2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第2节

[课堂练通考点]

1．不等式x －1

x ＋2<0的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：选C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－20，不等式－c

D ．3∶2∶1

解析：选B ∵－c 0， ∴－b ＋c a

.

∵不等式的解集为{x |－2

∴⎩⎨⎧ －b ＋c a

＝－2，

c －b

a ＝1，

∴⎩⎨⎧

b ＝a 2

，c ＝3

2a ，

∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a

2

＝2∶1∶3.

3．(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )

A.52

B.72

C.154

D. 152

解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝5

2

.

4．(2014·皖南八校第二次联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．[－1,4]

B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

D ．[－2,5]

解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.

5．(2013·浙江调研)若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋1，x >0，

－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．

解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤0，

－x <4，

即0

6．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0成立的x 的取值范围为______．

解析：由不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0，得2≤[x ]≤3，故x 的取值范围为[2,4)． 答案：[2,4)

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．(2014·潍坊质检)不等式4

x －2≤x －2的解集是( )

A ．(－∞，0]∪(2,4]

B ．[0,2)∪[4，＋∞)

C ．[2,4)

D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)

解析：选B 原不等式可化为－x 2＋4x

x －2

≤0.

即⎩

⎪⎨⎪⎧

x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0. 由标根法知，0≤x <2或x ≥4.

2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )

A ．－3

B ．1

C ．－1

D ．3

解析：选A 由题意得A ＝{x |－1

3．(2014·湖北八校联考)“00的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩

⎪⎨⎪⎧

a >0，Δ＝4a 2

－4a <0.故ax 2＋2ax

＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“00的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．

4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]

D ．[－3，－2)∪(4,5]

解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]

5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23

5，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－23

5，1 C ．(1，＋∞)

D.⎝

⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．

于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－23

5，且a ≤1，

故a 的取值范围为⎣⎡⎦

⎤－23

5，1. 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．

解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0

7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．

解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2

＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12

2

.

答案：⎝⎛⎭

⎫－12，3

2 8．(2013·广州调研)若关于x 的不等式4x －2x ＋

1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取

值范围为________．

解析：∵不等式4x －2x ＋

1－a ≥0在[1,2]上恒成立，

∴4x －2x ＋

1≥a 在[1,2]上恒成立．

令y ＝4x －2x ＋

1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.

∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.

由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，