第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）

A 充分条件

B 必要条件

C 充分必要条件

D 无关条件 2、

=∂∂),(00|)

,(y x x

y x f （ ）

A

x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B x

y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； C

x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）

A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；

B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；

C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；

D 以上全不对。 4、

2

2

222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）

A 、0，0，0；

B 、不存在，0，0，；

C 、0，不存在，0；

D 、0，0，不存在。 5、设

y

x e

z =，则

=∂∂+∂∂y

z y x z x （

A ）

A 、0；

B 、1；

C 、-1；

D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分）

1、 证明函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧

=+≠++=0

00),(222

22

2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在

该点不可微；

2、 设

⎰⎰'=-x x

t

x f x f dt d e

x f 0)(),(,)(2

求ττ；

3、 设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、

z y ∂∂；

4、 计算(cos sin )x C

e ydx ydy -⎰

，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光

滑曲线；

5、 计算

zdS ∑

⎰⎰

，其中∑为22z x y =+在14

z ≤的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分

⎰+++++L

dz

y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；

2、说明对任意),0(sin ,00

)(2

+∞∈>⎰+∞

+-t tdx e x 关于αα

均一致收敛；

3、验证函数

⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0

,00,2),(22222

2y x y x y

x xy

y x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.

四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧

=-+=++10

3

3

3

z y x z y x 确定的隐函数

)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的

一阶导数。

部分题目参考答案： 二、1、证明：

|

|||

02

2

xy y

x xy ≤+≤（4分）

2

2)

0,0(),(lim

y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，

（3分）又

00lim 0=∆→∆x x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但

2

2)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，

故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

由于

2

2

2

2

'0

00)()(,)()(x

x

x x x

t

x x x

t

xe dt e dt d e x f dt d e x f ----==-+=='=⎰⎰⎰⎰⎰ττττ，所以

2

1

2121)(21)(2

2

2

2

2

+

-=-=--

==----⎰⎰x x

x

t t x

t

e e t d e dt te x

f .

二、3、 [解法 1] 由隐函数、复合函数求导法

''

11''''

1212221F zF z

z

x y x

xF yF F F z z ⋅

∂=-=

∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

''

22''''1212221

F zF z z

x y y

xF yF F F z z ⋅∂=-=

∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得 '

'120x y F d F d z z ⎛⎫⎛⎫+=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，''1222

0zdx xdz zdy ydz F F z z --⋅+⋅= ''12''

12zF dx zF dy dz xF yF +=+，故 ''12''

'

'

1212zF zF z

z

x xF yF y xF yF ∂∂==∂+∂+.

由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.

二、4、 解 令

X

=cos x

e

y ，Y =sin x

e

y -，则

x

Y ∂∂=

y

X ∂∂=sin x

e

y -,故被积表达式