解三角形应用举例》 教案

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

考点2 实际应用中的常用术语 术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)

方向角

正北或正南方向线与目标方向线

所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度

例：(1)北偏东m °：

(2)南偏西n °：

坡角

坡面与水平面的夹角

设坡角为α，坡度为i ，则i ＝h

l

＝tan α

坡度

坡面的垂直高度h 和水平宽度l

的比

三、例题精析

【例题1】

【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．

【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，

∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝ 3.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝ 3 sin 75°

sin 60°

＝6＋2

2.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

6＋2

2

2－2×3×6＋2

2×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝ 5 km，

所以A，B两目标之间的距离为 5 km.

【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．

【解析】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.

在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，

由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD

sin ∠BCD ，

则BD ＝40sin 30°

sin 135°＝20 2.

∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，

BE ＝DB sin 15°＝202×6－2

4＝10(3－1)．

在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， 则AB ＝BE tan 30°＝10

3(3－3)．

故塔高为10

3(3－3) m.

【题干】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10 t 海里，

在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.解得BC ＝ 6.

又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6

＝22，

∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD

sin ∠CBD

，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝

10t ·sin 120°103t

＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝

6

10

小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ＝

26

26

，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；

(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

【解析】如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝26

26

.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝

1－⎝⎛

⎭

⎫26262＝526

26.

BC ＝

AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.

所以船的行驶速度为105

23

＝155海里/时．

(2)法一：如图所示