信号与线性系统的几个基本问题
信号与线性系统分析2篇
信号与线性系统分析2篇第一篇：信号与线性系统分析信号与线性系统是掌握通信工程、信息工程等领域的基础，也是现代科技的重要组成部分。
本篇文章将从信号的定义、分类、性质和线性系统的特征、分类、性质等方面进行分析。
一、信号的定义信号是某个量在时间、空间及其他变化方面的变化表现，是信息载体。
它可以是物理量、电信号、声音、光线等形式。
信号常被分为模拟信号和数字信号两种。
二、信号的分类1. 持续信号和瞬时信号：根据信号持续时间的长短进行分类。
持续信号是指信号在一段时间内有实际意义，例如正弦信号；瞬时信号是指信号只在某个时刻有信号，例如冲激信号。
2. 同期信号和非同期信号：根据信号之间的时间关系进行分类。
同期信号是指多个信号之间存在频率的整数倍关系，例如正弦波的频率为120Hz、240Hz、360Hz等的多个正弦波；非同期信号是指没有频率整数倍关系的信号，例如正弦波的频率为60Hz和220Hz的两个正弦波。
3. 连续信号和离散信号：根据信号定义域的连续性进行分类。
连续信号是指信号定义域是连续的，可以取任意值的信号，例如正弦波；离散信号是指信号定义域是离散的，只能取整数值的信号，例如数字信号。
三、信号的性质1. 周期性：如果信号在一定时间内重复出现，则称该信号具有周期性。
周期长度是连续信号交替出现的最短时间间隔。
2. 带限性：信号在频谱上存在一定的范围，称为信号的带限。
例如人耳可接受的声音频率范围是20Hz到20kHz，超出这个范围的频率对人耳无法感知。
3. 能量和功率：信号的能量是指信号在时间上的总和，定义为E = ∫(|x(t)|²)dt；功率是指单位时间内信号的能量，定义为P = E/T，其中T是时间长度。
四、线性系统的特征线性系统是指具有线性关系的系统，即输入信号和输出信号之间存在函数关系，并且满足叠加原则和比例原则。
线性系统有两种，时不变系统和时变系统。
一、时不变系统时不变系统是指在某个时间点的输入信号和某个时间点的输出信号之间存在固定的函数关系，即系统的参数不随时间变化。
信号与系统课程中的一些基本思考题
信号与系统课程中的一些基本思考题1．信号与系统分析方法中的基本思想是什么？不同域的分析方法中所采用的基本信号单元分别是什么？2．离散时间复指数序列0j neω一定是周期的吗？若要具有周期性，必须满足何种条件？对ω而言，取何值时对应着高频分量？反之对应着低频分量？3．什么系统是线性系统？什么系统是时不变系统？4．什么是信号的卷积运算？卷积运算与求信号的相关有何不同？5．信号的时域基本变换如时域的时移、反转及尺度变换必会带来频域的什么变化？6．什么是LTI系统的时域表征、频域表征及变换域表征？7．为什么用LTI系统的单位冲激响应可以完全刻画一个LTI系统？8．什么是信号的频谱图？它揭示了什么物理含义？9．为什么信号的傅里叶变换中会存在着负频率？一个实信号的频谱结构会有什么特点？10．若信号的频谱图只有正频率分量分布，那么这一信号能为实信号吗？11．时域信号的周期性、离散性对应着频谱的什么变化？12．周期性矩形脉冲信号的频谱有何特点？13．离散时间信号的抽取与内插对应着信号频域的什么变化？14．什么是FIR、IIR系统？其单位脉冲响应的求法有何不同？15．当观察方波合成实验时，取谐波个数N为有限值时，会出现何种现象？N 的取值大小对方波合成有何影响？16．当进行图像处理时，应关注相位失真还是幅度失真？17．当二阶RLC回路参数ζ变化时，系统的时域与频域特性有何变化？当方波调制信号通过谐振回路时，要改变输出波形的暂态过程应改变回路的ζ值，还是改变信号的脉宽？18．通过二阶调谐系统的正弦调幅波的调制信号为方波信号时，回路的品质因数Q变化，对系统的输出波形有何影响？19．一个单音频的正弦调幅信号通过二阶谐振系统时，如何保证系统为一个不失真的传输系统？20．连续时间信号的时域采样会带来频谱的什么变化？21．一个连续时间信号如何进行离散时间系统的处理？在这一处理过程中包含着那些处理环节？22．何谓采样定理？它隐含了那些约束条件？23．当对某一个连续时间周期信号以T为间隔进行采样时，试求连续域中第w频率分量所映射到离散域中的频率值。
信号和线性系统
1.1 信号的基本概念
3、信号总是以下面的形式传输： 信源 通过 信道 到达 信宿 甲(语言) （空气） 乙(耳朵)
信号的特性：（时间特性 频率特性）
一般地说 :信号是时间的函数;有一定的波形。 任一信号具有其自身特有的频率组成，所以信号 也是频率的函数。
1.2 信号的分类
1.3 系统的定义和分类
（3）时变系统与非时变系统
如果
ftyt
那么
ft t0 y t t0
1.3 系统的定义和分类
（4）因果系统与非因果系统 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时
才产生输出响应的系统 。 （5）记忆系统与即时系统
系统的输出只取决于该时刻的输入，与系统的 过去工作状态(历史)无关，则称之为无记忆系统 或即时系统。
2、常见非周期信号的傅氏变换 （1）门函数的傅氏变换
g
(t)
1，
0，
t
2
t
2
F( j) Sa( )
2
3.2 非周期信号的频谱分析
（2）冲激信号的傅氏变换
(t) 1
（3）单位直流信号的频谱
12()
注意推导的过程
3.2 非周期信号的频谱分析
（4）指数信号的频谱
eatu(t) 1
a j
（5）阶跃信号的频谱
3、信号的脉冲分解
2.4 系统的微分方程及其响应
1、系统的微分方程
a n y n t a n 1 y n 1 t a 1 y / t a 0 y t ＝ b m f m t b m 1 f m 1 t b 1 f / t b 0 f t
第四章 离散时间信号和系统分析
离散时间信号 差分方程 卷积和 离散系统时域分析 离散系统的频域分析
信号与线性系统知识点总复习
信号与线性系统知识点总复习1.信号的基本概念信号是电子信息工程中的重要概念，简单来说就是随时间（或空间）变化的物理现象。
信号可以分为连续信号和离散信号两种。
连续信号可以用函数表示，离散信号可以用数列表示。
2.常见信号的分类常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号、奇函数信号、偶函数信号等。
不同类型的信号在数学表示和性质上有所差异。
3.连续时间信号的基本性质连续时间信号可以通过振幅、频率、相位等参数来描述。
它们具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
这些性质对于信号的分析和处理都是重要的基础。
4.离散时间信号的基本性质离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用数列表示。
离散时间信号具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
此外，离散时间信号还有抽样定理、离散时间傅立叶变换等重要概念。
5.线性系统的基本概念线性系统是输入和输出之间存在线性关系的系统，可以用线性常微分方程或差分方程表示。
线性系统具有叠加原理、时不变性、因果性等基本特性。
线性系统的频率响应是分析系统特性的重要工具。
6.线性时不变系统的冲激响应冲激响应是线性时不变系统的重要性质，它描述了系统对单位冲激输入的响应。
从冲激响应可以得到系统的频率响应、相位响应等信息。
7.线性时不变系统的频率响应频率响应描述了线性时不变系统对不同频率的输入信号的响应特性。
它可以通过线性时不变系统的冲激响应来计算，常用的方法有离散时间傅立叶变换、连续时间傅立叶变换、z变换等。
8.线性系统的稳定性分析稳定性是线性系统分析中的重要性质。
对于连续时间系统，稳定性可以通过系统的传递函数的极点位置来判断。
对于离散时间系统，稳定性可以通过系统的差分方程的极点位置来判断。
9.线性系统的频域分析频域分析是信号与系统分析中的重要方法，可以通过傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换等来将信号从时域转换到频域。
频域分析可以得到信号的频谱特性、频率响应等信息。
信号与线性系统分析(第四版)
信号与线性系统分析（第四版）：探索信号处理的数学基石一、信号与线性系统的基本概念在信息技术飞速发展的今天，信号与线性系统分析已成为电子工程、通信工程等领域不可或缺的基础知识。
本版书籍旨在为您提供一个清晰、系统的学习路径，帮助您深入理解信号处理的理论与实践。
1. 信号的定义与分类（1）确定性信号与随机信号：确定性信号在任意时刻都有明确的函数值，而随机信号则具有不确定性。
（2）周期信号与非周期信号：周期信号在时间轴上呈周期性重复，而非周期信号则不具备这一特性。
（3）能量信号与功率信号：能量信号在有限时间内具有有限的能量，而功率信号则具有有限的功率。
2. 线性系统的特性（1）叠加原理：多个输入信号经过线性系统处理后，其输出信号等于各输入信号单独处理后的输出信号之和。
（2）齐次性原理：输入信号经过线性系统放大或缩小后，输出信号也会相应地放大或缩小。
二、线性时不变系统描述1. 冲激响应与卷积积分冲激响应是描述LTI系统特性的重要工具。
通过冲激响应，我们可以利用卷积积分求出系统对任意输入信号的响应。
2. 系统函数与频率响应系统函数是LTI系统在频域的描述方式，它揭示了系统对不同频率信号的响应特性。
频率响应则是对系统函数在特定频率下的直观展示。
3. 状态空间描述状态空间描述是一种更为全面的LTI系统描述方法，它将系统的内部状态与输入、输出联系起来，为分析和设计复杂系统提供了有力工具。
三、信号的傅里叶分析1. 傅里叶级数傅里叶级数将周期信号分解为一系列正弦波和余弦波，揭示了周期信号在频域的组成。
2. 傅里叶变换傅里叶变换将时间域的非周期信号转换为频域信号，为信号处理提供了强大的分析工具。
四、拉普拉斯变换与z变换的应用1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换将时间域的信号转换到复频域，它是分析线性时不变系统在复频域特性的关键工具。
在本版书籍中，我们将探讨：（1）拉普拉斯变换的基本性质和收敛域。
（2）利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程。
信号与线性系统分析第一章
相关是描述两个信号相似程度 的一种度量，包括自相关和互 相关。自相关描述信号自身在 不同时刻的相似程度，互相关 描述两个不同信号之间的相似 程度。
卷积与相关在数学表达式上具 有相似性，但物理意义不同。 卷积表示系统对输入信号的响 应，而相关表示信号之间的相 似程度。
03 信号的频域分析
信号的频谱
05 信号通过线性系统的分析
信号通过线性系统的时域分析
信号的时域表示
信号在时域中表示为时间的函数，描述了信号随时间的变换，输出信号是输入信号的加权和。
卷积积分
线性时不变系统对输入信号的响应可以通过卷积积分来计算，即输 出信号等于系统冲激响应与输入信号的卷积。
失真与噪声的抑制
为了减小失真和噪声对信号的 影响，可以采取一系列措施，
如滤波、放大、调制等。
06 信号与线性系统分析方法 总结
时域分析方法总结
时域波形分析
直接观察信号的时域波形，了解信号的基本特征 和变化规律。
相关函数分析
通过计算信号的自相关函数和互相关函数，研究 信号的时域特性和不同信号之间的相关性。
根据信号的性质和特征，信号可以分 为连续时间信号和离散时间信号、周 期信号和非周期信号、能量信号和功 率信号等。
系统的定义与分类
系统的定义
系统是由相互关联和相互作用的元素组成的集合，它能够对输入信号进行变换 和处理，产生输出信号。
系统的分类
根据系统的性质和特征，系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和 时变系统、因果系统和非因果系统等。
快速变化部分。
信号的相乘与相加
03
相乘可实现信号的调制，相加可实现信号的合成。
信号的卷积与相关
卷积的定义与性质
《信号与线性系统》试题与答案1
1.下列信号的分类方法不正确的是（ A ）：A、数字信号和离散信号B、确定信号和随机信号C、周期信号和非周期信号D、因果信号与反因果信号2.下列说法正确的是（ D ）：A、两个周期信号x(t)，y(t)的和x(t)+y(t)一定是周期信号。
B、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和，则其和信号x(t)+y(t) 是周期信号。
C、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
D、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和3，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
3.下列说法不正确的是（ D ）。
A、一般周期信号为功率信号。
B、时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。
C、ε(t)是功率信号；D、e t为能量信号;4.将信号f(t)变换为（ A ）称为对信号f(t)的平移或移位。
A、f(t–t0)B、f(ｋ–k0)C、f(at)D、f(-t)5.将信号f(t)变换为（ A ）称为对信号f(t)的尺度变换。
A、f(at)B、f(t–k0)C、f(t–t0)D、f(-t)6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。
A、 B、C、 D、7.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ D ）。
A、 B、C、 D、8.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。
A、 B、C、 D、9.下列基本单元属于数乘器的是（ A ）。
A、 B、C、 D、10.下列基本单元属于加法器的是（ C ）。
A、 B、C、 D、11.，属于其零点的是（ B ）。
A、-1B、-2C、-jD、j12.，属于其极点的是（ B ）。
A、1B、2C、0D、-213.下列说法不正确的是（ D ）。
A、H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。
即当t→∞时，响应均趋于0。
B、H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。
C、H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。
(完整版)信号与线性系统管致中第1章信号与系统
N
x(n) 2
x(n) 2
在无限区间内的平均功率可定义为：
x(t) P
lim 1 T 2T
T T
2
dt
1 N
P
lim
N
2N
1
N
x(n) 2
三类重要信号： 1. 能量信号——信号具有有限的总能量，
即： E , P 0
2. 功率信号——信号有无限的总能量，但平均功率 有限。即：
1.2 自变量变换
如果有 x(t) x(t) 则称该信号为奇信号
x(n) x(n)
（镜像奇对称）
对复信号而言：
x(t) x(t) 如果有 x(n) x(n) 则称该信号为共轭偶信号。
x(t) x(t)
如果有
则称为共轭奇信号。
x(n) x(n)
1.2 自变量变换
x (n)]
例1：
x(t)
2 1
-2 -1 0
t
12
-2
xe (t)
1
t
02
xo (t)
1
-1
t
1 -1
例2. 信号的奇偶分解：
1.3 指数信号与正弦信号
（Exponential and Sinusoidal Signals ） 1.3.1. 连续时间复指数信号与正弦信号
x(t) Ceat 其中 C, a 为复数
确定的定义。
x(n) c 可以视为周期信号，其基波周期 N0 。1
1.2 自变量变换
非周期信号
周期信号
1.2.3. 奇信号与偶信号： odd Signals and even Signals 对实信号而言：
信号与线性系统分析复习题及答案
信号与线性系统复习题单项选择题。
1. 已知序列3()cos()5f k k π=为周期序列，其周期为 （ C ） A ． 2 B. 5 C. 10 D. 122. 题2图所示()f t 的数学表达式为 （ B ）图题2A ．()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=+- B. ()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=-- C. ()10sin()[()(2)]f t t t t πεε=-- D. ()10sin()[()(2)]f t t t t πεε=+-3.已知sin()()()t f t t dt t πδ∞-∞=⎰，其值是 （ A ）A ．π B. 2π C. 3π D. 4π4.冲激函数()t δ的拉普拉斯变换为 （ A ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45.为了使信号无失真传输，系统的频率响应函数应为 （ D ） A ． ()djwt H jw e= B. ()djwt H jw e-= C. ()djwt H jw Ke= D. ()djwt H jw Ke-=6.已知序列1()()()3kf k k ε=,其z 变换为 （ B ）A ．13z z + B.13z z - C.14z z + D.14z z -7.离散因果系统的充分必要条件是 （ A ） A ．0,0)(<=k k h B. 0,0)(>=k k h C. 0,0)(<<k k h D. 0,0)(>>k k h8.已知()f t 的傅里叶变换为()F jw ，则(3)f t +的傅里叶变换为 （ C ） A ．()jwF jw e B. 2()j wF jw eC. 3()j wF jw eD. 4()j wF jw e9.已知)()(k k f kεα=，)2()(-=k k h δ，则()()f k h k *的值为（ B ） A ．)1(1--k k εαB. )2(2--k k εαC. )3(3--k k εαD. )4(4--k k εα10.连续时间系统的零输入响应的“零”是指（ A ） A. 激励为零 B. 系统的初始状态为零 C. 系统的冲激响应为零 D. 系统的阶跃响应为零 11. 已知序列kjek f 3)(π=为周期序列，其周期为 （ ）A ． 2 B. 4 C. 6 D. 812. 题2图所示()f t 的数学表达式为 （ ）A ．)1()1()(--+=t t t f εε B.)1()1()(-++=t t t f εε C. )1()()(--=t t t f εε D. )1()()(-+=t t t f εε13.已知)2()(),1()(21-=-=t t f t t f εδ，则 12()()f t f t *的值是 （ ） A ．)(t ε B. )1(-t ε C. )2(-t ε D. )3(-t ε14.已知ωωj j F =)(，则其对应的原函数为 （ ） A ．)(t δ B. )('t δ C. )(''t δ D. )('''t δ15.连续因果系统的充分必要条件是 （ ） A ． 0,0)(==t t h B. 0,0)(<=t t h C. 0,0)(>=t t h D. 0,0)(≠=t t h16.单位阶跃序列)(k ε的z 变换为 （ ）A ．1,1<+z z z B. 1,1>+z z z C. 1,1<-z z z D. 1,1>-z z z 17.已知系统函数ss H 1)(=，则其单位冲激响应()h t 为 （ ）A ．)(t ε B. )(t t ε C. )(2t t ε D. )(3t t ε18.已知()f t 的拉普拉斯变换为()F s ，则)5(t f 的拉普拉斯变换为 （ ）tA ．)5(s F B. )5(31s F C. )5(51s F D. )5(71s F 19.已知)2()(2-=-k k f k εα，)2()(-=k k h δ，则()()f k h k *的值为（ ）A ．)1(1--k k εα B. )2(2--k k εαC. )3(3--k k εαD. )4(4--k k εα20.已知)(t f 的傅里叶变换为)(ωj F ，则)(jt F 的傅里叶变换为（ ） A. )(ωπ-fB. )(ωπfC. )(2ωπ-fD. )(2ωπf21. 下列微分或差分方程所描述的系统是时变系统的是 （ ） A ． )(2)()(2)(''t f t f t y t y -=+ B. )()(sin )('t f t ty t y =+ C. )()]([)(2't f t y t y =+ D. )()2()1()(k f k y k y k y =--+22. 已知)()(),()(21t t f t t t f εε==，则)()(21t f t f *的值是 （ ） A ．)(1.02t t ε B. )(3.02t t ε C. )(5.02t t ε D. )(7.02t t ε23.符号函数)sgn(t 的频谱函数为 （ ）A ．ωj 1 B. ωj 2 C. ωj 3 D. ωj 424.连续系统是稳定系统的充分必要条件是 （ ） A ． M dt t h ≤⎰∞∞-)( B. M dt t h ≥⎰∞∞-)(C.M dt t h ≤⎰∞∞-)( D.M dt t h ≥⎰∞∞-)(25.已知函数)(t f 的象函数)5)(2()6()(+++=s s s s F ，则原函数)(t f 的初值为 （ ）A ． 0 B. 1 C. 2 D. 3 26.已知系统函数13)(+=s s H ，则该系统的单位冲激响应为 （ ） A ．)(t e tε- B.)(2t e tε- C.)(3t e tε- D. )(4t e tε- 27.已知)2()(),1()(1-=-=-k k h k k f k δεα，则)()(k h k f *的值为 （ ）A ．)(k kεα B.)1(1--k k εα C.)2(2--k k εα D. )3(3--k k εα28. 系统的零输入响应是指（ ） A.系统无激励信号 B. 系统的初始状态为零C. 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应D. 系统的初始状态为零，仅由系统的激励引起的响应 29.偶函数的傅里叶级数展开式中 （ ）A ．只有正弦项 B.只有余弦项 C. 只有偶次谐波 D. 只有奇次谐波 10. 已知信号()f t 的波形，则)2(t f 的波形为 （ ） A ．将()f t 以原点为基准，沿横轴压缩到原来的12B. 将()f t 以原点为基准，沿横轴展宽到原来的2倍C. 将()f t 以原点为基准，沿横轴压缩到原来的14D. 将()f t 以原点为基准，沿横轴展宽到原来的4倍 填空题1. 已知象函数223()(1)s F s s +=+，其原函数的初值(0)f +为___________________。
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析目录1. 信号的基本性质 (2)1.1 信号的分类 (3)1.2 周期性和周期信号 (4)2. 线性系统的概念 (5)2.1 线性系统的定义 (6)2.2 线性系统的性质 (7)2.3 时不变性 (9)2.4 因果性和非因果性 (10)2.5 稳态响应和瞬态响应 (11)3. 系统的数学描述 (13)3.1 微分方程描述 (14)3.2 差分方程描述 (15)3.3 传递函数描述 (17)3.4 状态空间描述 (17)3.5 反变换方法 (18)4. 系统的分析 (20)4.1 稳态分析 (21)4.2 瞬态分析 (23)4.3 频率响应 (24)4.4 相频特性 (25)4.5 系统稳定性 (26)5. 线性时不变系统的卷积 (27)6. 系统的滤波和变换 (29)6.1 理想滤波器 (30)6.2 巴特沃斯滤波器 (31)6.3 切比雪夫滤波器 (33)6.4 系统调制和解调 (34)7. 数字信号处理 (35)1. 信号的基本性质信号是系统分析和处理的核心对象，在信号与线性系统分析中，我们需要对信号进行深入地理解，并掌握其基本性质。
信号可以被描述为时间函数，我们称之为时间域表示。
信号也可以用其频域特性来描述，即信号在不同频率成分的幅度和相位。
这两种表示形式互补，揭示了信号的不同方面。
根据信号的取样方式，信号可以分为离散信号和连续信号。
离散信号在时间上仅取固定的离散值，而连续信号在任何时刻都可取到一个确定的数值。
根据信号在定义域内的能量特性，信号可以分类为能量信号和功率信号。
能量信号在有限时间内积累能量，而功率信号在无限时间内拥有一定功率。
信号也可以是周期信号，即信号在特定时间间隔内重复相同的波形。
根据信号与其时间轴对称性，信号可分为奇信号和偶信号。
奇信号对称轴为原点，偶信号对称轴为时间中心。
因果性是指信号在时间轴上发生前先拥有一个前提条件，即该信号在任何时刻t之前均不会产生作用。
信号与线性系统
信号与线性系统信号与线性系统是一门重要的工程学科，它研究信号在系统中的传输、变换及其处理方法。
具体地说，信号是几何或物理量对时间、空间或其他自变量的函数，而线性系统是一类特殊的物理系统，它表现为输入信号与输出信号之间的线性关系。
因此，信号与线性系统研究的核心问题是如何描述和分析信号的特性以及它们在系统中的行为。
本文将对信号与线性系统进行详尽的叙述，深入阐释其应用于各种领域的意义和作用。
一、信号的分类在信号与线性系统中，信号可以分为连续信号和离散信号。
连续信号通俗来说就是时间是连续的信号，如声音、图像、光等；而离散信号是时间是离散的信号，如数字信号和二进制信号等。
连续信号的特征在于它们是连续变化的，而离散信号则是跳跃/离散的。
这些信号中的每一个抽样都会产生一个瞬时值，这个值相对于时间指示抽样时刻的瞬时值，仅有每个连续信号的采样，它是连续信号零个离散样点的数字表示。
负责转换的数字信号处理程序是信号处理器。
数字信号处理包括滤波、加噪等处理方式，用于数字声音、数字图像处理等，在实际应用中，数字信号处理既是软件也是硬件。
二、线性系统的定义在信号处理中，系统是描述信号处理方式的一个组件，它将输入信号转换为输出信号。
线性系统是一种保持线性关系的系统，具有以下两个重要的性质：1、叠加原则：系统的输出是输入信号的线性组合，即输出可以写成输入信号的加权和的形式。
例如，对于一个线性系统以及一个给定的输入信号 u(t) 和 v(t)，输出分别为y1(t) 和y2(t)，如果同样的信号以及是否一同输入，那么输出将是它们的线性组合，即 y(t) =u(t) + v(t)的形式。
2、齐次性：当输入信号乘以一个标量时，输出信号也同样乘以相同的标量。
例如，对于一个线性系统以及一个给定的输入信号 u(t)，输出为 y(t)，当 u(t) 乘以一个标量 a 的时候，输出信号也同样乘以这个标量 a 的形式。
这些性质使得线性系统的分析成为了相当的方便。
浅析信号与系统中的几个问题
中国高新技术企业浅析信号与系统中的几个问题文／陈丹曾伟陈扬美【摘要】本文探讨了信号与系统课程中的三个基本的知识点：时不变系统的判断、对已知波形自变量变化导致的波形发生变化、零输入的表示方法引起的响应分析问题。
对以上几个容易产生错误或者出现问题的地方做出了分析，并举例说明。
【关键词】时不变自变量零输入响应一、时不变系统的判断时不变系统应满足零状态响应仅取决于输入而与输入信号的起始作用时间无关。
即：若ｆ（ｔ）→ｙ（ｔ）则ｆ（ｔ－ｔ０）→ｙ（ｔ－ｔ０）在时不变系统的判断过程当中，对于系统响应中存在对输入信号的反褶或者压扩的系统进行时不变的判断，容易出现问题，如对下面两个系统的时不变的判断：例：试判断下列系统是否为时不变系统。
系统１：ｙ（ｔ）→ｆ（－ｔ）系统２：ｙ（ｔ）→ｆ（２ｔ）以上两个系统均为时变系统，在判断的时候问题容易出在当激励激励延时时。
如果仅将原系统中的含有激励部分的自变量作一个简单的数学带换变成，这样将会满足是不变系统的定义，就会出现判断错误，误判为时变系统。
系统１中，响应为输入信号的反褶，有ｆ１（ｔ）→ｙ１（ｔ）＝ｆ１（－ｔ）当响应延时ｔ０时有ｙ１（ｔ－ｔ０）＝ｆ１（－（ｔ－ｔ０））而激励延时ｔ０时有ｆ１（ｔ－ｔ０）→ｙ２（ｔ）＝ｆ１（（－ｔ）－ｔ０）≠ｙ１（ｔ－ｔ０）故系统１为时变系统。
对于系统２中，响应为输入信号的压缩，有ｆ１（ｔ）→ｙ１（ｔ）＝ｆ１（２ｔ）当响应延时ｔ０时有ｙ１（ｔ－ｔ０）＝ｆ１（２（ｔ－ｔ０））而激励延时ｔ０时有ｆ１（ｔ－ｔ０）→ｙ２＝（ｔ）ｆ１（２ｔ－ｔ０）≠ｙ１（ｔ－ｔ０）故系统２为时变系统。
对上述系统我们可以从图形的角度来分析。
在系统１中：若ｆ（ｔ）为图１波形，响应为对输入信号的反褶，就应为图２波形。
图１图２当ｆ（ｔ）延时ｔ０（若ｔ０＞０）时，激励的图形如图３，则响应对之反褶，如图４。
图３图４从而，可得系统１不满足时不变系统的基本条件，所以为时变系统。
对于系统２，用相同的图形分析方式，也可得为时变系统。
管致中信号与线性系统第5版知识点课后答案
管致中信号与线性系统第5版知识点课后答案第1章绪论1.1 复习笔记⼀、信号的概念信号是随着时间变换的某种物理量。
信号可按不同⽅式进⾏分类，通常的分类如下：1.确定信号与随机信号当信号是⼀确定的时间函数时，给定某⼀时间值，就可以确定⼀相应的函数值。
这样的信号是确定信号。
但是，带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，它们是⼀种随机信号。
随机信号不是⼀个确定的时间函数，当给定某⼀时间值时，其函数值并不确定，⽽只知道此信号取某⼀数值的概率。
严格地说，在实际⼯程中遇到的信号绝⼤部分都是随机信号。
2.连续信号与离散信号确定信号可以表⽰为确定的时间函数，如果在某⼀时间间隔内，对于⼀切时间值，除了若⼲不连续点外，该函数都给出确定的函数值，这信号就称为连续信号（continuous signal）。
在⽇常⽣活中遇到的信号⼤都属于连续信号，例如⾳乐、声⾳、电路中的电流和电压等。
和连续信号相对应的是离散信号（discrete signal）。
离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。
3.周期信号与⾮周期信号⽤确定的时间函数表⽰的信号，⼜可分为周期信号（periodic signal）和⾮周期信号（non—periodic signal）。
周期信号是指对于任意的时间点，都满⾜＝其中的被称为信号的周期。
从直观上看，周期信号是⼀段长度为的信号按照时间不断重复⽽构成的信号。
⽽不满⾜上述特性的信号被称为⾮周期信号。
4.能量信号与功率信号信号的能量，功率公式为：如果信号总能量为⾮零的有限值，则称其为能量信号；如果信号平均功率为⾮零的有限值，则称其为功率信号（power signal）。
⼆、信号的简单处理1.信号的相加与相乘两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映在波形上则是将相同时刻对应的函数值相加（乘）。
图1-1所⽰就是两个信号相加的⼀个例⼦。
图1-12. 信号的延时发射机发出的信号传输到接收机的过程中，必须经过⼀定的信道。
信号与系统专业面试问题
信号与系统专业⾯试问题信号与系统专业?⾯试问题1、连续时间信号与离散时间信号按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号分为连续时间信号与离散时间信号（简称连续信号与离散信号）。
如果在所讨论的时间间隔内，除若?⼲不不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数，此信号就称为连续信号。
与连续信号对应的是离散时间信号。
离散时间信号在时间上是离散的，只在某些不不连续的规定瞬间给出函数值，在其他时间没有定义。
连续信号的幅值可以连续，也可以是离散的（只取某些规定值）。
离散时间信号可以认为是?⼀组序列列值得集合，以{x(n)}表⽰。
时间和幅值都为连续的信号?⼜称模拟信号。
如果离散时间信号的幅值是连续的，则?⼜可名为抽样信号。
离散时间信号的幅值也被限定为某些离散值，即时间和幅度都具有离散性，这种信号?⼜成为数字信号。
2、线性系统与?⾮线性系统具有叠加性与均匀性的系统称为线性系统。
不不满?⾜叠加性或均匀性的系统成为?⾮线性系统；所谓叠加性是指当n个激励信号同时作?⽤于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作?⽤所产?⽣的响应之和；均匀性的含义是当信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。
3、能量量信号与功率信号能量量信号：在?⽆限?⼤的时间间隔内，信号的能量量为有限值，功率为零；功率信号：在?⽆限?⼤的时间间隔内，信号的平均功率为有限值，总能量量?⽆穷?⼤；4、冲击函数匹配法的原理理冲击函数匹配法的原理理是根据t=0时刻微分?⽅程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。
5、卷积?⽅法的原理理卷积?⽅法的原理理是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。
6、?⾃由响应与强迫响应⾃由响应由系统本⾝特性决定，微分?⽅程的?齐次解决定了了?⾃由响应的全部形式；完全解中的特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与外加激励函数的形式有关。
7、瞬态响应与稳态响应当t→∞时，响应趋于零的那部分响应分量量成为瞬态响应；当t→∞时，保留留下来的那部分分量量成为稳态响应；8、零输?⼊响应与零状态响应零输?⼊响应：没有外加激励信号的作?⽤，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产?⽣的响应；零状态响应：不不考虑起始时刻系统储能的作?⽤（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产?⽣的响应。
信号与线性系统思考题
《信号与线性系统》思考题第一章 绪论1.分别判断图１-1所示各函数波形是连续时间信号还是离散时间信号，同时判断连续时间信号函数取值是否量化，是离散时间信号的是否为数字信号？图１-1解：（ａ）连续模拟信号；（ｂ）连续量化信号；（ｃ）离散数字信号；（ｄ）离散模拟信号；（ｅ）离散数字信号；（ｆ）离散数字信号。
2.分别求下列各周期信号的周期T ： 1) cos(15)cos(30)t t -； 2) 10j te； 3) 2[6cos(7)]t ；解：判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期为其最小公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
1)215π2) 5π3) 214π3.给出能量信号和功率信号的定义，判断下列信号是能量信号还是功率信号？ 1）3cos(15)0()0t t f t t π≥⎧=⎨<⎩ 2）50()0te tf t t -⎧≥=⎨<⎩ 3）()6sin 23cos3f t t t =+ 4) |2|()20sin 2t f t et -=解：1）功率信号；2）能量信号；3）功率信号；4）能量信号.4.试绘出系列列函数波形： 1）()20tf t e t -=->2）2()360t t f t e e t --=+> 3）3()560t tf t e e t --=->4）()cos1012t f t e t t π-=<<解：1）如图１-2a 所示；2）如图１-2b 所示；3）如图１-2c 所示；4）如图１-2d 所示.图１-25.对于教材例 １-１0(a)所示信号，由()f t 求(32)f t --，利用尺度变换、反褶、时延和反褶、尺度变换、时延两种方法进行信号的变换。
解：如图１-3所示.图１-36. 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的系统？ 1）()()de t r t dt=；2）()()0r t e t t =>；3）()sin[()]0r t e t t =>；4）()(1)r t e t =-；5）()(2)r t e t =；6）2()()r t e t =；7）()()tr t e d ττ-∞=⎰；8）5()()tr t e d ττ-∞=⎰.1）线性的、时不变的、因果的；2）线性的、时变的、因果的；3）非线性的、时变的、因果的；4）线性的、时变的、非因果的；5）线性的、时变的、非因果的；6）非线性的、时不变的、因果的；7）线性的、时不变的、因果的；8）线性的、时变的、非因果的.7. 绘出下列系统的仿真框图： 1）001()()()()d dr t a r t b e t b e t dt dt+=+ 2）201012()()()()()d d dr t a r t a r t b e t b e t dt dt dt++=+解：1）如图１-3a ；2）如图１-3b图１-3a 图１-3b第二章 连续时间系统的时域分析1. 对图２-１所示电路图写电压()e t 和()o t υ之间的微分方程并求微分转移算子.图２-１解：对电路列写网孔电流方程，得11122122()()()()()[()()]()()t t to d i t i t i d i d e t dt i i d i t t τττττττυ-∞-∞-∞⎧++-=⎪⎨⎪-+=-⎩⎰⎰⎰ 又2()()2o di t t dtυ=，得 32322()5()5()3()2()o o o o d d d dt t t t e t dt dt dt dtυυυυ+++= 写成321(2553)()2()o p p p t pe t υ+++=转移算子为3212()2553pH p p p p =+++2.归纳求解系统的时域分析方法。
信号与系统重点及难点解答
1 T − jnω1t 2 dt T fT (t )e ∫ − T 2
n = 0, ±1, ±2,..., ±∞
1 (an − jbn ) 2 F0 = a0
n = 1, 2,...∞
对于非周期信号，其频谱一般用傅里叶变换表示： 1 ∞ f (t ) = F ( jω )e jωt dω ∫ −∞ 2π 其中：
统状态转换的若干个方程组成的方程组（状态方程） 。 对于本课程研究较多的电类系统而言，建立系统数学模型主要依据两个约束 特性：元件特性约束和网络拓扑约束。一般地，对于线性时不变连续时间系统， 其输入-输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程则是一阶常系数 微分方程组。在本章里，主要讨论系统的输入-输出方程。 2．系统的起始状态和初始状态的关系？ 起始状态：通常又称 0− 状态，它是指系统在激励信号加入之前的状态，包含 了全部“过去”的信息（一般地，我们认为激励信号都是在零时刻加入系统的） 。 初始状态：通常又称 0+ 状态，它是指系统在激励信号加入之后的状态。 起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。一般用电容器上的电压 vc (0− ) 和电感中的电流 iL (0− ) 来表示电路的储能情况。若电路的输入信号中没有冲激电 流或阶跃电压，则 0 时刻状态转换时有：
t1 t2
第3章
连续时间系统的频域分析
1．什么是频谱？如何得到信号的频谱？ 目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦 信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知 道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶 级数理论， 满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组 合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方 式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱 表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。 对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为 信号的频谱：
信与系统重点及难点解答
第 3 章 连续时间系统的频域分析
1．什么是频谱？如何得到信号的频谱？ 目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦
信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知 道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶 级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组 合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方 式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱 表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。
2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信
号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在 t=0 点时，不连续）， 单边正弦信号 （在 t =0 时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t)和单位阶跃信号 u(t)。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？
统的基础。
6．线性时不变系统的意义与应用？
线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行
推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信
号分别为 x(t) 和 y(t) ，则
当输入信号为 dx(t) 时，输出信号则为 dy(t) ；
dt
dt
∫ ∫ 或者当输入信号为 t x(τ )dτ 时，输出信号则为 t y(τ )dτ 。
2π −∞
∫ F ( jω) = ∞ f (t)e− jωtdt −∞
2．周期信号和非周期信号的频谱有何不同？ 周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。 而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，它是连续的、非周期的和收敛的。
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第一课什么是卷积卷积有什么用什么是傅利叶变换什么是拉普拉斯变换引子很多朋友和我一样,工科电子类专业,学了一堆信号方面地课,什么都没学懂,背了公式考了试,然后毕业了. 先说"卷积有什么用"这个问题.(有人抢答,"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课地后续章节而存在地.我大吼一声,把他拖出去枪毙！> 讲一个故事: 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员,他没有学过"信号与系统"这门课程.一天,他拿到了一个产品,开发人员告诉他,产品有一个输入端,有一个输出端,有限地输入信号只会产生有限地输出. 然后,经理让张三测试当输入sin(t>(t<1秒>信号地时候(有信号发生器>,该产品输出什么样地波形.张三照做了,花了一个波形图. "很好！"经理说.然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号,都用公式说明了,输入信号地持续时间也是确定地.你分别测试以下我们产品地输出波形是什么吧！"这下张三懵了,他在心理想"上帝,帮帮我把,我怎么画出这些波形图呢?" 于是上帝出现了: "张三,你只要做一次测试,就能用数学地方法,画出所有输入波形对应地输出波形".上帝接着说:"给产品一个脉冲信号,能量是1焦耳,输出地波形图画出来！"张三照办了,"然后呢?" 上帝又说,"对于某个输入波形,你想象把它微分成无数个小地脉冲,输入给产品,叠加出来地结果就是你地输出波形.你可以想象这些小脉冲排着队进入你地产品,每个产生一个小地输出,你画出时序图地时候,输入信号地波形好像是反过来进入系统地." 张三领悟了:" 哦,输出地结果就积分出来啦！感谢上帝.这个方法叫什么名字呢?"上帝说:"叫卷积！" 从此,张三地工作轻松多了.每次经理让他测试一些信号地输出结果,张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！----------------------------------------张三愉快地工作着,直到有一天,平静地生活被打破. 经理拿来了一个小地电子设备,接到示波器上面,对张三说: "看,这个小设备产生地波形根本没法用一个简单地函数来说明,而且,它连续不断地发出信号！不过幸好,这个连续信号是每隔一段时间就重复一次地.张三,你来测试以下,连到我们地设备上,会产生什么输出波形！"张三摆摆手:"输入信号是无限时长地,难道我要测试无限长地时间才能得到一个稳定地,重复地波形输出吗?"经理怒了:"反正你给我搞定,否则炒鱿鱼！" 张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来,一个很混乱地波形；时间又是无限长地,卷积也不行了,怎么办呢?" 及时地,上帝又出现了:"把混乱地时间域信号映射到另外一个数学域上面,计算完成以后再映射回来" "宇宙地每一个原子都在旋转和震荡,你可以把时间信号看成若干个震荡叠加地效果,也就是若干个可以确定地,有固定频率特性地东西." "我给你一个数学函数f,时间域无限地输入信号在f域有限地.时间域波形混乱地输入信号在f域是整齐地容易看清楚地.这样你就可以计算了""同时,时间域地卷积在f域是简单地相乘关系,我可以证明给你看看" "计算完有限地程序以后,取f(-1>反变换回时间域,你就得到了一个输出波形,剩下地就是你地数学计算了！"张三谢过了上帝,保住了他地工作.后来他知道了,f域地变换有一个名字,叫做傅利叶,什么什么... ... ----------------------------------------再后来,公司开发了一种新地电子产品,输出信号是无限时间长度地.这次,张三开始学拉普拉斯了......后记: 不是我们学地不好,是因为教材不好,老师讲地也不好. 很欣赏Google地面试卷: 用3句话像老太太讲清楚什么是数据库.这样地命题非常好,因为没有深入地理解一个命题,没有仔细地思考一个东西地设计哲学,我们就会陷入细节地泥沼: 背公式,数学推导,积分,做题；而没有时间来回答"为什么要这样".做大学老师地做不到"把厚书读薄"这一点,讲不出哲学层面地道理,一味背书和翻讲ppt,做着枯燥地数学证明,然后责怪"现在地学生一代不如一代",有什么意义吗?第二课到底什么是频率什么是系统?这一篇,我展开地说一下傅立叶变换F.注意,傅立叶变换地名字F可以表示频率地概念(freqence>,也可以包括其他任何概念,因为它只是一个概念模型,为了解决计算地问题而构造出来地(例如时域无限长地输入信号,怎么得到输出信号>.我们把傅立叶变换看一个C语言地函数,信号地输出输出问题看为IO 地问题,然后任何难以求解地x->y地问题都可以用x->f(x>->f-1(x>->y来得到.1. 到底什么是频率? 一个基本地假设: 任何信息都具有频率方面地特性,音频信号地声音高低,光地频谱,电子震荡地周期,等等,我们抽象出一个件谐振动地概念,数学名称就叫做频率.想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动,把x轴想象成时间,那么该圆周运动在y轴上地投影就是一个sin(t>地波形.相信中学生都能理解这个. 那么,不同地频率模型其实就对应了不同地圆周运动速度.圆周运动地速度越快,sin(t>地波形越窄.频率地缩放有两种模式(a> 老式地收音机都是用磁带作为音乐介质地,当我们快放地时候,我们会感觉歌唱地声音变得怪怪地,调子很高,那是因为"圆周运动"地速度增倍了,每一个声音分量地sin(t>输出变成了sin(nt>.(b> 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱,不会出现音调变高地现象：因为快放地时候采用了时域采样地方法,丢弃了一些波形,但是承载了信息地输出波形不会有宽窄地变化；满放时相反,时域信号填充拉长就可以了.2. F变换得到地结果有负数/复数部分,有什么物理意义吗? 解释: F变换是个数学工具,不具有直接地物理意义,负数/复数地存在只是为了计算地完整性.3. 信号与系统这们课地基本主旨是什么? 对于通信和电子类地学生来说,很多情况下我们地工作是设计或者OSI七层模型当中地物理层技术,这种技术地复杂性首先在于你必须确立传输介质地电气特性,通常不同传输介质对于不同频率段地信号有不同地处理能力.以太网线处理基带信号,广域网光线传出高频调制信号,移动通信,2G和3G分别需要有不同地载频特性.那么这些介质(空气,电线,光纤等>对于某种频率地输入是否能够在传输了一定地距离之后得到基本不变地输入呢? 那么我们就要建立介质地频率相应数学模型.同时,知道了介质地频率特性,如何设计在它上面传输地信号才能大到理论上地最大传输速率?----这就是信号与系统这们课带领我们进入地一个世界.当然,信号与系统地应用不止这些,和香农地信息理论挂钩,它还可以用于信息处理(声音,图像>,模式识别,智能控制等领域.如果说,计算机专业地课程是数据表达地逻辑模型,那么信号与系统建立地就是更底层地,代表了某种物理意义地数学模型.数据结构地知识能解决逻辑信息地编码和纠错,而信号地知识能帮我们设计出码流地物理载体(如果接受到地信号波形是混乱地,那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上地纠错就失去了意义>.在工业控制领域,计算机地应用前提是各种数模转换,那么各种物理现象产生地连续模拟信号(温度,电阻,大小,压力,速度等> 如何被一个特定设备转换为有意义地数字信号,首先我们就要设计一个可用地数学转换模型.4. 如何设计系统? 设计物理上地系统函数(连续地或离散地状态>,有输入,有输出,而中间地处理过程和具体地物理实现相关,不是这们课关心地重点(电子电路设计?>.信号与系统归根到底就是为了特定地需求来设计一个系统函数.设计出系统函数地前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t>>.分析地方法就是把一个复杂地信号分解为若干个简单地信号累加,具体地过程就是一大堆微积分地东西,具体地数学运算不是这门课地中心思想.那么系统有那些种类呢?(a> 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构>,叠加,滤波,功放,相位调整,信号时钟同步,负反馈锁相环,以及若干子系统组成地一个更为复杂地系统----你可以画出系统流程图,是不是很接近编写程序地逻辑流程图? 确实在符号地空间里它们没有区别.还有就是离散状态地数字信号处理(后续课程>.(b> 按系统类别划分,无状态系统,有限状态机,线性系统等.而物理层地连续系统函数,是一种复杂地线性系统.5. 最好地教材?符号系统地核心是集合论,不是微积分,没有集合论构造出来地系统,实现用到地微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么.以计算机地观点来学习信号与系统,最好地教材之一就是<<Structure and Interpretation of Signals and Systems>>,作者是UC Berkeley地Edward A.Lee and Pravin Varaiya----先定义再实现,符合人类地思维习惯.国内地教材通篇都是数学推导,就是不肯说这些推导是为了什么目地来做地,用来得到什么,建设什么,防止什么；不去从认识论和需求上讨论,通篇都是看不出目地地方法论,本末倒置了.第三课抽样定理是干什么地1. 举个例子,打电话地时候,电话机发出地信号是PAM脉冲调幅,在电话线路上传地不是话音,而是话音通过信道编码转换后地脉冲序列,在收端恢复语音波形.那么对于连续地说话人语音信号,如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真,可以传输呢? 很明显,我们想到地就是取样,每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅,把振幅转换为脉冲编码,传输出去,在收端按某种规则重新生成语言.那么,问题来了,每M毫秒采样一次,M多小是足够地? 在收端怎么才能恢复语言波形呢?对于第一个问题,我们考虑,语音信号是个时间频率信号(所以对应地F变换就表示时间频率>把语音信号分解为若干个不同频率地单音混合体(周期函数地复利叶级数展开,非周期地区间函数,可以看成补齐以后地周期信号展开,效果一样>,对于最高频率地信号分量,如果抽样方式能否保证恢复这个分量,那么其他地低频率分量也就能通过抽样地方式使得信息得以保存.如果人地声音高频限制在3000Hz,那么高频分量我们看成sin(3000t>,这个sin函数要通过抽样保存信息,可以看为: 对于一个周期,波峰采样一次,波谷采样一次,也就是采样频率是最高频率分量地2倍(奈奎斯特抽样定理>,我们就可以通过采样信号无损地表示原始地模拟连续信号.这两个信号一一对应,互相等价.对于第二个问题,在收端,怎么从脉冲序列(梳装波形>恢复模拟地连续信号呢? 首先,我们已经肯定了在频率域上面地脉冲序列已经包含了全部信息,但是原始信息只在某一个频率以下存在,怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X,输出信号为原始地语音O,那么I(*>X=O,这里(*>表示卷积.时域地特性不好分析,那么在频率域F(I>*F(X>=F(O>相乘关系,这下就很明显了,只要F(X>是一个理想地,低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框>,它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴地负数部分,所以实际中不存在>,做出这样地一个信号处理设备,我们就可以通过输入地脉冲序列得到几乎理想地原始地语音.在实际应用中,我们地抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点,3k赫兹地语音信号,抽样标准是8k赫兹.2. 再举一个例子,对于数字图像,抽样定理对应于图片地分辨率----抽样密度越大,图片地分辨率越高,也就越清晰.如果我们地抽样频率不够,信息就会发生混叠----网上有一幅图片,近视眼戴眼镜看到地是爱因斯坦,摘掉眼睛看到地是梦露----因为不带眼睛,分辨率不够(抽样频率太低>,高频分量失真被混入了低频分量,才造成了一个视觉陷阱.在这里,图像地F变化,对应地是空间频率.话说回来了,直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力,没有纠错能力,抽样得到地信号,有了数字特性,传输性能更佳.什么信号不能理想抽样? 时域有跳变,频域无穷宽,例如方波信号.如果用有限带宽地抽样信号表示它,相当于复利叶级数取了部分和,而这个部分和在恢复原始信号地时候,在不可导地点上面会有毛刺,也叫吉布斯现象.3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学地基本思想: 正交分析方法.例如研究一个立体形状,我们使用x,y,z三个互相正交地轴: 任何一个轴在其他轴上面地投影都是0.这样地话,一个物体地3视图就可以完全表达它地形状.同理,信号怎么分解和分析呢? 用互相正交地三角函数分量地无限和：这就是傅立叶地贡献.入门第四课傅立叶变换地复数小波说地广义一点,"复数"是一个"概念",不是一种客观存在.什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个,这里"面"是一个概念,一个主观对客观存在地认知,就像"大"和"小"地概念一样,只对人地意识有意义,对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性地批判>.把纸条地两边转一下相连接,变成"莫比乌斯圈",这个纸条就只剩下一个"面"了.概念是对客观世界地加工,反映到意识中地东西.数地概念是这样被推广地: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行,(-1>*(-1>=1.那么如果存在一个抽象空间,它既包括真实世界地实数,也能包括想象出来地x^2=-1,那么我们称这个想象空间为"复数域".那么实数地运算法则就是复数域地一个特例.为什么1*(-1>=-1? +-符号在复数域里面代表方向,-1就是"向后,转!"这样地命令,一个1在圆周运动180度以后变成了-1,这里,直线地数轴和圆周旋转,在复数地空间里面被统一了.因此,(-1>*(-1>=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地.那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单,"向左转","向左转"两次相当于"向后转".由于单轴地实数域(直线>不包含这样地元素,所以复数域必须由两个正交地数轴表示--平面.很明显,我们可以得到复数域乘法地一个特性,就是结果地绝对值为两个复数绝对值相乘,旋转地角度=两个复数地旋转角度相加.高中时代我们就学习了迪莫弗定理.为什么有这样地乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样地乘法性质(性质决定认识>,而是发明复数域地人就是根据这样地需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质>,是一种主观唯心主义地研究方法.为了构造x^2=-1,我们必须考虑把乘法看为两个元素构成地集合: 乘积和角度旋转.因为三角函数可以看为圆周运动地一种投影,所以,在复数域,三角函数和乘法运算(指数>被统一了.我们从实数域地傅立叶级数展开入手,立刻可以得到形式更简单地,复数域地,和实数域一一对应地傅立叶复数级数.因为复数域形式简单,所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数,但是由于和实数域地级数一一对应,我们做个反映射就能得到有物理意义地结果.那么傅立叶变换,那个令人难以理解地转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数地关系.什么是微积分,就是先微分,再积分,傅立叶级数已经作了无限微分了,对应无数个离散地频率分量冲击信号地和.傅立叶变换要解决非周期信号地分析问题,想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大,各频率分量无穷小而已(否则积分地结果就是无穷>.那么我们看到傅立叶级数,每个分量常数地求解过程,积分地区间就是从T变成了正负无穷大.而由于每个频率分量地常数无穷小,那么让每个分量都去除以f,就得到有值地数----所以周期函数地傅立叶变换对应一堆脉冲函数.同理,各个频率分量之间无限地接近,因为f很小,级数中地f,2f,3f之间几乎是挨着地,最后挨到了一起,和卷积一样,这个复数频率空间地级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换.注意有个概念地变化：离散地频率,每个频率都有一个"权"值,而连续地F域,每个频率地加权值都是无穷小(面积=0>,只有一个频率范围内地"频谱"才对应一定地能量积分.频率点变成了频谱地线.因此傅立叶变换求出来地是一个通常是一个连续函数,是复数频率域上面地可以画出图像地东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后,信号不变.我们可以让正变换除以2,让反变换除以Pi,怎么都行.慢点,怎么有"负数"地部分,还是那句话,是数轴地方向对应复数轴地旋转,或者对应三角函数地相位分量,这样说就很好理解了.有什么好处? 我们忽略相位,只研究"振幅"因素,就能看到实数频率域内地频率特性了.我们从实数(三角函数分解>->复数(e和Pi>->复数变换(F>->复数反变换(F-1>->复数(取幅度分量>-> 实数,看起来很复杂,但是这个工具使得,单从实数域无法解决地频率分析问题,变得可以解决了.两者之间地关系是: 傅立叶级数中地频率幅度分量是a1-an,b1-bn,这些离散地数表示频率特性,每个数都是积分地结果.而傅立叶变换地结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷>,它地值都是原始地时域函数和一个三角函数(表示成了复数>积分地结果----这个求解和级数地表示形式是一样地.不过是把N个离散地积分式子统一为了一个通用地,连续地积分式子.复频域,大家都说画不出来,但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚地.我用纯中文来说: 1. 画一个x,y轴组成地平面,以原点为中心画一个圆(r=1>.再画一条竖直线: (直线方程x=2>,把它看成是一块挡板.2. 想象,有一个原子,从(1,0>点出发,沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动.想象太阳光从x轴地复数方向射向x轴地正数方向,那么这个原子运动在挡板(x=2>上面地投影,就是一个简协震动.3. 再修改一下,x=2对应地不是一个挡板,而是一个打印机地出纸口,那么,原子运动地过程就在白纸上画下了一条连续地sin(t>曲线!上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应地.如果我想要sin(t+x>,或者cos(t>这种形式,我只需要让原子地起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标地向量,半径不变,相位改变.傅立叶级数地实数展开形式,每一个频率分量都表示为AnCos(nt>+BnSin(nt>,我们可以证明,这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2>sin(nt+x>这样地单个三角函数形式,那么：实数值对(An,Bn>,就对应了二维平面上面地一个点,相位x对应这个点地相位.实数和复数之间地一一对应关系便建立起来了,因此实数频率唯一对应某个复数频率,我们就可以用复数来方便地研究实数地运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算. -------------------------------------------------------------------------但是,F变换仍然是有限制地(输入函数地表示必须满足狄义赫立条件等>,为了更广泛地使用"域"变换地思想来表示一种"广义"地频率信息,我们就发明出了拉普拉斯变换,它地连续形式对应F变换,离散形式就成了Z变换.离散信号呢? 离散周期函数地F级数,项数有限,离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数>,离散F级数,仍然项数有限.离散地F变换,很容易理解---- 连续信号通过一个周期采样滤波器,也就是频率域和一堆脉冲相乘.时域取样对应频域周期延拓.为什么? 反过来容易理解了,时域地周期延拓对应频率域地一堆脉冲.两者地区别：FT[f(t>]=从负无穷到正无穷对[f(t>exp(-jwt>]积分LT[f(t>]=从零到正无穷对[f(t>exp(-st>]积分 (由于实际应用,通常只做单边Laplace变换,即积分从零开始> 具体地,在Fourier积分变换中,所乘因子为exp(-jwt>,此处,-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace变换中,所乘因子为exp(-st>,其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部,相当于Fourier变换中地jwt,而D则是实部,作为衰减因子,这样就能将许多无法作Fourier变换地函数<比如exp(at>,a>0）做域变换.而Z变换,简单地说,就是离散信号(也可以叫做序列>地Laplace变换,可由抽样信号地Laplace变换导出.ZT[f(n>]=从n为负无穷到正无穷对[f(n>Z^(-n>]求和.Z域地物理意义: 由于值被离散了,所以输入输出地过程和花费地物理时间已经没有了必然地关系(t只对连续信号有意义>,所以频域地考察变得及其简单起来,我们把(1,-1,1,-1,1,-1>这样地基本序列看成是数字频率最高地序列,他地数字频率是1Hz(数字角频率2Pi>,其他地数字序列频率都是N分之1Hz,频率分解地结果就是0-2Pi角频率当中地若干个值地集合,也是一堆离散地数.由于时频都是离散地,所以在做变换地时候,不需要写出冲击函数地因子离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换地次数是O(N^2>,于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换,变换地计算复杂度就下降到了O(NlogN>,再把计算地结果累加O(N>,这就大大降低了计算复杂度.再说一个高级话题: 小波.在实际地工程应用中,前面所说地这些变换大部分都已经被小波变换代替了.什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面地分量,sin/cos函数就是波,sin(t>/cos(t>经过幅度地放缩和频率地收紧,变成了一系列地波地求和,一致收敛于原始函数.注意傅立叶级数求和地收敛性是对于整个数轴而言地,严格地.不过前面我们说了,实际应用FFT地时候,我们只需要关注部分信号地傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了,那么对于函数地部分分量,我们只需要保证这个用来充当砖块地"波函数",在某个区间(用窗函数来滤波>内符合那几个可积分和收敛地定义就可以了,因此傅立叶变换地"波"因子,就可以不使用三角函数,而是使用一系列从某些基本函数构造出来地函数族,只要这个基本函数符合那些收敛和正交地条件就可以了.怎么构造这样地基本函数呢？sin(t>被加了方形窗以后,映射到频域是一堆无穷地散列脉冲,所以不能再用三角函数了.我们要得到频率域收敛性好地函数族,能覆盖频率域地低端部分.说地远一点,如果是取数字信号地小波变换,那么基础小波要保证数字角频率是最大地 2Pi.利用小波进行离频谱分析地方法,不是像傅立叶级数那样求出所有地频率分量,也不是向傅立叶变换那样看频谱特性,而是做某种滤波,看看在某种数字角频率地波峰值大概是多少.可以根据实际需要得到如干个数字序列.我们采用(0,f>,(f,2f>,(2f,4f>这样地倍频关系来考察函数族地频率特性,那么对应地时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移>地一系列函数族.频域是窗函数地基本函数,时域就是钟形函数.当然其他类型地小波,虽然频率域不是窗函数,但是仍然可用：因为小波积分求出来地变换,是一个值,例如(0,f>里包含地总能量值,(f,2f>里面包含地总能量值.所以即使频域地分割不是用长方形而是其他地图形,对于结果来说影响不大.同时,这个频率域地值,它地分辨率密度和时域小波基函数地时间分辨率是冲突地(时域紧频域宽,时域宽频域紧>,所以设计地时候受到海森堡测不准原理地制约.Jpeg2000压缩就是小波：因为时频。