焦点三角形问题(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)
微专题：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， （1）. c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. （2）. 焦点三角形的周长为.22c a L +=①已知F 1，F 2是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长是________．②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△F AB的周长的最大值是a 4如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(2a －|AF 1|＋|AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，当且仅当|AF 1|＝|AH |，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF |＋|AF 1|)＝4a ，（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. （4）. 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）. 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,1220220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=. 同理可证得02||ex a PF -=.①[]22222,a b x e a ∈-=②焦半径的取值范围：ca PF c a +≤≤-1.③ 特别地：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为a b 22，ab PF 2=(7)设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[220a x ∈,故我们有2022221x e c b PF PF +-=⋅→→[]222,b c b -∈（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e（9）.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。
圆锥曲线焦点三角形的三大问题(解析版)
圆锥曲线焦点三角形的三大问题一、焦点三角形定义：椭圆与双曲线有对称中心，称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形叫做有心圆锥曲线的焦点三角形.其中我们把椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的等腰三角形称之为椭圆的特征焦点三角形1.焦点三角形的角度与离心率问题离心率是椭圆的一个非常重要的定型的量，椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系：图1图2图3图4结论1：如图1，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的角平分线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率2211PF MF PF MF e ==证明：由角平分线定理及和比定理得==2211PF MF PF MF e ac PF PF MF MF ==++222121结论2：如图2，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，I 为21F PF ∆的内心，PI 的延长线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率IPIM e =证明：在M PF 1∆和M PF 2∆中由角平分线定理的2211,PF MF IPIM PF MF IPIM ==所以e acPF PF MF MF PF MF PF MF IPIM ==++===2221212211结论3：如图3，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121++=+==PF PF F F a c e 结论4：如图4，设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则双曲线的离心率βαβαsin sin )sin(-+=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121-+=-==PF PF F F a c e 结论5：如图5，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的外角平分线交x 轴于点M ，α=∠2MPF ，β=∠2PMF ，则椭圆的离心率βαcos cos =e 证明：由正弦定理得βαβαααβαβααcos cos cos sin 2cos sin 2)sin()sin(2sin 222121==-++=+==PF PF F F a c e 结论6：圆锥曲线中，过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB ，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R ，则ABFR e 2=证明：设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，则02122)(2ex a x x e a AB +=++=由点差法（过程略）得02022200y a x b k a b x y k k k AB AB OMAB -=⇒-=⋅=所以AB 的中垂线：)(002020x x x b y a y y -=-，令0=y 得022020x e ax b x x R =-=，所以c x e c x FR R +=+=02，所以222002eex a c x e AB FR=++=，所以ABFR e 2=典例分析例1.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与椭圆交于点P ，且=∠12F PF 215F PF ∠，则椭圆的离心率为（）A.22B.23 C.32 D.36解析：由题意01202102175,15,90=∠=∠=∠F PF F PF PF F 所以3662426426175sin 15sin 90sin 000==++-=+=e ，故选D 例2.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P 使21PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.)1,55[B.)1,22[C.]55,0( D.]22,0(解析：要使存在点P 使得21PF PF ⊥，只需当点P 在短轴端点时021902≥=∠θPF F 所以22sin ≥=θe ，所以122<≤e ，故选B 例3.已知椭圆192522=+y x 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有共同焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，则双曲线的离心率为解法1：由题意知椭圆的离心率541=e ，又1434116cos 6sin 2221222212=+⇒=+e e e e ππ所以131341436425222=⇒=+e e 解法2：由题意知4=c ，由330cot 30tan 92221=⇒==b b S F PF ，所以13222=-=b c a所以13134134===a c e 例4.（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的B A ,两点反射后，分别经过点C 和D ，且53cos -=∠BAC ，BD AB ⊥，则E 的离心率为（）A.25 B.317 C.210 D.5解析：由题意知53cos 1=∠BAF ，AB B F ⊥1，可设4,3,511===BF AB AF ，由双曲线定义知3264434511=⇒=⇒=-+=-+a a a AB BF AF 所以1,222==BF AF ，由勾股定理得172=c ，所以==a c e 22317，故选B 例5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则离心率的取值范围为（）A.)12,0(-B.)1,12(- C.)12,1(+ D.),12(+∞+解析：由正弦定理及1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠得a c a PF a a c PF c PF a -=⇒-==221222又a c PF ->2，所以a c ac a ->-221221+<<-⇒e ，又1>e ，所以121+<<r 故选C例6.（2022·河南开封·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分21MF F ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.)1,21( B.)21,0( C.)1,31( D.)31,0(解析：由角平分线定理得321232121===c c MF MF PF PF ，又a PF PF 221=+，所以a PF 212=又c a PF c a +<<-2，所以2121>⇒+<<-e c a a c a ，又1<e ，所以121<<e ，选A二、焦点三角形面积公式及其应用有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．接下来利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用结论7：椭圆的焦点三角形面积公式：设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为r c a b y c PF PF S F PF )(2tan sin 21202121+====∆θθ（其中r 为21F PF ∆的内切圆半径）证明：略结论8：双曲线焦点三角形面积公式：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为双曲线上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2cot sin 21202121θθb y c PF PF S F PF ===∆证明：略典型例题例1.设P 为椭圆16410022=+y x 上一点，21,F F 是其左右焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为解析：33646tan6421==∆πF PF S 例2.已知双曲线116922=-y x 的左、右集点分别为21,F F ，若双曲线上点P 使02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是（）A.12B.16C.24D.32解析：1645cot 16021==∆F PF S ，故选B例3.（2020新课标Ⅰ）设21,F F 是双曲线C ：1322=-y x 的两个焦点，O 坐标原点，点P在C 上且2=OP ，则21F PF ∆的面积为（）A.27 B.3C.25 D.2解析：由题意知221===OP OF OF ，所以02190=∠PF F ，所以345cot 3021==∆F PF S 故选B例4.（2022城厢区校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，若321π=∠PF F ，且21F PF ∆的面积为33，则=b （）A.2B.3C.6D.9解析：9336tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例5.（2022连城县校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，3221π=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为39，则=b （）A.9B.3C.4D.8解析：9393tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为5，P 是C 上的一点，且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A.1B.2C.4D.8解析：由2445cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又1541)(122=⇒=+=+=a a ab e ，故选A 例7.（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点的直线与双曲线交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5解析：连接11,BF AF ，易知BF AF 1为平行四边形，又090=∠AFB ，所以0190=∠AF F 所以2245cot 22221=⇒==∆ab a b S FAF ，所以5)(12=+=a b e ，故选D例8.（2022·吉林吉林·高三期末）已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，21,F F 是椭圆的左、右焦点，当321π=∠PF F 时，3421=∆F PF S ，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，34tan 21=∠PF F ，则点P 运动过程中，2111PF PF +的取值范围是（）A.]32,21[ B.]32,158(C.158,21[ D.)32,21[解析：由12346tan2221=⇒==∆b b S F PF π，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，x PF ⊥2轴，所以a b PF 22=，所以342tan 222121===∠b ac PF F F PF F 8=⇒ac ，又2212c a +=所以162=a ，所以21212121811PF PF PF PF PF PF PF PF =+=+，而]6,2[1∈PF ，所以]16,12[16)4()8(211121∈+--=-=PF PF PF PF PF ，所以∈=+2121811PF PF PF PF 32,21[，故选A例9.已知点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于B A ,两点，且B A ,是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（）A.x y 31±= B.x y 526±= C.x y 1225±= D.x y 597±=解析：设AB 的中点为M ，t BM AM ==，则t PB A F 21==，22t a OM -=所以2222t a PF -=，21PF PF ⊥，所以a t a t PF PF 2262221=--=-a t 53=⇒由勾股定理得2597257292222222212=⇒+=-+=+=e a a t a t OM M F c 又5262597)(122=⇒=+=a b abe ，故选B 三、焦点三角形内切圆的性质在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：如图1，设21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21F PF ∆的内切圆圆心为),(I I y x I ，且圆I 与21F PF ∆三边相切于点H E D ,,，设),(00y x P ，则有如下性质：性质1：ca PE PD -==证明：由切线长定理得PE PD =，H F D F 11=，EF PE 2=ca H F H F E F PE D F PD c a F F PF PF 222221212121-=--+++⇒-=-+所以ca PE PD -==性质2：0ex x I =，eey y I +=10，其中e 的椭圆的离心率证法1：⇒-=+-+⇒-==-c a c x ex a c a PD H F PF I )(0110ex x I =eeyc a cy y y c a y c S I I F PF +=+=⇒+==∆1)(00021证法2：设),(00y x P ，则0101,ex a PF ex a PF -=+=由内心的坐标公式得000022)()()(2ex c a c ex a c ex a cx x I =+-⨯-+⨯++=，eeyc a cy y I +=+=122200性质3：椭圆焦点三角形21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点（当点P 点位于y 轴左侧时，切于左顶点，当点P 点位于y 轴右侧时，切于右顶点）证明：设旁切圆与x 轴切于点T ，则由切线长定理得PN PM =，T F N F 22=，TF M F 11=所以TF F F PM PF T F M F 221111+=+⇒=TF c PN PF a 2222+=+-⇒=-⇒N F a 22T F c 22+c a N F T F -==⇒22，所以点T 的横坐标为a ，所以T 为右顶点，即21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点双曲线焦点三角形内切圆的重要性质性质1：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，则21F PF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点（当点P 在双曲线的右支上时，切点为右顶点，当点P 在双曲线的左支上时，切点为左顶点）证明：由切线长定理得C F A F B F A F PC PB 2211,,===所以a A F A F B F PB C F PC PF PF 2211221=-=--+=-又cA F A F 221=+两式相加得c a A F +=2，所以c a OA O F +=+2，所以a OA =，所以点A 是双曲线的右顶点性质2：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点),(00y x P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，),(I I y x I 是21F PF ∆的内切圆圆心为，且圆I 与21F PF ∆的三边切于点H E D ,,，则c a H F D F +==11，a x I =证明：由性质1可知内切圆与x 轴切于右顶点，所以a x I =由切线长定理得ca H F D F +==11性质3：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过右焦点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线于B A ,两点，若2121,F BF F AF ∆∆的内切圆圆心为21,I I ，半径分别为21,r r ，则（1）21,I I 在直线a x =上；（2）221)(a c r r -=；（3）2cot 221θ=r r 证明：由性质1可知21,I I 在直线a x =上因为21,I I 分别为2121,F BF F AF ∆∆的内心，所以2212,I F I F 分别平分1212,F BF F AF ∠∠，所以022190=∠I F I 所以2122θ=∠F F I ，221θ=∠F HI ，又a c H F -=2所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2cot )(2tan )(2cot )(22122121θθθr r a c r r a c r a c r 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点典型例题（一）定值问题例1.已知椭圆1162522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，21F PF ∆的内心为I =PF PI 解析：设21F PF ∆内切圆切2PF 于M ，则=PF PI 235=-=-=c a PM 例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点任意一点，点G I ,分别为21F PF ∆的内心、重心．当IG 恒与x 轴垂直时，椭圆的离心率是解析：设点),(00y x P ，则)3,3(00y x G ，)1,(00e ey ex I +，因为当IG 恒与x 轴垂直，所以300xex =解得31=e 注：若IG 恒与y 轴垂直，则3100y e ey =+，解得21=e 例3.已知椭圆1162522=+y x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上一点，21F PF ∆的内心为I ，若内切圆半径为1，则=PI 解析：由题知53=e ，设),(00y x P ，则381831000=⇒==+y y e ey ，代入椭圆方程得3550=x 即点)38,355(P ，所以50==ex x I ，即)1,5(I ，所以=PI 22)138()5355(-+-5=（二）轨迹问题例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点的动点，21F PF ∆的内心为I ，则点I 的轨迹方程为解析：设点),(),,(00y x P y x I ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==y c c a y x ca x e ey y ex x 00001，因为点P 在椭圆上，所以1)(1)(22222222222222=++⇒=++bc y c a c x b c y c a a c x a ，所以点I 的轨迹方程为1)(222222=++b c y c a c x )0(≠y 例5.双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别21,F F ，P 为双曲线右支上的点，21F PF ∆内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：因为4==a x I ，所以圆心I 到y 轴的距离为4，故选D例6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则点B 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PI 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，所以点B 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，故选B 例7.已知)5,22(P 在双曲线14222=-by x 上，其左、右焦点分别为21,F F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，则2MF MP ⋅的值为（）A.122- B.122+ C.222- D.222+解析：将)5,22(P 代入双曲线方程得5=b ，所以3=c ，)0,3(2F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，所以M 为双曲线的右顶点，所以)0,2(M ，所以)5,222(-=MP ，)0,1(2=MF ，所以=⋅2MF MP 222-，故选C例8.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，21F PF ∆的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（）A.12+ B.2C.2D.3解析：易知点N 为右顶点，又点N 为线段2OF 中点，所以22=⇒=e a c ，故选B 提升训练1.已知21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，P 是以21F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（）A.13- B.13+ C.213- D.213+解析：易知02190=∠PF F ，又12212F PF F PF ∠=∠，所以01202130,60=∠=∠F PF F PF 所以1330sin 60sin 90sin 000-=+=e ，故选A2.（2022·重庆一中高一期末）已知B A ,为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为（）A.23 B.36 C.23或36 D.23或313-解析：若0120=∠AMB ，则2360sin 0==e 若0120=∠ABM ，则c MA c MB 32,2==，所以213322222-=+==c c c a c e 故选D3.（2022·贵州遵义·高二期末）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为21,F F ，P为C 上除左右端点外一点，若21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为A.634- B.7325- C.5337- D.5627-解析：由21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF 得23sin 21=∠F PF ，322sin 12=∠F PF 所以6223322213123)sin(sin 122121+=⨯+⨯=∠+∠=∠F PF F PF PF F 所以5627322236223sin sin sin 122121-=++=∠+∠∠=F PF F PF PF F e ，故选D4.（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为A.34 B.334 C.4D.364解析：因为130cos 30sin 22022102=+e e 即4312221=+e e ，所以由柯西不等式得31643431311()33111(11(2221221221=⨯=++≤⋅+⋅=+e e e e e e ⇒3341121≤+e e ，故选B 5.（2022·四川成都·模拟预测）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，右顶点为B ，点A 在椭圆上，满足022160=∠=∠ABF AF F ，则椭圆的离心率为（）A.23 B.313- C.332- D.13-解析：因为221ABF AF F ∠=∠，所以21AF F ∆∽BA F 1∆，所以=⇒=2112111AF AF F F BF AF )(2121c a c BF F F +=⋅，所以)(21c a c AF +=，所以)(222c a c a AF +-=所以02030tan 60sin ))(22()(22121b c a c a c a c S F PF =⨯+-⨯+⨯=∆)1(4))1(2)1(22(3)(33))(2)(22(43222e e e e e c a c a c c a c a -=+-+⇒-=+-+⇒0410523=+-+⇒e e e 0)46)(1(2=-+-⇒e e e =⇒e 313-，故选B6.（2022·江西上饶·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为C 上一点，且02160=∠PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.22 B.621 C.47 D.32解析：因为213PF PF =，又a PF PF 221=+，所以2,2321a PF a PF ==所以16930tan 60sin 223212202021=⇒=⨯⨯⨯=∆a b b a a S F PF ，所以47)(12=-=a b e ，故选C 7.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，Q F BQ 1=，则C 的离心率=e （）A.21 B.32 C.22 D.33解析：不妨设221===a BF BF ，t QF =2，θ221=∠BF F ，则t QF -=41，又Q F BQ 1=，所以12242=⇒=-=t t BF ，所以31==QF BQ ，所以312cos =θ所以33sin 31sin 212=⇒=-θθ，所以==θsin e 33，故选D 8.已知椭圆1422=+y x 上一动点P 到两个焦点21,F F 的距离之积取最大值时，21F PF ∆的面积为（）A.1B.3C.2D.32解析：4)2(22121=+≤⋅PF PF PF PF ，当且仅当21PF PF =即点P 为短轴端点时等号成立，此时321==∆bc S F PF ，故选B9.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则=21PF PF （）A.2B.4C.6D.8解法1：434330cot 60sin 2121210202121=⋅⇒=⋅⇒=⋅=∆PF PF PF PF b PF PF S F PF ，选B 解法2：4211260cos 120221=-=-=b PF PF ，故选B 10.（2019·新课标Ⅲ）已知F 是双曲线C ：15422=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OF OP =，则OPF ∆的面积为（）A.23B.25 C.27 D.29解析：OF OP =，所以02190=∠PF F ，所以2545cot 52121021=⨯⨯==∆∆F PF OPF S S ，选B 11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.5B.2C.25 D.1解析：145cot 0221==∆b S F PF ，故选D12.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为（）A.23 B.26 C.3 D.6解析：26230cot 100021=⇒⨯=⨯=∆y y S F PF ，故选B13.（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在此椭圆上，且221-=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.1B.2C.3D.2解析：设θ=∠21PF F ，则21cos 2cos cos 12cos 221-=⇒-=+==⋅θθθθb PF PF 0120=⇒θ，所以36tan 12tan0221=⨯==∆θb S F PF ，故选C 14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解析：516545cot 0221=⇒⨯==∆P P F PF y y b S ，所以点P 到x 轴的距离为51615.如图，21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2OPF ∆是面积为3的正三角形，则=2b 解析：由题意知02190=∠PF F 且3221=∆F PF S ，所以323245tan 22=⇒=b b 16.已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，若21PF F ∠060=，且21F PF ∆的面积为243a ，则椭圆的离心率是解析：434330tan 2220221=⇒==∆a b a b S F PF ，所以21)(12=-=a b e 17.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，21F PF ∆内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是（）A.OBOA > B.OBOA < C.OBOA = D.OB OA ,大小关系不确定解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PQ 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，而A 为双曲线的顶点，所以a OA =，所以OB OA =，故选C 18.已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上除顶点外的一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，,,1221βα=∠=∠F PF F PF ，双曲线离心率为e ，则=2tan2tanβα（）A.11+-e e B.11-+e e C.1122-+e e D.1122+-e e 解法1：2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+-=-+=-+++=-+=e 2tan 2tan 2tan 2tan βαβα+-=⇒=2tan2tanβα11-+e e ，故选B 解法2：易知21F PF ∆的内切圆切x 轴于点)0,(a A -，设内切圆半径为r ，则ac r-=2tan αa c r +=2tan β，所以=2tan 2tanβα11-+=-+e e a c a c ，故选B 18.已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于左、右顶点的任意一点，21,F F 是左、右焦点，连接21,PF PF ，作21F PF ∆的旁切圆（与线段P F PF 12,延长线及21F F 延长线均相切），其圆心为'O ，则动圆圆心'O 的轨迹所在曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：因为21F PF ∆的旁切圆与x 轴切于椭圆的右顶点，即圆心'O 在x 轴上射影为椭圆的右顶点，所以圆心'O 的轨迹为直线a x =，故选B19.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，经过1F 的直线交椭圆于B A ,，2ABF ∆的内切圆的圆心为I ，若05432=++IF IA IB ，则该椭圆的离心率是（）A.55 B.32 C.43 D.21解析：由05432=++IF IA IB 及奔驰定理可知，不妨设5,4,322===AB BF AF ，则3125434=⇒=++=a a ，所以点A 为椭圆的短轴的端点，设θ221=∠AF F ，则=⇒=-⇒=θθθsin 53sin 21532cos 255，所以=e =θsin 55，故选A 20.（2022·江苏苏州·模拟预测）已知21,F F 是椭圆)1(1122>=-+m m y m x 的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若21F AF ∆的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为A.12- B.21 C.22 D.13-解析：设),(00y x A ，则ey e r +=10，可知当点A 在短轴端点时21F AF ∆的内切圆半径最大，此时433113311=⇒=+-⇒=+-⨯m m m e m e ，所以21=e ，故选B21.（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是双曲线上一点，且0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），若21F PF ∆内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（）A.13+ B.213+ C.216+ D.16+解析：由0)(22=⋅+P F OF OP 可知21PF PF ⊥，又21F PF ∆内切圆的半径为2a，所以2321a c a a c PF +=++=，222ac a a c PF -=+-=，由勾股定理得=⇒=--⇒-++=e e e ac a c c 0544)2()23(42222216+，故选C 22.（2022·江西·上高二中模拟预测）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上的一点，I 为21F PF ∆的内心，且PI IF IF 2221=+，则双曲线的离心率为（）A.31B.52 C.33 D.2解析：022222121=++⇒=+IP IF IF PI IF IF ，结合奔驰定理不妨设12=PF ，21=PF ，221=F F ，所以212222=-==a c e ，故选D 23.（2022·湖北·高二月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2B.3C.35 D.47解析：由题意知21F AF ∆的内切圆圆心)4,(b a I ，设渐近线的倾斜角为θ2，则ab =θ2tan 且)(4tan a c b -=θ，所以350583))(4(1)(4222=⇒=+-⇒=---e e e a b a c b a c b，故选C 24.椭圆1C ：)0(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，曲线1C ,2C 在第一象限交于点P ,I 是21F PF ∆内切圆圆心，O 为坐标原点，H F 2垂直射线PI 于H 点，2=OH ，则I 点坐标是解析：由题意知2==m OH ，所以3=c ，2=a ，点I 的横坐标为2，设θ=∠21PF F由0902cot 12tan121=⇒⨯=⨯=∆θθθF PF S ，所以3232(45tan 1021-=⇒+=⨯=∆r r S F PF 所以I 点坐标是)32,2(-25.已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，满足2tan22tan1221F PF F PF ∠=∠，该双曲线的离心率为解析：设21F PF ∆内切圆半径为r ，易知内切圆与x 轴切于点)0,(a -，所以32tan 2tan 2tan 22tan12211221=⇒+⨯=-⇒∠=∠⇒∠=∠e ac ra c r F IF F IF F PF F PF 26.（2022·四川达州·高二期末）已知点)0,3(),0,3(21F F -分别是双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为解析：设2MPF ∆的内切圆分别与21,MF MF 切于点B A ,，则由切线长定理得MBMA =Q F B F 22=，PQ P A =，所以P A MA MF PF MP MF MF a +=-+=-=2221224222=⇒==--++a PQ Q F MB Q F PQ ，又3=c ，所以23=e 27.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左､右焦点，P 为曲线上一点，02160=∠PF F ，21F PF ∆的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则=2e 解析：设21F PF ∆的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则3260sin 220cR c R ===，所以32c r =，设βα=∠=∠1221,F IF F IF ，则0601806022=+⇒=++βαβα所以)(32)(321)(32)(32tan tan 1tan tan )tan(3a c c a c c a c ca c c -⋅+--++=-+=+=βαβαβα7122=⇒e 28.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）已知双曲线C ：)0,0(18222>>=-b a y a x 的左､右焦点为21,F F ，若点P 在双曲线的右支上，且21F PF ∆的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为解析：易知1=a ，所以3=e 综合训练1.（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若61=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.8B.28 C.16D.216解析：由题知42=PF ，621=F F ，所以211F F PF =，所以2843642121=-⨯⨯=∆F PF S 故选B2.（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，动点P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：由题意知3412=>=⇒=c b bc ，所以当点P 在短轴端点处时0245<∠OPF ，所以02190<∠PF F ，所以椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有0个，故选A3.（2022·江西鹰潭·高二期末）椭圆C ：1244922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若81=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.48B.40C.28D.24解析：由题知62=PF ，1021=F F ，所以21PF PF ⊥，所以24862121=⨯⨯=∆F PF S ，选D 4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设21,F F 是椭圆1241222=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且31cos 21=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.6B.26 C.8D.28解析：设θ221=∠PF F ，则22tan 36cos 311cos 2cos 221=⇒=⇒=-=∠θθθPF F 所以26tan 1221==∆θF PF S ，故选B5.（2022北京市第五十七中学高月考）已知椭圆C ：192522=+y x 的左右焦点为21,F F ，BA ,分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A.离心率54=e B.若02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为8C.21F PF ∆的周长为18D.直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值259-解析：4,3,5===c b a ，离心率54=e ，A 正确；若02190=∠PF F ，则945tan 9021==∆F PF S B 错；21F PF ∆的周长为1822=+c a ，C 正确；由第三定义知259-=⋅PB P A k k ，D 正确，选B6.（2022黑龙江·大庆中学高二期末）已知21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得212F F OP =，设21F PF ∆的面积为S ，若221)(PF PF S -=，则该椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.23 D.35解析：由212F F OP =知21PF PF ⊥，所以2121PF PF S =，所以221)(PF PF S -=9445tan 94844)(22022221221=⇒==⇒-=-+a b b a S S a PF PF PF PF 所以=-=2)(1abe 35，故选D 7.（2022·山西运城·高二期末）已知点21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则A.1PF 与双曲线的实轴长相等 B.21F PF ∆的面积为223a C.双曲线的离心率为23D.直线023=+y x 是双曲线的一条渐近线解析：由题意21PF PF ⊥，又213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，所以A 错；23321221a a a S F PF =⨯=∆，B 正确；由勾股定理得21094222=⇒+=e a a c ，所以C 错；2612=-=e a b ，所以渐近线方程为x y 26±=即026=±y x ，D 错；故选B 8.（2022·内蒙古赤峰·高三期末）已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，211F F PF ⊥，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，则=PI （）A.3342 B.334 C.3343 D.234解析：设内切圆切1PF 于点M ，则31621==a b PF ，334612=+=PF PF ，所以内切圆半径222211=-+=PF F F PF r ，所以3101=-=r PF PM ，所以在PMI ∆中由勾股定理得=+=+=4910022r PM PI 33429.（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 的离心率为3，21,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若21F PF ∆的面积为2，则双曲线C 的实轴长为A.1B.2C.3D.4解析：因为213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，又a c ace 33=⇒==所以3132129cos 22221-=⨯⨯-+=∠a a a a a PF F 322sin 21=∠⇒PF F ，所以1232232121=⇒=⨯⨯⨯=∆a a a S F PF ，所以双曲线C 的实轴长为2，故选B 10.（2022·广西玉林·模拟预测）已知双曲线C ：1222=-y x 的左、右焦点为21,F F ，P为双曲线右支上的一点，02130=∠F PF ，I 是21F PF ∆的内心，则下列结论错误的是A.21F PF ∆是直角三角形B.点I 的横坐标为1C.232-=PI D.21F PF ∆的内切圆的面积为π解析：设t PF =2，则t PF +=21，由余弦定理得2)2(32212)2(30cos 220=⇒+⨯⨯-++=t t t t 所以22=PF ，41=PF ，3221=F F ，所以02290=∠F PF ，A 正确；P 在右支上，所以点I 的横坐标为1=a ，B 正确；内切圆半径1321212-=-+=PF F F PF r ，D 错；所以232)13())13(2(22-=-+--=PI ，C 正确；故选D11.（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线M ：15422=-y x 右支上的一点，21,F F 是左、右焦点，42=PF ，则21F PF ∆的内切圆半径为（）A.9154 B.3152 C.9152 D.315解析：42=PF ，81=PF ，621=F F ，所以1611842366416cos 21=⨯⨯-+=∠PF F ，所以16153sin 21=∠PF F ，所以=⇒⨯⨯⨯=++=∆r r S F PF 161538421)684(2121315，故选D 12.设P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是焦点，双曲线的离心率是34，且02190=∠PF F ，21F PF ∆的面积是7，则=+b a （）A.73+ B.79+ C.10D.16解析：7745cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又33471)(122=⇒=+=+=a a a b e 所以=+b a 73+，故选A13.在直角坐标系xOy 中，)0,(),0,(21c F c F -分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，位于第一象限上的点),(00y x P 是双曲线C 上的一点，21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，21F PF ∆的面积为232a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.xy ±= B.x y 22±= C.x y 21±= D.xy 2±=解析：21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，所以33tan tan 1221=∠=∠F MF F MF 0122130=∠=∠⇒F MF F MF ，所以021********1,120=∠=∠=∠MF F PF F MF F 所以23230cot 2221=⇒==∆aba b S F PF ，所以渐近线方程为x y 2±=，故选D 二、多选题14.已知P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，双曲线的离心率为e ，2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积分别为,,21S S 3S ，且321kS S S +=，下列结论正确的为（）A.ek = B.ek 1=C.I 在定直线a x =上D.若m PF =1，则a m PF 22-=或am PF 22+=解析：321kS S S +=ke kc a r c k r PF r PF 1221212121=⇒=⇒⋅⋅⋅+=⇒，A 错；B 正确；点P 在右支上，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点)0,(a A ，所以I 在定直线a x =上，C 正确；因为点P 在右支上，所以a m a PF PF 2212-=-=，D 错；故选BC15.（2022福建福州·高三）已知P 是双曲线E ：15422=-y x 在第一象限上一点，21,F F 分别是E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为215．则以下结论正确的是（）A.点P 的横坐标为25B.2321ππ<∠<PF F C.21F PF ∆的内切圆半径为1 D.21PF F ∠平分线所在的直线方程为0423=--y x 解析：设),(00y x P ，3,5,2===c b a ，2521530021=⇒=⨯=∆y y S F PF ，代入双曲线方程得30=x ，A 错；232tan 2152cot 5212121=∠⇒=∠=∆PF F PF F S F PF =∠⇒21tan PF F35122tan 12tan221221>=∠-∠=PF F PF F ，所以2321ππ<∠<PF F ，B 正确；13225200=+⨯=+=x a ay y I 所以21F PF ∆的内切圆半径为1，C 正确；内心)1,2(I ，)25,3(P ，所以21PF F ∠平分线所在的直线方程为)2(231-=-x y ，即0423=--y x ，D 正确；故选BCD16.（2022江苏省天一中学高三）已知点P 是双曲线E ：191622=-y x 的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是（）A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.21PF F ∠大于3πD.21F PF ∆的内切圆半径为23解析：42050021=⇒==∆y y S F PF ，代入双曲线方程得3200=x ，A 正确；21F PF ∆的周长为38052320452200=⨯+⨯⨯=+-++c a ex a ex ，B 正确；202cot 92121=∠=∆PF F S F PF 2092tan 21=∠⇒PF F 3319360)209(12092tan 221<=-⨯=∠⇒PF F ，所以321π<∠PF F ，C 错；23203802121=⇒=⨯⨯=∆r r S F PF ，D 正确；故选ABD三、填空题17.设21,F F 是椭圆C ：)20(14222<<=+m m y x 的两个焦点，),(00y x P 是C 上一点，且满足21F PF ∆的面积为3，则0x 的取值范围是解析：由340221=-=∆y m S F PF 22043m y -=⇒，所以1)4(342220=-+m m x )4(1242220m m x --=⇒，又20<<m ，所以]4,0()4(22∈-m m ，所以]1,0[]1,0[020∈⇒∈⇒x x 18.设21,F F 为椭圆C ：1422=+y x 的两个焦点．M 为C 上点，21F MF ∆的内心I 的纵坐标为32-，则21PF F ∠的余弦值为解析：02121902tan132)(32(21=∠⇒∠⨯=-+=∆PF F PF F S F PF ，所以0cos 21=∠PF F 19.双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在C 上且34tan 21=∠PF F ，O 为坐标原点，则=OP 解析：71cos 34tan 2121=∠⇒=∠PF F PF F ，所以771132cos 1221221=-⨯=∠-=PF F b PF PF 又2221==-a PF PF ，所以182221=+PF PF，由平行四边形的性质得536164)(2)2(222212212=⇒=+⇒+=+OP OP PF PF F F OP 20.已知椭圆C 的焦点为)0,(),0,(21c F c F -，过点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且01120=∠B AF ，3321=∆AB F S ，则此椭圆的标准方程为解析：由题意知四边形21BF AF 为平行四边形，且02130=∠F AF ，02160=∠AF F ，所以233230tan 202211=⇒===∆∆b b S S F AF AB F ，133232211=⇒=⨯==∆∆c c c S S F AF AB F 所以32=a ，所以椭圆的方程为12322=+y x。
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧1.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点为F1和F2，点M为椭圆上一点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求a^2的值。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=F1F2.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π。
根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=9a^2/4，p=3a，代入公式可得到a^2=16.2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1，F1、F2为其左、右焦点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求满足条件的点M的个数。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=10.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π=9/5.根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=27/5，p=15/2.代入公式可得到MF1+MF2=8或12，即点M恰好有2个。
3.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=√3/2，右焦点到右顶点的距离为3-2，求椭圆C的标准方程；设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆C于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值。
解析：由椭圆的性质，可得到椭圆的长轴为2a=2(3-2)=2，离心率为e=√3/2，所以短轴为b=a√3/2=√3.因此，椭圆C的标准方程为x^2+y^2/3=1.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则F2到直线PQ的距离为2b/3=2√3/3，即y1+y2=4√3/3.根据△PQF1的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△PQF1的面积，p为△PQF1的半周长，可得到r=2S/（2p-2a-b）。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
高考数学复习专题15解析几何椭圆的焦点三角形考点剖析【含答案】
1 椭圆的焦点三角形
主标题：椭圆的焦点三角形 副标题：为学生详细的分析椭圆的焦点三角形的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：椭圆，椭圆的焦点三角形
难度：3
重要程度：4
考点剖析：1.明白什么是椭圆的焦点三角形；
2．会解决有关椭圆的焦点三角形的问题； 命题方向：
1.从考查内容看，椭圆的焦点三角形是高考的重点，也是高考考查的热点．
2．从考查形式看，对椭圆的焦点三角形的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题． 知识梳理
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． 规律总结： （1）对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧ 定义式的平方余弦定理
面积公式⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1|＋|PF 22＝a 24c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θS △＝12|PF 1||PF 2|sin θ。
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
双曲线微专题二 焦点三角形问题
双曲线微专题二：双曲线中焦点三角形问题题型一 焦点三角形的周长问题12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的周长时，通常会利用双曲线的第一定义.例1:椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆的定义可得1214PF PF ＋＝又1210F F ＝因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为24。
整理：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是4a ＋2m简要证明：由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，(1)|BF 2|－|BF 1|＝2a ，(2) 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝4 a+m . 故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4 a+2m .例2:已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．26解：如图所示，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，(1)|BF 2|－|BF 1|＝8，(2)又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝21.故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26.答案 D练习：1.如果12,F F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ．(28)2.若12,F F 分别是双曲线22x y 1m 7−=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||4=AB ，2ABF ∆的周长是20，则m= 答案：题型二 焦点三角形的面积问题求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠ 和。
椭圆焦点三角形(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。
本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。
定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。
性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。
那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。
由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。
根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。
由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。
因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。
得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。
定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。
浅谈焦点三角形的面积公式及其应用(全文)
浅谈焦点三角形的面积公式及其应用(全文)解析几何中的“焦点三角形”是指椭圆或双曲线上的动点与两焦点构成的三角形，与此有关的题型变化多端、灵活性大，有一定的难度，并且每年数学高考题中常有其“影子”，本文仅对焦点三角形的面积公式及其有关应用作如下探析，供同学们学习时参考。
一. 焦点三角形的面积1、公式一：①若P是椭圆上一点,F1、F2分别为焦点, 设∠F1PF2=θ,则F1PF2的面积S=b2tan。
②若P是双曲线上一点,F1、F2分别为焦点,设∠F1PF2=θ,则F1PF2的面积S=b2cot。
(其中b为短(或虚)半轴长)下面仅对公式②进行证明，公式①请仿此证明。
证明：由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=±2a,在PF1PF2中，由余弦定理有4c2=|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ,对定义式平方，|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|=4a2，由两式解出关系：4c2=4a2+2|PF1||PF2|=4a2，即：4c2=4a2+2|PF1||PF2|(1-cosθ)，S=|PF1||PF2|sinθ=b2，S=b2cot。
评：本题证明用了双曲线第一定义，余弦定理，三角形的面积公式这些知识点，要求掌握推导过程。
2、公式二：若P是椭圆（或双曲线）上一点, F1、F2分别为焦点,则F1PF2 的面积S=c|yp|。
(其中c为半焦距长，yp表示点P的纵坐标)说明：公式二容易证明，当已知条件中有角∠F1PF2时或与之相关时，选用公式一，当已知条件中能求出直线PF1或PF2的方程时，选用公式二，且两公式常一起运用。
二、焦点三角形面积公式的应用1、求焦点三角形的面积例：若F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=，求F1PF2面积。
解析：由焦点三角形面积公式一：S=b2cot=1×cot=1。
2、求点P坐标例：若P是双曲线x2-=1上的点，F1，F2是两焦点，PF1PF2=0，则点P到x轴的距离为________ 。
高考数学二级结论快速解题：专题13 焦点三角形的面积公式(解析版)
专题13焦点三角形的面积公式一、结论1、椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆22221x y a b(0a b )中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,12F PF ,12PF F 的面积记为12PF F S ，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ②12121|||||sin 2PF F S PF PF③122tan2PF F S b,其中12F PF .2、双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线22221x y a b(0a ,0b )中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,12F PF ，12PF F 的面积记为12PF F S ，则：①12121||||||2PF F p p S F F y c y ②12121|||||sin 2PF F S PF PF③122tan2PF F b S注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.二、典型例题1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭22:143x yC 圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ，则12PF F 的面积是（）A ．3B ．2CD 【答案】D 【详解】由椭圆22:143x y C 的方程可得24a ，23b ，1c ，则1224PF PF a ，因为1260F PF ，则2221212122cos 60PF PF PF PF F F ，即221212123PF PF PF PF F F ，即121634PF PF ，解得124PF PF ，因此，121211sin 60422PF F S PF PF故选：D.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan2PF F S b,其中12F PF ，由题意知23b ，6，代入122tan 3tan 26PF F S b 【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，122tan 2PF F S b 要特别注意记忆12F PF 表示的是哪个角.2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P 是椭圆 222210x y a b a b 上一动点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF时，12F PF S △；当线段1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ，则点P 运动过程中，1211PF PF 的取值范围是（）A ．12,23B ．82,153C ．18,215D ．12,23【答案】A 【详解】设12,PF m PF n .在12F PF △中，当123F PF时，由椭圆的定义，余弦定理得：22222cos 23m n a m n mn c整理得：243b mn由三角形的面积公式得：1221sin 233F PF S mn△，解得：212b .因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12F F 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x .由124tan 3F PF，得12243F F PF ，解得：232cPF ，所以3,2c P c，代入椭圆标准方程得：2222914c c a b.又有22212b a c ，解得：2216,4a c ，所以椭圆标准方程为：2211612x y .所以8m n .因为a c m a c ，所以26m .所以1211118m n PF PF m n mn mn.因为 2288416mn m m m m m ，当26m 时，1216mn ，所以1211812.23PF PF mn.故选：A.另解：根据焦点三角形面积公式，求122tan 2PF F S b ,其中12F PF ，由题意知3，代入公式12222tantan 1226PF F S b b b，又当线段1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ，可知122F F P ，从而有32n c ，52m c ，且212b n a a，进一步有：24431222a ca c c a所以椭圆标准方程为：2211612x y .所以8m n .因为a c m a c ，所以26m .所以1211118m n PF PF m n mn mn.因为 2288416mn m m m m m ，当26m 时，1216mn ，所以1211812.23PF PF mn.故选：A.【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线 222210,0x y a b a b，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D【答案】B 【详解】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ,0F c ，所以AF BF ，圆心为 0,0O ，半径为c ，根据双曲线的对称性可得四边形AFBF 是矩形，设||AF m ，||BF n ，则222224122n m a n m c mn a，由 2222n m m n mn 可得222484c a a ，所以223c a ，所以2223c e a，所以e 故选：B.另解：解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ,0F c ，所以22AF F S a ，且2F AF,根据双曲线焦点三角形面积公式：122tan 2PF F b S 得：222a b ，结合222c a b，得222222233a c a c a e e【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即||||||2AF AF a ,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S.4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C ：2214y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 双曲线C 右支上，若12F PF ，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（）A ．若60 ，则S＝B ．若4S，则2PF C ．若12PF F △为锐角三角形，则(4,S D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x【答案】ACD 【详解】由2214y x ，得221,4a b，则1,2,a b c 焦点三角形12PF F 的面积公式24tan tan 22b S，将60代入可知S ，故A 正确．当S ＝4时，90，由1222212122PF PF PF PF F F ，可得22PF ，故B 错误．当1290F PF 时，S ＝4，当2190PF F时，S ，因为12PF F △为锐角三角形，所以(4,S ，故C 正确．设 000(,),,1G x y P x y x ，则 220114y x x ，由题设知12(F F ，则0033x x y y ，所以22919143y x x，故D 正确．故选：ACD【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即12||||||2AF AF a ,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式122tan2PF F b S.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆2212516x y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF ，则12PF F 的面积为（）A ．8B ．C ．16D ．【答案】B 【详解】在椭圆2212516x y 中，5a ，4b ，则3c，所以，1226F F c ，由椭圆的定义可得2124PF a PF ，取2PF 的中点M ，因为112PF F F ，则12MF PF ，由勾股定理可得1MF所以，122111422PF F S PF MF △故选：B.2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为 13,0F ， 23,0F ，动点P 在椭圆上，若12PF F 的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF 为直角的点P 有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个【答案】A 【详解】解：因为12PF F △的面积的最大值时，点P 在短轴的顶点处，所以 1212122PF F S c b ，即12bc ，又3c ，所以4b ，所以>b c ，则145OPF ，所以1290F PF ，所以此椭圆上使得12F PF 为直角的点P 有0个，故选：A.3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C ：2214924x y 的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF ，则12PF F 的面积为（）A ．48B ．40C ．28D ．24【答案】D 【详解】椭圆C ：2214924x y 的半焦距5c ，长半轴长7a ，由椭圆定义得21||2||6PF a PF ，而12||10F F ，且2221212||||||F F PF PF ，则有12PF F △是直角三角形，12121||||242PF F S PF PF ，所以12PF F △的面积为24.故选：D4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设12,F F 是椭圆2211224x y的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF .则12PF F 的面积为（）A ．6B．C ．8D．【答案】B 【详解】解：由椭圆2211224x y 的方程可得2224,12a b ，所以22212c a b，得a c且122PF PF a122F F c 在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF 12124122||||2||||PF PF PF PF ，而121cos 3F PF ，所以，1218PF PF ，又因为，121cos 3F PF，所以12sin F PF所以，12121211sin 18622S PF F PF PF F PF 故选：B5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））椭圆2214x y 的左右焦点为1F ､2F ，P 为椭圆上的一点，123F PF，则12PF F 的面积为（）A ．1BC．3D ．2【答案】C 【详解】∵点P 是椭圆2214x y 上的一点，1F ､2F 是焦点，∴124PF PF ，即21216PF PF ①，∵在△12PF F 中123F PF，∴ 22212122cos 123PF PF PF PF②，①-②得：1243PF PF，1212114sin 232323F PF S PF PF .故选：C.6．（2021·北京市第五十七中学高二阶段练习）已知椭圆C ：221259x y ，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45eB ．12F PF 的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．若1290F PF，则12F PF 的面积为8【答案】D 【详解】由221259x y ，可得5a ，3b，4c ，A ，离心率45c e a，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ，故B 正确.C ，设 00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x，故C 正确；D ，1290F PF ∵，222121264PF PF F F ，又因为12210PF PF a ，所以212100PF PF ，即2212122100PF PF PF PF ，解得1218PF PF ,所以1212192F PF S PF PF △，故D 错误.故选：D7．（2021·黑龙江·大庆中学高二期末）已知1F ，2F 分别为椭圆 2222:10x yC a b a b的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得122OP F F ，设12F PF 的面积为S ，若212S PF PF ，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C．2D【答案】D 【详解】由题意122OP F F ，故12PF F △为直角三角形，2121212S PF PF PF PF，又2212121212142PF PF PF PF PF PF PF PF，122PF PF a 21289a PF PF ，又12PF F △为直角三角形，故2221212PF PF F F ，22121212()2PF PF PF PF F F ，即222221654499a a a c c，3c e a.故选：D.8．（2022·山西运城·高二期末）已知点12F F ､是双曲线22221(0,0)x y a b a b 的左､右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF ，则（）A ．1PF 与双曲线的实轴长相等B ．12PF F 的面积为232aC ．双曲线的离心率为52D ．直线320x y 是双曲线的一条渐近线【答案】B 【详解】因为12||3||PF PF ，又由题意及双曲线的定义可得：12||||2PF PF a ，则2||PF a ，1||32PF a a ，所以A 不正确；因为P 在以12F F 为直径的圆上，所以12PF PF ，所以12212113||||3222PF F S PF PF a a a ，所以B 正确；在Rt △12PF F 中，由勾股定理可得22221212||||||10F F PF PF a ，即22410c a ，所以离心率c e a，所以C 不正确；由C 的分析可知：22410c a ，故222232b c a a ，所以渐近线的方程为b y x a，0 ，所以D 不正确；故选：B ．9．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））已知双曲线221916x y的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，212PF F F ，12PF F 的内切圆的圆心为I ，则PI （）A ．3B ．3C ．3342D ．2【答案】A 【详解】解：因为双曲线221916x y 的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，212PF F F ，所以165,3P，2163PF ，1210F F ，因为1226PF PF a ，所以123463PF PF ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，则 1212121221122PF F PF PF F F r PF S F F，即80161033r ，解得2r ，如图，设12PF F △的内切圆与边2PF 相切于点H ，则2IH ，22HF ，所以103PH ，所以PI 故选：A10．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 12,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF ，若12PF F 则双曲线C 的实轴长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】根据双曲线的定义，可得：122PF PF a又：213PF PF 解得：13PF a ，2PF a双曲线Cc 在12PF F △中，由余弦定理，可得：222121112121cos 23PF PF F F P PF F F F P则有：12sin F PF 12PF F △，可得：212121sin 2PF PF F PF 解得：1a 故双曲线C 的实轴长为：2故选：B11．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知双曲线22:12y C x 的左，右焦点为12,F F ，P 为双曲线右支上的一点，1230PF F ，I 是12PF F 的内心，则下列结论错误的是（）A ．12PF F 是直角三角形B ．点I 的横坐标为1C．||2PI D ．12PF F 的内切圆的面积为【答案】D 【详解】由已知可得，12122,PF PF F F 21,2PF x PF x ，则2212cos 2PF F，得2x ，所以212,4PF PF ，即2222121PF F F PF ，所以212PF F F ，所以A 正确；设内接圆半径为r ，则 12122121122PF PF F F r PF F F，得1r ，所以I 的坐标为1)，面积为214S所以B 正确，D 错误；由题意P，||1)PI ，所以C 正确；故选：D.12．（2022·天津和平·高二期末）双曲线221169x y 的两个焦点分别是12,F F ，点P 是双曲线上一点且满足1260F PF ，则12F PF 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】∵221169x y ，所以4a ，3b ，5c ，∵P 在双曲线上，设1PF m ，2PF n ， 28 m n a ①，由1260F PF ，在12F PF △中由余弦定理可得：2221212122cos 60 F F PF PF PF PF ，故 222100 m n mn m n mn ②，由①②可得36mn ，直角12F PF △的面积1212121122sin sin 609F PF S PF P mn F F PF .故选：C.13．（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线22:145x y M 右支上的一点，1F ，2F 是左，右焦点，24PF ，则12PF F 的内切圆半径为（）A ．9B ．3C ．9D 【答案】D【详解】解：由双曲线定义可得1224PF PF a ，即18PF ，又126F F ，由余弦定理得222214681cos 2464PF F，2sin 4PF F，设12PF F △的内切圆半径为r ，则 121212121212PF F PF I PF I F F I S S S S r PF PF F F，12121212462248463PF F S r PF PF F F.故选：D.。
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。
下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。
一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()， 的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。
证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程 。
12F PF ∆M e 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。
专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)
A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（ ）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，
专题05 焦点三角形(新高考地区专用)(解析版)
专题05 焦点三角形一．技巧内容 二．技巧推导过程 1.12椭圆中的PF PF12PF F S ∆离心率12PF12121221212122121222122212 =()22cos =()2(1cos ) 442(1cos )422(1cos )1cos +--+-+=-+∴==++PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF c a PF PF b b PF PF θθθθθ2.椭圆中焦点三角形的面积公式1222212211212=sin sin 2sin cos tan 221cos 222212cos 12∆===++-PF F b b S PF PF b θθθθθθθ3. 椭圆中的离心率12122sin sin()(1)2sin sin sin sin +=====+++F F c c e a a PF PF θαβαβαβ222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(=+-+--+-++≥+-++-++F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即PF PF P c c a a e θθθθθθ4.12双曲线中的PF PF12121221212122121222122212 =(-)+22cos =(-)+2(1-cos ) 44+2(1-cos )422(1-cos )1-cos -=∴==PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF c a PF PF b b PF PF θθθθθ5.双曲线中焦点三角形的面积公式1222212211212=sin sin 2sin cos 221-cos 2221-1-2sin )tan 22∆===（PF F b b b S PF PF θθθθθθθ6.双曲线中的离心率12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ技巧1 焦点三角形的周长【例1】（2020·黑龙江）已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20 B ．16C ．18D ．14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知5,4a c ==，根据椭圆的定义可知，12PF F ∆的周长为2210818a c +=+=，故选C. 【举一反三】1．（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆22221x y a b+=（其中a ＞b ＞0）的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2211625x y +=B ．221259x y +=C ．221925x y +=D ．2212516x y +=【答案】D【解析】椭圆22221x y a b +=（其中a ＞b ＞0）的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可得2a +2c =16，椭圆22221x y a b+=（其中a ＞b ＞0）的离心率为35，可得35c a =，解得a =5，c =3，则b =4，所以椭圆C 的方程为：2212516x y +=．故选D ．2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为焦点三角形的周长为12，则椭圆C 的方程是__________． 【答案】2213616x y +=【解析】设椭圆的半焦距为c，由题意得，2122{{a c a c +===⇒所以4b =，故椭圆C 的方程是2213616x y +=.技巧2 焦点三角形的面积【例2-1】（2020·安徽省定远中学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =__________． 【答案】3【解析】（技巧法）1222PF F S =b tanb tan 459,b 32∆θ=︒== （常规法）因为12PF F △的面积为9，所以12121||||9||||182PF PF PF PF ⋅=∴⋅= 因为12PF PF ⊥，所以2221212||||||PF PF F F +=即22121212(||||)2||||||PF PF PF PF F F +-=22222(2)218(2)93a c b a c b -⨯=∴=-=∴=故答案为：3【例2-2】（2020·山西大同）已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为【解析】（技巧法）122PF FbS=tan2∆==θ（常规法）双曲线22:13xC y-=，则223,1a b==，所以2224c a b=+=，则122PF PF a-==221212122PF PF PF PF+=+⋅，且1224F F c==，由余弦定理2221221212cos2PF PF FFF PFPF PF+-∠=⋅，即1212122161cos6022PF PFPF PF︒+⋅-==⋅，解得124PF PF⋅=，则121211sin60422PF FS PF PF︒=⋅⋅∠=⨯=【举一反三】1．（2020·云南陆良）已知1F、2F为双曲线C：221x y-=的左、右焦点，点P在C上，∠1F P2F=060，则12·PF PF=（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】（技巧法）21222411-cos12bPF PFθ===-（常规法）由双曲线的定义得122PF PF-=①,又01212260F F c F PF==∠=,由余弦定理2221212128PF PF PF PF F F+-==②，由①2-②得124PF PF=，故选B．2（2020·广东汕头）若椭圆2213616x y+=上一点P与椭圆的两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则12PF F的面积为( )A．36 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】122PF F(S=b tan16tan45162∆θ=︒=技巧法）（常规法）设12,,PF m PF n==则()224361680m n+=-=,即()2280m n mn+-=,又1212612,32,162PF F m n mn S mn ∆+=⨯=∴===,故选B. 3．（2020·上海普陀·高三三模）设P 为双曲线2221x y a-=（0a >）的上一点，1223F PF π∠=，（12F F 、为左、右焦点），则12F PF ∆的面积等于（ ）A 2B ．23C ．3D ．3【答案】C【解析】（技巧法）122PF F b S =tan 2∆==θ（常规法）双曲线2221(0)x y a a-=>，则1b =不妨设P 是双曲线的右支上一点， 则由双曲线的定义，得12||||2PF PF a -= 则1223F PF π∠=, 所以222121224||||2||||cos3c PF PF PF PF π=+-⋅ 221212||||+||||PF PF PF PF =+⋅ 21212(||||)3||||PF PF PF PF =-+⋅所以2212443||||c a PF PF =+⋅，即222123||||4444PF PF c a b ⋅=-==所以124||||3PF PF ⋅=所以12121214||||sin 232323F PF S PF PF π=⋅=⨯⨯=△ 故选：C技巧3 焦点三角形的离心率【例3-1】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 ( )B.13C.12【答案】D【解析】(技巧法）()3330sin 90sin 3090sin =︒+︒︒+︒=e ，选D 。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
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第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
例4已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.【解析】如图所示，题目的关键在于给出的圆和正六边形，因为02130PF F ∠=所以，11221213,322PF F F c PF F F c ====所以，21(31)c 2PF PF a-==解得：31e =+例5已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，P 是准线上的一点，且12PF PF ⊥,12||||4PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（）注意：经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围，所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。
【解析】如图，题目的关键在于准线和垂直关系，注意12PF F ∆并不是焦点三角形，题目中出现了12||||PF PF ⋅且存在RT ∆，所以很容易想到面积相等即1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，但是PD 长度未知，在直角三角形中依据相似存在如下等式22b PD a c c=+因此代入1212||||PF PF PD F F ⋅=⋅，整理得3e =二、与焦点三角形角度有关的问题我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化，以顶角为例很容易理解。
当点P 处于短轴的焦点处时，顶角最大，这个结论可以通过余弦定理来证明：222222212121221212124()2422cos 1122PF PF c PF PF PF PF c b b PF PF PF PF PF PF aθ+-+-⋅-===-≥-⋅⋅⋅利用均值不等式，当且仅当12PF PF =时，等号成立（一正二定三相等）。
以上结论很重要，在求离心率的取值范围中经常用到，如动点P 满足12F PF ∠为钝角，则可知当点P 处于短轴的交点处时，此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角，然后根据对称可知145F PO ︒∠>，因此在小的直角三角形中，根据大角对大边可知b 和c 的关系，进而求出离心率的取值范围。
例1已知点P 是椭圆22143x y +=上的任一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求12F PF ∠的最大值_________.【解析】设12F PF θ∠=，根据余弦定理得：222121212126cos 12PF PF F F PF PF PF PF θ+-==-⋅⋅21212()42PF PF PF PF +⋅≤=当且仅当12PF PF =时等号成立。
所以1cos ,602θθ︒≥≤因此可以知道当点P 处于题目中的1P 位置时，角度最大。
例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，P 是椭圆上一点，1290F PF ︒∠=，求椭圆离心率的最小值_______.例3.已知12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使吧12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ︒∠>，所以在1RT F BO ∆中，大角对小角，所以1F O OB >即c b>解得212e <<例4.设A,B 是椭圆2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足0120AMB ∠=,则m 的取值范围是__________.【解析】焦点位置不确定，分情况讨论即可：（1）当焦点在x 轴上时，此时3m <利用焦点三角形中的性质，当动点在图中D 点位置时，ADB ∠最大，若存在120AMB ︒∠=120ADB ︒∠≥此时60ADO ︒∠≥，33AO a OD b m ==≥解出：01m <≤（2）当焦点在y 轴上时做法相同，过程省略。
注意：当顶角12F PF ∠为直角时，有以下两个常用的公式：（1）212||||=2PF PF b （2）2S b =三、与焦点三角形面积有关的问题在椭圆或双曲线中，焦点三角形的底为定值，另外两条边的长度和角度是变量，所以，只要能求出另外两边的长就可以求出面积。
在椭圆中2tan2S b θ=，在双曲线中2cot 2S b θ=，公式证明如下：121sin 2S PF PF θ=⋅，根据余弦定理得：222222121212121212124()2442cos 222PF PF c PF PF PF PF c b PF PF PF PF PF PF PF PF θ+-+-⋅--⋅===⋅⋅⋅所以21221cos b PF PF θ⋅=+222222sincos 12sin 22sin tan 21cos 1cos 212cos 12b S b b b θθθθθθθθ=⋅=⋅=⋅⋅+++-既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。
既然在焦点三角形中给出顶角，我们可以直接利用公式求面积，但是如果给出底角，如何求面积呢？证明过程和上面差不多。
设12PF F α∠=，求焦点三角形12F PF 证明：12222211212,=4cos a cos 22PF PF a b PF PF c PF c PF c αα+=⎧⎪+-⎨=-⎪⋅⎩可解出所以：122211sin sin 2sin 2a cos 1cos F PF cb e S c PF b c e ααααα∆=⋅⋅==⋅--注意：既然在焦点三角形中给出了顶角，我们可以直接用公式求面积例1P 为双曲线22112y x -=上的一点，12,F F 是双曲线的左右焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F ∆面积为_________.【解析】题目中没有给出角度，故不能套公式，因为1212||:||3:2,||||2PF PF PF PF =-=且12126,4,PF PF F F ===恰好满足：2221212PF PF F F +=焦点三角形为直角三角形，故面积12S =注意：求出焦点三角形的三边即可，再利用余弦定理求出角度即可求面积，但是在求角度之前需先看看此三角形是不是一特殊三角形。
例2.过椭圆22221x y a b+=中心的直线与椭圆交于A,B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则2ABF ∆的最大面积为_________.四、焦点三角形中与距离最值有关的问题注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边。
焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；另外注意当出现动点和一个焦点的连线时，我们一般还需要考虑动点和另外一个焦点的连线，组成焦点三角形来求，例1.点P 是双曲线2213y x -=右支上的动点，2F 为双曲线的右焦点，A(3,1)，求2||+||PA PF 的最小值.注意：此问题属于圆锥曲线中与动点有关的最值问题，后面会专门讲到，在求距离之和类的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边，等号取到时，则无法构成三角形。
【解析】122122,=-2||+||PF PF a PF PF PA PF -=所以，求的最小值即求12PA PF +-的最小值，很显然，当1,,A P F 三点共线时取得最小是，最小值为1=26-2AF 例2：已知双曲线221x y p q-=和椭圆221x y m n +=有公共的焦点，P 是椭圆和双曲线的一个交点，求12||||PF PF ⋅注意：椭圆和双曲线共焦点的问题很多，共焦点，则c 相同，如果出现焦点三角形，则根据定义写出，然后共c 即可。
【解析】椭圆双曲线共焦点，则c 相同，m n a b -=+，12PF F ∆是焦点三角形，则121222PF PF m PF PF p⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，求12||||PF PF ⋅，则两式平方相减即可得12||||PF PF m p ⋅=-小结：（1）当出现圆锥曲线上一个动点和一个焦点的连线时，一般需要考虑动点和第二个焦点。
（2）在椭圆中需要注意两个最值，一是注意动点和两个焦点组成的三角形面积的最值问题，二是注意焦点三角形的顶角问题。