人教版五四制数学初中8年级上册同步全解
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十三章 轴对称高效三合一
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”.这个结论作用很大，下面一起来看看吧.作用一求线段长例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，且AB+AC+BC=50 cm，AB+BD+AD=40 cm，则AD=____cm．解：因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD.所以AB+BD=AC+CD.又AB+BC+AC=50 cm，所以AB+BD=25 cm.因为AB+BD+AD=40 cm，所以AD=40-25=15（cm）．作用二求角度例2 如图2，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的高，∠CAD=26°，AE=AD，求∠BDE的度数.解：因为AB=AC，AD是BC边上的高，所以∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=26°.因为AE=AD，所以∠ADE=∠AED=（180°-26°）÷2=77°.所以∠BDE=∠ADB-∠ADE=13°.作用三证明线段相等例3 如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D，E是BC边上两点，且AD=AE．求证：BD=CE．证明：作AH⊥BC于点H.因为AB=AC，AD=AE，所以BH=CH，DH=EH.所以BH-DH=CH-EH，则BD=CE.作用四判断说理例4如图4，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且DB=DC，请同学们探索一下AD与BC的位置关系.解：延长AD交BC于点E.在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，DB=DC，所以△ABD≌△ACD.所以∠BAD=∠CAD.因为AB=AC，所以AE⊥BC，即AD⊥BC.。
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人教版初中数学八年级上册2013目录第十一章三角形 (4)本章综合解说 (4)11.1 与三角形有关的线段 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)课外拓展 (9)11.2 与三角形有关的角 (10)学习目标 (10)知识详解 (10)课外拓展 (13)11.3 多边形及其内角和 (13)学习目标 (13)知识详解 (13)课外拓展 (18)单元总结 (18)单元测试 (20)第十二章全等三角形 (25)本章综合解说 (25)12.1 全等三角形 (26)学习目标 (26)知识详解 (26)课外拓展 (32)12.2 三角形全等的判定 (33)学习目标 (33)知识详解 (33)课外拓展 (39)12.3 角的平分线的性质 (39)学习目标 (39)知识详解 (39)课外拓展 (43)单元总结 (43)单元测试 (47)第十三章轴对称 (52)本章综合解说 (52)13.1 轴对称 (53)学习目标 (53)知识详解 (53)课外拓展 (57)13.2 画轴对称图形 (57)学习目标 (57)知识详解 (58)课外拓展 (62)13.3 等腰三角形 (62)学习目标 (62)知识详解 (62)课外拓展 (67)13.4 课题学习最短路径问题 (67)学习目标 (67)知识详解 (67)课外拓展 (72)单元总结 (72)单元测试 (75)第十四章整式的乘法与因式分解 (82)本章综合解说 (82)14.1 整式的乘法 (83)学习目标 (83)知识详解 (83)课外拓展 (87)14.2 乘法公式 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (90)14.3 因式分解 (91)学习目标 (91)知识详解 (91)课外拓展 (94)单元总结 (94)单元测试 (97)第十五章分式 (102)本章综合解说 (102)15.1 分式 (102)学习目标 (102)知识详解 (103)课外拓展 (106)15.2 分式的运算 (106)学习目标 (106)知识详解 (106)课外拓展 (110)15.3 分式方程 (110)学习目标 (110)知识详解 (110)课外拓展 (113)单元总结 (113)单元测试 (116)期中测试 (120)期末测试 (129)第十一章三角形本章综合解说学习目标1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。
人教版八年级上册数学全册同步讲义
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或
BD＝CD＝ BC。AD是ΔABC的中线 BD＝CD＝ BC。
要点诠释：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;
(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.
题型二 三角形三边的关系
例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2cm, 3cm, 5cm B.1cm, 11cm, 11cm C.5cm, 8cm, 2cm D.三边之比为5:10:4
5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ）
A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
二、填空题
1.如图4，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，是的对边；
2.如图5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习(含答案解析考点)001500
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习考试总分：32 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.如图，在中，于点，．若，则的周长是 （ ）A.B.C.D.2. 三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三条垂直平分线的交点3. 临猗是我省重要的苹果生产基地，受疫情影响，大量优质苹果滞销．当地几名大学生利用直播带货，助推家乡农业复苏．目前，政府为更好地服务农民，将在村庄、、之间的空地上新建一座仓库．已知、、恰好在三条公路的交点处，要求仓库到村庄、、的距离相等，则仓库应选在( )A.三条角平分线的交点△ABC DE ⊥AC E CE =EA AB =12cm,BC =10cm △BCD 16cm22cm23cm25cmA B C P A B C P A B C P △ABC △ABCB.三边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高所在直线的交点4. 如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于点，若则的长是( )A.B.C.D.二、填空题（本题共计 3 小题，共计12分）5. （6分）如图，已知，，的垂直平分线交于点，则________度．6. （3分）如图，在中，斜边的垂直平分线交边于点，交边于点，如果，那么________．7. （3分）如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论：①和互相垂直平分；②＝；③当＝时，＝；④是的垂直平分线．其中正确的是________（填序号）．△ABC△ABC△ABCRt△ABC∠ACB=90∘AB DE BC F∠F=,DE=1，30∘EF323–√1AB=AC∠A=40∘AB MN AC D∠DBC=Rt△OMN MN MN Q ON P∠N=27∘∠OMP=AD△ABC DE DF△ABD△ACDAD EF AE AF∠BAC90∘AD EF DE AB三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计8分 ）8.(8分) 如图，，的垂直平分线交延长线于，交于，，．的周长为多少？的度数为多少？AB =AC AB DE BC E AC F ∠A =40∘AB +BC =6(1)△BCF (2)∠E参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】先根据，垂足为，得出，故可得出结论．【解答】解：∵，垂足为，，，，∴，∴的周长．故选．2.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】运用到三角形的某边两端距离相等的点在该边的垂直平分线上的特点，可以判断到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．【解答】解：根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三条垂直平分线的交点．故选．3.【答案】DE ⊥AC E CE =AE CD =AD DE ⊥AC E CE =AE AB =12cm BC =10cm CD =AD △BCD =BC +BD +CD =BC +AB =10+12=22cm B D线段垂直平分线的性质【解析】根据到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点．【解答】解：∵仓库到村庄、、的距离相等，∴仓库应选在三边的垂直平分线的交点．故选．4.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接，的垂直平分线交于的延长线于，,故选二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，共计12分 ）P A B C P △ABC B AF ∵AB DE BD F ∴AF =BF ，∵FD ⊥AB ，∴∠AFD =∠BFD =，30∘∠B =∠FAB =90°−30°=60°∵∠ACB =,90∘∴∠BAC =,30∘∵DE =1∴AE =2DE =2∴∠FAE =∠AFD =30∘∴EF =AE =2.B.【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由，，即可推出，由垂直平分线的性质可推出，即可推出，根据图形即可求出结果．【解答】解：如图，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，∴，∴，∴．故答案为：．6.【答案】【考点】线段垂直平分线的性质【解析】先求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，，可以得出，最后两角相减即可．【解答】解：在中，，，30AB =AC ∠A =40∘∠C =∠ABC =70∘AD =BD ∠A =∠ABD =40∘AB =AC ∠A =40∘∠C =∠ABC =70∘AB MN AC D AD =BD ∠A =∠ABD =40∘∠DBC =30∘3036∘∠OMN PM =PN ∠PMN =∠N Rt △OMN ∠N =27∘∴∠OMN =−=90∘27∘63∘∵PQ垂直平分，，，．故答案为：．7.【答案】②③【考点】角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计8分 ）8.【答案】解：∵是的垂直平分线，∴，∵，，∴的周长；∵，，∴，∵的垂直平分线交延长线于，∴，∴.【考点】线段垂直平分线的性质【解析】暂无暂无【解答】∵PQ MN ∴PM =PN ∴∠PMN =∠N =27∘∠OMP =∠OMN −∠PMN=−=63∘27∘36∘36(1)DF AB AF =BF AB +BC =6AB =AC △BCF =BC +CF +BF=BC +CF +AF =BC +AC =AB +BC =6(2)AB =AC ∠A =40∘∠ACB =∠ABC =(−)=12180∘40∘70∘AB DE BC E ∠BDE =90∘∠E =−∠ABC =90∘20∘(1)AB解：∵是的垂直平分线，∴，∵，，∴的周长；∵，，∴，∵的垂直平分线交延长线于，∴，∴.(1)DF AB AF =BF AB +BC =6AB =AC △BCF =BC +CF +BF=BC +CF +AF =BC +AC =AB +BC =6(2)AB =AC ∠A =40∘∠ACB =∠ABC =(−)=12180∘40∘70∘AB DE BC E ∠BDE =90∘∠E =−∠ABC =90∘20∘。
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章 分式方程一二三四
一、理解分式方程的定义分母中含有未知数的方程，叫做分式方程．例如，，都是分式方程．分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数）．例1关于x的方程：①；②；③；④；⑤.其中是分式方程的有．（只填序号）解析：根据分式方程的定义，填②③⑤．二、掌握分式方程的基本解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解；否则这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．例2 (2013年济宁)解方程.解：方程两边乘x（x﹣2），得x=3(x-2).解得x＝3．检验：当x=3时，x（x﹣2）≠0．所以，原分式方程的解为x=3．三、了解分式的增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常被称为增根．所以解分式方程一定要进行检验．分式方程检验的方法：一是将整式方程的解代入到最简公分母中，看这个最简公分母的值是否为0；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等．例3解方程．解：两边同乘以，得．解得．检验：当时，，因此不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解．四、学会用分式方程解决实际问题列分式方程解实际问题的一般步骤：①审清题意：弄清题目中的已知量和未知量，并能找出表示问题含义的全部等量关系；②设未知数：有设直接未知数和间接未知数两种，并用所设的未知数表示有关的量；③找出相等关系，列出方程；④解方程；⑤检验：检验时要检验所求未知数的值是否为原分式方程的解，还要检验是否符合题目的实际意义，也就是“双重检验”；⑥写出答案：注意不要忘记答案的单位．例 4（2013年咸宁）在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树.分析：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同建立方程求解即可．解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据题意，得.解得x=20.经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．答：现在平均每天植树20棵．。
人教版初中数学八年级上册同步全解
人教版初中数学八年级上2013目录第十一章三角形 (4)本章综合解说 (4)11.1与三角形有关的线段 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)（二）三角形的高、中线与角平分线 (5)（三）三角形的稳定性 (6)课外拓展 (9)11.2与三角形有关的角 (9)学习目标 (9)知识详解 (9)（一）三角形的内角 (9)（二）三角形的外角 (10)课外拓展 (14)11.3 多边形及其内角和 (14)学习目标 (14)知识详解 (14)（一）多边形 (14)（二）多边形的内角和 (15)课外拓展 (18)中考链接 (18)单元总结 (20)单元测试 (21)第十二章全等三角形 (28)本章综合解说 (28)12.1 全等三角形 (29)学习目标 (29)知识详解 (29)课外拓展 (34)12.2 三角形全等的判定 (34)学习目标 (34)知识详解 (34)课外拓展 (40)12.3 角的平分线的性质 (41)学习目标 (41)知识详解 (41)课外拓展 (46)中考链接 (46)单元总结 (48)单元测试 (49)第十三章轴对称 (55)本章综合解说 (55)13.1 轴对称 (55)学习目标 (55)知识详解 (56)课外拓展 (59)13.2 画轴对称图形 (59)学习目标 (59)知识详解 (59)课外拓展 (63)13.3 等腰三角形 (63)学习目标 (63)知识详解 (63)课外拓展 (68)中考链接 (69)单元总结 (71)单元测试 (72)第十四章整式的乘除与因式分解 (81)本章综合解说 (81)14.1 整式的乘法 (82)学习目标 (82)知识详解 (82)课外拓展 (86)14.2 乘法公式 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (89)14.3 因式分解 (90)学习目标 (90)知识详解 (90)课外拓展 (93)中考链接 (93)单元总结 (94)单元测试 (96)第十五章分式 (100)本章综合解说 (100)15.1 分式 (101)学习目标 (101)知识详解 (101)课外拓展 (105)15.2 分式的运算 (105)学习目标 (105)知识详解 (105)课外拓展 (110)15.3 分式方程 (111)学习目标 (111)知识详解 (111)课外拓展 (115)中考链接 (115)单元总结 (116)单元测试 (118)期中测试 (123)期末测试 (130)第十一章三角形本章综合解说学习目标1.理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2.了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3.会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)122023
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，甲、乙已经下了枚棋子，棋盘中心黑子的位置用表示，其右下角黑子的位置用表示．甲将第枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是( )A.B.C.D. 2.如图， 与关于直线对称，则的度数为( )A.B.C.D.3. 四边形中，，，点，分别在边，上运动，当周长最小时，的度数为 7(−1,0)(0,−1)4(−1,1)(−2,1)(1,−2)(−1,−2)△ABC △A ′B ′C ′∠B 30∘50∘90∘100∘ABCD ∠BAD =α(<α<90∘)180∘∠B =∠D =90∘M N BC CD △AMN ∠AMN +∠ANM ()A.B.C.D.4. 下列食品标识中，不是轴对称图形的是( )A.B.C.D.5.如图，、和分别是关于，边所在直线的轴对称图形，若，则的度数为( )−α180∘+α90∘12−2α360∘−α180∘12△ABE △ADC △ABC AB AC ∠1:∠2:∠3=7:2:1∠αA.B.C.D.6. 如图，已知，点在边上，且，和分别是和上的动点，则 的最小值为（ ）A.B.C.D. 7. 下列四个图案中，是轴对称图形的是( )A. B.C.D.90∘108∘110∘126∘∠AOB =15∘M OB OM=4N P OM OA PM+PN 12348. 已知，为上一点且，若以点为圆心，为半径的圆与相切，则为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是________．10. 我国国旗上的五角星有________条对称轴．11. 如图，点是内任意一点，＝，点和点分别是射线和射线上的动点，＝，则周长的最小值是________．12. 如图是用两种正多边形密铺的平面图形图案中的一部分，其中一种是正方形，另一种与正方形相邻的四个正多边形是全等图形，那么这种正多边形是________.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的为格点三角形，请你在下面四张图中分别画出一个与成轴对称的格点三角形（要求所画图形不重复）．∠AOB =30∘P OB OP =10P OA r 53–√53–√3105P ∠AOB OP 3cm M N OA OB ∠AOB 30∘△PMN 2×2△ABC △ABC14. 如图，所有的网格都是由边长为的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，为格点三角形．如图，图，图，图都是的正方形网格，点，点都是格点，请分别按要求在网格中作图：①在图中作，使它与全等；②在图中作，使由平移而得；③在图中作，使与关于某条直线对称；如图，是一个的正方形网格，图中与关于某条直线轴对称的格点三角形有________个．15. 如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，分别交、于、．（1）若的周长是，求的长．（2）若，试求的度数．16. 如图，在正方形网格上的一个．（每个小正方形的顶点叫做格点，其中点，，均在格点上）.1△ABC(1)1236×6M N1△MNP△ABC2△MDE△MDE△ABC3△NFG△NFG△ABC(2)44×4△ABCP∠AOB M N P AO BO MNOA OB E F△PEF10cm MN∠AOB=30∘∠MON△ABC A B C作关于直线对称的（点，，的对应点分别为点，，；在上画出点，使得的值最小．(1)△ABC MN △A ′B ′C ′A B C A ′B ′)C ′(2)MN Q QA+QC参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】轴对称图形【解析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标．【解答】解：如图所示，甲将第枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，所以他放的位置是．故选．2.【答案】D【考点】轴对称的性质三角形内角和定理【解析】由已知条件，根据轴对称的性质可得，利用三角形的内角和等于180°可求答案．4(−1,1)A ∠C =∠=C ′30∘解：与关于直线对称，，.故选.3.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，″，即可得出″，进而得出″即可得出答案．【解答】解：如图所示：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．∵，∴，∵，，且，，∴.故选．4.【答案】C∵△ABC △A ′B ′C ′∴∠C =∠=C ′30∘∴∠B =−∠A−∠C =−−=180∘180∘50∘30∘100∘D △AMN A BC CD A'A ∠AA'M +∠A =60∘∠AMN +∠ANM =2(∠AA'M +∠A )A BC CD A ′A ′′A ′A ′′BC M CD N A ′A ′′△AMN ∠DAB =α∠A M +∠A ′A ′′=−α180∘∠M A =∠MA A ′A ′∠NAD =∠A ′′∠M A+∠MA =∠AMN A ′A ′∠NAD+∠A ′′=∠ANM ∠AMN +∠ANM =∠M A+∠MA +∠NAD+∠A ′A ′A ′′=2(∠A M +∠A ′A ′′)=2×(−α)=−2α180∘360∘C轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可.【解答】解：，是轴对称图形，故错误，，是轴对称图形，故错误，，是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确，，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误.故选.5.【答案】B【考点】轴对称的性质【解析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．【解答】解：∵，∴设，，.由得：，解得，故，，.∵和是分别沿着、边翻折形成的，∴，，，.故.在与中，，，∴，∴．故选． A A B B C C D D C ∠1:∠2:∠3=7:2:1∠1=7x ∠2=2x ∠3=x ∠1+∠2+∠3=180∘7x+2x+x =180∘x =18∠1=7×18=126∘∠2=2×18=36∘∠3=1×18=18∘△ABE △ADC △ABC AB AC 180∘∠DCA =∠E =∠3=18∘∠2=∠EBA =∠D =36∘∠4=∠EBA+∠E =+=36∘18∘54∘∠5=∠2+∠3=+=18∘36∘54∘∠EAC =∠4+∠5=+=54∘54∘108∘△EGF △CAF ∠E =∠DCA ∠DFE =∠CFA △EGF ∼△CAF α=∠EAC =108∘B6.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，得出，，，，根据含度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：作关于的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，连接，则，，，，∵，∴.故选.7.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，故是轴对称图形.故选.8.【答案】M OA Q Q QN ⊥OB N OA P PM +PN OQ ∠QOA =∠AOB =15∘OQ =OM =4PM =PQ ∠QNO =90∘30QN M OA Q Q QN ⊥OB N OA P PM +PN OQ ∠QOA =∠AOB =15∘OQ =OM =4PM =PQ ∠QNO =90∘QN =OQ =×4=21212PM +PN =PQ +PN =QN =2B D DD【考点】轴对称的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】概率公式中心对称图形轴对称图形【解析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：．故答案为：.10.【答案】【考点】2525255轴对称的性质【解析】根据轴对称图形的定义，可直接求得结果．【解答】解：过五角星的五个顶点中任意一个，与所对的两边的交点可作一条对称轴，∴五角星有条对称轴．故答案为：．11.【答案】【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．【解答】分别作点关于、的对称点、，分别交、，连接、、．∵点关于的对称点为，关于的对称点为，∴＝，＝；∵点关于的对称点为，∴＝，＝，∴＝＝＝，＝＝＝＝，∴是等边三角形，∴＝＝＝．∴的周长的最小值＝＝＝．12.【答案】正八边形【考点】平面镶嵌（密铺）轴对称图形中心对称图形553cmP OA C OB D M N CD △PMN P OA OB C D OA N OP OD PN P OA C OB D PM CM OP OC P OB D PN DN OP OD OC OD OP 3cm ∠COD ∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB 2∠POA+4∠POB 2∠AOB 60∘△COD CD OC OD 3(cm)△PMN PM +MN +PN CM +MN +DN ≥CD 7cm【解析】正八边形的每个内角为：，利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”作为相等关系列出多边形个数之间的数量关系，利用多边形的个数都是正整数可推断出能和正八边形一起密铺的多边形是正四边形．【解答】解：正四边形的每个内角是，即用两种正多边形密铺的平面图形图案中的一部分，其中一种是正方形，另一种与正方形相邻的四个正多边形是全等图形；正八边形的内角为,有,故两个正八边形与正方形可以密铺平面图形的图案，正八边形是中心对称图形.故答案为：正八边形.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：与成轴对称的格点三角形如图所示，．【考点】作图-轴对称变换【解析】根据轴对称图形的概念，画出图形即可．【解答】解：与成轴对称的格点三角形如图所示，−÷8=180∘360∘135∘90∘∵135∘+2×=90∘135∘360∘△ABC △ABC．14.【答案】解：如图中，即为所求；如图中，即为所求；如图中，即为所求．【考点】作图-轴对称变换全等图形作图－平移变换轴对称图形【解析】根据全等三角形的判定画出图形即可；根据平移的性质画出图形即可；根据轴对称的性质画出图形即可．根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．【解答】(1)①1△MNP ②2△MDE ③3△NFG 6(1)①②③(2)①解：如图中，即为所求；如图中，即为所求；如图中，即为所求．如图，与关于某条直线轴对称的格点三角形共有个三角形．故答案为：.15.【答案】解：（1）∵、分别是点关于、的对称点，∴，，∴的周长，∵的周长等于，∴；（2）如图，连接、、．∵垂直平分，∴，∴，同理，，∵．∴．【考点】轴对称的性质(1)①1△MNP ②2△MDE ③3△NFG (2)△ABC 66M N P AO BO ME =PE NF =PF MN =ME+EF +FN =PE+EF +PF =△PEF △PEF 10cm MN =10cm OP OM ON OA MP OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠AOB =∠AOP +∠BOP =30∘∠MON =2∠AOB =60∘【解析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长；（2）结合线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质推知，，同理，，则．【解答】解：（1）∵、分别是点关于、的对称点，∴，，∴的周长，∵的周长等于，∴；（2）如图，连接、、．∵垂直平分，∴，∴，同理，，∵．∴．16.【答案】解：如图，即为所求.如图，线段与的交点即为所求.【考点】作图-轴对称变换轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，即为所求.ME =PE NF =PF MN =△PEF OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠MON =2∠AOB =60∘M N P AO BO ME =PE NF =PF MN =ME+EF +FN =PE+EF +PF =△PEF △PEF 10cm MN =10cm OP OM ON OA MP OP =OM ∠MOA =∠AOP ∠BOP =∠BON ∠AOB =∠AOP +∠BOP =30∘∠MON =2∠AOB =60∘(1)△A ′B ′C ′(2)AC ′MN Q (1)△A ′B ′C ′如图，线段与的交点即为所求.(2)AC ′MN Q。
人教版八年级上册数学同步解析
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数学人教版(五四学制)八年级上册20.1.1轴对称 同步练习(解析版)
数学人教版（五四学制）八年级上册20一、选择题1.以下图形中，是轴对称图形的是〔〕A. B. C. D.2.以下图形具有两条对称轴的是〔〕A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 正方形3.如图，给出了一个轴对称图形的一半，其中虚线是这个图形的对称轴，请你猜想整个图形是( )A. 三角形B. 长方形C. 五边形D. 六边形4.以下图形中，不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.以下说法中错误的选项是〔〕A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B.关于某直线对称的两个图形全等C.面积相等的两个四边形对称D.轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合6.一张正方形纸片按图中方式经过两次对折，并在如图3位置上剪去一个小正方形，翻开后是〔〕A. B. C. D.7.小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇异,此时它所看到的全身像是〔〕8.如图，图中显示的是从镜子中看到面前墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实践时间是〔〕A. B. C. D.二、填空题9.线段是轴对称图形，它有________条对称轴．10.如图，大正三角形中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其他小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有________种；11.上海将在2021年举行世博会．公园池塘边一宣传横幅上的〝2021〞如下图．从对岸看，它在安静的水中的倒影所显示的数是________．12.如图，∠1=∠2，假定∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必需保证∠1为________°．13.如图，图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有________条对称轴.三、解答题14.找出图中是轴对称图形的图形,并找出两对对应点、两对对应线段、两对对应角.15.如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．16.观察如下图的这条花边，回答以下效果.〔1〕在这条花边中，相邻的图案具有什么关系？〔2〕整条花边图案能否是轴对称图形？17.观察图①~④中的左右两个图形,它们能否成轴对称?假设是,请画出其对称轴.18.操作与探求．〔1〕区分画出图①中〝〞和〝〞关于直线l的对称图形(画出表示图即可)．〔2〕把字母〝〞和〝〞写在薄纸上，观察纸的反面，写出你看到的字母背影．〔3〕小明站在五个先生的身后，这五个先生正向前方某人用手势表示一个五位数，从小明站的中央看(如图③所示)，这个五位数是23456.请你判别出他们表示的真实五位数是多少？答案解析局部一、选择题1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不契合题意；B、不是轴对称图形，不契合题意；C、不是轴对称图形，不契合题意；D、是轴对称图形，契合题意．故答案为：D【剖析】把一个图形沿着某条直线折叠，假定直线两旁的局部能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；依据定义逐一判别即可。
20.3.1等腰三角形(课件)-八年级数学上册同步精品课堂(人教版五四制)
AB=AC ( 已知 )，
AD=AD (公共边)，
B
∴ △BAD≌ △CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
DC
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还
可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，
看看你有什么新的发现？
A
BDC
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还
角平分线、底边BC上的高线 .
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
综上可得：如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
求证：∠B=C.
B
C
可以运用全等三
如何证明两个
角形的性质“对
角相等呢？
应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD，
则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )，
B DCA
A
E
D
N
MQ
P
B
CB
CB
C
猜想证明： 等腰三角形两底角的平分线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平 分线．
求证: BD=CE.
A
2019秋人教版八年级数学上册教材全解读
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
2三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一个封闭的图形；(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。
3三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类4三角形的主要线段的定义②∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线。
(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5三角形的主要线段的表示法三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD是DABC的角平分线；② AD平分ÐBAC，交BC于D；(图1)(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE是DABC的中线；②AE是DABC中BC边上的中线；(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是DABC的高；②AM是DABC中BC边上的高；③如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3 图4如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5 图6 图76三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．7三角形的角与角之间的关系(1)三角形三个内角的和等于180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.8三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)124521
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )A.B.C.D.2. 如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值是( )A.B.C.D.3. 如图，点，，表示某旅游景区三个缆车车站的位置，线段，表示连接缆车车站的钢缆，已知，，三点在同一平面内，它们的海拔高度，，分别为米，米，米，，，垂足分别为，，与相交于点，且，，景区因改造缆车线路，需要从到直线架设一条钢缆，那么钢缆的长度为( )1AC =12BC =7122100144148196a b 204ab 10875A B C AB BC A B C AA ′BB ′CC ′110310710BD ⊥CC ′AE ⊥CC ′D E AE BB ′F AF =2BF CD =BD A C ACA.米B.米C.米D.米4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由作个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则的值是（ ）A.B.C.D.5. 如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，厘米，厘米，则边的长是 （ ）100012001400150012ABCD EFGH MNKT S 1S 2S 3++=10S 1S 2S 3S 251032544ABCD EFGH EH =12EF =16ADA.厘米B.厘米C.厘米D.厘米6. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D.7. 如图，在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 （ ）A.米B.米C.米D.米8. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）1216202835457841494x y (x >y)A.＝B.＝C.＝D.＝二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 在中，，，，，分别平分，并交于点，则到的距离为________．10. 将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为________.11. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为，较短直角边为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为________．12. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端沿墙向下滑的距离与梯子底端向外移的距离相等时，的长是________．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 求图中的长方形的面积.+x 2y 249x−y 22xy+449x+y 9△ABC AB =3BC =4AC =5AP BP ∠CAB ∠CBA P P AB 24cm 12cm 16cm a b ab=8252.6m AB AO AO 2.4m A AC B BD AC m14. 用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．观察图，你能验证吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流．15. 思源中学八班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：测得的长度为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．16. 如图，是个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为、，斜边为．你能利用这个图形验证勾股定理吗？=+c 2a 2b 2(3)CE (1)BD 25(2)BC 65(3) 1.68CE 4a b c参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则，解得，所以“数学风车”的周长是.故选.2.【答案】B【考点】勾股定理的证明列代数式求值【解析】根据勾股定理解答即可.【解答】解：设大正方形的边长为，则，小正方形的面积，∠ACB AC x =(12×2+x 2)272x =25(25+12)×4=148C c =+=20c 2a 2b 2=+−2ab =4(b −a)2a 2b 2即，解得：.故选.3.【答案】A【考点】勾股定理勾股定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，，∴，∴，，，∵，∴，∴在中，根据勾股定理可得米.故选．4.【答案】B【考点】勾股定理的证明【解析】根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可．【解答】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，20−2ab =4ab =8B F =A =110B ′A ′B =310B ′BF =B −F B ′B ′=310−110=200DE =BF =200AF =2BF =2×200=400CD =C −B =710−310=400C ′B ′CE =C −E =C −A C ′C ′C ′A ′=710−110=600.BD =CD =400EF =400AE =AF +EF =400+400=800.Rt △ACE AC ===1000A +C E 2E 2−−−−−−−−−−√+80026002−−−−−−−−−√A MNKT x y x y S 1S 2S 3MTKN x y∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，∴得出，，，∴，故，，所以，故选．5.【答案】C【考点】勾股定理翻折问题【解析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形为矩形，那么由折叠可得的长即为边的长．【解答】解：由折叠的性质得，，，∴，同理可得：，∴四边形为矩形．∴.又,∴，∴.∵，∴.由勾股定理得，，∴．故答案为：.6.【答案】ABCD EFGH MNKT S 1S 2S 3++=10S 1S 2S 3=8y+x S 1=4y+x S 2=x S 3++=3x+12y =10S 1S 2S 33x+12y =10x+4y =103=x+4y =S 2103B EFGH HF AD ∠HEM =∠AEH ∠BEF =∠FEM ∠HEF =∠HEM +∠FEM =×=12180∘90∘∠EHG =∠HGF =∠EFG =90∘EFGH EF =HG ，∠EFM =∠GHN ∠EMF =∠GNH =90∘△EMF ≅∠GNH(AAS)HN =FM AD =AH+HD =HM +HN AD =HM +FM =HF HF ===20(cm)E +E H 2F 2−−−−−−−−−−√+122162−−−−−−−−√AD =20(cm)20D【考点】勾股定理的证明【解析】根据图形的面积得出，，的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．【解答】解：，，都可以利用图形面积得出，，的关系，即可证明勾股定理；故，，选项不符合题意；、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选：．7.【答案】C【考点】平移的性质勾股定理的应用【解析】将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边.【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度（米），∵地毯铺满楼梯是其长度是该楼梯水平宽度与垂直高度的和，∴地毯长（米）．故选．8.【答案】D【考点】勾股定理的证明【解析】a b c A B C a b c A B C D D ==4−5232−−−−−−√3+4=7C+=4922由题意 ，①-②可得＝记为③，①+③得到＝由此即可判断．【解答】由题意 ，①-②可得＝ ③，∴＝，①+③得＝，∴，∴①②③正确，④错误．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】角平分线的性质勾股定理三角形的面积【解析】无【解答】解：如图所示，∵，∴，作，，，∵，分别平分，，∴，则，解得．故答案为：．10.{ +=49x 2y 2(x−y =4)22xy 45(x+y)294{ +=49x 2y 2(x−y =4)22xy 452xy+449+2xy+x 2y 294x+y =94−−√1+=334255BC ⊥AB PD ⊥AB PE ⊥BC PF ⊥AC AP BP ∠CAB ∠CBA PD =PE =PF =h ×3×h+×4×h+×5×h 121212=×3×412h =11【答案】【考点】勾股定理的应用【解析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：设筷子露在杯子外面的长度为，如图所示，当筷子底端在点时最小，此时，，故，故筷子露在杯子外面的最短长度为．故答案为：．11.【答案】【考点】勾股定理的应用【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，∵每一个直角三角形的面积为：，∴，∴，∴，故答案为：.4cmh B h AB ===20(cm)A +BC 2C 2−−−−−−−−−−√+122162−−−−−−−−√h =24−20=4(cm)4cm 4cm 3a −b a −b ab =×81212=44×ab +(a −b 12)2=25(a −b)2=25−16=9a −b =3312.【答案】【考点】勾股定理的应用【解析】本题考查的是勾股定理的应用.【解答】解：∵＝，＝，＝，∴，设＝＝，∴＝，＝，∴＝，∴＝，解得：＝，∴＝．故答案为：.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：由题意知：所求长方形的长为上方三角形的斜边，因此长方形的长：，已知长方形的宽：，故长方形的面积为：.【考点】勾股定理的应用勾股定理【解析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．【解答】解：由题意知：所求长方形的长为上方三角形的斜边，1.4∠O 90∘AB 2.6m OA 2.4m OB ===1m A −O B 2A 2−−−−−−−−−−√ 2.−2.6242−−−−−−−−−√AC BD x OC 2.4−x OD 1+x CD 2O +O C 2D 22.62(2.4−x +(1+x )2)2x 1.4AC 1.4m 1.4=17cm +15282−−−−−−−√3cm 17×3=51cm 2=17cm+22−−−−−−−√因此长方形的长：，已知长方形的宽：，故长方形的面积为：.14.【答案】解：由图可知：．，所以．【考点】勾股定理的证明【解析】利用大正方形的面积等于个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．【解答】解：由图可知：．，所以．15.【答案】解：在中，，，∴．由题知：四边形是矩形，∴，∴（米），∴风筝的高度为米．【考点】勾股定理的应用【解析】无【解答】=17cm +15282−−−−−−−√3cm 17×3=51cm 2=4×⋅ab +(b −a S 正方形12)2=2ab ++−2ab b 2a 2=+a 2b 2=S 正方形c 2+=a 2b 2c 24=4×⋅ab +(b −a S 正方形12)2=2ab ++−2ab b 2a 2=+a 2b 2=S 正方形c 2+=a 2b 2c 2Rt △BDC BD =25BC =65CD ==60B −B C 2D 2−−−−−−−−−−√ABDE AB =ED =1.68CE =CD+ED =61.68CE 61.68解：在中，，，∴．由题知：四边形是矩形，∴，∴（米），∴风筝的高度为米．16.【答案】解：假设，该图形的面积，有两种求法：一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，根据两种求法的面积相等可得：，化简得，．【考点】勾股定理的证明【解析】欲验证勾股定理，根据已知条件，假设，我们可通过求该图形的面积列出等式，化简即可得到勾股定理的形式．【解答】解：假设，该图形的面积，有两种求法：一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，根据两种求法的面积相等可得：，化简得，．Rt △BDC BD =25BC =65CD ==60B −B C 2D 2−−−−−−−−−−√ABDE AB =ED =1.68CE =CD+ED =61.68CE 61.68b >a +2×ab =++2×abc 212b 2a 212=+c 2b 2a 2b >a b >a +2×ab =++2×abc 212b 2a 212=+c 2b 2a 2。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)100930
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论：①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．A.B.C.D.2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为( )A.或B.或C.或D.3. 如图，点在内，连接，，，若对于任意的，都成立，则点应是( )A.三条高的交点B.的三条中线的交点△AOB △COD OA=OB OC=OD OA <OC ∠AOB =∠COD=36∘AC BD M OM ∠AMB=36∘AC=BD OM ∠AOD MO ∠AMD 432130∘60∘120∘30∘150∘30∘120∘60∘O △ABC OA OB OC △ABC ==S △OAB S △OBC S △OAC O △ABC △ABCC.的三条角平分线的交点D.的一条中线与一条角平分线的交点4. 如图所示，，则不能得到的结论是（ ）A.B.C.D.5. 一个五边形木框不具有稳定性，要把它固定下来，至少要定上木条的数目是（ ）A.B.C.D. 6.如图， ， ，若 ，则( )A.B.C.D.7. 如图，从下列四个条件：①；②；③；④中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )△ABC △ABC △ABC ≅△DEC AB =DE∠A =∠DBC =CD∠ACD =∠BCE1234AB =AC,AE =EC =CD ∠A =60∘EF =2DF =3456BC =C B ′AC =C A ′∠CA =∠CB A ′B ′AB =A ′B ′A.B.C.D.8. 如图所示，，相交于点，，下列结论正确的个数是（ ）①；②；③；④平分A.个B.个C.个D.个二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用原理是_______．1234AC BD O △ABO ≅△ADO AC ⊥BD CB =CD △ABC ≅△ADC AC ∠BAD123410. 如图，在中，，，，线段于（如图，此时点与点重合），，当点沿向滑动时，点相应的从沿向滑动，始终保持不变，当与全等时，的长度等于________．11. 在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则________．12. 玻璃三角板摔成三块如图，若到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法带________．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 如图所示，王师傅制作了一个长方形门框，安装之前，在上面钉了两块等长的木条与，，分别是，的中点和一定相等吗？试说明理由；钉这两块木条的作用是什么？14. 如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．15. 如图，在四边形中，，平分，，连接，．△ABC ∠ACB =90∘BC =4AC =3PQ ⊥BC Q Q B PQ =AB P PB B Q B BC C PQ =AB △ABC △PBQ PB Rt △ABC ∠ACB =90∘BC =2cm CD ⊥AB AC E EC =BC E EF ⊥AC CD F EF =5cm AE =cm GF GE E F AD BC .(1)AG BG (2)∠A =∠D =90∘E F BC DE AF O AB =CD BE =CF Rt △ABF ≅Rt △DCE ABCD AB=BC BF ∠ABC AF //DC AC CF求证：；平分.16. 如图，小明站在堤岸的点处，正对他的点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆旁，接着再往前走相同的距离，到达点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于点．那么、两点间的距离就是在点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？(1)AF =CF (2)CA ∠DCF A S B C D C D A参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定角平分线的性质【解析】由证明得出＝，＝，②正确；由全等三角形的性质得出＝，由三角形的外角性质得：＝，得出＝＝，①正确；作于，于，如图所示：则＝＝，利用全等三角形对应边上的高相等，得出＝，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则＝，由全等三角形的判定定理可得，得＝，而＝，所以＝，而，故③错误；即可得出结论．【解答】解：∵，∴，即，在和中，∴，∴，，故②正确；∵，由三角形的外角性质得：，∴，故①正确；作于，于，如图所示，SAS △AOC ≅△BOD ∠OCA ∠ODB AC BD ∠OAC ∠OBD ∠AMB+∠OBD ∠OAC +∠ADB ∠AMB ∠AOB 36∘OG ⊥AM G OH ⊥DM H ∠OGA ∠OHB 90∘OG OH OM ∠AMD OM ∠AOD ∠DOM ∠AOM △AMO ≅△OMD AO OD OC OD OA OC OA <OC ∠AOB =∠COD=36∘∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC ∠AOC =∠BOD △AOC △BOD OA =OB ，∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△AOC ≅△BOD(SAS)∠OCA =∠ODB AC=BD ∠OAC =∠OBD ∠AMB+∠OBD =∠OAC +∠AOB ∠AMB=∠AOB=36∘OG ⊥AM G OH ⊥DM H则，∵，∴，∴平分，故④正确；假设平分，则，在与中，∴，∴，∵，∴，而，故③错误；正确的个数有个.故选.2.【答案】A【考点】等腰三角形的性质三角形的高三角形内角和定理【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是，当高在三角形外部时，顶角是.∠OGA =∠OHB =90∘△AOC ≅△BOD OG=OH OM ∠AMD OM ∠AOD ∠DOM=∠AOM △AMO △DMO ∠AOM =∠DOM ，OM =OM ，∠AMO =∠DMO ，△AMO ≅△DMO(ASA)AO=OD OC=OD OA=OC OA <OC 3B 60∘120∘故选．3.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定三角形的面积三角形的角平分线、中线和高【解析】根据三角形的面积公式，知点和点到的距离相等，利用全等三角形就可证明的延长线和的交点即为的中点，同理可证明、也是三角形的中线的一部分．【解答】解：延长交于，作于，作于．，.，，，，∴是边上的中线.同理可以证明是边上的中线，是边上的中线，∴点是三角形的三条中线的交点．故选．4.【答案】CA B C AO AO BC BC BO CO AO BC P BE ⊥AO E CF ⊥AO F ∵=S △OAB S △OAC ∴BE =CF ∵∠E =∠CFP =90∘∠BPE =∠CPF ∴△BEP ≅△CFP ∴BP =CP AO BC BO AC CO AB O B【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】三角形的稳定性【解析】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得出三角形．【解答】解：如图，需至少添加条对角线．故选．6.【答案】D【考点】含30度角的直角三角形等边三角形的判定等边三角形的性质角平分线的性质直角三角形全等的判定【解析】2B此题暂无解析【解答】解：作于点，如图，∵，，∴为等边三角形，∴，又，∴，∴，∴.又，即为中点，∴为的角平分线，∴，，又，∴，∴.又在中，，∴，∴.故选.7.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定【解析】根据全等三角形的判定定理，可以推出当①②③为条件，④为结论时 ，根据判断出，根据全等三角形的性质得出；当①②④为条件，③为结论时：由判断出，根据全等三角形的性质得出， 从而得出．【解答】解：当①②③为条件，④为结论时：EH ⊥BC H AB =AC ∠A =60∘△ABC ∠CED+∠CDE =∠ACB =60∘CE =CD ∠CED =∠CDE =30∘∠AEF =30∘∠AFE =90∘AE =EC E AC BE ∠ABC ∠ABE =∠EBH =30∘EF =EH BE =BE Rt △EFB ≅Rt△EHB(HL)EF =EH =BE 12Rt △EHD EH =ED 12ED =BE =2EF =4DF =DE+EF =4+2=6D SAS △A'CB'≅△ACB AB =A'B'SSS △A'CB'≅△ACB ∠A'CB'=∠ACB ∠A'CA =∠B'CB∵，∴，即，∵，，∴，∴；当①②④为条件，③为结论时：∵，，，∴，∴，∴，即．若②③④为条件，通过两边及其一边的对角无法判定三角形相似，从而无法得出结论.故选．8.【答案】D【考点】全等三角形的应用全等三角形的性质【解析】根据全等三角形的性质得出，，，再根据全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论．【解答】解：∵，∴，，.∴，故①正确；∵四边形的对角线、相交于点，，，∴，②正确；在和中，，∴，故③正确；∵，∴{AC}{\angle BAD}故④正确；正确结论有个，故选：.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】三角形的稳定性∠CA =∠CB A ′B ′∠CA+∠AC =∠CB+∠AC A ′B ′B ′B ′∠C =∠ACB A ′B ′BC =C B ′AC =C A ′△C ≅△ACB(SAS)A ′B ′AB =A ′B ′BC =C B ′AC =C A ′AB =A ′B ′△C ≅△ACB(SSS)A ′B ′∠C =∠ACB A ′B ′∠C −∠AC =∠ACB−∠AC A ′B ′B ′B ′∠CA =∠CB A ′B ′B ∠AOB =∠AOD =90∘OB =OD AB =AD △ABC ≅△ADC △ABO ≅△ADO ∠AOB =∠AOD =90∘OB =OD AB =AD AC ⊥BD ABCD AC BD O OB =OD AC ⊥BD BC =DC △ABC △ADC AB =ADBC =DC AC =AC△ABC ≅△ADC(SSS)△ABO ≅△ADO ∠BAC =∠CAD.∴平分.4D【考点】三角形的稳定性【解析】钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性．【解答】解：安装在墙壁上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性.故答案为：三角形的稳定性．10.【答案】或【考点】直角三角形全等的判定【解析】分情况进行讨论：①当与重合时，＝＝时，；②当＝＝时，．【解答】解：①当与重合时，时，，在和中，∴.②当时，，在和中，∴．故答案为：或.11.【答案】【考点】全等三角形的性质与判定34Q C AC BP 3△BCA ≅△QBPBP BC 4△BCA ≅△PBQ Q C AC =BP =3△BCA ≅△QBP Rt △BCA Rt △QBP {AB =PQ,AC =PB,Rt △BCA ≅Rt △QBP(HL)BP =BC =4△BCA ≅△PBQ Rt △BCA Rt △PBQ {AB =QP,AC =QB,Rt △BCA ≅Rt △PBQ(HL)343【解析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵，∴，∵，∴，∴（等角的余角相等），在和中，，∴，∴，∵，，，∴．故答案为：．12.【答案】③【考点】全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的判定方法即可得出结果．【解答】解：带③去符合“角边角”可以配一块同样大小的三角板．故答案为：③．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：，一定相等.理由如下：∵门框为长方形，∴，且，.∵，分别是，的中点，∠ECF =∠B △ABC △FCE AC =EF AE =AC −CE ∠ACB =90∘∠ECF +∠BCD =90∘CD ⊥AB ∠BCD+∠B =90∘∠ECF =∠B △FCE △ABC ∠ECF =∠BEC =BC ∠ACB =∠FEC =90∘△ABC ≅△FCE(ASA)AC =EF AE =AC −CE BC =2cm EF =5cm AE =5−2=3cm 3ASA (1)AG BG ∠A =∠B =90∘AB =DC AD =BC E F AD BC∴.在和中，∴()∴.根据三角形稳定性可知：三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点.∴钉这两块木条的作用是可以让门框更加稳定，牢固.【考点】三角形的稳定性直角三角形全等的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：，一定相等.理由如下：∵门框为长方形，∴，且，.∵，分别是，的中点，∴.在和中，∴()∴.根据三角形稳定性可知：三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点.∴钉这两块木条的作用是可以让门框更加稳定，牢固.14.【答案】证明：∵，∴，即，∵，∴与都为直角三角形，在和中，，∴．【考点】直角三角形全等的判定【解析】AE =BF Rt △AEG Rt △BFG {GF =GE ，AE =BF ，△AEG ≅△BFG HL AG =BG (2)(1)AG BG ∠A =∠B =90∘AB =DC AD =BC E F AD BC AE =BF Rt △AEG Rt △BFG {GF =GE ，AE =BF ，△AEG ≅△BFG HL AG =BG (2)BE =CF BE+EF =CF +EF BF =CE ∠A =∠D =90∘△ABF △DCE Rt △ABF Rt △DCE {BF =CE AB =CD Rt △ABF ≅Rt △DCE(HL)由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【解答】证明：∵，∴，即，∵，∴与都为直角三角形，在和中，，∴．15.【答案】证明：∵平分，∴.在与中，∴，∴.∵，∴.∵，∴，∴，即平分.【考点】全等三角形的性质与判定等腰三角形的性质平行线的性质【解析】（1）根据平分＝，再加上＝，＝就可以推出，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出＝；（2）根据（1）中所得出的结论可以推出＝；依据平行线的性质可以得出内错角、相等，等量代换后，就可推出平分．【解答】证明：∵平分，∴.在与中，△ABF △DCE BE =CF BE+EF =CF +EF BF =CE ∠A =∠D =90∘△ABF △DCE Rt △ABF Rt △DCE {BF =CE AB =CDRt △ABF ≅Rt △DCE(HL)(1)BF ∠ABC ∠ABF=∠CBF △ABF △CBF AB =CB ，∠ABF =∠CBF ，BF =BF,△ABF ≅△CBF(SAS)AF =CF (2)AF =CF ∠FCA=∠FAC AF //DC ∠FAC=∠DCA ∠FCA=∠DCA CA ∠DCF BF ∠ABC ⇒∠ABF ∠CBF AB BC BF BF △ABF ≅△CBF AF CF ∠FCA ∠FAC ∠FAC ∠DCA CA ∠DCF (1)BF ∠ABC ∠ABF=∠CBF △ABF △CBF AB =CB ，∴，∴.∵，∴.∵，∴，∴，即平分.16.【答案】在与中，，∴，∴＝．【考点】全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】在与中，，∴，∴＝． AB =CB ，∠ABF =∠CBF ，BF =BF,△ABF ≅△CBF(SAS)AF =CF (2)AF =CF ∠FCA=∠FAC AF //DC ∠FAC=∠DCA ∠FCA=∠DCA CA ∠DCF △ABS △CBD ∠A =∠C =90∠ABS =∠CBD AB =CB △ABS ≅△CBD(AAS)AS CD △ABS △CBD ∠A =∠C =90∠ABS =∠CBD AB =CB △ABS ≅△CBD(AAS)AS CD。
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习(含答案解析)080334
2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若是完全平方式，则的值等于（ ）A.B.C.D.或2. 下列利用乘法公式运算中错误的是（ ）A.B.C.D.3. 在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下部分拼成一个矩形，计算面积，验证了一个等式（ ）A.B.C.D.4. 下列多项式中，不能用平方差公式的是（ ）A.B.C.D.5. 如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长+2(m−3)x+25x 2m 3−578−2(−a +b)(−a −b)=−a 2b 2(−a −b =++2ab)2a 2b 2(−a +b =+−2ab)2a 2b 2(−a −b)(a +b)=−a 2b 2a b (a >b)(a +b =+2ab +)2a 2b 2−=(a +b)(a −b)a 2b 2(a −b =−2ab +)2a 2b 2−ab =a(a −b)a 2(x−y)(−x+y)(−x+y)(−x−y)(−x−y)(x−y)(x+y)(−x+y)1a b方形，如图．这个拼成的长方形的长为，宽为，则图中部分的面积是( )A.B.C.D.6. 若，，则，的大小关系是( )A.B.C.D.与的值有关7. 若关于的代数式是完全平方式，则的值等于( )A.B.C.D.8. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是( )A.B.C.230202II 60100125150A =−2x x 2B =−6x−4A B A ≤BA ≥BA =Bx x +mx+16x 2m 8−4±8±4a b (a >b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2(a +b =+2ab +)2a 2b 2(a −b =−2ab +)2a 2b 2(a +2b)(a −b)=+ab +22D.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 计算：的结果为________.10. 有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，若将，并列放置后构造新的正方形得图乙．当图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和时，正方形，的面积之和为________．11. 若是完全平方式，则________.12. 已知是完全平方式，则常数等于________.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分）13. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．① ② ③请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）．方法一：________；方法二：________.根据中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含的等式表示）根据题中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足： ，求的值；根据图③，写出一个等式：________.14. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形.(a +2b)(a −b)=+ab +a 2b 2(a −b +c)(a +b −c)A B B A A B 110A B +2(m−3)x+1x 2m=+6x+x 2k 2k 2m 2n (1)m n (2)(1)m (3)(2)a b a +b =10，ab =8a −b (4)1A a B b C b a A B C 2请用两种不同的方法求图大正方形的面积.方法：________，方法：________；观察图，请你写出代数式：，,之间的等量关系________;根据题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求的值；②已知：，求的值.15. 计算：.16. 如图，在边长为的正方形的一角剪去一个边长为的正方形，把剩余的部分（图中的阴影部分）裁剪后拼成右边的长方形．（1）请写出上述剪拼过程中所揭示的乘法公式；（2）请运用乘法公式简便计算：．(1)212(2)2(a +b)2+a 2b 2ab (3)(2)a +b =5+=13a 2b 2ab (2019−a +(a −2018=5)2)2(2019−a)(a −2018)(x+2y−3z)(x−2y+3z)a b −2020×201820192参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】完全平方式【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故选2.【答案】D【考点】平方差公式完全平方公式【解析】根据平方差公式和完全平方公式进行解答并作出判断．【解答】解：、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项正确，不合题意；、原式，故本选项错误，符合题意．+2(m−3)x+25x 2m−3=±5m=8−2D.A =(a −b)(a +b)=−a 2b 2B =(a +b =++2ab )2a 2b 2C =(b −a =+−2ab )2a 2b 2D =−(a +b =−(++2ab))2a 2b 2故选．3.【答案】B【考点】平方差公式的几何背景【解析】左图中的阴影部分的面积，右图中长方形的面积，两图形阴影面积相等，据此即可解答．【解答】解：由题可得：．故选．4.【答案】A【考点】平方差公式【解析】根据公式的左边的形式，判断能否使用．【解答】解：、由于两个括号中含，项的符号都相反，故不能使用平方差公式，正确；、两个括号中，含项的符号相同，的项的符号相反，故能使用平方差公式，错误；、两个括号中，含项的符号相反，项的符号相同，故能使用平方差公式，错误；、两个括号中，含项的符号相反，项的符号相同，故能使用平方差公式，错误；故选．5.【答案】B D =−a 2b 2=(a +b)(a −b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2B (a +b)(a −b)=−a 2b 2A x y A B x y B C x y C D x y D A完全平方公式的几何背景二元一次方程组的解【解析】分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形的长和宽即可．【解答】解:∵拼成的长方形的长为，宽为，∴有解得，，∴长方形的面积.故选6.【答案】B【考点】完全平方式完全平方公式【解析】此题暂无解析【解答】解：..故选.7.【答案】C【考点】完全平方公式(a +b)(a −b){a +b =30，a −b =20，a =25b =5II =b(a −b)=5×(25−5)=100B.∵A−B =(−2x)−(−6x−4)x 2=+4x+4=(x+2≥0x 2)2∴A ≥B B根据两平方项确定出这两个数是和，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：∵是完全平方式，∴，解得．故选.8.【答案】A【考点】平方差公式的几何背景【解析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形是长为，宽为，根据两者相等，即可验证平方差公式．【解答】解：利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形是长为，宽为，面积为，根据两者相等，可得：．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】平方差公式完全平方公式【解析】首先把和结合，然后运用平方差公式和完全平方公式计算即可.【解答】x 4+mx+16x 2mx =±2×4⋅x m=±8C =−a 2b 2a +b a −b =−a 2b 2a +b a −b (a +b)(a −b)−=(a +b)(a −b)a 2b 2A −+2bc −a 2b 2c 2b c解：.故答案为：.10.【答案】【考点】完全平方公式的几何背景【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由图甲得即，由图乙得，即，所以.故答案为：.11.【答案】或【考点】完全平方式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是完全平方式，∴或，∴或.故答案为：或.12.【答案】(a −b +c)(a +b −c)=[a −(b −c)][a +(b −c)]=−a 2(b −c)2=−(−2bc +)a 2b 2c 2=−+2bc −a 2b 2c 2−+2bc −a 2b 2c 211A aB b A a B b −−2(a −b)b =a 2b 21+−2ab =a 2b 21(a +b −−=)2a 2b 2102ab =10+=a 2b 2111124+2(m−3)x+1x 2m−3=−1m−3=1m=2m=424【考点】完全平方公式【解析】本题根据完全平方公式解决问题.【解答】解：是完全平方式，，.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】,由可得.由得：，故．．【考点】完全平方公式的几何背景【解析】无无无无【解答】解：观察图可以得到阴影部分的面积为，也可以为；故答案为：；.由可得.由得：，故．．±3∵+6x+x 2k 2∴=k 2()622∴k =±3±3−4mn (m+n)2(m−n)2(2)(1)=−4mn (m−n)2(m+n)2(3)(2)=−4ab =−4×8=68(a −b)2(a +b)2102a −b =±217−−√=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3(1)(m−n)2−4mn (m+n)2−4mn (m+n)2(m−n)2(2)(1)=−4mn (m−n)2(m+n)2(3)(2)=−4ab =−4×8=68(a −b)2(a +b)2102a −b =±217−−√(4)=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3=+3b +3a +33223故答案为：．14.【答案】,解：由已知得：①∵，∴,∵,∴.②设，，则，∵，∴.∵，∴，即.【考点】完全平方式完全平方公式的几何背景【解析】解：由图，图可得，有如下两种方法：故答案为：； .根据完全平方公式可得：，故答案为：.【解答】解：由图，图可得，有如下两种方法：，，故答案为：； .根据完全平方公式可得：，=+3b +3a +(a +b)3a 3a 2b 2b 3(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b =++2ab)2a 2b 2(3)a +b =5(a +b =+2ab +=25)2a 2b 2+=13a 2b 2ab =62019−a =x a −2018=y x+y =1(2019−a +(a −2018=5)2)2+=5x 2y 2(x+y =+2xy+)2x 2y 2xy ==−2(x+y −(+))2x 2y 22(2019−a)(a −2018)=−2(1)12(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b)2+2ab +a 2b 2(2)(a +b =++2ab )2a 2b 2(a +b =++2ab )2a 2b 2(1)12(a +b)2+2ab +a 2b 2(a +b)2+2ab +a 2b 2(2)(a +b =++2ab )2a 2b 2(a +b =++2ab)222故答案为：.解：由已知得：①∵，∴,∵,∴.②设，，则，∵，∴.∵，∴，即.15.【答案】解：原式.【考点】完全平方公式平方差公式【解析】先变形为原式，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：原式.16.【答案】第一个图中阴影部分的面积是： ，第二个图中的面积：＝，乘法公式：＝．＝＝．(a +b =++2ab )2a 2b 2(3)a +b =5(a +b =+2ab +=25)2a 2b 2+=13a 2b 2ab =62019−a =x a −2018=y x+y =1(2019−a +(a −2018=5)2)2+=5x 2y 2(x+y =+2xy+)2x 2y 2xy ==−2(x+y −(+))2x 2y 22(2019−a)(a −2018)=−2=[x+(2y−3z)][x−(2y−3z)]=−x 2(2y−3z)2=−(4−12yz+9)x 2y 2z 2=−4+12yz−9x 2y 2z 2=[x−(2y−3z)][x−(2y−3z)]=[x+(2y−3z)][x−(2y−3z)]=−x 2(2y−3z)2=−(4−12yz+9)x 2y 2z 2=−4+12yz−9x 2y 2z 2−a 2b 2a(a −b)+b(a −b)(a +b)(a −b)−a 2b 2(a +b)(a −b)−2020×201820192−(2019+1)×(2019−1)201921【考点】平方差公式的几何背景【解析】（1）分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出公式；（2）由平方差公式可求解．【解答】第一个图中阴影部分的面积是： ，第二个图中的面积：＝，乘法公式：＝．＝＝．−a 2b 2a(a −b)+b(a −b)(a +b)(a −b)−a 2b 2(a +b)(a −b)−2020×201820192−(2019+1)×(2019−1)201921。
人教版-数学-八年级上册-人教版数学八上 全等三角形 同步讲解教案
全等三角形课题：人教版初中数学八年级上册《全等三角形》执教时间：09年11月×日执教班级：南屏中学八年级4班执教老师：储桂荣教学过程：师：上课！班长：:起立！师：同学们好！生：老师好！师：请坐．生：谢谢老师！教学过程：活动一：创设情境,导入新课第一步：课堂引入出示一组图片，并将它们粘贴在黑板上。
师：同学们，我们生活中有许多美丽的图片。
老师准备了几组图片，现在请大家观察每组图片有什么共同特征？生：每组的两个图形形状大小都一样。
师：它们能够完全重合吗？谁到前面来验证一下？生1：一同学到前面来验证（移动其中一图形与另一图形重合）生2：一同学到前面来验证（移动其中一图形与另一图形重合）生3：一同学到前面来验证（移动其中一图形与另一图形重合）师：它们能……生齐答：能够完全重合。
师：同学们的观察力很棒，上面几组图形，每组中的两个图形都能够完全重合。
数学中将能够完全重合的图形称为全等形。
师：板书能够完全重合的图形称为全等形。
【评析】创设富有新意，联系生活实际的问题情境，让学生体会到数学就在我们身边，从而激起强烈的好奇心和求知欲，为下一步的自主学习奠定了基础。
在活动中，教师重在培养学生发现问题和解决问题的能力，能不能从问题情境中抽象出数学问题，是此过程的关键所在．师：那现实生活中有能够完全重合的图形的例子?生1：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的生2：人和镜子里的像是完全重合的师：观察下面两组图形，它们是不是全等形？并指出它们的相同点与不同点。
（1）（2）生：它们不是全等形。
在图（1）里的两个图形都是八边形，但是它们的大小不相同。
在图（2）中两个图形都是由三个大小相同的小正方形组合而成的，帮他们大小相同，但形状不相同。
师：同学们他回答的好吗？（好！）那是不是应该掌声鼓励。
（啪啪。
）这位同学不仅观察力很棒，并且语言组织能力也强。
同学们也要像他一样不紧要善于观察更应该要善于总结。
如果上面两组图形不是全等形，那么全等形它有什么样的特征呢？生：全等形的形状、大小都相同。
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习(含答案解析考点)091130
2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习考试总分：24 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为( )A.B.C.D.2. 如图所示，中，，是角平分线，，则A.B.C.D.3. 一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为（ ）A.B.C.D.∠α10∘15∘20∘25∘△ABC BF CF ∠A =70∘∠BFC =()125∘110∘100∘150∘1234. 在中，边的垂直平分线的交点落在边上，则的形状为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形5.如图，、是的外角角平分线，若＝，则的大小为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）6. 如图，已知直线，都与直线相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是________．（把你认为正确的序号都填上）7. 如图，在中，，，于点，平分，则的度数是________．三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）△ABC AC ，BC O AB △ABC BP CP △ABC ∠P 60∘∠A 30∘60∘90∘120∘a b c ∠1=∠2∠3=∠6∠1=∠4∠5+∠8=180∘a//b △ABC ∠B =40∘∠C =60∘AE ⊥BC E AD ∠BAC ∠DAE8. （3分） 已知：如图在中，是角平分线， ， ，求的度数．△ABC BD DE//BC,∠A =60∘∠BDC =80∘∠BDE参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学新人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1.【答案】B【考点】三角形的外角性质【解析】首先根据三角板内角的度数确定和的度数，然后根据三角形外角的性质即可解答.【解答】解：由题意可知，.根据三角形外角的性质，得.故选.2.【答案】A【考点】三角形内角和定理角平分线的性质【解析】根据三角形的内角和定理和的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．【解答】解：∵，∴.∵，是的角平分线，∠1∠2∠ACB =45∘∠ABD =60∘∠α=∠ABD −∠ACB =−=60∘45∘15∘B ∠A ∠A =70∘∠ABC +∠ACB =−∠A =−=180∘180∘70∘110∘BF CF △ABC FBC +∠FCB =(∠ABC +∠ACB)=1∴，∴．故选．3.【答案】C【考点】三角形内角和定理【解析】依据三角形的内角和是，假设在一个三角形中只有个锐角或一个锐角都没有，则可以得出这个三角形的内角和大于，所以假设不成立，据此即可判断．【解答】解：假设在一个三角形中只有个锐角或一个锐角都没有，则另外的两个角或三个角都大于或等于，于是可得这个三角形的内角和大于，这样违背了三角形的内角和定理，假设不成立．所以任何一个三角形的三个内角中至少有个锐角．故选.4.【答案】B【考点】直角三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由直角三角形的定义可知，直角边的两条垂直平分线的交点位于斜边的中点；故选.5.【答案】B【考点】∠FBC +∠FCB =(∠ABC +∠ACB)=1255∘∠BFC =−=180∘55∘125∘A 180∘1180∘190∘180∘2C B三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】利用三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．【解答】证明：∵、是的外角的平分线，∴，，∵＝，＝，∴＝，∴＝＝＝＝，∴＝，二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）6.【答案】①②④【考点】平行线的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：①可根据同位角相等，两直线平行得到；②可根据内错角相等，两直线平行得到；③，与是邻补角，不相等，不可得到；④可得，可根据同旁内角互补，两直线平行得到；故答案为①②④．7.【答案】【考点】三角形内角和定理【解析】BP CP △ABC ∠PCB =∠ECB 12∠PBC =∠DBC 12∠ECB ∠A +∠ABC ∠DBC ∠A +∠ACB ∠PCB +∠PBC =(∠A +∠ABC +∠A +∠ACB)=(+∠A)1212180∘+∠A 90∘12∠P −(∠PCB +∠PBC)180∘−(+∠A)180∘90∘12−∠A 90∘1260∘∠A 60∘∠1=∠2a//b ∠3=∠6a//b ∠1=∠8=∠2∠1∠4a//b ∠5+∠8=180∘∠3+∠2=180∘a//b 10∘此题暂无解析【解答】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴．∵，∴∴．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）8.【答案】解：∵ ，∴∵是角平分线，∴∵，∴即的度数是．【考点】平行线的性质角平分线的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ，∴∵是角平分线，∴∵，∴即的度数是．∠B =40∘∠C =60∘∠BAC =−−=180∘40∘60∘80∘AD ∠BAC ∠BAD =∠BAC =1240∘AE ⊥BC ∠BEA =90∘∠B =40∘∠BAE =−−=180∘90∘40∘50∘∠DAE =∠BAE −∠BAD =−=50∘40∘10∘10∘∠A =60∘,∠BDC =80∘,∠BDC =∠A +∠ABD ∠ABD =20∘BD ∠ABD =∠DBC =20∘DE//BC ∠EDB =∠DBC =20∘∠BDE 20∘∠A =60∘,∠BDC =80∘,∠BDC =∠A +∠ABD ∠ABD =20∘BD ∠ABD =∠DBC =20∘DE//BC ∠EDB =∠DBC =20∘∠BDE 20∘。
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人教版初中数学八年级上册2013目录第十一章三角形 (4)本章综合解说 (4)11.1 与三角形有关的线段 (4)学习目标 (4)知识详解 (4)课外拓展 (9)11.2 与三角形有关的角 (10)学习目标 (10)知识详解 (10)课外拓展 (13)11.3 多边形及其内角和 (13)学习目标 (13)知识详解 (13)课外拓展 (18)单元总结 (18)单元测试 (20)第十二章全等三角形 (25)本章综合解说 (25)12.1 全等三角形 (26)学习目标 (26)知识详解 (26)课外拓展 (32)12.2 三角形全等的判定 (33)学习目标 (33)知识详解 (33)课外拓展 (39)12.3 角的平分线的性质 (39)学习目标 (39)知识详解 (39)课外拓展 (43)单元总结 (43)单元测试 (47)第十三章轴对称 (52)本章综合解说 (52)13.1 轴对称 (53)学习目标 (53)知识详解 (53)课外拓展 (57)13.2 画轴对称图形 (57)学习目标 (57)知识详解 (58)课外拓展 (62)13.3 等腰三角形 (62)学习目标 (62)知识详解 (62)课外拓展 (67)13.4 课题学习最短路径问题 (67)学习目标 (67)知识详解 (67)课外拓展 (72)单元总结 (72)单元测试 (75)第十四章整式的乘法与因式分解 (82)本章综合解说 (82)14.1 整式的乘法 (83)学习目标 (83)知识详解 (83)课外拓展 (87)14.2 乘法公式 (87)学习目标 (87)知识详解 (87)课外拓展 (90)14.3 因式分解 (91)学习目标 (91)知识详解 (91)课外拓展 (94)单元总结 (94)单元测试 (97)第十五章分式 (102)本章综合解说 (102)15.1 分式 (102)学习目标 (102)知识详解 (103)课外拓展 (106)15.2 分式的运算 (106)学习目标 (106)知识详解 (106)课外拓展 (110)15.3 分式方程 (110)学习目标 (110)知识详解 (110)课外拓展 (113)单元总结 (113)单元测试 (116)期中测试 (120)期末测试 (129)第十一章三角形本章综合解说学习目标1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。
2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。
内容提要三角形是一种基本的几何图形，本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质，进而研究多边形的概念与性质。
在本章，学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法，提高推理能力。
本章的有关内容有广泛的实际应用，也是学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）与平行四边形等图形知识的基础。
学法指导三角形是基本的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。
教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。
多边形概念的引入，也是类似处理的。
三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180°。
教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性，这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？”。
然后通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理。
除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子。
对于三角形的内角和等于180°，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系。
11.1 与三角形有关的线段学习目标1.认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类。
2.知道三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。
知识详解1.三角形的边由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如图，顶点是A，B，C的三角形，记作：“△ABC”，读作三角形ABC。
边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，如图，线段AB，BC，CD是三角形的边。
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
内角：相邻两边组成的角叫做三角形的角。
如图，∠A，∠B，∠C是三角形的角。
2.三角形的分类不等边三角形三角形按边分类：底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形三角形按角分类：直角三角形钝角三角形3. 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b ＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立。
注意：①判定三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可②在实际运用中，已经两边的长度，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形；“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。
4. 三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点。
（2）三角形的中线在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线。
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
（3）三角形的角平分线在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。
5. 三角形的稳定性三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
【典型例题】例1：如图，图中三角形的个数为（）A ．2B ．18C ．19D ．20【答案】D【解析】线段AB 上有5个点，线段AB 与点C 组成5³（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE 上也有5个点，线段DE 与点C 组成5³（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个，故选D 。
例2：如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个。
【答案】21【解析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n 个图形中，三角形的个数是4n －3．所以当n=6时，原式=21。
例3：在△ABC 中，有一点1p ，当1p 、A 、B 、C 没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：【答案】【解析】当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1³2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2³2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3³2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007³2＋1=2015【误区警示】易错点1：根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围1. 三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3B．－5＜a＜－2C．2＜a＜5D．a＜－5或a＞－2【答案】B【解析】根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B。
易错点2：三角形三边关系2. 下列长度的三条线段（单位：厘米）能组成三角形的是（）A．1,2,3.5B．4,5,9C．5,8,15D．6,8,9【答案】D【解析】选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形。
【综合提升】针对训练1. 三角形的三条高在（）A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上2. 如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．63. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个1.【答案】D【解析】三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确。
2.【答案】C【解析】因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC＝6.又因为DE＝2，所以BD＝BE－DE＝6－2＝43.【答案】10【解析】∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5【中考链接】A．3B．4C．9 2D．5【答案】C【解析】∵点P在y=1x上，∴|x p|³|y p|=|k|=1，∴设P的坐标是（a，1a）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=-2x上，∴A的坐标是（a，-2a），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是1a，∵B在y=-2x上，∴代入得：1a=-2 x ，解得：x=-2a，∴B的坐标是（-2a，1a），∴PA=|1a-（-2a）|=3a，PB=|a-（-2a）|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：12PA³PB=12³3a³3a=92课外拓展三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。