完全平方数
判断完全平方数的方法
判断完全平方数的方法
判断一个数是否为完全平方数的方法有很多，以下是几种常用的方法：
1. 直接求平方根：对于一个非负整数 n，如果它的平方根是整数，那么它就是完全平方数。
可以使用数学库或者自己实现求平方根的算法来判断。
2. 利用公式：一个数 n 是完全平方数，当且仅当它可以表示成x^2 的形式，其中 x 是整数。
因此，我们可以对 n 开方取整，得到整数 x，再计算 x^2，判断是否等于 n。
3. 利用性质：完全平方数的末尾数字只能是 0、1、4、5、6 或9。
如果一个数的末尾数字不是这些数字中的一个，那么它肯定不是完全平方数。
如果末尾数字是其中一个，我们可以尝试对其进行平方运算，看看是否得到原数。
例如，对于数字 25，它的末尾数字是 5，可以直接判断它是完全平方数；而对于数字 27，它的末尾数字是 7，显然不是完全平方数。
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10.完全平方数
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
8.约数个数为3的是质数的平方。
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完全平方数
一、什么是完全平方数？
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二、完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
完全平方数整理
完全平方数一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。
2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念基础练习、指出下列哪些是平方数？1156，5487，5329，8008。
1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．1、在50～400中，有多少个平方数？2、在50～761中有多少个平方数？例题精讲 知识点拨3、123×134的积是平方数吗？4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。
3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。
2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。
3.求一个能被180整除的最小完全平方数.【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
奥数数论：完全平方数要点及解题技巧
奥数数论：完全平方数要点及解题技巧一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n^2<k^2<(n+1)^2，则k一定不是整数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
五年级春季第8讲——完全平方数
二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
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五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．
完全平方数
★20 完全平方数◎概念：一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。
◎性质：1、分解质因数，每个质因数都有偶数个。
（即指数都是偶数）2、个位数字只能为0、1、4、5、6、9。
3、完全平方数是奇数被4或8除余1，是偶数能被4整除。
4、完全平方数如能被3整除，一定能被9整除，不能被3整除，一定余1。
5、两个完全平方数的积还是完全平方数。
一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。
◎背诵：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262 =676 272=729 282=784 292=841 302=900例1在1~2016的自然数中，完全平方数共有多少个？自主测试：在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数？例2 46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？自主测试：203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少?例3 ：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方？例4: 试问21世纪中那一年的年份数是一个完全平方数？自主测试：哥哥对弟弟说：“到21世纪的x2年，我恰好是x岁，哥哥生于哪年？例5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？自主测试：一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？例6 在前300个自然数中，去掉所有的完全平方数剩下的自然数的和是多少？公式1: 1+2+3+4┄+n=21n(n+1)公式2: 12+ 22+ 32+ 42+┄+ n2= 61n(n+1)(2n+1)自主测试：请说明从1开始的连续n个奇数的和是平方数？练习题1、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？2、12+ 22+ 32+ 42+┄+ 20142除以7的余数是几？3、22015与20152的和除以7的余数是多少？4、在2024到2499之间有多少个平方数?5、1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=____________________★6、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡有的亮，有的灭，十分有趣。
小学数学精讲解析：完全平方数
完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。
例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。
例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下()个球。
例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。
测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。
3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。
那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、 、22n ⨯。
完全平方考点总结
完全平方考点总结1. 完全平方定义在数学中，完全平方是指某个数的平方根是一个整数。
换句话说，完全平方是一个非负整数的平方。
数学表达式为：n=m2，其中n是完全平方数，m是整数。
完全平方数的例子有：0，1，4，9，16等。
2. 完全平方的性质完全平方数具有一些特殊的性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
2.1 完全平方数的性质一：连续奇数和对于任意一个完全平方数n，它可以表示为连续奇数的和。
例如，9可以表示为4+5，16可以表示为7+9，25可以表示为12+13。
2.2 完全平方数的性质二：公式推导完全平方数有一个简单的公式推导，可以帮助我们更方便地计算完全平方数。
数学表达式为：n=2a+1，其中a是非负整数。
根据这个公式，我们可以列举一些完全平方数的例子：•当a = 0时，n = 2*0 + 1 = 1，得到完全平方数1；•当a = 1时，n = 2*1 + 1 = 3，得到非完全平方数3；•当a = 2时，n = 2*2 + 1 = 5，得到非完全平方数5；•当a = 3时，n = 2*3 + 1 = 7，得到非完全平方数7；•当a = 4时，n = 2*4 + 1 = 9，得到完全平方数9；可以发现，当a为完全平方数时，得到的n也是完全平方数。
2.3 完全平方数的性质三：奇数完全平方数所有的完全平方数都是奇数。
通过上面的公式推导可以看出，完全平方数的表达式是2a + 1，其中a是非负整数，所以n一定是奇数。
这一性质对于判断某个数是否为完全平方数很有用。
如果一个数是奇数，那么它一定不是完全平方数。
但是，如果一个数是偶数，它可能是完全平方数，我们需要进一步进行判断。
3. 完全平方数的应用完全平方数在数学以及其它领域都有广泛的应用。
3.1 完全平方数的应用一：素数判断在素数判断问题中，完全平方数有一个重要的作用。
首先，我们知道，除了2以外的所有素数一定是奇数。
如果一个数是完全平方数，并且大于2，那么它的平方根肯定是一个奇数。
_完全平方数
完全平方数 知识要点,255,164,93,42,1122222=====故1,4,9,16,25，…这些数就是完全平方数。
完全平方数有许多性质，例如：1.完全平方数分解质因数时，它的每个质因子都有偶数个。
2.如果一个数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数，这个数就一定是完全平方数。
3.完全平方数的个位数字只可能为0,1,4,5,6,9这六个数。
4.两个完全平方数的积是完全平方数；一个完全平方数与一个非完全平方数的积一定不是完全平方数。
5.偶完全平方数被4整除；奇完全平方数被4除余1. 1. 、把1,2,3，…，9这9个数按另一种顺序填在下表2. 自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49，……。
问第612个位置的数是几？3. 50张卡片，写着1到50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。
某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆放在桌上，对同学说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻开卡片，规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝色翻成红色，红色翻成蓝色。
”那么到最后，每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有多少张？4. 在前100个自然数中，所有非完全平方数的和是多少？5. 从1到1989的自然数中，完全平方数共有多少个？6. 试问21世纪中哪一年的年分数是一个完全平方数？7. 从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？8. 一个四位正整数，加上400后就成为一个自然数的平方数，这样的四位数的个数有多少？9. 135乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？10. 46035乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？11. 一个四位数的数码是非零的偶数，它又恰是某个偶数数字组成的数的平方。
则这个四位数是几？12. 已知四个数：35□2,3□57,3□36，□329，其中哪几个数可以写出完全平方数？13. 下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数是否是某个数的平方？14. 在1，1+1×2，1+1×2+1×2×3，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4，……，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×…n ，…，这一列数中，可知，第一个数1是完全平方数，第三个和数1+1×2+1×2×3=9是完全平方数。
完全平方数
第二十四课完全平方数一个自然数与它本身相乘，乘积叫做完全平方数，或叫做平方数．例如1×1=1，2×2=4，3×3=9，…，那么1、4、9、…就是完全平方数．完全平方数有一些有趣而且重要的性质：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9．因为任何一个完全平方数的尾数，只能等于02，12，22，32，…，92的尾数，而这些数的尾数只有0，1，4，5，6，9．（2）完全平方数的约数个数是奇数个．因为完全平方数a2，a是自然数，则a=a1×a2×a3×…×ar，a1，a2，a3，…，ar是a的质因数．尾数一定是奇数，所以a2的约数个数是奇数个．（3）一个完全平方数被3除的余数是0或1．因为一个自然数被3除的余数只能是0，1，2这3个数中的一个．如果这个自然数被3除余数是0，那么这个数的完全平方数被3除余数也是0；如果这个自然数被3除余数是1，那么这个数的完全平方数被3除的余数是12，也是1；如果这个自然数被3除余数是2，那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1；所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1．（4）偶数的平方数能被4整除，奇数的平方被4或8除的余数是1．因为偶数表示为2n，n是整数．那么偶数的平方为（2n）2=4n2，能被4整除．奇数表示为2n+1，n是整数，那么奇数的平方为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n+1）n+1，所以奇数的平方被4除的余数是1；又因为n+1，n是两个连续整数，必有一个是偶数，所以4（n+1）n能被8整除，也就是4（n+1）n+1被8除的余数是1，故奇数的平方被8除的余数是1．（5）一个完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0． 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，289，324，361，400．完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0．（6）末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25．这是因为，末位数是5的正整数都可以写成10a ＋5的形式(其中a 为正整数)，它的平方数是=+2)510(a 2100a .25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a ＋1)，它的末两位数都是0，另一个加数是25，它们的和的末两位数一定是25．例：判断1369是否为完全平方数，可作如下分析：1369如果是完全平方数，它的算术平方根一定是二位整数．又它的末位数是9，所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7．因为160040,9003022==，而900<1369<1600，所以1369的算术平方根只可能是33或37．经计算验证得136937,10893322==．因此，1369是一个完全平方数，它的算术平方根是37．“”例：如果判断1214是否完全平方数，可以仿照前面对1369的分析，得到它的算术平方根只可能是32或38．验算得1214144438,121410243222≠=≠=，因此可以判断出1214不是完全平方数． 例：如果判断237，4323，1348等末位数是3，7，8的数是否完全平方数，则结果是显然的．因为末位是3，7，8的正整数不可能是完全平方数．另外，个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数．下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数，则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )Ａ．x ＝25530，y ＝29464B ．x ＝37615，y ＝26855C ．x ＝15123，y ＝32477D ．x ＝28326，y ＝28614思路启迪： 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算，就可以得到正确答案．但这种方法运算量太大．可以用筛选法．对所给四组值分别进行分析、筛选，看哪一组数能使22y x +是完全平方数，哪些组数不能使22y x +是完全平方数．如果能使22y x +是完全平方数的只有一组，显然这一组就是正确答案．规范解法对于A ：x ＝25530，y ＝29464，,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于Ｂ：x ＝37615，y ＝26855．2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时，只有末两位都是0时才能为完全平方数，.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴.22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴ 对于D:x ＝28326，y ＝28614．2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8．而末位数是8的数不可能是完全平方数，.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知，只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数，其余三组数都没有这个可能．而此题有且只有一个正确答案，所以应选Ａ性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
完全平方数的特点
完全平方数的特点
完全平方数是指能表示成某个自然数的平方的数，如1，4，9，16等。
它们具有以下几个特点：
1. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9中的一个。
2. 完全平方数的十位数只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个。
3. 一个数若是完全平方数，那么它的个位数和十位数必然相等。
4. 完全平方数的末两位只能是00、01、04、09、16、21、24、25、29、36、41、44、49、56、61、64、69、76、81、84、89、96、或者99。
5. 如果一个数能被表示成连续的奇数之和，那么它一定是完全
平方数。
例如：9=1+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9。
这些特点可以帮助我们判断一个数是否是完全平方数。
在数学中，完全平方数有着重要的应用，例如在勾股定理中。
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完全平方数
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若 则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述， 不可能是完全平方数。
另证
由
为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数
的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而 十位上的数字为1，所以 不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 是完全平方数。 证明 = = =4× =4 × ( =36 ×( =(6 × 即 + +8 × )(9 × )2+12 × +1)2 为完全平方数。 +1 +1 +1)+8 × +1 +1
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还 可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数 字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把 13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字 的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位 数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数 字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
完全平方数
(一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平 方，那么我们就称这个数为完全平方数， 也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169, 196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的 个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位 数字为偶数。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
4.完全平方数
第四节完全平方数当自然数N 恰好是另一自然数M 的平方时，我们称自然数N 为完全平方数。
完全平方数有下面重要性质：（1）平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
（2）在完全平方数的质因数分解中，每个质因数的幂指数都是偶数。
（3）完全平方数的末位数字是奇数时，起十位数字必为偶数；末位数字为偶数时，起十位数字有奇数，有偶数；当末位数字为6时，它的十位数字必为奇数。
证：设n 是奇数的平方，即2a n =，a 总可以表示为r q a +=10，其中=r 1，3，5，7，9。
∴222220100)10(r qr q r q a n ++=+==∵2r 只可能是1，9，25，49，81。
而)210(102010022qr q qr q +=+但∵2222)210(1020100r qr q r qr q ++=++的十位数字为qr q 2102+的个位数字（偶数）与2r 的十位数字（显然是0，2，4，8中的一个）之和，因此也为偶数，即完全平方数的末位数字是奇数时，起十位数字必为偶数。
类似地，可证另两个结论。
换句话说，如果一个整数的个位与十位数字都是奇数那么这个整数不是完全平方数，如果一个整数的末位数字为6而十位数字为偶数，那么这个整数不是完全平方数。
下面来看一些与完全平方数有关的问题。
例1、一个自然数减去55后是一个完全平方数，这个自然数加上34，仍是一个完全平方数，试求这个自然数。
解：设这个自然数为x ，则⎩⎨⎧=+=-)2(34)1(5522n x m x （n m ,都是自然数，显然n m <） ②－①得：89))((=+-m n m n③ ∵89是质数，∴⎩⎨⎧=+=-891m n m n ，解得⎩⎨⎧==4445m n ，∴19913422=-=n x 。
例2、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？试说明原因。
分析：设用300个2和若干个0组成的整数为，其位数至少是301位。
完全平方数
完全平方数一、完全平方数的性质最重要的4个性质：1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.除以4只能余0或者余1。
不可能余2或3。
3.完全平方数分解质因数后，指数都是偶数，指数是偶数的数是完全平方数。
4.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
其他性质：性质1：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质2：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数性质3：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质4：如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质5：完全平方数的个位是6，那么它的十位是奇数．性质6：若质数p整除a的平方，则p能被a整除。
例题1：下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【答案】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．例题2：证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．例题3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第9题【答案】（法1）先将12！分解质因数：1052=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n得到一个12!235711完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042⨯⨯，所以n最小235为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
完全平方数
完全平方数若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。
完全平方数有下列性质：（1）平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；（2）偶平方数能被4整除，奇平方数被8除余1；（3）平方数只能是形如3k或3k＋1的数；（4）奇平方数的十位数一定是偶数；（5）若平方数的末位数是奇数时，则其十位数字必为偶数例1、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。
因N＝23x＋92y＝23（x＋4y），且23为质数，故x＋4y＝23m2（m为正整数）例2、使n5－5n3＋4n＋7成为完全平方数的自然数n的取值（）A．有且只有一个B．有有限多个，但多于一个C．有无穷多个D．不存在将原式分解因式，分析个位数例3、已知a是正整数，且a2＋2004a是一个正整数的平方，求a的最大值解题思路设a2＋2004a＝m2，其中m是正整数，通过引入参数、配方将问题转化为解不定方程。
例4、若一个整数能够表示成x2＋2xy＋2y2（x，y是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否为好数（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明：mm也是好数解题思路x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2，即一个好数可表示成两个完全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键。
例5、某正整数的平方，其末三位是非0的相同数字，求具有该性质的最小正整数．解：设所求数为p，p＞0，p2即具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数。
设p ＝10a士b（a，b为正整数，1≤b≤5），则p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2。
验证知当b＝1，3，4，5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b＝2时，p2的末两位数字奇偶性相同．所以所求数必须形如10a±2，而p＝12时，p2＝144，末两位数字为4．又注意（50n士x）2＝2500n2士100nx＋x2＝100（25n2士nx）＋x2。
完全平方数大全.
完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。
1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下：1222212kl l l kn pp p =（1）其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数，12,,,k l l l 是自然数。
2.1例如：2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9. （此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设2()n n N ∈为完全平方数，0n 是n 的个位数，则2n 的个位数与20n 的个位数相同。
利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡，那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。
所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
判断一个数是不是完全平方数的方法
判断一个数是不是完全平方数的方法完全平方数是指一个数能够表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16等都是完全平方数。
那么，我们如何判断一个数是否是完全平方数呢？下面将介绍几种常见的方法。
方法一：数学方法最直观的判断方法就是使用数学运算。
我们可以用一个整数n去分别除以1、2、3，直到n/2。
如果在这个过程中，存在一个整数i，使得i*i=n，那么n就是一个完全平方数。
否则，n就不是完全平方数。
这种方法的时间复杂度为O(n/2)，即O(n)。
虽然这种方法简单易懂，但对于大数来说，运算量较大，效率较低。
方法二：二分查找法二分查找法是一种高效的查找方法，也可以用于判断一个数是否是完全平方数。
首先，我们将要判断的数n设为右边界，左边界设为1。
然后，计算出中间值mid=(left+right)/2。
如果mid*mid=n，那么n就是一个完全平方数，直接返回true。
如果mid*mid>n，那么n是一个较大的数，我们将右边界right设为mid-1，继续进行二分查找。
如果mid*mid<n，那么n是一个较小的数，我们将左边界left设为mid+1，继续进行二分查找。
重复以上步骤，直到找到完全平方数或者左边界大于右边界为止。
这种方法的时间复杂度为O(logn)，效率较高。
方法三：数学规律法除了上述两种常见的方法，还有一种更加巧妙的方法，利用完全平方数的数学规律。
首先，我们观察到完全平方数的特点：完全平方数是一系列连续奇数的和。
例如，1=1，4=1+3，9=1+3+5，16=1+3+5+7，以此类推。
因此，我们可以利用这个规律来判断一个数是否是完全平方数。
我们从1开始，依次累加奇数，直到累加的和等于要判断的数n。
如果等于n，那么n就是一个完全平方数；如果大于n，那么n不是完全平方数。
这种方法的时间复杂度为O(sqrt(n))，效率较高。
综上所述，判断一个数是否是完全平方数有多种方法可供选择。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
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完全平方数
什么是完全平方数？
相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……
例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.
[答疑编号0518320101]
【解答】
选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：
将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.
1
[答疑编号0518320102]
【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.
例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.
[答疑编号0518320103]
【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.
涉及到完全平方的公式：
例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168
后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.
[答疑编号0518320104]
【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，
2
即.因为b＋a和b－a
的奇偶性相同，所以只可能是
，
解得.因此原正整数是.
例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？
[答疑编号0518320105]
【答案】1509
【解答】设这个正整数是n,。
两个完全平方数分别是a2和b.2。
.则n＝ a2－b2＝（b－a）（b＋a）。
（1）如果b－a和b＋a都是奇数，则n是奇数。
（2）如果b－a和b＋a都是偶数，则n是4的倍数。
下面，我们说明如下情况：
（1）被4除余2的数，不是“智慧数”。
（2）奇数都是“智慧数”。
因为n＝2k＋1＝（k＋1）2－k2
（3）4的倍数都是“智慧数”。
因为n＝4k＝（k＋1）2－（k－1）2
所以，总共有2012÷4×3=1509个“智慧数”。
例6.证明：形如11，111，1111，11111，……的数中没有完全平方数。
[答疑编号0518320106]
3
【答案】根据完全平方数的特性：一个完全平方数要么是4的倍数，要么被4除余1。
形如4k＋2和4k＋3型的整数一定不是完全平方数，
而11、111、1111、......被4除的余数均为3，所以，它们中没有完全平方数。
我们不妨看一下奇数的平方：，
所以奇数的平方是除以4余1的数。
进一步思考：形如aa，aaa，aaaa，aaaaa，……的数中有没有完全平方数？
例7.四个质数的和是55，平方的和是1335，则这四个质数
是：.
[答疑编号0518320107]
【解答】四个质数的和是55，由于质数中只有2是偶数。
说明四个质数中有一个数是2。
所以，a+b+c=53，a2+b2+c2=1331。
继续分析，完全平方数除以3的余数是0或1，1331除以3是余2的。
所以，有一个数是3的倍数，又由于是质数，所以，只能是3。
我们不妨设a是3。
所以，b＋c＝50，b2＋c2＝1322。
代入数字进行验证，满足以上两式的数是19和31。
所以，这四个质数是：2，3，19，31。
4。