医药数理统计(第二版)习题三解答

习题三解答

1. 设随机变量X 的分布率为

X －2 －1 0 1 p

0.4

0.3

0.2

0.1

求E (X )、V (X )、E (3X 2+5)。

解：()(2)0.4(1)0.300.210.11E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯=-

22222()(2)0.4(1)0.300.210.12E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯= 22()()[()]211V X E X E X =-=-= 22(35)3()532511E X E X +=+=⨯+=

2. 设盒中有2个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球。记X 为摸到的白球数，求E (X )和V (X )。

解： 0,1,2X =

33351

(0)10C P X C ===

21323

56

(1)10C C P X C === 12323

53

(2)10

C C P X C === ()0(0)1(1)2(2)

163

012 1.2

101010E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯= 2222163

()012 1.8101010

E X =⨯

+⨯+⨯= 222()()[()] 1.8 1.20.36V X E X E X =-=-=

3.设随机变量X 的概率函数为

5

1)(==k X P ，k=1，2，…，5

求E (X )、E (X 2)和E [(X +2)2]。

()1(1)2(2)3(3)4(4)5(5)

1

(12345)35

E X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==++++=

22222222222()1(1)2(2)3(3)4(4)5(5)

1

(12345)115

E X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==++++= 222()()[()]1132V X E X E X =-=-=

2222221

[(2)](34567)275

E X +=++++=

或222[(2)](44)()4()41143427E X E X X E X E X +=++=++=+⨯+= 4. 某实验室给每位学生发1只小白兔做实验，若实验不成功可发第2只，如此最多发给3只。每次实验成功的概率为0.6，求：

（1）一位学生使用小兔只数X 的概率函数；

（2）若100名学生做该项实验，问实验室平均应准备多少只小白兔？

解：(1)0.6P X ==，

(2)0.24P X ==

(3)1(0.60.24)0.16P X ≥=-+=

（１）一位学生使用小兔只数X 的概率函数为：

X

1 2 ≥3

P 0.6 0.24 0.16

（2）一位学生平均使用小兔只数

()10.620.2430.16 1.56E X ≈⨯+⨯+⨯=（只）。

100位学生平均使用只数100()156E X ≈（只）。

5. 一批零件中有9个合格品和3个废品，安装机器时从这批零件中任选一个。如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的数学期望。

解：设在取得合格品以前取出的废品数为X (0,1,2,3)X =，则X 的概率函数为：

X 0 1 2 3

P

34 944 9220 1220

39913

()012344422022010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=

2222239919

()012344422022022

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=

22351

()()[()]0.31911100

V X E X E X =-=

≈ 6.设随机变量X 的概率密度为

⎩⎨⎧<<=其它

10)(x kx x f a 其中k>0,a>0。已知E (X )=0.75，求k 和a 的值。

解：由1

10

()()2

a k

E X xf x dx kx dx a +∞+-∞

=

==

+⎰

⎰ 以及()0.75E X =，可得

0.752

k

a =+ ① 又因为

1

()11

k

f x dx kx dx a α+∞-∞

==

=+⎰

⎰ ② 联立解①、②得

2,3a k ==

7. 设X 的概率密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它

2121

0)(x x

x x x f 试求E (X )、E [X －E (X )]、E {│X －E (X )│}和V (X )。

解：（1）1

2

20

1

()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞

=

=+-=⎰

⎰⎰

（2）[()]()[()]()()0E X E X E X E E X E X E X -=-=-=

1

2

1

[()](1)(1)(2)0E X E X x xdx x x dx -=-+--=⎰⎰

（3）12

1

1

{()}11(2)3

E X E X x xdx x x dx -=

-+--=

⎰

⎰ （4）12

2

3

20

1

7()(2)6

E X x dx x x dx =

+-=

⎰

⎰ 2271()()[()]166

V X E X E X =-=

-=

8. 设随机变量X 的概率密度函数为

{

0)(≤>=-x x e x f x