考点46 几何概型典型高考数学试题解读与变式(解析版)

66.A.
B.
C.
D.
67.【答案】C
68.
69.【变式 3：改编问法】已知正方体 ABCD ­A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，则四棱锥 M ­ABCD
1 的体积小于 6 的概率为______．
1 70.【答案】 2
71.【解析】 正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为1,正方体体积V =111 =1，当四棱锥 M − ABCD 的
.
76.【命题意图探究】本题主要考查直线与圆的位置关系、几何概型，是中档题.
3 77.【答案】 4
78. 【解题能力要求】化归与转换思想、运算求解能力
79.【方法技巧归纳】与其他知识交汇的几何概型问题，先用相关知识计算出满足条件的长度或面积或体积，
再利用几何概型公式计算其概率.
80.4.2【典型考题变式】
16.【答案】D
17.【解析】设 M，N 分别为 BC 或 CD 靠近点 C 的四等分点，则当 E 在线段 CM , CN 上时， AE 的长
2 =1 度大于 5 ， E 所能取到点的长度为 2 ， 正方形的周长为16 ， AE 的长度大于 5 ，的概率等于 16 8 ，
故选 D.
18.【变式 2：改编结论】在区间 1,5 内随机取一个数 m ，则方程 m2x2 + 4 y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆
的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，
85.考查如下轨迹方程问题： P ( x，y) 到点 (1，0) 的距离等于其到直线 x = −1的距离，
86.由抛物线的定义可得，轨迹方程为 y2 = 4x ，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域，
1
87.对 y 求 解 定 积 分 可 得 其 面 积 为 ：
正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取 自黑色部分的概率是（ ）
102.
1 103.A. 4
B. 4
C. 8
1 D. 2
104.【答案】C
105.【解析】 设正方形 ABCD 的边长为 2 ，则正方形的面积 S1 = 4 ，则圆的半径为 r = 1 ，阴影部分的面
29.
1 30.A． 4
π B． 8
1 C． 2
π D． 4
31.【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性 计算几何概型，是基础题.
32.【答案】B
33. 【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力 34.【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构 造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． 35.2.2【典型考题变式】 36.【变式 1：改编条件】如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心， 圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点，则该 点取自白色区域的概率为（ ）
，解可得，
98.必修 3 P142 页习题 3.3 B 第 1 题：甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜 的时间段中随机的到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
99.
100.四．典例高考试题演练
101.1.【广东省化州市 2018 届第二次模拟】如图，正方形 ABCD 内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，
考点 46 几何概型
一、 知识储备汇总与命题规律展望
1.知识储备汇总:
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型，简称几何概型．
(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
2 90.【答案】 3
91.【解析】如图：，可得 PD = −4PA = 2P0 P0 = −2PA ,所以点 P 到 BC 的距离是点 A 到 BC 的距离
2 的3
，
SPBC
=
2 3 SABC
P=
2 3.
92. 93.【变式 3：改编问法】设 是由 轴，直线
和曲线
围成的曲边三角形区域，集合
(
)
4 D. 9
63.【答案】C
4 33 = 36 cm3 = 36 ml
64.【解析】由题意,球的体积为 3
，由几何概型公式可得从中任取1mL 水(体积
1 为 1 cm3 ),含有感冒病毒的概率为 36 ；故选 C.
65.【变式 2：改编结论】在球 内任取一点 ，则 点在球 的内接正四面体中的概率是（ ）
据题意构造三个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的空间几何体，以便求解．
60.3.2【典型考题变式】
61.【变式 1：改编条件】一个球形容器的半径为 3cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了 1 个感冒病毒，
从中任取1mL 水含有感冒病毒的概率为（ ）
1 62.A. 3
1 B. 3
1 C. 36
的概率是（ ）
3 19.A. 5
1 B. 5
1 C. 4
3 D. 4
20.【答案】D
21.【解析】若方程 m2 x2 + 4 y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m2 4 ，解得 m 2 ， 2 m 5 ，故
5−2 3
方程 m2 x2
+ 4y2
= 1 表示焦点在
y
P
轴上的椭圆的概率是
3 （D） 10
8.【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题.
9.【答案】B
40 −15 = 5 10.【解析】因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 8 ，
故选 B.
11.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力
12.【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度
37.
38.A. 64
B. 32
39.【答案】D
C. 16
D. 8
40.【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的半径为 1，所以白
色区域的面积为 42 − 22 − 4 12
= 8
8 ，由几何概型概率公式可得所求概率为 82
= 8
，选 D。
41.【变式 2：改编结论】如图，在菱形 ABCD 中， AB = 3 ， BAD = 60 ，以 4 个顶点为圆心的扇形
55.【答案】A
a 3
a
3 1
56.【解析】符合条件的点 P 落在棱长为 3 的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得 P= a3 = 27 .
57.故选 A.
58.【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力
59.【方法技巧归纳】求解与体积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何体的体积，必要时可根
题的金银纪念币．如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm ，面额100 元．为了测算图中军旗部
分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 （）
46.
726 mm2 47.A. 5
363 mm2 B. 10
363 mm2 C. 5
4.1.与长度 角度 有关的几何概型
5.1.1 考题展示与解读
6.例 1 【2016 高考新课标 2 文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40
秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ ）
7 7.（A） 10
5 （B） 8
3 （C） 8
1
2 2 四棱锥 M − ABCD 的体积小于 6 的概率 V 2 ，故答案为 2 .
72. 73.几何概型与其他知识的交汇
74.4.1 考题展示与解读
75.例 4【2016 高考山东理数】在 [ 1,1] 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 (x 5)2 y2 9 相交”
发生的概率为
1
1h 1
h 1
1
体积小于 6 时，设它的高为 h ，则 3
6 ，解之得 2 ，则点 M 在到平面 ABCD 的距离等于 2 的截
1
1
面以下时，四棱锥 M − ABCD 的体积小于 6 ，求得使得四棱锥 M − ABCD 的体积小于 6 的长方体的体积
V ' = 11 1 = 1 ,
1
P=V ' = 1
81.【 变式 1：改编条件】已知 x ， y 是0，1 上的两个随机数，则 P ( x，y) 到点 (1，0) 的距离大于其到直
线 x=-1 的距离的概率为（ ）
1 82.A. 12
11 B. 12
1 C. 4
3 D. 4
83.【答案】A
84.【解析】 x ， y 是0，1 上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点 (0, 0),(0,1),(1, 0),(1,1) 所确定
S2
积为
=
1 r2 2
=
1 2
P=
，根据几何概型及其概率的计算公式可得
S2 S1
Байду номын сангаас
=
1 2 4
= 8
，故选 C.
106.2.【广西柳州高中、南宁市二中 2018 届第二次联考】老师计算在晚修 19:00-20:00 解答同学甲乙的问
题，预计解答完一个学生的问题需要 20 分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则
(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角
度)．
13.1.2【典型考题变式】
14.【变式 1：改编条件】若正方形 ABCD 边长为 4, E 为四边上任意一点，则 AE 的长度大于 5 的概率等于
（）
1 15.A. 32
7 B. 8
3 C. 8
1 D. 8
，若向区域 上随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，则实数 的值是
94.A.
B.
C.
D.
95.【答案】D
96.【解析】根据题意，区域 Ω 即边长为 1 的正方形的面积为 1×1=1，区域 A 即曲边三角形的面积为
，若向区域 Ω 上随机投一点 P，点 P 落在区域 A 内的概率是 ，则有
，故选 D． 97.课本试题探源
(3) 几何概型的概率公式：P(A)＝试验全构部成结事果件所A的构区成域的长区度域长角度度 角度
2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主
要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题 、填空题，分值为 5 分，难度为基础题或中档
题.
3.二、题型与相关高考题解读
，故选 B.
50.与体积有关的几何概型
51.3.1 考题展示与解读
a 52.例 3 在棱长为 a 的正方体中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 3 的概率为 ( )
1 53.A. 27
1 B. 16
1 C. 9
1 D. 3
54.【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题.
的半径为 1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为 p0 ，则 圆周率 的近似值为（ ）
42.
43.A. 7.74 p0
44.【答案】C
B. 7.76 p0
C. 7.79 p0
D. 7.81p0
45. 【变式 3：改编问法】2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主
=
5 −1
=
4
，故选
D.
22.【变式 3：改编问法】已知
，直线
和曲线
有两个不同的交点，
它们围成的封闭平面区域为 ，向区域 上随机投一点 ，点 落在区 域 内的概率为 ，若
实数 的取值范围为（ ）
23.A.
B.
C.
D.
24.【答案】B
，则
25.
26.与面积有关的几何概型 27.2.1 考题展示与 解读 28.例 2【2017 课标 1，理】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
2 0
1 4
y2dy
=
1 12
y3
|10 =
1 12
，据此可得，满足题意的概率值为
1 p = 12 = 1
11 12 ，故选 A.
88.
89.【变式 2：改编结论】已知 P 是 ABC 所在平面内一点， PB + PC + 4PA = 0 ，现在 ABC 内任取一 点，则该点落在 PBC 内的概率是__________．
363 mm2 D. 20
48.【答案】B
49.【 解 析 】 由 已 知 圆 形 金 质 纪 念 币 的 直 径 为 22mm ， 得 半 径 r=11mm ， 则 圆 形 金 质 纪 念 币 的 面 积 为
121 30 = 363 mm2
πr2=π×112=121π，∴估计军旗的面积大约是
100 10