球的体积和表面积(附答案)
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案
第2课时 球的体积和表面积问题导学预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√半径为 3 的球的体积是( ) A ．9π B ．81π C ．27πD ．36π解析：选 D. V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C.2倍D.32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)B (2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3C.3π2 D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 【答案】932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________． 解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π.答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以 R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ， 则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32. 3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2B.r 2h 4C. 3r 2h 4D.r 2h 2解析：选C.设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5．已知A ，B 是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．当三棱锥O -ABC 的体积取得最大值时，则过A ，B ，C 三点的截面的面积为 ( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．36π解析：选A.因为O 为球心，∠AOB ＝90°，所以截面AOB 为球大圆，所以当动点C 满足OC ⊥平面OAB 时， 三棱锥O -ABC 的体积最大， 此时，OA ＝OB ＝OC ＝R ＝3， 则AB ＝AC ＝BC ＝32，所以截面ABC 的圆心O ′为△ABC 的中心，所以圆O ′的半径r ＝O ′C ＝32×33＝6， 所以截面ABC 的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以2R ＝23，则R ＝3，所以球的体积V 球＝43πR 3＝43π， 球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.[B 能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.13．如图，ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．设正方形的边长为 a ，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3. 所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.答案： 1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A ＝x ·4－x 2(0<x <2)．(2)V ＝1·x 4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由上述知0<x <2，所以当x ＝2时，V max ＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C 拓展探究] 15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32， 所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π. (2)设内切球的球心为O ，半径为r ，则V A BCD ＝V O ADB ＋V O ADC ＋V O DCB ＋V O ABC .即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ， 得r ＝24＋6＝4－65. 所以该几何体内切球的半径为4－65.。
高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝错误!πR3(R为球半径）球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为12π cm2,试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点,且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A。
错误!B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4，5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是()A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ）A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ）A ．πa 2 B.错误!πa 2C 。
根据球的体积公式和表面积公式基础拔高练习(含答案)
根据球的体积公式和表面积公式基础拔高
练习(含答案)
1. 问题描述
根据球的体积公式和表面积公式，完成以下问题。
1. 已知一个球的半径为$r$，求该球的体积。
2. 已知一个球的半径为$r$，求该球的表面积。
2. 解答
1. 球的体积公式为：
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
其中，$V$为球的体积，$\pi$为圆周率(取3.)。
2. 球的表面积公式为：
$A = 4 \pi r^2$
其中，$A$为球的表面积，$\pi$为圆周率(取3.)。
3. 示例
示例1
输入：
$r = 5$
输出：
球的体积 $V = \frac{4}{3} \pi \times 5^3$
球的表面积 $A = 4 \pi \times 5^2$
解释：
根据公式，代入半径$r=5$进行计算。
示例2
输入：
$r = 2$
输出：
球的体积 $V = \frac{4}{3} \pi \times 2^3$ 球的表面积 $A = 4 \pi \times 2^2$
解释：
根据公式，代入半径$r=2$进行计算。
4. 总结
本文档介绍了根据球的体积公式和表面积公式进行相关计算的方法。
通过使用给定的半径，可以计算出球的体积和表面积。
根据球体积的公式$V = \frac{4}{3} \pi r^3$，可以计算球的体积；根据球表面积的公式$A = 4 \pi r^2$，可以计算球的表面积。
希望本文档能帮助您理解和应用球的体积和表面积公式，在相关问题中提供指导。
球的体积和表面积 课件
【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
高考数学球的体积和表面积专题(附答案)
高考数学球的体积和表面积专题（附答案）一、单选题1.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为 6400km 的球，其上点A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S =2πr 2(1−cosα) （单位： km 2 ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%2.已知△ABC 是面积为 9√34 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A. √3B. 32C. 1D. √32 3.已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为 4π ， AB =BC =AC =OO 1 ，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π4.若棱长为 2√3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π5.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A. 81π4 B. 16π C. 9π D. 27π4二、填空题6.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 8.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1 ， 球O 的体积为V 2 ， 则 V 1V 2 的值是________．9.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________． 10.已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S ﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案一、单选题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. √23π7. 9π28. 329. 14 π10. 36π。
球的表面积与体积
1. 球的体积
4 3 定理：半径为R的球的体积是 V R 3
知识新授
例1.有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
答案：4.5
2. 球的表面积
o
定理：半径为ห้องสมุดไป่ตู้的球的表面积是
S 4 R
2
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
O (2)
例3.一个正方体的顶点在球面上，它的棱长 为4cm，求这个球的体积和表面积。
C′
o
A
课堂练习
P32 练习
1， 2 ， 3
课后作业
P33 习题1.3
B组
1
； /xs/0/738/ 女主播的修真高手
nrx05ksp
欢，蚰蜒蝎子赶上山！这句俗语寓意着，三月三是一个万象更新的好日子！这一日的到来，预示着整整一个严冬已经过 去，新的一年从此开始了！那一日，故乡的天空湛蓝湛蓝的，不时有成群的鸽子飞过。金色的阳光暖暖地普照着大地。 大路边上一排排的杨树和柳树，已经冒出了碧绿的新芽，漂亮的大喜鹊成双成对地雀跃在枝头上欢唱着。远处的几棵杏 子树，已经穿上了淡粉色的盛装；更远处的一大片桃树，似乎都在含苞待放了„„随着阵阵微风轻柔地拂面而来，让人 能够闻得到漫山遍野上飘逸着的那复苏泥土沁人心肺的清香。路旁田埂上齐刷刷新出土的小草在微风中轻轻地摆动着， 一丛丛一片片迎春的二月兰已经绽放开了她们那淡紫色的笑脸，黄澄澄的蒲公英花儿安逸地点缀在绿茸茸的草地间„„ 这一切，曾经是耿正兄妹三人最喜欢的乡野风景啊！但今天，他们却无心欣赏„„日头即将到半上午时，骡车终于慢慢 悠悠地走到了右转弯路口。只要转过这个路口，就走上五道庙前的那条西行大道了！“喔—”耿正轻抖缰绳吆喝一声， 大白骡驾着骡车转上宽阔的东西向大道，依然还是慢慢地向东走去„„骡车走得太慢了，徒步跟在车后的一高一中一矮 三个中年男人只能慢慢地走着才不至于超过去。事实上，今儿一早耿正兄妹三人乘坐大骡车离开客栈之后仅走了几十步 远时，这三个人就从后面左侧的岔道上追上来了。不过，要说“追”也并不恰当，只是他们三个人走路的速度比大白骡 还要快很多，所以，他们与骡车之间相隔的距离就越来越近了而已。到相隔仅有十多步远的时候，其中的那个矮个子说： “真晦气，怎么是挂送灵车。咱们快些走，超过去！”说着，就甩膀子迈大步要快走的样子。那个高个子赶快伸手拉住 他，并且低声说：“嘘，小声点儿说话！你们看，这挂车看上去不轻，后面还装了两袋草料，还有那把铁锹，看起来是 赶远路的呢！”矮个子也放低了声音说：“管他是赶近路的还是赶远路的，反正是一挂晦气的送灵车„„”不等他继续 说下去，高个子就皱起眉头有些不耐烦地瞪了他一眼，低声说：“你怎么就不用脑子想一想啊，这天气已经热起来了， 拉个死人，还不早臭了！”听他这么说，一直没有开口说话的那个中个子男人就伸长脖子张大鼻孔用劲吸了几下，然后 放低嗓音对高个子说：“是啊，大哥，怎么一点儿味儿也没有啊？”矮个子也赶快用劲吸几下，恍然大悟一般悄声说： “真是没有臭味儿，难道说他们拉的不是死人！”高个子摇摇手不让他们继续说下去，小声说：“咱们就跟在后面，看 他们去哪里。等晚上住进了客栈以后，咱再想办法看个究竟。依我看，说不准儿是一桩大买卖呢！”三个家伙会心地相 互眨眨眼轻轻地窃笑了一下，就放慢脚步跟在骡车的后面，看似很轻松地溜
1.3.2__球的体积和表面积 (1)
S =பைடு நூலகம்4R 2
不能忍受批评，就无法尝试新事物。
A.π a2 C. 11π a2
3
B. 7π a2
3
D.5π a2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
即可.
【解析】选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，
且侧棱与底面边长相等，均为a.
如图，设O,O1分别为下、上底面中心，且球心
O2为O1O的中点，
怎样求球的体积?
怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
小球的体积 等于它排开 液体的体积
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
A
球体的分割
O
球体由N个这样形状的几何体 组成
这样可以求出球体的体积为
V = 4 R3 3
球的表面积
O
球面被分割成n个网格，表面积分别为
S
，
1
S
，
2
S
3
,
,
S
n
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O
Vi
半径是R 的球的表面积：S = 4 R 2
课件3：1.3.2 球的体积和表面积
4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和 为6，求两球的体积之差．
解 设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的 表面积之比为________． 解析 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等 于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢 谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 水的体积恒定， 则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，
球的体积和表面积
解析：设截面圆半径为 r，球心与截面圆圆心的距离为 d， 球半径为 R，由已知，R＝10 cm，πr2＝36π cm2，∴r＝6 cm， ∴d＝ R2－r2＝ 100－36＝8 cm.
重点 球的表面积、体积公式及应用 1．球的结构特征：球可以看作是以半圆的直径所在直线为 旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球． 2．球半径为 R，则球的体积是43πR3，球的表面积是 4πR2.
∴R2＝2
3
32＋14R2，
∴R＝43.
图1
∴S＝4πR2＝694π.
变式练习：
2－1.(2010 年辽宁)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，
SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ 2，则球 O 的表
面积等于( A )
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
球与多面体及旋转体的组合体的计算问题
例 3：已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 3， 5， 15，则长方体的体积为____________；外接球的体积 为__________；对角线的长为____________．
思维突破：球是长方体的外接球，从而长方体的对角线是
外接球的直径．
可设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c，
又∵4πR2＝324π， ∴R＝9. ∴AC＝ AC′2－CC′2＝8 2， ∴a＝8，∴S 表＝64×2＋32×14＝576.
图 10
例 4：半径为 10 cm 的球被两个平行平面所截，两个截面圆 的面积分别是 36π cm2，64π cm2 ，则这两个平行平面的距离是 ________．
错因剖析：没有考虑两个截面圆在球心同侧和异侧两种情 形以致漏解．
球的表面积和体积高中数学北师大版2019必修第二册
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为Байду номын сангаас )
4π
2
A. 3
B. 3 π
C. 23π
π D.6
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
合作探究 提素养
类型一：球的体积与表面积
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
5 (1)B (2) 2 16π.
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
球的体积和表面积(附答案)
球得体积与表面积［学习目标］ 1、记准球得表面积与体积公式，会计算球得表面积与体积、2、能解决与球有关得组合体得计算问题、知识点一 球得体积公式与表面积公式1、球得体积公式V ＝４3πR ３(其中R 为球得半径）、 2、球得表面积公式S =４πＲ2、思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗?答 球没有底面，球得表面不能展开成平面、知识点二 球体得截面得特点１、球既就是中心对称得几何体,又就是轴对称得几何体，它得任何截面均为圆，它得三视图也都就是圆、2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面得距离构建直角三角形就是把空间问题转化为平面问题得主要途径、题型一 球得表面积与体积例１ （１)已知球得表面积为64π,求它得体积;（2)已知球得体积为错误!π,求它得表面积、解 (1)设球得半径为R ，则4πＲ2=64π,解得Ｒ=4，所以球得体积Ｖ＝错误!πR ３=错误!π·４3=错误!π、（２)设球得半径为R ,则错误!πR 3=错误!π,解得R ＝5,所以球得表面积Ｓ＝4πR ２＝4π×５2＝100π、跟踪训练1 一个球得表面积就是1６π,则它得体积就是（ )A、64π Ｂ、错误!C、32πD、错误!答案Ｄ解析设球得半径为R,则由题意可知4πR2=16π，故R=2、所以球得半径为2,体积V=错误!πR ３＝＼f(３2,3)π、题型二球得截面问题例２平面α截球O得球面所得圆得半径为1、球心Ｏ到平面α得距离为＼r(2)，则此球得体积为（）A、＼ｒ（6)π Ｂ、４错误!π C、4错误!π D、6错误!π答案 B解析如图，设截面圆得圆心为O′，M为截面圆上任一点,则OO′＝错误!,O′M=１、∴OM=错误!=错误!、即球得半径为３、∴Ｖ=错误!π(错误!)3＝4错误!π、跟踪训练2 已知长方体共顶点得三个侧面面积分别为3，错误!,错误!,则它得外接球表面积为__＿_＿_＿_、答案9π解析如图,就是过长方体得一条体对角线AB得截面，设长方体有公共顶点得三条棱得长分别为x,y,z,则由已知,得错误!解得错误!所以球得半径R＝错误!AB=错误!错误!=错误!,所以S球＝４πR2＝9π、题型三球得组合体与三视图例３ 某个几何体得三视图如图所示,求该几何体得表面积与体积、解 由三视图可知该几何体得下部就是棱长为2得正方体,上部就是半径为１得半球，该几何体得表面积为S =１2×4π×１2＋6×22－π×12=2４＋π、 该几何体得体积为V =2３+＼f （1,2)×43π×1３＝8＋＼f （2π,3)、 跟踪训练３ 有三个球，第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体得各个顶点，求这三个球得表面积之比、解 设正方体得棱长为a 、①正方体得内切球球心就是正方体得中心，切点就是正方体六个面得中心，经过四个切点及球心作截面,如图（1)所示,则有2r 1＝a ，即r 1=错误!,所以S 1=4πr 错误!=πａ2、②球与正方体得得各棱得切点在每条棱得中点，过球心作正方体得对角面得截面,如图（2)所示,则2r2=错误!ａ,即r2＝错误!a,所以Ｓ2=4πr错误!＝2πa2、③正方体得各个顶点在球面上，过球心作正方体得对角面得截面,如图(3)所示,则有2r3=＼r(3）a,即r3＝错误!a，所以S3＝4πr错误!=3πａ2、综上可得S1∶S2∶S3＝１∶２∶３、轴截面得应用例4有一个倒圆锥形容器,它得轴截面就是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r得铁球,并注入水,使水面没过铁球与球正好相切,然后将球取出，求这时容器中水得深度、分析分别表示出取出铁球前后水得体积→由水得体积不变建立等式→求出所求量、解如图，⊙O就是球得最大截面,它内切于△AＢC,球得半径为ｒ、设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E、则ＤO＝r,ＡＤ=错误!r,AB=AC=ＢC=2错误!r，∴CD＝3r、由图形知V圆锥CE∶Ｖ圆锥CD＝错误!∶错误!=CＥ3∶ＣD3、又∵V圆锥ＣD＝＼f(π,3)（３r)2·3r＝3πｒ３，V圆锥CE＝Ｖ圆锥ＣD-V球Ｏ＝３πr3-错误!πr3=错误!πr3,∴错误!∶3πr3=CE3∶（3ｒ）3,∴ＣE=错误!r、∴球从容器中取出后，水得深度为错误!r、１、直径为6得球得表面积与体积分别就是()A、３6π，144π ﻩＢ、36π，3６πC、144π,3６πD、1４４π,144π2、若球得体积与其表面积数值相等,则球得半径等于（)Ａ、错误!B、1 C、2Ｄ、33、两个半径为1得实心铁球，熔化成一个球,这个大球得半径就是＿＿_＿_＿__、4、若球得半径由R增加为2R,则这个球得体积变为原来得_＿__＿＿_＿倍，表面积变为原来得＿＿______倍、5、某几何体得三视图如图所示,则其表面积为_____＿__、一、选择题1、设正方体得表面积为24,那么其外接球得体积就是( )A、错误!π Ｂ、错误!C、4错误!π D、3２错误!π２、一个正方体得八个顶点都在半径为1得球面上，则正方体得表面积为()A、8B、82Ｃ、８错误!Ｄ、４错误!3、两个球得半径之比为1∶3,那么两个球得表面积之比为( )A、1∶9 Ｂ、1∶27 C、1∶３D、1∶14、设正方体得表面积为24cm２,一个球内切于该正方体，那么这个球得体积就是（)A、６π cm３B、＼f（3２,3）π ｃm３C、＼ｆ(8,3)πcm3D、错误!π cm35、若与球外切得圆台得上、下底面半径分别为r,R,则球得表面积为(）A、4π(ｒ＋R)2ﻩＢ、4πr2Ｒ２Ｃ、4πＲｒD、π（R+ｒ)26、已知底面边长为１，侧棱长为＼r(２)得正四棱柱得各顶点均在同一球面上,则该球得体积为()A、错误!B、4πC、2π Ｄ、错误!π７、如图,有一个水平放置得透明无盖得正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为６cｍ,如果不计容器厚度，则球得体积为（）A、错误!cm３B、错误!cm3Ｃ、错误!cm３ﻩD、错误!cm3二、填空题８、一个几何体得三视图(单位：ｍ)如图所示，则该几何体得体积为＿__＿____ m3、9、已知一个正方体得所有顶点在一个球面上、若球得体积为＼ｆ(９π,2),则正方体得棱长为＿＿___、10、正四棱锥得顶点都在同一球面上,若该棱锥得高为４,底面边长为２，则该球得表面积就是__＿_____、11、圆柱形容器内盛有高度为8 ｃｍ得水,若放入三个相同得球（球得半径与圆柱得底面半径相同)后,水恰好淹没最上面得球(如图所示),则球得半径就是＿_＿___ｃｍ、三、解答题12、如图所示，半径为Ｒ得半圆内得阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体得表面积、（其中∠BＡC＝３0°)13、一个高为16得圆锥内接于一个体积为972π得球,在圆锥内又有一个内切球，求：（１)圆锥得侧面积;(2)圆锥得内切球得体积、当堂检测答案1、答案 B解析 球得半径为3，表面积Ｓ＝４π·3２＝36π,体积Ｖ=＼ｆ(4,3)π·33=36π、2、答案 Ｄ解析 设球得半径为Ｒ,则4πR 2＝43πR 3，所以Ｒ＝3、 ３、答案 ＼r(3,2）解析 设大球得半径为R ，则有错误!πR 3=2×错误!π×１３,R ３＝２,∴R ＝３2、4、答案 8 4解析 球得半径为Ｒ时,球得体积为V 1＝错误!πR 3,表面积为Ｓ1＝4πR 2,半径增加为2R 后，球得体积为V ２=错误!π(2R ）３=错误!πR 3,表面积为Ｓ2=4π（2R )2＝1６πR 2、所以＼f(V 2,V 1)=错误!＝8,错误!=错误!＝4,即体积变为原来得8倍,表面积变为原来得４倍、5、答案 ３π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1得半球，其表面积为半个球面面积与截面面积得与,即＼f(1,2)×4π＋π＝3π、 课时精练一、选择题1、答案 Ｃ解析 由题意可知，6ａ２＝2４，∴ａ＝２、设正方体外接球得半径为Ｒ,则＼r(3)a＝2R,∴R＝错误!,∴V球＝错误!πＲ３=4错误!π、2、答案 A解析∵球得半径为1,且正方体内接于球,∴球得直径即为正方体得对角线，即正方体得对角线长为２、不妨设正方体得棱长为a,则有3ａ2=4,即ａ2＝错误!、∴正方体得表面积为6ａ2=6×错误!＝8、3、答案A解析由表面积公式知,两球得表面积之比为R错误!∶Ｒ错误!=１∶9、4、答案 D解析由正方体得表面积为24 cm2，得正方体得棱长为2 ｃm,故这个球得直径为2cm,故这个球得体积为＼f(４,3）π cm3、5、答案C解析方法一如图，设球得半径为r1，则在Ｒｔ△ＣDＥ中,DE＝２r1,CE=R－ｒ,DＣ=R＋r、由勾股定理得4r错误!=(Ｒ＋ｒ)2-（R－ｒ)2,解得r1＝错误!、故球得表面积为S球＝４πr 错误!＝4πＲr、方法二如图,设球心为O,球得半径为r1,连接ＯA，OB,则在Ｒt△AOB中,OＦ就是斜边ＡB 上得高、由相似三角形得性质得ＯF2＝ＢF·ＡF＝Rｒ,即ｒ错误!＝Rr，故r1＝错误!,故球得表面积为S球＝4πRr、6、答案Ｄ解析∵正四棱柱得底面边长为1，侧棱长为错误!,∴正四棱柱得体对角线得长为错误!＝2、又∵正四棱柱得顶点在同一球面上,∴正四棱柱体对角线恰好就是球得一条直径，∴球得半径Ｒ＝１、故球得体积为V＝错误!πR3=错误!π、7、答案 A解析利用球得截面性质结合直角三角形求解、如图，作出球得一个截面,则MＣ＝8－6=2(cm),BM＝＼f（１,2）AB＝错误!×8＝4(cｍ)、设球得半径为R cｍ,则R2=OM2+MB2＝（R-2)２＋42,∴Ｒ＝５,∴V球＝错误!π×5３=错误!(ｃm3）、二、填空题8、答案9π+18解析将三视图还原为实物图后求解、由三视图知,几何体下面就是两个球，球半径为错误!；上面就是长方体,其长、宽、高分别为6、3、１,所以V=错误!π×错误!×2＋１×3×6＝9π＋18、9、答案错误!解析先求出球得半径，再根据正方体得体对角线等于球得直径求棱长、设正方体棱长为ａ，球半径为R，则错误!πR3=错误!π，∴Ｒ＝错误!,∴错误!a＝3,∴a=错误!、10、答案错误!π解析由已知条件可知,球心在正四棱锥得高所在得直线上、设球得半径为Ｒ,球心为O,正四棱锥底面中心为E,则OE=|4-R｜，所以(４-R）2＋（错误!）2＝R２,解得Ｒ＝错误!、所以球得表面积S＝4πＲ2=＼ｆ（８1π,4）、１１、答案4解析设球得半径为ｒ，则圆柱形容器得高为６r,容积为πr２×６r＝６πr3,高度为8 cｍ得水得体积为8πｒ2，3个球得体积与为3×错误!πr３=4πr３，由题意得６πr3-8πr２＝４πr３,解得r ＝４(cｍ)、三、解答题12、解如图所示,过Ｃ作CO1⊥AB于O１、在半圆中可得∠BCＡ=90°,∠BＡC＝30°，ＡB=２Ｒ,∴AC=错误!Ｒ,BC＝Ｒ,CO１＝错误!Ｒ，∴S球＝4πR2，=π×错误!R×错误!R＝错误!πR2,=π×错误!Ｒ×R＝错误!πR２,∴S几何体表=S球+＋＝错误!πＲ2＋错误!πＲ2＝错误!πR2、故旋转所得几何体得表面积为错误!πR2、１3、解（1）如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O,⊙Ｏ1内切于△ABC、设⊙O得半径为Ｒ，由题意,得错误!πR3=972π，所以R3＝72９，Ｒ=9,所以CE＝１8、已知ＣD=16,所以ED＝2、连接AＥ,因为ＣＥ就是直径，所以ＣＡ⊥AE,所以CA2＝CＥ·CD＝１８×1６＝288，所以CA＝12错误!,因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE＝16×２＝32，所以AD=4错误!,Ｓ圆锥侧＝π×4＼r（2）×１２＼r(2）＝9６π、(2）设内切球O1得半径为r，因为△AＢC得周长为2×(12错误!+４错误!)＝3２错误!，所以S△ABC=错误!ｒ·3２错误!＝错误!×8错误!×１6,解得r＝4,所以内切球O1得体积Ｖ球＝错误!πr3＝错误!π、。
人教A版必修第一章1.3.2《球的体积和表面积》精选题高频考点(含答案)-2
人教A版必修第一章1.3.2《球的体积和表面积》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D【答案】D2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A．12πB．323πC．8πD．4π【答案】A3．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD-的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC CD⊥，且AB CD==2BC=，利用张衡的结论可得球O的表面积为（）A．30 B．C．33 D．【答案】B4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一球面上，平面PAB⊥平面ABCD，PA PB⊥，PA PB==ABCD为正方形，则该球的表面积为（）A．32πB．16πC．8πD．64π【答案】A5．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A．1:3B．1:C．1:9D．1:27【答案】A6．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C7． 如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( ) A ．59倍 B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍【答案】B8．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在以AB 为直径的球面上，,?BC CD CE BD ⊥⊥于E ，1CE =，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为43，则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π【答案】C9．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A ．12V V =B ．22V V =C ．12V V >D ．12V V <【答案】D10．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体，则球O 的体积为A ．323πB ．16πC ．32πD ．163π【答案】A11．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则h R=( ) A ．32B ．43C ．54D ．2【答案】B12．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）A ．:6B :2C ．:2πD ．5:12π【答案】B13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，若二面角11B BC E --为45︒，则四面体11BB C E 的外接球的表面积为（ ）A ．172π B ．12π C ．9πD ．10π【答案】D14．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C15．已知正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的球面上，2AB =，14AA =，则球O 的表面积为（ ） A ．323πB ．32πC ．64πD ．643π【答案】D16．四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为积为( )A．9πB．3πC．D．12π【答案】D17．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π【答案】C18．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则: =（）.A．1:1 B．2:1 C．3:2 D．4:1【答案】C19．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．323πB．4πC．2πD．43π【答案】D20．已知三棱锥P ABC-的侧棱长相等，底面正三角形ABC，PA⊥平面PBC时，三棱锥P ABC-外接球的表面积为（）A．B．2C．πD．3π【答案】D二、填空题21．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________. 【答案】5008122．在三棱锥PABC 中，4PA BC ==，5PB AC ==，PC AB ==锥PABC 的外接球的表面积为________. 【答案】26π23．已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且AB BC ，AC =2，则此三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】8π24．四面体ABCD 中， 2,BC CD BD AB AD AC ======体ABCD 外接球的表面积为__________. 【答案】12π25．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．【答案】26．若三棱锥S ABC -的所有的顶点都在球O 的球面上，且SA ⊥平面ABC ，2SA AB ==，4AC =，3BAC π∠=，则球O 的表面积为__________．【答案】20π27．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且4PA PB ==，则该四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为______.【答案】31615π28．正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，动点P 在对角线BD '上，过点P 作垂直于BD '的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设(0BP x x =∈，. （1）下列说法中，正确的编号为__________.①截面多边形可能为四边形；②3f ⎛= ⎝⎭③函数()f x 的图象关于x .（2）当x =P ABC -的外接球的表面积为__________. 【答案】②③ 9π29．在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________.30．侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____． 【答案】163π. 31．如图所示，六氟化硫()6SF 的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子()F 恰好在正八面体的顶点上，而硫原子()S 恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.【答案】π.32．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比: V V =圆柱球 ．（用数值作答）【答案】3433．设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45o 角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 . 【答案】8π34．在三棱锥A BCD -中，2BC CD ==，BC CD ⊥，AB AD AC ===三棱锥A BCD -的外接球的体积为______. 【答案】92π 35．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】8π.36．若正四棱锥P ABCD -的底面边长及高均为a ，则此四棱锥内切球的表面积为______．2a 37．四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，PA 与矩形ABCD 所在平面垂直，3,AB AD ==，球O 的表面积为13π，则线段PA 的长为_____________. 【答案】138．已知边长为3的正△ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30°，则球O 的表面积为________． 【答案】16π39．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______．【答案】12π40．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，60ABC ∠=o ，AC BD O =I ， 11AC AO ⊥，则三棱锥1A ABD -的外接球的表面积为________. 【答案】72π三、解答题41．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，求该几何体的外接球的表面积。
高中数学必修二 球的表面积和体积 答案解析版
1.3.2球的体积和表面积（课时检测题）一、选择题1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为()A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1【解析】设两球的半径分别为r ,3r ,则表面积之比为()2241943r r ππ=.【答案】A2.若把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,则圆柱的高为()A .RB .2RC .3RD .4R【解析】设圆柱的高为h ,则πR 2h=3×43πR 3,所以h=4R.【答案】D3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的()A .1倍B .2倍C .3倍D .4倍【解析】设三个球的半径分别为x ,2x ,3x ,则最大球的体积V 大=×(3x )3=36πx 3,另两球的体积之和V 和=43πx 3+43π×(2x )3=12πx 3,所以V 大=3V 和.43π【答案】C4.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为()A .8πB .323πC .83πD .3【解析】作轴截面如图所示,则OO 1=1.设截面圆的半径为r ,球的半径为R.由已知可得πr 2=π,所以r=1,.故S 球=4πR 2=8π.【答案】A5.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为()A .18πB .30πC .33πD .40π【解析】由三视图可知该几何体是上面为半球,下面为圆锥的组合体,所以表面积S=12×4π×32+π×3×5=33π.【答案】C6.若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积之比是()A.6∶5B.5∶4C.4∶3D.3∶2【解析】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,母线长为2R ,则圆柱的表面积为2πR 2+2πR×2R=6πR 2,球的表面积为4πR 2.所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6πR 2∶4πR 2=3∶2.【答案】D7.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A .9πB .10πC .11πD .12π【解析】该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π.故该几何体的表面积是4π+8π=12π.【答案】D8.球面上有三点A ,B ,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为()A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π【解析】∵AB 2+BC 2=182+242=302=AC 2,∴△ABC 为直角三角形,且其外接圆的半径为152AC=,即截面圆的半径r=15.又球心到截面的距离为d=12R (R 为球的半径),∴2221152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴R=∴球的表面积S=4πR 2=4π×2=1200π.【答案】A★9.表面积为16π的球的内接正方体的体积为()A.8B.169C.9D.16【解析】设表面积为16π的球的半径为r ,则4πr 2=16π,解得r=2.设内接正方体的棱长为a ,2r ,所以.所以内接正方体的体积V=a 3=39=.【答案】C 二、填空题10.已知长方体的8个顶点在同一个球面上,且长方体的体对角线长为4,则该球的体积是.【解析】该球的半径为42=2,则该球的体积是43π×23=323π.【答案】323π11.已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等,则球O 的半径为.【解析】设球O 的半径为r ,则43πr 3=23,解得12.若长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1满足AB 2+BC 2+21CC =1,则其外接球的表面积为.【解析】因为外接球的半径12=,所以外接球的表面积为4π×212⎛⎫⎪⎝⎭=π.【答案】π13.已知圆柱OO'的底面半径为4,高为163,球M 的体积等于圆柱OO'的体积,则球M 的半径等于.【解析】设球M 的半径为r ,则43πr 3=π×42×163,解得r=4,即球M 的半径为4.【答案】414.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,那么该球的表面积是.【解析】由三视图可知边长为2的正方体内接于球,则球的半径.所以球的表面积为4πr 2=12π.【答案】12π三、解答题15.一种空心钢球的质量是142g,它的外径是5.0cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm 3,最后结果精确到0.1)【解析】设空心钢球的内径为2x cm,由题意得7.933454142323x ππ⎡⎤⎛⎫⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,则x 3=35142311.327.94π⨯⎛⎫-≈ ⎪⨯⎝⎭.∴x ≈2.24.∴2x ≈4.5,即所求钢球的内径约为4.5cm .16.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中.若取出这两个小球,则水面将下降多少厘米?【解析】设取出小球后,容器中的水面下降了h cm,两个小球的体积为V 球=2345125323ππ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(cm 3),该体积等于它们在容器中排开水的体积V=π×52×h ,所以1253π=π×52×h ,解得h=53.故若取出这两个小球,则水面将下降53cm .17.某个几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S ;(结果保留π)(2)求该几何体的体积V.(结果保留π)【解析】由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2m 的正方体,上半部分是半径为1m 的半球.(1)几何体的表面积为S=12×4π×12+6×22-π×12=24+π(m 2).(2)几何体的体积为V=23+1423⨯×π×13=8+23π(m 3).。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
1.3.2 球的体积和表面积2
【自主解答】1.选C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个 倒立的圆锥组成.
1 1 4 V 32 4 33 30. 3 2 3
2.由题知半径为r的实心铁球的体积和水上升的体积相等,即
4 3 R 2 r R 2 r，所以 . 3 r 3
答案:2∶ 3
4 3 R1 2 2 3 S 4 R R R V R R1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 提示: ( ) , ( ). 2 2 3 S2 4R 2 R 2 R 2 V2 4 R 3 R 2 R2 2 3
【探究总结】对球的体积及表面积公式的两点说明 (1)球的体积和表面积公式都是关于半径R的函数,因此求体积 和表面积时,只需求出半径即可. (2)确定一个球的条件是球心和球的半径,已知球的半径可以利 用公式求它的表面积和体积;反过来已知体积或表面积也可以 求其半径.
【解题指南】1.长方体的体对角线等于其外接球的直径. 2.结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半 径的方程,求出球半径,再利用V= πR3求出球的体积.
4 3
【自主解答】1.选B.由长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则 长方体的体对角线为 (2a)2 a 2 a 2 6a, 与外接球的直径相等, 故2R= 6 a,S球=4πR2=6πa2. 2.选A.设球的半径为Rcm,由勾股定理可知,R2=(R-2)2+42,解得 R=5,所以球的体积 V 4 R 3 4 53 500 cm3 .
(3)具体解题流程
【拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系 (1)长方体内接于球: 2R a 2 b2 c2 (R为球的半径,a,b,c为 长方体的长、宽、高). (2)正方体内接于球:2R= 3 a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (3)球内切于正方体:2R=a(R为球的半径,a为正方体的棱长). (4)球与正方体的每条棱都相切:2R= 2 a(R为球的半径,a为正方 体的棱长).
7.3球的表面积和体积
3.一个公式:半径为R的球的体积是V 4 R3 3
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
两个几何体相切:一个几何体的各个面 与另一个几何体的各面相切.
两个几何体相接:一个几何体的所有顶 点都 在另一个几何体的表面上
2、球的表面积
第一步：分割
1) ]
定理:半径是R的球的体积 V 4 R3 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 (5)3 125 cm3
3
32 6
(变式1)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 52 150 cm2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则
有S= 2 。a2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
球的表面积和体积
S球面 4 R2
V球
4
3
R3
例3.如图, 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,
如果冰激凌融化了, 会溢出杯子吗?(假设冰激凌融化前后体积
不变)
解:
V半 球
1 2
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步：转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
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球的体积和表面积[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 球的表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 题型二 球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6πB.43πC.46πD.63π 答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________. 答案 9π解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32，所以S 球＝4πR 2＝9π.题型三 球的组合体与三视图例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a .①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r 1＝a ， 即r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(2)所示，则2r 2＝2a ，即r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(3)所示，则有2r 3＝3a ，即r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.轴截面的应用例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r .设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E .则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， ∴CD ＝3r .由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎝⎛⎭⎫13π·ME 2·CE ∶⎝⎛⎭⎫13π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.又∵V 圆锥CD ＝π3(3r )2·3r ＝3πr 3，V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3－43πr 3＝53πr 3，∴5πr 33∶3πr 3＝CE 3∶(3r )3，∴CE ＝315r .∴球从容器中取出后，水的深度为315r .1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36πD.144π，144π2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.12B.1C.2D.3 3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.4.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.一、选择题1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π 2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8 B.8 2 C.8 3 D.423.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶14.设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ) A.6π cm 3 B.323π cm 3 C.83π cm 3 D.43π cm 35.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A.4π(r ＋R )2 B.4πr 2R 2 C.4πRrD.π(R ＋r )26.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A.32π3B.4πC.2πD.43π 7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2，则正方体的棱长为_____.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是________.11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.三、解答题12.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC ＝30°)13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1.答案 B解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π.2.答案 D解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.3.答案32解析 设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，∴R ＝32. 4.答案 8 4解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2.所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍. 5.答案 3π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.课时精练一、选择题 1.答案 C解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2.答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，则有3a 2＝4，即a 2＝43.∴正方体的表面积为6a 2＝6×43＝8.3.答案 A解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 22＝1∶9.4.答案 D解析 由正方体的表面积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2cm ，故这个球的体积为43π cm 3.5.答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr . 方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr . 6.答案 D解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 故球的体积为V ＝43πR 3＝43π.7.答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm).设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3).二、填空题 8.答案 9π＋18解析 将三视图还原为实物图后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.9.答案3解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，球半径为R ，则43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 10.答案814π 解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为E ，则OE ＝|4－R |，所以(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94.所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π4.11.答案 4解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm). 三、解答题 12.解 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2， 1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2.13.解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18. 已知CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122， 因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以S △ABC ＝12r ·322＝12×82×16，解得r ＝4，所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.。