焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线
专题01焦点三角形问题
焦点三角形的边角关系如下：
三条边：122F F c =122PF PF a
+==22a c +三角形周长c
e a
=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2
S ab c =面积和三边长有关系
一、与焦点三角形边长有关的问题
焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c
-≤≤+例1椭圆22
221x y a b
+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.
例2.已知12,F F 是椭圆22
221x y a b
+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，
则椭圆的离心率的取值范围是________.
【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c
==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为2
2a F H c c
=-
在2RT PHF 中，2
22,2a PF F H c c c >≥-解得：313
e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214
x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：
方法二：
此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为22
20x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.
上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。

例4已知12,F F 是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.
【解析】如图所示，题目的关键在于给出的圆和正六边形，因为0
2130PF F ∠=所以，11221213,322
PF F F c PF F F c ====所以，21(31)c 2PF PF a
-==解得：31
e =+例5已知12,F F 是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，P 是准线上的一点，且12PF PF ⊥,12||||4PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（）
注意：经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。

【解析】如图，题目的关键在于准线和垂直关系，注意12PF F ∆并不是焦点三角形，题目中出现了12||||PF PF ⋅且存在RT ∆，所以很容易想到面积相等即1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，但是PD 长度未知，在直角三角形中依据相似存在如下等式22b PD a c c
=+因此代入1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，整理得3e =
二、与焦点三角形角度有关的问题
我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化，以顶角为例很容易理解。

当点P 处于短轴的焦点处时，顶角最大，这个结论可以通过余弦定理来证明：
2222222
12121221212124()2422cos 1122PF PF c PF PF PF PF c b b PF PF PF PF PF PF a
θ+-+-⋅-===-≥-⋅⋅⋅利用均值不等式，当且仅当12PF PF =时，等号成立（一正二定三相等）。

以上结论很重要，在求离心率的取值范围中经常用到，如动点P 满足12F PF ∠为钝角，则可知当点P 处于短轴的交点处时，此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角，然后根据对称可知145F PO ︒∠>，因此在小的直角三角形中，根据大角对大边可知b 和c 的关系，进而求出离心率的取值范围。

例1已知点P 是椭圆22
143
x y +=上的任一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求12F PF ∠的最大值_________.【解析】设12F PF θ∠=，根据余弦定理得：22212121212
6cos 12PF PF F F PF PF PF PF θ+-==-⋅⋅21212()42
PF PF PF PF +⋅≤=当且仅当12PF PF =时等号成立。

所以1cos ,602
θθ︒
≥≤因此可以知道当点P 处于题目中的1P 位置时，角度最大。

例2.已知12,F F 是椭圆22
221x y a b
+=的左右焦点，P 是椭圆上一点，1290F PF ︒∠=，求椭圆离心率的最小值_______.
例3.已知12,F F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使吧12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.
【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ︒∠>，所以在1RT F BO ∆中，大角对小角，所以1F O OB >即c b
>解得212
e <<例4.设A,B 是椭圆22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=,则m 的取值范围是__________.
【解析】焦点位置不确定，分情况讨论即可：
（1）当焦点在x 轴上时，此时3
m <利用焦点三角形中的性质，当动点在图中D 点位置时，ADB ∠最大，若存在120AMB ︒
∠=120ADB ︒∠≥此时60ADO ︒∠≥，
33
AO a OD b m ==≥解出：01m <≤（2）当焦点在y 轴上时做法相同，过程省略。

注意：当顶角12F PF ∠为直角时，有以下两个常用的公式：
（1）2
12||||=2PF PF b （2）2
S b =三、与焦点三角形面积有关的问题
在椭圆或双曲线中，焦点三角形的底为定值，另外两条边的长度和角度是变量，所以，只要能求出另外两边的长就可以求出面积。

在椭圆中2tan
2S b θ=，在双曲线中2cot 2
S b θ=，公式证明如下：121sin 2S PF PF θ=⋅，根据余弦定理得：22222212121212121212
4()2442cos 222PF PF c PF PF PF PF c b PF PF PF PF PF PF PF PF θ+-+-⋅--⋅===⋅⋅⋅所以2
1221cos b PF PF θ
⋅=+
222222sin
cos 12sin 22sin tan 21cos 1cos 212cos 12b S b b b θθθθθθθθ=⋅=⋅=⋅⋅+++-既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。

既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。

设12PF F α∠=，求焦点三角形12
F PF 证明：12222211212,=4cos a cos 22PF PF a b PF PF c PF c PF c αα+=⎧⎪+-⎨=-⎪⋅⎩
可解出所以：122211sin sin 2sin 2a cos 1cos F PF cb e S c PF b c e ααααα
∆=⋅⋅==⋅--注意：既然在焦点三角形中给出了顶角，我们可以直接用公式求面积
例1P 为双曲线22
112y x -=上的一点，12,F F 是双曲线的左右焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F ∆面积为
_________.【解析】题目中没有给出角度，故不能套公式，因为
1212||:||3:2,||||2
PF PF PF PF =-=
且12126,4,PF PF F F ===恰好满足：222
1212PF PF F F +=焦点三角形为直角三角形，故面积12
S =注意：求出焦点三角形的三边即可，再利用余弦定理求出角度即可求面积，但是在求角度之前需先看看此
三角形是不是一特殊三角形。

例2.过椭圆22
221x y a b
+=中心的直线与椭圆交于A,B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则2ABF ∆的最大面积为_________.
四、焦点三角形中与距离最值有关的问题
注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：
（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；
（2）两边之差小于第三边。

焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；
另外注意当出现动点和一个焦点的连线时，我们一般还需要考虑动点和另外一个焦点的连线，组成焦点三角形来求，
例1.点P 是双曲线22
13y x -=右支上的动点，2F 为双曲线的右焦点，A(3,1)，求2||+||PA PF 的最小值.
注意：此问题属于圆锥曲线中与动点有关的最值问题，后面会专门讲到，在求距离之和类的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边，等号取到时，则无法构成三角形。

【解析】
122122,=-2||+||PF PF a PF PF PA PF -=所以，求的最小值
即求12PA PF +-的最小值，很显然，当1,,A P F 三点共线时取得最小是，最小值为1=26-2AF 例
2：已知双曲线221x y p q
-=和椭圆22
1x y m n +=有公共的焦点，P 是椭圆和双曲线的一个交点，求12||||
PF PF ⋅注意：椭圆和双曲线共焦点的问题很多，共焦点，则c 相同，如果出现焦点三角形，则根据定义写出，然后共c 即可。

【解析】椭圆双曲线共焦点，则c 相同，m n a b -=+，12PF F ∆是焦点三角形，则
121222PF PF m PF PF p
⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，求12||||PF PF ⋅，则两式平方相减即可得12||||PF PF m p ⋅=-小结：（1）当出现圆锥曲线上一个动点和一个焦点的连线时，一般需要考虑动点和第二个焦点。

（2）在椭圆中需要注意两个最值，一是注意动点和两个焦点组成的三角形面积的最值问题，二是注意焦点三角形的顶角问题。