⊙O 上两点，且点 C 为B︵F 的中点，连接 AC，AF，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 延长线于点 D. 求证：CD 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC， ∵C︵F＝C︵B，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACO. ∴AD∥OC. ∵CD⊥AF 于点 D， ∴∠DCO＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线．
证明切线的两种常用方法
直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直， 得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所 对的圆周角等于 90°等．
(一)借助角度转换证垂直 1．如图，△ ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，AB 与 CD 交于 点 E，点 P 是 CD 延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P.求证： PA 是⊙O 的切线．
证明：连接 OA，AD. ∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC. ∴∠ADC＝2∠P. 又∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP. ∴∠ADC＝2∠ACP. ∵CD 为直径，∴∠DAC＝90°. ∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.
∴△ADO 为等边三角形．∴∠AOP＝60°. 而∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA. 又∵AO 为⊙O 的半径， ∴PA 是⊙O 的切线．
中考复习 证明圆的切线的两种方法
证明圆的切线的两种方法类型1 切点明确时，连半径，证垂直典例示范例1（2018•咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=2，BC=，求DE的长．【方法指导】连半径，证垂直的常用方法：等角代换，全等证明，平行转化，有时也可利用相似、勾股定理证垂直.针对训练1．（2018•青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．2．（2018•玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点E是AB上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B=，⊙O的半径是4，求EC的长．3．（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．4．（2018•宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．5．（2018•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）6．（2017•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC=90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF=2，DC=6，求BE的长．7．（2017•资阳）如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．（1）求证：直线DE与半圆相切；（2）若BE=3，求CE的长．类型2 切点不明确时，作垂直，证半径典例示范例2（2018•江西）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．【方法指导】作垂直，证半径的常用方法：角平分线定理，等腰三角形三线合一，隐藏角平分线.针对训练8．（2018•安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．9．（2017•西藏）如图，在△ABC中，AC=CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D（1）求证：CB是⊙O的切线；（2）若∠ACB=80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数．。
圆证明切线的方法
圆证明切线的方法
一、圆证明切线的方法
1、求圆上任意一点
任意给定圆心O和圆半径r，任取圆上任一点A，用其圆心到圆上点A的连线OA作为极轴，A点引切线的角度设为α，极角用θ表示，则A点的极坐标为（r，θ）。
2、解析方程求切点坐标
由于圆心到A点OA作为极轴，设A点引出切线切点为B点，则B点距圆心O距离为x，则有：
∵OB的极坐标为（x，θ+α）
∴有：x=rcos（θ+α）
3、用笛卡尔坐标求切线坐标
∴点B的直角坐标为：（rcos（θ+α），rsin（θ+α））
4、求切线方程
∵B点的坐标为（rcos（θ+α），rsin（θ+α））
∴切线方程为：
y-rsin（θ+α）=tanα（x-rcos（θ+α））
以上就是圆证明切线的解析求解方法，它可以帮助我们求解圆内任意一点与圆的切线方程。
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证明切线的两种方法
朱元生
判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.
例1 如图1,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于E. 求证:DE 是⊙O 的切线.
分析:由题设可知,DE 与⊙O 有交点D,要证明DE 是⊙O 的切线,只要连接OD,证明OD ⊥DE 即可. 证明:连接OD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB. ∴OD ∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.
∵DE ⊥AC,
∴∠DEC=900.
∴∠ODE=900, 即OD ⊥DE .
∴DE 是⊙O 的切线.
二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.
例2 如图2,在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,以点O 为圆心,6为半径作⊙O.
求证:AB 是⊙O 的切线.
分析:由题设知,⊙O 与直线AB 是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB 是⊙O 的切线,只能证明圆心O 到直线AB 的距离等于圆的半径6即可.
证明:过点O 作OC ⊥AB 于点C.
在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,由勾股定理,得
AB=()()1556532222=+=+OB OA .
根据三角形面积公式,得OB OA OC AB ⋅=⋅2
121. ∴OC=615
5653=⨯=⋅AB OB OA . ∴点O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径.
∴AB 是⊙O 的切线.
[牛刀小试]
如图3,,点O 是等腰三角形ABC 底边BC 的中点,若AB 是⊙O 的切线,试证明AC 也是⊙O 的切线.
提示: 设点D 为AB 与⊙O 的切点,连接OD,过点O 作OE ⊥AC 于点E,证明OE=OD 即可.
图3。