焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线

专题01焦点三角形问题

焦点三角形的边角关系如下：

三条边：122F F c =122PF PF a

+==22a c +三角形周长c

e a

=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2

S ab c =面积和三边长有关系

一、与焦点三角形边长有关的问题

焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c

-≤≤+例1椭圆22

221x y a b

+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.

例2.已知12,F F 是椭圆22

221x y a b

+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，

则椭圆的离心率的取值范围是________.

【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c

==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。本题的定值为2

2a F H c c

=-

在2RT PHF 中，2

22,2a PF F H c c c >≥-解得：313

e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214

x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：

方法二：

此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为22

20x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.

上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。例4已知12,F F 是双曲线22

221x y a b

-=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.

【解析】如图所示，题目的关键在于给出的圆和正六边形，因为0

2130PF F ∠=所以，11221213,322

PF F F c PF F F c ====所以，21(31)c 2PF PF a

-==解得：31

e =+例5已知12,F F 是双曲线22

221x y a b

-=的左右焦点，P 是准线上的一点，且12PF PF ⊥,12||||4PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（）

注意：经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。

【解析】如图，题目的关键在于准线和垂直关系，注意12PF F ∆并不是焦点三角形，题目中出现了12||||PF PF ⋅且存在RT ∆，所以很容易想到面积相等即1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，但是PD 长度未知，在直角三角形中依据相似存在如下等式22b PD a c c

=+因此代入1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，整理得3e =

二、与焦点三角形角度有关的问题

我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化，以顶角为例很容易理解。当点P 处于短轴的焦点处时，顶角最大，这个结论可以通过余弦定理来证明：

2222222

12121221212124()2422cos 1122PF PF c PF PF PF PF c b b PF PF PF PF PF PF a

θ+-+-⋅-===-≥-⋅⋅⋅利用均值不等式，当且仅当12PF PF =时，等号成立（一正二定三相等）。

以上结论很重要，在求离心率的取值范围中经常用到，如动点P 满足12F PF ∠为钝角，则可知当点P 处于短轴的交点处时，此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角，然后根据对称可知145F PO ︒∠>，因此在小的直角三角形中，根据大角对大边可知b 和c 的关系，进而求出离心率的取值范围。

例1已知点P 是椭圆22

143

x y +=上的任一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求12F PF ∠的最大值_________.【解析】设12F PF θ∠=，根据余弦定理得：22212121212

6cos 12PF PF F F PF PF PF PF θ+-==-⋅⋅21212()42

PF PF PF PF +⋅≤=当且仅当12PF PF =时等号成立。

所以1cos ,602

θθ︒

≥≤因此可以知道当点P 处于题目中的1P 位置时，角度最大。

例2.已知12,F F 是椭圆22

221x y a b

+=的左右焦点，P 是椭圆上一点，1290F PF ︒∠=，求椭圆离心率的最小值_______.

例3.已知12,F F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使吧12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.

【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ︒∠>，所以在1RT F BO ∆中，大角对小角，所以1F O OB >即c b

>解得212

e <<例4.设A,B 是椭圆22

13x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=,则m 的取值范围是__________.