中国农业大学《应用数理统计》期末考试-2013

中国农业大学《应用数理统计》期末考试试题（2013.12.07）

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（说明：把答案写在答题册上，可以使用简易计算器，考试时间120分钟）

一、（20分）设n X X X ,,,21 相互独立，),(~2i i N X σμ（i = 1, 2,…, n ），2

2221,,,n

σσσ 不全相同，令： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==n i i

n

i i i

X 111σσ

η，

∑∑==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=n

i n

i i i i n X 12

11σμησμζ，

证明：（1）⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∑2

11,~n i i n N σμη；（2）η与ζ独立；（3）)1(~2-n χζ。

二、（20分）设n X X X ,,,21 是均值μ为已知的正态总体的一个样本，试求2σ的极大似然估计量 2ˆσ

，并验证它是否为2σ的UMVUE 、相合估计量。

三、（20分）假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标得到两组数据，对其作相应运算得：

19.0=x ，006.02*1=s ，238.0=y ，008.02

*2=s ，

(1) 在显著性水平 α = 0.1 下，能否认为2

221σσ= ;

(2) 求21μμ-的置信度为90% 的置信区间，并在显著性水平 α = 0.1下，分析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。 （分位数参考数据见试题背面）

四、（10分）设总体X 服从指数分布 E (λ)，λ > 0，n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本，给定显著性水平 α，利用 )2(~22n X n χλ，推导出下列假设检验问题的检验法则：

00:λλ≥H ；01:λλλ）

。

五、（20分）某食品公司对一种食品设计了四种新包装，为考察哪种包装最受顾客欢迎，选了10种地段繁华程度相似、规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录器销售量数据如下：

（1）在显著性水平01.0=α下，检验各水平间是否有显著差异。

(计算过程保留小数点后两位)

（2） 给出第四个水平均值 μ4 的置信水平为0.95的置信区间。

六、（10分）设有线性模型 ⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=33

221

122ε

εεb a y b a y a y ，其中a , b 是未知参数，321,,εεε相互独立且

)3,2,1()(,0)(2===i D E i i σεε，试求出a , b 的最小二乘估计。

参考数据：t 0.90(15)=1.3406, t 0.95(15)=1.7531, t 0.90 (17)=1.3334, t 0.95(17)=1.7396,

t 0.95(5)=2.0150, t 0.975(5)=2.5706, t 0.95 (6)=1.9432, t 0.975(6)=2.4469, F 0.90(7,8)=2.62, F 0.95(7, 8)=3.50, F 0.90(8, 7)=2.75, F 0.95(8, 7)=3.73， F 0.90(8,9)=2.47, F 0.95(8, 9)=3.23, F 0.90(9, 8)=2.56, F 0.95(9, 8)=3.39， F 0.99(3,6)=9.78, F 0.995(3, 6)=12.92, F 0.99(4,6)=9.15, F 0.995(4, 6)=12.03。