用于时间序列的灰色系统预测方法
灰色预测GM(1, 1)模型实现过程
灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。
上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e -＋au(3)或∧X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋au (4) 式中：k 为时间序列，可取年、季或月。
2. 辩识算法记参数序列为∧a , ∧a＝[a,u]T ,∧a 可用下式求解:∧a ＝(B T B)-1B T Y n (5)式中:B —数据阵；Y n —数据列B ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++- 1 (n))X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))X (1)X (21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－ (6) Y n ＝(X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(ｎ))T (7)3. 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量，k ∈{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM 模型所得数据∧X(1)(k +1)(或∧X(1)(k ))经过逆生成即累减生成(I —AGO)还原为∧X (0)(k +1)(或∧X (0)(k ))，即：∧X (1)(k )＝∑=ki 1∧X (0)(i)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)＋∧X (0)(k )∧X(0)(k )＝∧X(1)(k )－∑-=11k i ∧X (0)(i)因为∧X(1)(k -1)＝∑-=11k i ∧X(0)(i)，所以∧X (0)(k )＝∧X (1)(k )－∧X (1)(k -1)。
GM(1,1)灰色系统及其预测
• 目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应 用，不仅成功地应用于工程控制、经济管 理、社会系统、生态系统等领域，而且在 复杂多变的农业系统，如在水利、气象、 生物防治、农机决策、农业规划、农业经 济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统 理论在管理学、决策学、战略学、预测学、 未来学、生命科学等领域展示了极为广泛 的应用前景。
一次累减生成序列
X
(0)
{x (1), x (2),..., x (n)}
(0) (0) (0)
其中
x (k ) x (k ) x (k 1)
(0) (1) (1)
(1)
规定 x (0) 0
3．GM(1,1)模型 令 X (0)为GM(1,1)建模序列，
X
(1)
(0)
( x (1), x (2),..., x (n))
(1) (1)
2.GM(1,1)灰色微分方程 x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
的时间响应序列为
b ak b ˆ (k 1) [ x (0) ] e x a a
(1)
(1)
3.取 x (0) x (1) ，则
(1) (0)
k 1, 2,..., n
则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足 其中
(1)
( BT B) 1 BT Y n
x (0) (2) (0) Yn x (3) ... (0) x (n)
z (2) 1 (1) z (3) 1 B ... ... (1) z (n ) 1
b ak b ˆ (k 1) [ x (1) ] e x a a k 1, 2,..., n
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较灰色预测和时间序列预测是常用的预测分析方法，它们在很多领域都具有广泛的应用。
本文将比较这两个方法的优缺点和应用场景，以期帮助读者更好地理解和使用它们。
一、灰色预测方法灰色预测方法是一种基于信息不完备的小样本预测方法，它可以在数据量较小时对未来趋势进行预测。
它的优点包括：1、适用范围广：灰色预测方法适用于各种经济、社会和科技等领域的短期和中长期预测，对于复杂多变的系统也有较好的适应性。
2、效果显著：灰色预测方法可以针对不平衡数据或缺少有效信息的数据进行预测，准确率较高，在实际应用中表现出较好的效果。
3、计算简单：灰色预测方法原理简单，计算量小，对计算资源的要求较低。
但是，灰色预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：灰色预测方法对数据要求较高，在数据量不充足的情况下容易出现预测偏差。
2、理论基础不足：灰色预测方法的理论体系相对较弱，缺乏统一的数学架构支撑。
3、易受外部因素影响：灰色预测方法很容易受到外部因素的影响，对于具有较强周期性的数据预测，其效果可能不太理想。
二、时间序列预测方法时间序列预测方法是指将某一现象随时间变化的过程所形成的数值序列作为研究对象，通过对序列的统计特征进行分析来预测未来的趋势。
它的优点有：1、适用性广泛：时间序列预测方法适用于各种领域的数据，并可应用于多种时间序列模型，如ARIMA、ARCH、GARCH等。
2、模型复杂，预测精度高：时间序列预测方法可使用多种复杂模型进行预测，模型优化后可以得到较为精确的预测结果。
3、预测稳定可靠：时间序列预测方法通常采用样本内和样本外检验来验证预测模型的稳定性和可靠性。
但是，时间序列预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：时间序列预测方法对基础数据的准确性和完整性要求非常高，只有数据质量较高时才能得到准确的结果。
2、影响因素复杂：由于各种外部和内部因素的影响，某些时间序列的预测较为困难。
3、计算资源要求高：时间序列预测方法涉及多个模型、参数和算法，因此需要更高的计算资源和算法优化，计算成本较高。
灰色预测模型及其应用
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
4.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
第四章 灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是 根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于 科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述 和分析，并形成科学的假设和判断.
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
数据分析中的时间序列分析方法
数据分析中的时间序列分析方法时间序列分析是数据分析中常用的一种方法，通过对时间序列数据的分析，可以揭示出数据的趋势、周期性和随机变动等规律，从而为决策提供有力的支持。
本文将介绍几种常用的时间序列分析方法。
一、平滑法（Smoothing）平滑法是一种常见的时间序列分析方法，其主要目的是去除数据中的随机波动，揭示出数据的长期趋势。
平滑法最常用的方法包括简单移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法等。
简单移动平均法将一段时间内的数据取平均值，加权移动平均法则对不同时间的数据进行加权计算，而指数平滑法则是根据数据的权重递推计算平滑值。
二、分解法（Decomposition）分解法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分三个部分的方法。
通过分析趋势部分，可以了解数据的长期变化趋势；分析季节性部分，可以揭示出数据中的周期性变动；而随机成分则代表了不可预测的波动。
常用的分解法有加法分解和乘法分解两种方式。
加法分解是将时间序列数据减去趋势和季节性成分，得到的剩余部分就是随机成分；乘法分解则是将时间序列数据除以趋势和季节性成分，得到的结果同样是随机成分。
三、自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，通过对时间序列数据的自相关和移动平均相关进行建模，可以预测未来时间点的值。
ARMA模型是AR模型和MA模型的结合，AR模型用于描述数据的自相关关系，而MA模型则用于描述数据的移动平均相关关系。
ARMA模型的具体建模过程包括模型的阶数选择、参数估计和模型检验等。
四、季节性ARIMA模型（SARIMA）季节性ARIMA模型是在ARIMA模型的基础上加入季节性成分的一种模型。
季节性ARIMA模型主要用于处理具有明显季节性规律的时间序列数据。
与ARIMA模型类似，季节性ARIMA模型也包括模型阶数选择、参数估计和模型检验等步骤，不同的是在建模时需要考虑季节性的影响。
五、灰色系统模型（Grey Model）灰色系统模型是一种特殊的时间序列预测方法，主要适用于数据样本较少或者数据质量较差等情况。
灰色预测
用最小二乘法估计为
Uˆ
aˆ uˆ
(BT
B)1 BT
y
将a与u的估计值代入微分方程可得
xˆ(1) (k 1) [x(1) (1) uˆ ]eaˆk uˆ
aˆ
aˆ
GM(1,1)模型
求模拟值 x(1) 并累减还原出 x(0) 的模拟值。 对其做累减还原即可得到原始数列的灰色预测 模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k)
灰色生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处 理称为生成.对原始数据的生成就是企图从杂 乱无章的现象中去发现内在规律.
常用的灰色生成方式有: 累加生成,累减生 成,均值生成,级比生成等
灰色生成
累加生成
累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数 列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在 灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可 以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据 中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原 始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序 列的一种手段.
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——是1阶方程,包含有1个变量 的灰色模型
• GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个 变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
模型精度检验
+ 相对误差大小检验法(最常用) + 后验差检验法 + 关联度检验法
模型精度检验
相对误差大小检验法
相对误差大小检验法,它是一种直观的逐点进 行比较的算术检验方法,它是把预测数据与实 际数据相比较,观测其相对误差是否满足实际 要求。 设按该模型以求出Xˆ (1) ，并将 Xˆ (1) 做一次累 减转化为Xˆ (0) ，即
分数灰色预测matlab代码详解
分数灰色预测matlab代码详解
分数灰色预测是一种基于灰色系统理论的非线性预测方法，通过对待预测序列的数据进行分形分析，建立分数阶微分方程模型，从而进行预测。
下面我们将详细介绍该方法的matlab代码实现过程。
1. 数据准备
首先，需要准备待预测的时间序列数据，在matlab中可以通过读取文件或手动输入的方式获取数据。
在本文中，我们将使用matlab 自带的load函数读取一个名为data.txt的文本文件中的时间序列数据。
2. 数据预处理
在进行预测之前，需要对数据进行预处理。
这包括去除噪声、平滑处理、归一化等。
在本文中，我们将采用matlab中自带的smooth 函数进行平滑处理，并使用归一化方法将数据缩放到0至1之间。
3. 模型建立
接下来，需要建立分数灰色预测模型。
在matlab中，可以使用greyest函数进行模型参数估计。
在本文中，我们将使用分数阶微分方程模型，因此需要先通过fracdiff函数估计分数阶微分系数。
4. 模型预测
有了模型之后，就可以进行预测了。
在matlab中，可以使用sim 函数进行模型仿真。
在本文中，我们将使用该函数对模型进行预测，并将预测结果可视化。
5. 结果分析
最后，需要对预测结果进行分析。
可以通过计算误差指标、绘制误差曲线等方式进行分析。
在本文中，我们将计算均方误差和平均绝对误差，并绘制预测结果和实际结果的对比图。
综上所述，以上就是分数灰色预测的matlab代码详解。
通过对上述步骤的实现，可以得到较为准确的预测结果，并帮助我们更好地了解该预测方法的原理和应用。
三角白化权函数的灰色评估模型
三角白化权函数的灰色评估模型1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本篇文章的研究背景和主要内容。
本文关注的主题是三角白化权函数的灰色评估模型，该模型在灰色评估中具有重要应用价值。
灰色评估是一种定量分析方法，用于评估和预测一些缺乏完备信息的系统或问题。
然而，传统的灰色评估模型存在一些局限性和不足之处。
为了克服这些问题，近年来，研究人员提出了一种新的灰色评估模型——三角白化权函数。
该模型通过引入权重因子，能够更准确地评估和预测系统的状态或发展趋势。
本文将首先介绍三角白化权函数的基本原理和定义。
然后，将探讨灰色评估模型的基本原理，包括建模、评估和预测的方法。
接下来，将重点讨论三角白化权函数在灰色评估模型中的应用，以及该模型相对于传统模型的优势和局限性。
通过本文的研究，读者将了解三角白化权函数的概念、原理和应用，以及灰色评估模型在实际问题中的应用和价值。
同时，读者还可以对该模型的优势和局限性有更深入的了解，从而能够更好地应用该模型进行系统评估和决策分析。
总之，本文旨在介绍三角白化权函数的灰色评估模型，并探讨其在实际问题中的应用和优势。
通过本文的阅读，读者将对该模型有更深入的了解，并能够将其应用于实际问题中，提高决策的准确性和有效性。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织架构和章节安排，有助于读者更好地理解文章内容。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 三角白化权函数的介绍2.2 灰色评估模型的基本原理3. 结论3.1 三角白化权函数在灰色评估模型中的应用3.2 模型的优势和局限性在引言部分之后，正文部分是主要的内容分析和探讨部分，讨论了三角白化权函数和灰色评估模型的基本原理。
在正文部分结束后，结论部分总结了三角白化权函数在灰色评估模型中的应用，并讨论了该模型的优势和局限性。
通过这样的章节安排，读者可以更好地理解文章内容的逻辑结构，从而更好地掌握三角白化权函数的灰色评估模型。
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
基于灰色预测与BP神经网络的全球温度预测研究
基于灰色预测与BP神经网络的全球温度预测研究全球气候变化是当前全球关注的热点问题之一，预测全球温度变化趋势对于应对气候变化、制定相关政策具有重要意义。
本文将基于灰色预测和BP神经网络的方法，对全球温度进行预测研究。
介绍一下灰色预测模型。
灰色预测是一种非线性动态系统预测方法，该方法主要适用于时间序列较短、数据质量较差的情况。
灰色预测模型基于灰度关联度的原理，通过建立灰色微分方程，对非确定性的系统进行建模和预测。
灰色预测模型的关键是建立灰色微分方程。
灰色微分方程包括GM(1,1)模型和其它高阶模型。
其中GM(1,1)模型是最简单的一种，也是应用最广泛的一种。
GM(1,1)模型通过对原始数据进行累加生成累加生成数列，然后通过一次累加生成数列得到一次累加数列，通过两次累加生成数列得到两次累加数列，依此类推，直到累加生成数列的相关系数满足精度要求。
通过差分方程对一次累加数列进行逆向累加生成数列即可得到灰色模型的预测结果。
然后，介绍BP神经网络模型。
BP神经网络是一种基于反向传播算法的多层前馈网络，广泛应用于模式识别、数据建模、预测等领域。
BP神经网络模型通过调整网络的连接权值和偏置值，使得网络的输出与期望输出之间的误差最小化。
通过多次迭代训练，不断优化网络结构和参数，以提高模型的预测能力。
在本文的研究中，首先收集全球温度数据，建立时间序列。
然后，将数据分为训练集和测试集。
使用灰色预测模型和BP神经网络模型对训练集进行训练，并在测试集上进行预测。
对于灰色预测模型，将原始温度数据应用于GM(1,1)模型。
对原始数据进行累加生成数列，然后通过相关系数检验确定最优累加次数。
根据差分方程对数据进行逆向累加生成数列，得到预测结果。
对比灰色预测模型和BP神经网络模型的预测结果，并评估两种模型的预测能力。
通过对比分析，选择较为准确的预测模型，并对全球温度的未来变化趋势进行预测。
灰色预测模型论文
灰色预测模型论文
灰色预测模型是一种基于小样本数据的预测方法，该方法通过对已有数据的分析和处理，得到未来趋势的预测结果。
灰色预测模型适用于预测非常规变化或变化不规则的时间序列数据，具有简单、方便、快速的特点。
在灰色预测模型的基础上，研究者们持续进行着探索和研究。
相关的论文和研究逐渐丰富。
例如，张贵耀等人在《基于FFT变换与遗传算法的灰色预测模型及其在环境优化中的应用》中，提出了一种基于FFT变换和遗传算法的灰色预测模型，该方法在应用于环境优化中取得了较好的预测效果。
另外，魏伟等人在《基于灰色理论和神经网络的锂电池SOH 估计方法研究》中，将灰色理论与神经网络相结合，提出了一种新的锂电池SOH估计方法。
该方法不仅能够准确地评估锂电池的状态，而且还能够预测其未来的寿命。
此外，吕振国等人在《一种基于蚁群算法和灰色预测的PM2.5浓度预测方法》中，将蚁群算法和灰色预测模型相结合，开发出一种新的PM2.5浓度预测方法。
该方法在实际应用中，能够较准确地预测PM2.5浓度变化趋势。
综上所述，灰色预测模型是一种有效的预测方法，在各个领域得到了广泛的应用和研究。
未来，随着人工智能和大数据技术
的发展，灰色预测模型也将在更多领域得到应用并取得更好的预测效果。
基于灰色预测模型的电力需求量预测研究
基于灰色预测模型的电力需求量预测研究近年来，电力需求一直是各国政府和电力公司关注的一个重要领域。
如何预测并合理调控电力需求量，已经成为各国电力工业发展的重要议题。
而灰色预测模型作为一种基于数据分析的预测方法，逐渐应用到电力需求量预测的研究中。
一、灰色预测模型基本原理灰色预测模型是一种基于时间序列分析的预测方法，它主要是通过将不完整、不透明等有限的数据进行修正、削弱等处理，进而实现对未来数据的预测。
灰色预测模型主要由GM(1,1)、GM(2,1)等模型构成。
其中，GM(1,1)模型是一种一阶线性微分方程模型。
在GM(1,1)模型中，假设数据序列为否定一次累加的序列，即：X(1), X(2)-X(1), X(3)-X(2),...,X(n)-X(n-1)然后，将数据序列转换成灰色微分方程的形式，得到：X~(1), X~(2),...,X~(n)通过对得到的灰色微分方程进行求解，可以得到预测值，从而实现对未来数据的预测。
二、灰色预测模型在电力需求量预测中的应用灰色预测模型在电力需求量预测中的主要应用包括：1. 对未来高峰期电力需求的预测在电力系统中，高峰期电力需求往往与气温、工业生产、人口流动等因素密切相关。
通过对这些影响因素的数据进行灰色预测，可以预测未来高峰期电力需求的情况，并进行合理调控。
2. 对未来季节电力需求的预测季节变化也是影响电力需求量的一个因素。
通过对历年的季节电力需求数据进行灰色预测，可以预测不同季节的电力需求量，并进行针对性的调控。
3. 对未来短期电力需求的预测在电力系统中，短期预测主要是指对未来几天或几周的电力需求进行预测。
通过对近期的电力需求数据进行灰色预测，可以实现对未来短期电力需求的合理预测和调控。
三、灰色预测模型在电力需求量预测中的优点与传统的统计预测方法相比，灰色预测模型在电力需求量预测中具有以下优点：1. 适用于数据缺失、不可知、不完整等情况在电力需求量预测中，由于各种原因导致的数据缺失、不可知和不完整的情况较为常见。
灰色系统预测
1 预测方法介绍预测方法可分为定性和定量预测两种。
定性预测是依据预测者对预测对象有关情况的了解和分析，由预测者根据实践经验和主观判断做出的预测，可分为市场调研法、专家预测法、主观概率法、交叉影响法等。
该方法主要用于对预测对象的未来性质、发展趋势和转折点进行预测。
定量预测是以大量的历史观察值为主要依据，建立适当的数学模型进行预测，推断和估计预测目标的未来值。
预测精度和把握度较高，克服了定性分析不足。
具体方法包括相关因素预测法和时间序列预测法。
1．相关因素预测常用预测方法为一元线性回归法和多元线性回归法。
两者均需要建立线性回归模型进行预测。
线性回归模型一般是用于测定经济现象之间在数量上变化的一般关系，运用最小二乘法，计算出经济指标在时间上的变化关系和发展趋势。
在搜集数据齐全的基础上，构建线性回归模型，再由最小二乘法计算回归系数，最后由建立的线性回归模型预测未来年的指标结果。
2.时间序列预测时间序列预测是针对已知的历史数据进行分析，建立时间序列模型预测。
常用方法有指数平滑法、灰色预测法。
指数平滑法是移动平均法的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权重比较远期观测值的权重要大。
根据平滑次数不同，指数平滑可分为一次指数平滑、二次指数平滑等。
如果实际数据具有较为明显的变动趋势时，采用一次指数平滑直接预测。
当时间序列的变动出行直线变动趋势时，采用一次指数平滑预测具有明显的滞后偏差，因此需要在一次指数平滑基础上进行二次指数平滑，利用滞后偏差规律找出数据的变化趋势，然后建立直线趋势预测模型，这便是二次指数平滑法。
灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
最常用的灰色预测模型是GM(1,1)模型。
G 表示Gray （灰色），M 表示Model （模型），GM （1，1）表示1阶的、1个变量的灰色模型。
灰色预测模型的优化及其应用
偏残差灰色预测模型的优化
1 2 3
偏残差灰色预测模型的基本原理
通过对原始数据序列的偏残差进行修正，提高灰 色预测模型的精度。
优化方法一
考虑非等间距序列：在偏残差灰色预测模型中考 虑非等间距序列的影响，可以更准确地反映原始 数据的变化规律。
优化方法二
引入非线性函数：在偏残差灰色预测模型中引入 非线性函数，可以更准确地描述原始数据序列的 变化规律。
05
结论
研究成果总结
灰色预测模型在处理具有不完整、不确定信息的问题上具有优势，能够克服数据量 小、信息不完全等限制。
通过引入优化方法，灰色预测模型在预测精度、稳定性和泛化性能等方面都得到了 显著提升。
灰色预测模型在多个领域具有广泛的应用价值，如经济、环境、医学等，为相关领 域的科学研究提供了新的思路和方法。
灰色神经网络预测模型的优化
01
灰色神经网络预测模型的基本原理
利用神经网络的自学习能力，对灰色预测模型进行优化。
02
优化方法一
选择合适的网络结构：根据历史数据选择合适的网络结构，可以提高灰
色神经网络预测模型的泛化能力。
03
优化方法二
采用集成学习算法：将多个灰色神经网络模型的预测结果进行集成，可
以提高预测精度。
灰色预测模型与其他模型的组合研究
01
02
03
集成学习
将灰色预测模型与其他预 测模型进行集成，通过集 结多个模型的优点，提高 预测精度。
混合模型
将灰色预测模型与其他模 型进行混合，以充分利用 各种模型的优势，提高预 测性能。
多模型融合
将多个灰色预测模型进行 融合，通过综合多个模型 的预测结果，提高预测精 度。
基于大数据和人工智能的灰色预测模型研究
灰色预测法(GM(1-1)模型)
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
试求关联度。
回总目录 回本章目录
. #;
解答：
以 X1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138
回总目录 回本章目录
. #;
10.2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
. #;
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
回总目录
. #;
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
回总目录 回本章目录
. #;
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
回总目录 回本章目录
. #;
回总目录 回本章目录
. #;
（2）关联度
X 0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
符合气象特征的灰色模型及其应用研究
符合气象特征的灰色模型及其应用研究灰色模型是一种常用的时间序列预测方法，它基于灰色系统理论，可以在数据较少或缺乏长期统计数据的情况下，对时间序列进行准确的预测和分析。
在气象学领域，灰色模型的应用非常广泛，可以用于天气预测、气候变化研究、灾害性天气事件的预警等方面。
气象特征是指气象要素在时间和空间上的变化规律。
在气象预测和研究中，了解气象特征对于预测和评估气象事件的发生和发展至关重要。
通过对气象特征的探索和分析，可以提高气象预测的准确性，加强对气象灾害的预警和应对能力。
灰色模型在气象学中的应用主要分为两个方面：一是气象时间序列的预测，二是对气象特征的研究和分析。
下面将详细介绍这两个方面的应用。
首先，灰色模型在气象时间序列的预测方面具有很大的优势。
对于短期气象预测和中长期气候变化研究来说，常常缺乏足够长期的气象观测数据。
而灰色模型可以利用较短期的数据，通过建立合适的模型，对未来气象情况进行预测。
例如，气温、降水量等气象要素的灰色模型可以通过历史观测数据，预测未来一段时间内的气象情况。
这对于农业、水利等领域的决策和规划具有重要意义。
其次，通过灰色模型的研究和分析，可以探索和描述气象特征。
气象特征的分析对于理解气象系统的运行规律、发现异常现象以及预测气候变化具有重要价值。
利用灰色模型，可以对气象特征进行模拟、揭示其变化规律，进而为气候模型的建立和改进提供参考。
例如，通过分析气象要素与气候变化之间的关系，可以研究全球气候变暖、降水分布变化等气候现象，为气候变化风险评估和适应性决策提供科学依据。
此外，灰色模型还可以应用于灾害性天气事件的预警和监测。
通过对灾害性天气事件的历史数据进行灰色模型建模和分析，可以预测未来可能发生的灾害性天气事件，为防灾减灾提前制定措施，降低灾害损失。
例如，对于暴雨、台风等极端天气事件，灰色模型可以对其发生时间、区域范围和强度进行预测，为政府和公众的应急准备提供科学依据。
总之，灰色模型在气象学中具有广泛的应用前景。
电力负荷预测第八章 灰色预测方法课件
2.28+2.98 =5.26
x0与x1的变化曲线
70
x0
60
x1
50
40
30
20
10
0
1
x0 2.28
x1 2.28
2 2.98 5.26
3 3.39 8.65
4
5
6
7
8
9
4.24 6.86 8.64 11.85 12.15 12.71
12.98 19.75 28.39 40.24 52.29 65.1
S1
1 n 1
n i 1
(
x0( i
)
x0
)2
③计算残差0( i ) 的均值 0 1 n 0( i )
n i1
④计算残差的均方差
S2
1 n 1
n i 1
( 0(i
) 0
)2
⑤计算方差比
C S2 S1
⑥计算小误差概率p
若记 P 0( i ) 0 0.6745S1 P ei S0
Step2:计算关联度
i
1 n
n
i ( k
k 1
)，i=1,m
——表示被比较数列与参考数列间的关联度； 为各关联系数的平均值。
●算例
已知：
参考序列 Y0 8,8.8,16,18,24,32
被比较数列 Y1 10,11.66,18.34,20,23.4,30
Y2 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75
)
1
2
14.19 1 17.83 1
1 2
(15.97
19.69
)
1
Yn
x0( 2 )
x0
基于多周期时间序列的灰色预测模型及其应用
中 ，Z(1)(k)
=
1 2
(x(1)(k)
+
x(1)(k
-
1)) k
=
2 3 ⋯ n
。 称式（1）
为非齐次灰色预测模型的基本形式，简记为NGM(11k) 。
x(0)(k) + az(1)(k) = bk + c
果，但是对波动序列预测能力较差。为了能够很好地拟合
时间序列中的周期特性，本文引入傅里叶级数，利用傅里
叶级数能够拟合任意多周期的特性，构建一个结合傅里叶
级数和灰色 NGM (11k) 的多周期预测模型（multi-peri-
od NGM (11k) model，简称 MPNGM (11k) 模型）。
定义 1：设 X =[x1x2⋯xn] 为一时间序列，若其可以 表示为趋势项 Xt 和周期项 Xp 的组合形式：
作者简介：张国政（1983—），男，河南林州人，博士研究生，研究方向:灰色系统理论与决策分析。 （通讯作者）申君歌（1983—），女，河南禹州人，博士，研究方向：经济预测与决策方法。
Super Partial-closed Input-output Model and Its Application
X = Xt + Xp
（5）
趋势项原始序列： Xt(0) = (x(t0)(1) x(t0)(2) x(t0)(n)) 周期项原始序列：
å Xp = m Xl ，Xl(0) = (x(l0)(1)x(l0) (2)x(l0)(n)) l=0
则称序列 X 为含趋势与多周期项的时间序列。
定义 2：对于非负时间序列 X ，若有：
灰色预测GM（1，1）方法
灰色预测法一、相关知识1、灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
2、灰数简介： （1）灰数的定义：是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。
（2）灰数的分类：(Ⅰ)有下界而无上界的灰数[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，如大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量,所以其重量为灰数[)∞∈⊗,0。
(Ⅱ)有上界而无下界的灰数(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，如一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
(Ⅲ)既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。
如海豹的重量在20--25公斤之间，某人的身高在1.8-1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗(Ⅳ)黑数：当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。
(Ⅴ)白数：当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。
(3)本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
例：（1）气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。
（2）预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；（3）估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗； （4）如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；（5）有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。
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事实上，从下面的图形 3-5 中也可以看到原始数列的模拟值与原始数列之间拟合的相当好。
3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3 1 2 3 4 5 6 History data:real line
ˆ 图 3-5 虚线：模拟值 x
( 0)
曲线；实线：原始值 x
( 0)
曲线
在本例中，预测该市 2006 年的第三产业从业人数，则有：
ˆ ( 0 ) (7) x (1) (7) x (1) (6) 24.10 20.25 3.85 （万人） x
GM(1,1)模型参数估计、检验以及作图和预测的 Matlab 程序：
fungry1.m %GM（1,1）模型计算及检验、作图。文件名 fungry1.m function GM1=fungry1(x0) %输入原始数据 x0 T=input('T='); %从键盘输入从最后一个历史数据算起的第 T 时点 x1=zeros(1,length(x0));B=zeros(length(x0)-1,2); yn=zeros(length(x0)-1,1);Hatx0=zeros(1,length(x0)+T); Hatx00=zeros(1,length(x0));Hatx1=zeros(1,length(x0)+T); epsilon=zeros(length(x0),1);omega=zeros(length(x0),1); for i=1:length(x0) for j=1:i x1(i)=x1(i)+x0(j); end end for i=1:length(x0)-1 B(i,1)=(-1/2)*(x1(i)+x1(i+1)); B(i,2)=1; yn(i)=x0(i+1); end HatA=(inv(B'*B))*B'*yn %GM（1,1）模型参数估计 for k=1:length(x0)+T Hatx1(k)=(x0(1)-HatA(2)/HatA(1))*exp(-HatA(1)*(k-1))+HatA(2)/HatA(1); end Hatx0(1)=Hatx1(1); for k=2:length(x0)+T Hatx0(k)=Hatx1(k)-Hatx1(k-1); %累减还原得到历史数据的模拟值 end for i=1:length(x0) %开始模型检验 epsilon(i)=x0(i)-Hatx0(i); omega(i)=(epsilon(i)/x0(i))*100; end % x0；Hatx0; epsilon; omega; %必要时去掉%得到各种数据 c=std(epsilon)/std(x0); p=0; for i=1:length(x0) if abs(epsilon(i)-mean(epsilon))<0.6745*std(x0) p=p+1; end end p=p/length(x0) if p>0.95 & c<0.35 disp('The model is good,and the forecast is:'), disp(Hatx0(length(x0)+T)) elseif p>0.85 & c<0.5 disp('The model is eligibility,and the forecast is:'),
通过累加生成的数列 x
(1)
（3-16）
，计算模型参数 a 和 u 。记：
ˆ [a u ]T a
按如下公式可得模型参数 a 和 u ：
（3-17）
ˆ ( B T B ) 1 B T y n a
上式中：
（3-18）
1 (1) (1) 1 2 ( x (1) x ( 2)) 1 (1) (1) ( x ( 2 ) x ( 3 )) 1 B 2 1 ( x (1) ( n 1) x (1) ( n )) 1 2 y n [ x ( 0 ) ( 2), x ( 0 ) (3), , x ( 0 ) ( n )]T
c S1 S 0 0.0210 0.2676 0.0785
最后计算小误差概率 p ：
（3-27）
p ( 0 ) ( 0 ) 0.6745 S 0
本例中， S 0 0.2676,
( 0)
（3-28）
0 ，于是，
p ( 0 ) 0.6745 0.2676 ( 0 ) 0.1805 1
( 0)
ˆ ( 0 ) ( n 2)， ( n 1)，x 的预测值（Matlab 程序见后，文件名 fungry1.m）
下面结合一个具体例子加以说明 GM（1,1）模型的建立和检验过程。 【例 3-13】某市第三产业从业人数如表 3-8 所示，试建立 GM（1,1）模型，预测其 2006 年的从业人数。 表 3-8 某市从事第三产业的人数（单位：万人） 年份 人数 2000 2.97 2001 3.23 2002 3.29 2003 3.46 2004 3,59 2005 3.71
(1) ( 0)
作累加
，即作：
x (1) (i ) x ( 0 ) ( m ),
m 1
i
i 1,2, , n
（3-15）
具体地说，就是：
x (1) (1) x ( 0 ) (1) (1) ( 0) (1) x (i ) x (i ) x (i 1), i 2, , n
ˆ ( 0 ) (i ) x
2.97 3.21 3.33 3.45 3.58 3.71
ˆ ( 0 ) (i ) ( 0 ) (i ) x ( 0 ) (i ) x
0 0.02 -0.04 0.01 0.01 0
相对误差（%）
0 0.62 -1.22 0.29 0.28 0
由误差计算结果可以看到，相对误差不超过 2%，模型精度是非常高的。 2．关联度检验。关联系数定义为：
( 0)
ˆ ( 0 ) (i ), (i ) x ( 0 ) (i ) x
(i 1,2, , n ) (i 1,2, , n ) （3-22） (i 1,2, , n )
( 0 ) (i ) 相对误差： (i ) ( 0 ) 100%, x (i )
x ( 0)
然后计算残差数列
( 0)
1 n ( 0) x (i ) n i 1
的均方差 S1 。其定义为：
S1
S12 n 1
n
S12 ( 0 ) (i ) ( 0 )
i 1
2
（3-26）
( 0)
1 n ( 0) (i ) n i 1
本例中， S 0 0.2676, S1 0.0210 。由此计算方差比 c ，
从而， a 0.03653, u 3.04123 这就是说，该市第三产业从业人数的 GM（1,1）预测模型为：
ˆ (1) (i 1) 86.2281e 0.03653i 83.2581 x
下面对得到的模型进行检验。 灰色预测模型检验有残差检验、 关联度检验和后验差检验。 1． 残差检验。残差检验有两种，绝对误差和相对误差检验。 绝对误差：
一般来说，在 0.5, 0.695 时是令人满意的（具体讨论参见灰色系统理论的有关 参考书） 。 3．后验差检验。首先计算原始数列 x
( 0)
的均方差 S 0 。其定义为：
S0
n
2 S0 n 1
2 S0 x ( 0 ) (i ) x ( 0 ) i 1
2
（3-25）
1 1 1 1 1
T
(3.23,3.29,3.46,3.59,3.71) T ，于是有
4.585 7.845 4.585 7.845 11 .22 14.745 18.395 BT B 11 .22 1 1 1 1 1 14.745 18.395 764.2457 56.79 5 56.79 764.2457 56.79 ( B B) 5 56.79
x ( 0 ) (i )
x ( 0 ) (1)
x ( 0 ) ( 2)
x ( 0 ) (3)
x ( 0 ) ( 4)
( 0)
x ( 0 ) (5)
x ( 0 ) ( 6)
如果利用手工计算，则有以下步骤。首先计算累加生成数列 x 表 3-9 序号 i 1 2.97 2.97 由x 2 3.23 6.2
（i）
min((i )) max( (i )) , (i ) max( (i ))
i 1,2, , n
（3-23）
式中，
(i ) 为第 i 个数据的关联系数， 为取定的最大差百分比，一般取 0.5 ；
ˆ 而： (i ) x
( 0)
(i ) x ( 0 ) (i ) , i 1,2, n
1 GM（1,1）模型
设有预测对象的历史数据资料形成的时间序列 x 结果想知道： x
( 0) ( 0)
: x ( 0 ) (1), x ( 0 ) ( 2), x (), x ( 0 ) ( n 2),
根据灰色系统理论，可以针对这个问题建立如下的 GM（1,1）模型。模型所依据的灰色 系统理论在这里就不作介绍，下面介绍具体的模型建立方法和检验方法。首先对 x 生成，得到新的数列 x
本例中，取 0.5 ，经过计算有如表 3-11 所示的结果。