数学分析第八章不定积分

第 八 章 不 定 积 分

§1 不定积分概念与基本积分公式

正如加法有其逆运算减法 乘法有其逆运算除法一样 微分法也有它的逆运 算 积分法 我们已经知道 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 那么与之相反的问题是 求一 个未 知函 数 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 提出这个逆问题 首先是因为它出现在许多实际问题之中 例如 已知速 度求路程 已知加速度求速度 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 或斜率 所满 足 的某一规律 求曲线方程等等 本章与 其后两 章 定 积分与 定积 分的 应用 构 成 一元函数积分学

一 原函数与不定积分

定义 设函数 与 在区间 上都有定义 若

则称 为 在区间 上的一个原函数

页脚内容

例如

是 在 ∞ ∞ 上的一个 原函数

因为

′

又 如

与 都是 在 ∞ ∞ 上的原函

数 因为

如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话 那么

是 的一个原函数 就不那样明显了 事实上 研究原 函数必须 解 决下面两个重要问题

满足何种条件的函数必定存在原函数 如果存在 是否唯一

若已知某个函数的原函数存在 又怎样把它求出来

关于第一个问题 我们用下面两 个定 理来回 答 至于 第二 个问题 其 解答 则 是本章接着要介绍的各种积分方法

第八章 不 定 积 分

定理 若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函数 即 ′

本定理要到第九章 中才能获得证明

由于初等函数为连续函数 因此每个初等函数都有原函数 只是初等函数的 原函数不一定仍是初等函数 当然 一个函数如果存在间断点 那么此函数在其 间断点所在的区间上就不一定存在原函数 参见本节习题第 题

定理 设 是 在区间 上的一个原函数 则

也是 在 上的原函数 其中 为任意常量函

数① 在 上的任意两个原函数之间 只

可能相差一个常数 证 这是因为 ′ ′

∈

设 和 是 在 上的任意两个原函数 则有

根据第六章拉格朗日中值定理的推论 知道

定义 函数 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定积分 记作

其中称∫为积分号 为被积函数 为被 积表达式 ② 为积 分变量 尽管记号 中各 个部 分都 有其 特定 的 名称 但 在使 用时 必 须 把它 们 看作 一 整 体

由定义 可见 不定积分 与原 函数 是总 体 与个 体的 关系 即若 是 的 一 个原函数 则 的不定积分是一个函数族 其中 是 任意常 数 为方 便 起见 写作

这时又称 为积分常数 它可取任一实数值 于是又有

按照写法 本节开头所举的几个例子可写作

① 这里 既把 看 作常量 函数 又 把它作 为该 常量 函数 的 函数 值 在 不 致混

淆 时 以 后 常 说“ 为 任

意常数”

② 不 久可看 到 被积 表达式 可认 同为 的原函 数 的微分 即 ′

§ 不定积分概念与基本积分公式

此外 一个函数 存在不定积分 与 存在原函数 显然是等同的说法

不定积分的几何意 义 若 是 的一 个原 函数 则称 的 图象 为 的 一条 积分 曲 线 于 是 的不 定积 分在 几何 上 表示 的某 一 积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲 线组成的曲线族 图 显然 若在 每一 条积 分曲线上横坐标相同的点处作切线

则这些切线 互相平行 在求原函数的具体问题中 往往先求出全体 原函数 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件

图

称为初始条件 它由具体问题所规定 的原函数 它就是积分曲线族中通过点 的那一条积分曲线 例如 质点作匀加速直线运动时 ′ 则

若已知 代入上式后确定积分常数 于是就有

又因 ′ 所以又有

若已知 则 代入上式得到

二 基本积分表

怎样求原函数 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 原因在 于原 函 数的定义不像导数定义那样具有构造性 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个 已知函数 而没有指出怎样由 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 因 此 我

第八章 不 定 积 分

们只能先按照微分法的已知结果去试探

首先 我们把基本导数公式改写成基本积分公式

上列基本积分公式 读者必须牢牢记住 因为其他函数的不定积分经运算变 形后 最后归为这些基本不定积分 当然 仅有这些基本公式是不够用的 即使像 这样一 些基 本初 等函数 现 在 还不知道怎样去求得它们的原

函数 所以我 们还 需要 从一些 求导 法则去 导出 相 应的不定积分法则 并逐步扩充不定积分公式

① 公 式 适 用于不 含坐 标原点 的任何 区间 读 者容 易验证

§ 不定积分概念与基本积分公式

最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则 定理 若函数 与 在 区 间 上 都存 在 原函 数 、 为 两 个任 意 常 数 则 在 上也存在原函数 且

证 这是因为

线性法则 的一般形式为

根据上述线性运算法则和基本积分公式 可求得一些简单函数的不定积分

例

例 ∫

∫

例

例 ∫ ·

例 ∫

∫

习 题

验证下列等式 并与 、 两式相比照

第八章 不 定 积 分

求一曲线 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 处 的 切 线 斜 率 为 且 通 过 点

验证 是 在 ∞ ∞ 上的一个原函数

据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 求下列不定积分

为正常数