完全平方数

完全平方数

什么是完全平方数？

相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……

例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.

[答疑编号0518320101]

【解答】

选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。

如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。

所求的最大值是6。

完全平方数质因数分解的特征：

将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。

推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。

例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.

1

[答疑编号0518320102]

【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.

例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.

[答疑编号0518320103]

【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.

涉及到完全平方的公式：

例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168

后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.

[答疑编号0518320104]

【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，

2

即.因为b＋a和b－a

的奇偶性相同，所以只可能是

，

解得.因此原正整数是.

例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？

[答疑编号0518320105]

【答案】1509

【解答】设这个正整数是n,。两个完全平方数分别是a2和b.2。

.则n＝ a2－b2＝（b－a）（b＋a）。

（1）如果b－a和b＋a都是奇数，则n是奇数。

（2）如果b－a和b＋a都是偶数，则n是4的倍数。

下面，我们说明如下情况：

（1）被4除余2的数，不是“智慧数”。

（2）奇数都是“智慧数”。因为n＝2k＋1＝（k＋1）2－k2

（3）4的倍数都是“智慧数”。因为n＝4k＝（k＋1）2－（k－1）2

所以，总共有2012÷4×3=1509个“智慧数”。

例6.证明：形如11，111，1111，11111，……的数中没有完全平方数。

[答疑编号0518320106]

3

【答案】根据完全平方数的特性：一个完全平方数要么是4的倍数，要么被4除余1。

形如4k＋2和4k＋3型的整数一定不是完全平方数，

而11、111、1111、......被4除的余数均为3，所以，它们中没有完全平方数。

我们不妨看一下奇数的平方：，

所以奇数的平方是除以4余1的数。

进一步思考：形如aa，aaa，aaaa，aaaaa，……的数中有没有完全平方数？

例7.四个质数的和是55，平方的和是1335，则这四个质数

是：.

[答疑编号0518320107]

【解答】四个质数的和是55，由于质数中只有2是偶数。

说明四个质数中有一个数是2。所以，a+b+c=53，a2+b2+c2=1331。

继续分析，完全平方数除以3的余数是0或1，1331除以3是余2的。

所以，有一个数是3的倍数，又由于是质数，所以，只能是3。

我们不妨设a是3。所以，b＋c＝50，b2＋c2＝1322。

代入数字进行验证，满足以上两式的数是19和31。所以，这四个质数是：2，3，19，31。

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