清华大学杨顶辉数值分析第5次作业答案

2．定义映射22:B R R →，()B x y =，满足y Ax =，其中

0.80.40.10.4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2,x y R ∈

则对任意的2

,u v R ∈

1111119

||()()||||||||()||||||||||||||10B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=-

故映射B 对一范数是压缩的 由范数定义

||||1

||||max |||| 1.2

x A Ax ∞∞∞===，知必然存在0

x ，

0||||1

x ∞=

使得0|||||||| 1.2

Ax A ∞∞==

设012(,)T

x x x =

取

12(,0),(0,)T T

u x v x ==-，则

u v x -=，有

00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞

-=-=-===>==-

故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞

-，从而映射B 对无穷范数不是压缩的

4.

证明：对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理，有

()()'()()()

1e G x G y G x y x y e ξ

ξξ-=-=-+ 其中0111b

b

e e e e ξξ<≤<++

所以

|()()||()|||

11b

b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++

故G 为[,]a b 上的压缩映射

而

()ln(1)ln x x

G x e e x =+>=

即()G x x =无根

故()G x 没有不动点 9.

(1)证明：对任意的

121212(,){(,)|0,1}

x x D x x x x ∈=≤≤，则有

1121221212212120(,)0.7sin 0.2cos 0.9,

(,)0.7cos 0.2sin 0.7cos10.20.7cos 0.20.150

3

(,)0.7cos 0.2sin 0.9

g x x x x g x x x x g x x x x π

≤=+≤=-≥->-=>=-≤

故有()G x D ∈

112212112211122211221122|(,)(,)||0.7(sin sin )0.2(cos cos )||0.7cos ()0.2(sin())()|0.7||0.2||0.7(||||)

g u u g v v u v u v u v u v u v u v u v u v ξξ-=-+-=-+--≤-+-≤-+-

112212112211122211221122|(,)(,)||0.7(cos cos )0.2(sin sin )||0.7(sin )()0.2cos()()|0.7||0.2||0.7(||||)g u u g v v u v u v u v u v u v u v u v u v ηη-=---=----≤-+-≤-+-

所以

11

|()()||0.7||||G u G v u v -≤- 即G 是压缩映射，从而根据压缩映射定理，G 在D 中有唯一不动点 （2）

取0(0,0)T x =,按()x G x =迭代得

满足17163

1||||0.510x x --≤⨯，得到方程的近似解(0.5256,0.5083)T

10.

（1）

22

1222

124()1x x F x x x ⎡⎤+-=⎢⎥--⎣⎦ 12122,2'()2,2x x F x x x ⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦

选取0(1.6,1.2)T x =

解

000'()()

F x x F x ∆=-，得0(0.0188,0.0250)T

x ∆=-，

所以100+(1.5813,1.2250)T

x x x =∆=，同理有

2(1.5811,1.2247)T x = 3(1.5811,1.2247)T x =

满足325

11

||||102x x --≤⨯

故通过牛顿迭代法求得近似解(1.5811,1.2247)T