基于正态分布的齿轮传动可靠性设计

设计时我们可以将强度设计中所有的变量如实地当作随机变量来看待。
85正态分布是最常用的概率密度分布，而且在数理统计中几个重要、常用的统计量分布多
数是基于正态分布的变形。从物理背景上讲，如果影响某个随机变量的独立因素很多，且不
存在起决定性因素的主导因素时，则该随机变量一般可用正态分布来描述。本文在对所设计
HS H lim N L V R W X
2 2 2 2 2 2 2
Z Z Z Z Z Z
v V V V V V V V σ σ
= + + + + + +
10度进行估计时，假设齿轮失效时的接触疲劳强度—接触应力和弯曲疲劳强度—弯曲应力服从
正态分布，基于概率设计法，提出了一种齿轮可靠度的计算方法。
关键词：齿轮传动；可靠性；概率设计法；正态分布
中图分类号：TH13
15 Research on the Reliability of gear transmission Based on
20 of the traditional gear design and a combination of mechanical reliability and probabilistic design
method. The method regards stress and strength as a random variable honestly, which will be more
S＞s
式中：S—零件的强度；
s—零件的应力。
由可靠度定义可知，可靠度即为零件不发生失效的概率，故可靠度R为如下表达式：
70 R（t）= P（S＞s）
式中强度S和应力s，均为随机变量。
- 3 -
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图2应力—强度干涉模型
Fig.2 The diagram of stress - strength interference model
2 2 2 2 2 2 2 2 2
H Z Z Z K F K K K K
1
v V V V V V V V V V
4
σ εபைடு நூலகம்β β α
= + + + + + + + +
H H
S V σ
=σ H σ
用变异系数法可求得接触强度的均值、变异系数和标准差：
135 σ σ HS H lim = ZN R W L V X Z Z Z Z Z
distribution, and proposes a new method of calculating the reliability of the designed gear based
on probabilistic design method.
30 Keywords:gear transmission; reliability; probability design; normal distribution
性，我们通常预先给定可靠度[R]称之为安全可靠度并令：
[ ] [ ] R Z = −1 Φ ( R )
式中[ZR]定义为可靠性系数上界。
120在实际设计计算中我们只需确保可靠度R≥[R]，即
1 1 − ≥ − Φ Φ ( Z ) Z R R ([ ])
于是得到：
( )
[ ] 0 5
2 2
S s
. R
齿轮的可靠度进行估计时，假设齿轮失效时的接触疲劳强度—接触应力和弯曲疲劳强度—弯
50曲应力服从正太分布。
1机械可靠性简介
从可靠性的角度考虑，一个产品不仅要完成预定的功能，还有其持续完成规定功能的能
力，即可靠度。从工程实践中可知，机械产品的故障因素主要与应力和强度有关。应力大于
强度时发生故障。在传统设计过程中没有对这些参数的随机性给予考虑，而可靠性工程正是
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( )
0 5
2 2
S s
R .
s S
u u
Z
σ σ
−
=
+
(2-2)
100此时可靠度可表示为：
1 R ( Z ) = −Φ R
(2-3)
2.4变异系数法求可靠度的近似值
对于单项式(即没有加减运算的式子)的函数，如表达式：
1
i
n
m
i
i
y a x Π
=
= •
105式中a、m为任意常数。
则函数的均值为：
- 5 -
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接触强度为：
HS H lim N X W L V R
σ σ= z z z z z z
130用变异系数法可求得接触应力的均值、变异系数和标准差：
t
A V H H ( )
H E
H
1
K F K K K K u 1
Z Z Z Z
d bu
β α
σ ε β
±
=
E t V H H A
( )
0引言
齿轮传动是机械传动中应用最广泛的一种传动形式。其主要优点是效率高，传动比准确，
结构紧凑，工作可靠，寿命长。在传统的齿轮传动设计中，设计者主要从满足产品使用要求
和保证齿轮传动性能的要求出发，按照相应的计算准则进行齿轮设计。传统的齿轮设计[1]
35
所采取的方法主要是按照相应的计算准则，满足齿轮强度大于所受应力的条件即可。但实际
75
应力—强度干涉模型如图2所示，函数h（s）和f（S）分别为应力和强度的概率密度
函数。阴影部分表示强度和应力的“干涉区”，即存在强度小于应力发生失效的概率。
由分析可知当应力和强度的概率密度已知时，零件可靠度的一般表达式为：
( ) ( )
s
R dR h s f S dS ds
+∞ +∞
−∞
⎡ ⎤
= = •
新的齿轮传动设计方法。这种方法在设计中将应力与强度如实的当作随机变量来处理，将比
传统的齿轮传动设计更具有科学性，并且能够求出所设计齿轮的可靠度。概率设计是可靠性
设计的重要组成部分，是应用概率论和数理统计理论进行机械零件或构件设计的方法，其实
质就是把强度设计中所有的变量如实地当作随机变量来看待。本文在对所设计的齿轮的可靠
随机变量来处理，这就使得设计不能回答所设计齿轮的可靠度和发生故障的概率是多少。本
文所提到的齿轮传动可靠性设计，是基于机械可靠性[2]
原理，采用概率设计法[3]
，将应力与
强度如实的当作随机变量来处理，将比传统的齿轮设计更具有科学性，并且能够求出所设计
- 2 -
Normal Distribution
Tang Jialin, Liu Liqiang, Zhang Di
(School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University, ShenYang 110819)
Abstract: In this paper, the author proposed a new method of gear design based on the experience
1
i
n
m
i
i
y a x Π
=
= •
函数的变异系数为：
1
1 2
2 2
1 1 1
2
n n n
y i xi i j ij xi xj
i i j i
V m V m m V V ρ
−
= = = +
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
110函数的标准差为：
y y
S yV =
3正态分布数学模型下的齿轮传动概率设计
上应力不仅指外力在微元面积上产生的内力与微元面积比值的极限，而且包括比如温度、外
载荷等各种环境因素，而这些因素都具有一定的随机性。因此应力是一个受多种因素影响的
随机变量，具有一定的分布规律。同样受材料的机械性能、加工工艺等的影响，强度也是一
40个具有一定随机性，服从一定分布规律的随机变量。传统的齿轮设计没有将应力与强度当成
scientific than the traditional design, and calculate the reliability of the designed gear.Probabilistic
design is an important component of reliability design. It applies the theory of probability and
55研究其影响因素随机性和统计特性的专门学科。机械产品的可靠性设计并不是一种崭新的设
计方法，而是在传统机械设计的基础上引入以概率论和数理统计为基础的可靠性设计方法，
这样使得设计更科学合理地获得较小的零件尺寸、体积和重量，从而使产品的设计更符合工
程实际。
2机械可靠性设计原理
60 2.1应力—强度干涉模型与可靠度计算
应力是对产品功能有影响的各种外界因素，强度是产品承受应力的能力。可靠度是产品
不发生失效的概率。根据干涉情况计算可靠度的模型称为应力—强度干涉模型，简称应力—
强度模型。
在机械设计中一般认为当零件强度大于应力时，机械产品可正常工作；反之若零件强度
65小于应力时，则发生失效。所以要想零件在规定条件下不发生失效必须满足如下表达式：
∫ ∫ ∫
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
(2-1)
80 2.2应力和强度的随机分布特性
机械设计中广义应力的概念被定义为：引起失效的负荷，而广义强度则被定义为抵抗失
效的能力。由于影响应力和强度的因素具有随机性，所以我们认为应力和强度也应该具有随