2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)

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《信号检测与估计》第九章习题解答

T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt

《信号检测与估计》第十章习题解答

《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。

解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。

考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。

对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。

()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。

要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。

信号检测与估计答案1

信号检测与估计答案15-2 若观测方程为i i x s n =+()1,2,,i N =，其中信号()2~0,s s N σ，噪声()()2~0,1,2,,i n n N i N σ=独立同分布，且信号与噪声满足{}0i E sn =。

求s 的最大后验概率估计ˆMAP s。

解：依题意，以信号s 为条件的观测样本的概率密度函数为()()()2112221,,|exp 22N i i N Nnnx s f x x s σπσ=⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑信号s 的概率密度函数为()222ss f s σ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则由上面两式可得()()()()()211222212221ln ,,|ln exp 221ln 22N i i N N nn Ni i N n n x s f x x s ss x s s σπσσπσ==⎧⎫⎡⎤⎧⎫-⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎨⎬⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎡⎤-⎢⎥∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()22222ln ln 22s s s s f s s s s s s⎧⎫⎡⎤⎛⎫∂∂⎪⎪=-⎥⎨⎬ ⎪∂∂⎥⎝⎭⎪⎪⎦⎩⎭⎡⎤∂=-⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦=-σσσ最大后验概率准则为()ˆmax |MAP f θθθ=x ，即()ˆ|0MAPf θθθθ=∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦x ，又可表示为()()ˆln |ln 0MAPf f θθθθθθ=∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦x ，将之前结果带入其中可得2221ˆNs MAP ii ns sx N σσσ==+∑ 。

5-4已知观测信号0()cos()()x t A t n t ωθ=++(0)t T ≤≤,式子中()n t 是零均值，功率谱为2N 的高斯白噪声，θ是在[0,2)π上均匀分布的随机变量，求A 的最大似然估计和估计量的均方误差。

解：0()cos()()x t A t n t ωθ=++()x t 的似然函数为：020002220000022000000()cos()()1(|,)exp [()cos()]1exp [()2()cos()cos ()]12exp [()()cos()2TTTTTT x t A t n t f x A F x t A t dt N F x t dt x t A t dt At dt N A A T F x t dt x t t dt N N N ωθθωθωθωθωθ=++⎧⎫=⋅--+⎨⎬⎩⎭⎧⎫=⋅--+++⎨⎬⎩⎭⎧⎫=⋅-++-⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为1(),022f θθππ=≤≤ 所以202200000(|)(|,)()12exp{}exp [()()2Tf x A f x A f d A TAq F x t dt I N N N πθθθ=⎧⎫=⋅--⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 其中22200002200000()sin ()cos 12ln (|)ln ()ln ()2T TT q x t tdt x t tdt A T Aqf x A F x t dt I N N N ωω⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎰⎰⎰令000ln (|)20()0f x A AT AqI A N A N ∂∂=⇒-++∂∂ （1）假设SNR,即02Aq N 足够大，则00022()Aq AqI N N ≈0022ˆ(1)0MLAT q q A N N T⇒-+=⇒=由2220000()sin ()cos T Tq x t tdt x t tdt ωω⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰知22202221()exp(())()242T T TqA T qATf q q I σσσ=-+所以222323240001()2T T qq x x q T q E qf q dq AT e dq e AT x e dx AT σσσ=-+∞+∞+∞-⎛⎫−−−→ ⎪==←−−− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 所以221ˆ()()2MLE A E q AT A T T ==⋅= （无偏估计） 200024ˆvar(),var()44T ML N T N T N q A T T σ====5-11. 假定已知信号112()cos cos 2...cos p s t a t a t a p t ωωω=+++212()sin sin 2...sin p s t b t b t b p tωωω=+++观测信号12()()()()x t s t s t n t =++，()n t 是均值为0、均方差为1的高斯白噪声。

信号检测与估计理论(复习题解)

H1)

s2 1k

s1k s0k
k 1
k 1
第3章信号状态的统计检测理论例题解答
Var(l |1H1) Var(l | H
)

E
N

k 1
nk
s1k

N k 1
nk
s0k
2

N
2
2
s n
1k
k1

N
s2 0k k 1
信号检测与估计理论
内容提要例题解答
第1章信号检测与估计概论信号的随机性及其统计处理方法。
内容提要
第1章信号检测与估计概论
略
例题解答
第2章信号检测与估计理论的基础知识内容提要
一. 离散随机信号
1. 概率密度函数p(x)及特性：非负,全域积分等于1,落入[a,b]间的概率。
2. 统计平均量：均值,方差。
解：似然函数为
p(x
|
H0
)

1
2
2 n
N

2
exp
N

k 1
( xk
s0k
2
2 n
)2

p(x
|
H1)

1
2
2 n
N

2
exp
N

k 1
(xk s1k
2
2 n
)2

第3章信号状态的统计检测理论例题解答
其中,观测噪声n服从对称三角分布,如图3.1(a)所示。
若似然比检测门限 1,求最佳判决式,图示判决域,计算P(H1 | H0 )。

信号检测估计理论与识别技术习题参考答案

2-1 1[()]2E x t =，1212(,)3X t t R t t = 2-2 略。

2-3111[()]sin cos 333E x t t t=++12112212121111111(,)sin cos sin cos sin()cos()9999999X R t t t t t t t t t t =+++++++-2-4 [()]0E X t =，20(,)cos R t t w τστ+=2-5 [()]0E X t =，20(,)cos 2a R t t w ττ+= 2-6 略。

2-7 [()]0E X t =，10(,)200R t t τττ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩2-8 1210()()()2cos(10)(21)X X X R R R eτττττ-=+=++，2[()](0)5X E X t R ==，2(0)2X X R σ==2-9 11()()cos 22jw jw X X o G w R e d w e d τττττ∞∞---∞-∞==⎰⎰00()()()22X P w w w w w ππδδ=-++2-10 00()(()())2Y X X aG w G w w G w w =-++2-11 ())()X R u ττ=+-3-1 二元信号统计检测的贝叶斯平均代价C 为110000000100100110111111()()=()()()() ()()()()ij i i j j i C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H ===+++∑∑ 利用01()1()P H P H =-1101()1()P H H P H H =- 0010()1()P H H P H H =-得平均代价C 为[][]0011010110011011110100101110111000111011000101()1()1()() ()()()1() ()() ()()()()()()C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c c c P H H P H c c c c P H H c c P H H =-⎡-⎤+-+⎣⎦+⎡-⎤⎣⎦=+-+⎡-+---⎤⎣⎦3-2 1）由于各假设j H 的先验概率()(0,1,2)j P H j =相等，所以采用最大似然准则。

信号检测与估计作业第一二三八章答案

时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30 地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。

请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。

1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。

信号存在的先验概率P ＝0.2。

试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。

解：根据式（1-15），可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln 88.822βσ=+Λ=+= 根据式（1-21）可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而2121(1)(|)exp[]22x p x H σπσ-=- 2021(|)exp[]22x p x H σπσ=-所以201121(1)(|)(|)exp[]22D D x P D H p x H dx dx σπσ-==-⎰⎰221(1)e x p []22x dx βσπσ-∞-=-⎰＝17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理11210021(|)(|)exp[]22D D x P D H p x Hdx dx σπσ==-⎰⎰221e x p ()22x dx βσπσ∞=-⎰8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1．2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为的正态分布。

《信号检测与估计》第二章习题解答

E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率

信号检测与估计理论

x~N (μx,Cx),互不相关等计价独 , 独于立立相同互分统布概率密度函数。
第2章信号检测与估计理论的基础知识内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性的函变数。换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的样概本率函数描述。
平均似然广比义检似验然 ,比-检皮验尔和逊奈检曼验的基
和方法。
第3章信号状态的统计检测理论例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中观,测n噪服声从对称三如3 角图 .1(a)分所布。示,
若似然 1 ,求比最检图佳测示判门计判 P ( 决 H 限算 1|H 0 决 )。式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知参随量机；信随号机参量信性号描的述统
第2章信号检测与估计理论的基础知识例题解答
例 2.1设离散x随服机从信对号称其三概角率分密布度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章信号状态的统计检测理论内容提要
一.信号状态统计检测的理基论本概念
信号状态观的测假信设号 , 的数概合 ,率理密判判度决决函,结果与判决概最率佳 , 判决的概。念
二.二元信号状态统计的检三测个准则
贝叶斯最检小测平准均则准错 , 奈则误曼 , 皮概尔率逊检测准则的概检念验、判似决然为式比最、简化判简决能式

《信号检测与估计》第三章习题解答

解：由题意可得
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2

信号检测与估计作业4

nnms ms ms 信号检测与估计第四章1. 设观测矢量xasn ，其中a 为未知参量，噪声矢量n ~N (0,2 I)，s 为已知矢量，假定a 与n 相互独立，如果a 在[b,c]上均匀分布，即1 p ( a),acb[b,c]试求未知参量a 的最大后验概率估计(a ˆmap )和最小均方误差估计(a ˆ )。

2. 如果a 的分布变为1 1 1 p ( a)(a 1)( a)(a 1)333其它条件同习题 1，试求未知参量a 的最大后验概率估计(a ˆmap )和最小均方误差估计(a ˆ )。

3. 如果a 是均值为m ，方差为2的高斯分布，即a ~ N(m,2)，其它条件同习题1，试求未知参量a 的线性最小均方误差估计(a ˆl ms )，最大后验概率估计(a ˆmap和最小均方误差估计(a ˆ )。

4. 设观测矢量xasn ，其中a 为未知参量，噪声矢量n~N(0,2I)，s 为已知矢量，求未知参量a 的最小二乘估计（a ˆL S ）和最大似然估计（a ˆm l ）。

5. 设观测矢量x asn ，其中a 为未知参量，噪声矢量n ~ N ( 0 , R ) ，s 为已知矢量，求未知参量a 的最小二乘估计（aˆL S ）,加权最小二乘估计（a ˆWLS ）和最大似然估计（a ˆm l ）。

)nn 2 ) TTT T 2 T)第 1题解：由题意，以a 为条件的观测矢量x( x , x,, x )T 的条件概率密度为12Np ( x |a ) ；而且对于某一个a ，则x ~ N(as,量。

所以2I )，其中s (s 1,s 2, ,s N )T 为已知矢p(x|a)1exp{1(x as)T (2 I )1 (x as)}(2 )N /2| 2I|1/22 n(1-1)1 1exp{ (x as)T (xas)}(2nN/22 n而随机参量的概率密度函数为p(a)1,a [b,c] (1-2)c b为了求得后验概率p ( a |x )，利用p ( a |x)p ( x |a ) p( a)p(x)(1-3)因为p ( a|x ) 是给定了x 后，a 的条件概率密度函数，所以对于p ( a |x ) 而言，p( x) 相当于使p ( a |x)da1(1-4)的归一化因子，所以p ( a |x)1 p ( x ) (21N /2n1 e xp{(x 2na s ) (x1 a s )}c b1p(x) 1c b (2 1N /2n1 e xp{(x 2 na s ) (xa s )}(1-5)K (x)exp{1 T( xx2n1 Ta s xTa x s2 Ta s s )}上式中，K (x)exp{( xx2n2 a s xa s s )}K(x)111(1-6)是一个与a 无关项。

信号检测及估计试题-答案（不完整版）

信号检测及估计试题-答案（不完整版）一、概念：1. 匹配滤波器。

概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。

应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。

在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。

2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。

该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。

A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。

W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。

他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。

假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。

信号检测与估计简答题集

一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。

答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。

从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。

2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。

答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。

信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。

3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。

答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。

与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。

加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。

三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。

答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。

匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。

2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。

答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。

由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。

从而起到加强信号，抑制噪声的作用。

对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。

信号检测与估计作业参考(电子科大)

信号检测与估计

UESTC 何子述
T
12
例：雷达目标探测中，
s(t ) = A(t − τ ) cos [ 2π (f 0 +f d )(t − τ ) + φ ]
τ :目标距离
f d:多普勒频率（目标径向速度）电子侦察中：信号源的方向、信号频率
对参数进行连续的估计，称为跟踪（tracking）
UESTC 何子述
so (t ) = s1 (t ) ∗ β (t )
（如多径效应）
冲激响应 β (t )是随机过程
UESTC 何子述
3
• 本课程仅研究加性噪声中的检测与估计。 • 对乘性噪声的研究采取取对数的方法； • 对卷积噪声取付氏变换再取对数。即都可以转换为对加性噪声的研究
UESTC 何子述
4
2、加性噪声中的信号类别
UESTC 何子述
异步数字通信中常遇到！
6
雷达回波信号
s (t ) = A(t ) cos[ωo (t − τ ) + φ )]
A(t), τ , φ （3）噪声中的随机信号：随机参数
x(t ) = s (t ) + v(t )
随机信号（随机过程）电子侦察中侦收的信号、地震信号监测、天文观测信号、被动雷达信号、声纳信号等等！
信号检测与估计 Signal Detection and Estimation
何子述，孔令讲
UESTC 何子述
1
1、信号传输的基本结构
I (t ) 或s1 (t)
接收信号：x(t ) = s (t ) + v(t )
加性噪声
UESTC 何子述 2
乘性噪声：信号在传输过程中幅度发生了变化。 so (t ) = α (t ) s1 (t ) α (t )是随机变化的（如移动通信中的衰落信道）；卷积噪声：

2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)

习题1.考虑如下检测问题,其假设是
设上均匀分布，是功率谱密度为的高斯白噪声,并设所有其他参数都已知.试分析似然比接收机的形式,并求检测概率及虚警概率的表达式.
解：该题目与教材“6.2.1随机相位非相干脉冲串信号的检测”基本一致，按照教材介绍，可写出判决规则（见式6.28和式6.29），可画出接收机的形式，见图6.3。
输入信号的能量为
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点，按照可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
答:可从几种不同的角度回答问题
1)从锁相环的推衍过程来看，
锁相环中相乘器的输出为
式子中包含高频成分。
经过积分器后，其输出为
当足够大时，第二项近似为0，所以
可见，积分器的输出基本不包括高频成分，或者说积分器对输入信号起了平滑作用（滤除了高频成分），因此积分器又称为低通滤波器或平滑滤波器。
2）从R、C积分电路的原理或波形图上也可以回答本题。
（b）不论是否有条件，
都可选作为检验统计量。
当时，由于
所以判决规则为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，则称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，则称之为随机相位非相干脉冲串信号。

信号检测与估计理论第一章习题讲解

信号检测与估计理论第一章习题讲解1-9已知随机变量某的分布函数为0F某(某)k某21,某0,0某1,某1求：①系数k；②某落在区间(0.3,0.7)内的概率；③随机变量某的概率密度。

解：第①问利用F某(某)右连续的性质k＝1第②问P0.3某0.7PF0.7F00.某3.3某.70.7P0dF某(某)2某第③问f某(某)d某00某1ele1-10已知随机变量某的概率密度为f某(某)ke普拉斯分布），求：某(某)（拉①系数k②某落在区间(0,1)内的概率③随机变量某的分布函数解：第①问f某某1d某11k2F2某F1某某1第②问P某2某某2f某d某随机变量某落在区间(某1,某2]的概率P{某1某某2}就是曲线yf某下的曲边梯形的面积。

P0某1P0某1f某d某0111e12第③问1某e2f某1e某2某0某0F某某f(某)d某1某某0e21某某01e2某0某1某ed某201e某d某某1e某d某022某01-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？(0-1)分布n,p0,np=二项分布泊松分布n成立,p，q0不成立高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率P(k2)1Pk0Pk10.1P(k2)11.1e答案P某k＝n=1实际计算中，只需满足n10kek!p0.1，二项分布就趋近于泊松分布＝np1-12已知随机变量(某,Y)的概率密度为(3某4y)kef某Y(某,y)0,某0,y0,其它求：①系数k？②(某,Y)的分布函数？③P{0某1,0某2}？第③问方法一：联合分布函数F某Y(某,y)性质：若任意四个实数a,a,b,b，满足1212a1a2,b1b2，则P{a1某a2,b1Yb2}F某Y(a2,b2)F某Y(a1,b1)F某Y(a1,b2)F某Y(a2,b1)P{0某1,0Y2}F某Y(1,2)F某Y(0,0)F某Y(1,0)F某Y(0,2)方法二：利用P{(某,y)D}f某Yu,vdudvD20P{0某1,0Y2}0f某Y某,yd某dy11-13已知随机变量(某,Y)的概率密度为1,0某1,y某f(某,y)0,其它①求条件概率密度f某(某|y)和fY(y|某)？②判断某和Y是否独立？给出理由。

《信号检测与估计》第九章习题解答

《信号检测与估计》第九章习题解答9.1 接收信号(((t n t A t x ++=θω0sin ,其中(t n 是高斯白噪声,θ在(π20,均匀分布,现在需求振幅A 的最大似然估计量。

由于θ的先验知识已知,故可先对θ求平均得到(A x f ,试问要求振幅A 的最大似然估计量必须解什么样的方程? 解:接收信号(t x 的似然函数为((([]((((((((⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−−+++−−+−−∫∫∫∫∫===T TT TTdt t A dt t t x A dt t x N dtt A t t Ax t xN dtt A t x N FeFeFeA x f 0002200200022020200sin sin 21sin sin 21sin 1,θωθωθωθωθωθ由于(((∫=+−=∫+TTT dt t dt t 0000222cos 121sin θωθω,得到 ((((020000202sin 21,N TA dt t t x N A dtt x N e eFeA x f T T−+−∫∫=θωθ对θ积分,得到(((((((((θπθπθθθπθωθωπθωπd eeFed e e Fed f A x f A x f dt t t t x N A N T A dt t x N dt t t x N A N T A dt t x N T TTT∫∫∫∫∫∫∫+−−+−−===20cos cos sin sin 22120sin 221 2000000202000020202121,令(ϕωcos cos 00z dt t t x x Tc ==∫,(ϕωsin sin 00z dt t t x x T s ==∫,得到222s cx x z +=,csx x arctg =ϕ (((((⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====∫∫∫∫∫−+++0020cos 220cos cos sin sin 220cos sin 220 cos cos sin sin 22212121210 000N Az I d ed ed e d eN Azz z N Ax x N Adt t t t x N A c s Tθπθπθπθππϕθπθϕθϕπθθπθωθω 上式中,[](cos exp 21020x I d x =∫πθθπ为零阶修正贝塞尔函数。

2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)

第二章随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。

解：变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。

解：反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。

求)(t X 的均值和自相关函数。

7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。

8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。

解：可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。

但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。

信号检测与估计第一章课后答案

22]exp[22228.8)])R pp101022]p x x H ss 22]1x x s +似然函数为221/22()(|)(2/2)exp[]2/2x k x k m a P m H ps s --= （k=1，0）虚警概率100(|)(|)[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥==ò漏报概率0111(|)1(|)1[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥-=-=-ò平均风险011001Pr (|)(|)f m R Qr Qc P D H Pc P D H =+=+=1[]{1[]}/2/2f m Qc erfc Pc erfc b b s s -+-其中b 为（1）式确定1.3只用一次观测x 来对下面两个假设作选择，0H ：样本x 为零均值、方差20s 的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差21s 的高斯变量，且21s >20s 。

根据观测结果x ，确定判决区域0D 和1D 。

画出似然比接收机框图。

1H 为真而选择了0H 的概率如何？解：（1）似然函数221(|)exp()2*2k k kx P x H s s p -= （k=1，0）似然比2100220101(|)111exp[()](|)2P x H x P x H s s s s =-³L 判为1H 化简得2220101221002ln 0x s s sb s s s L³=>- （21s >20s ）判为1H得 1:||D x b ³ 0:||D x b <0L 根据选取准则而定21exp()2bbbbs s p(2s p12s p 222lns ps=b ||1x b > |1b £则||x—bx ³0 判为1H<0 判为0H1001(|)(|)2P D H P x H dx dx bbbbb a --====òò所以得判决区域为1:||||1D x x a £> 0:||1D x a <£1.7 1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断1H ：()1()x t n t =+0H ：()()x t n t =设n （t ）为零均值和功率为2s 的高斯过程，且00111001,1c c c c ===。

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7.设有状态连续、时间离散的随机过程，式中只能取正整数，即，而为在区间上均匀分布的随机变量，试讨论的平稳性。
8.平稳随机过程的自相关函数为，求均值、二阶原点矩和方差。
解：可按公式求解பைடு நூலகம்。
但在求解周期性分量时，不能得出，为此把自相关函数分成两部分：
由于的对应的随机过程为
所以
而对于，有，即
要点：
答：略
2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为，再设代价因子。信号存在的先验概率。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。
计算得出
结果：
答：略
3、只用一次观察值对下面两个假设作出选择，样本是均值为零、方差为的高斯变量；样本是均值为零、方差为的高斯变量，且。试用最大似然函数准则回答下述问题：
解：由于
按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则
可得
这里
选用最大后验概率准则时
接收机的结构为
下面考虑平均错误概率
令检验统计量为
判决规则为
两种错误概率为
平均错误概率为
由于
定义两信号的平均能量为，
两信号的时间相关系数为
有
故两种假设下检验统计量的条件概率密度为
所以
同理
所以可得
7.设矩形包络的单个脉冲信号为
其中为矩形函数，即
信号的波形如图4.14所示。（1）求信号的匹配滤波器的系统传输函数和单位冲激响应。（2）若匹配滤波器输入噪声是均值为0、功率谱密度为的白噪声，求匹配滤波器输出信噪比。
解：（1）信号的频谱函数
白噪声下匹配滤波器的系统函数为
匹配滤波器的单位冲激响应为
（2）匹配滤波器的输出信噪比
适用场合:简单假设检验是解决单个确知信号的存在问题，而复合假设检验则是解决依赖于一组未知参量或随机参量的信号存在问题。
第二章随机信号及其统计描述
1．求在实数区间内均匀分布的随机变量均值和方差。
解：变量的概率密度
均值
方差
2．设是具有概率密度函数的随机变量，令的函数为
试求随机变量的概率密度函数。
解：反函数
雅可比式为
所以
4.随机过程为
式中，是常数，和是两个互相独立的高斯随机变量，而且，。求的均值和自相关函数。
输入信号的能量为
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点，按照可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
答：在概率密度函数中含有未知参量的假设，称为复合假设。而在概率密度函数中不含有未知参量的假设，称为简单假设。
例如：如果
其中是含有未知参量或随机参量的信号，而是确知信号，是加性噪声。
这样假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为，涉及到参量；
而假设下的条件概率密度函数(即条件似然函数)为，不涉及任何未知参量，所以是复合假设，是简单假设。
得到
又由于是正态分布的，且
所以有
于是
即
而判决门限
（2）检测概率
或者
要点：（1）
（2）
7、设观察信号在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。
式中贝叶斯门限
附：高斯误差函数表
第四章确知信号检测
2题、5题、7题
4.2现有两个假设
其中均为确知常数，是功率谱密度为的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。
解:根据题意得
按照极大-极小方程:
代入 ,得到
另一方面，由于
得到判决规则为
再令，于是有
按照，得到
所以有即
考虑到
而
从而解得，
6、假定两个假设分别为
其中的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M个独立样本，采用奈曼—皮尔逊准则进行检验。令，试求
（1）判决门限；
（2）相应的检测概率。
解：（1）由题意得
（1）根据观察量值，确定判决域和。
（2）画出似然比接收机的框图。
（3）求两类错误概率和的表达式。
解：（1）由题意得
采用最大似然函数准则，，
似然比与判决规则为
判决域为，
(2)接收机结构：
（3）两类错误概率
要点：（1）（2）见图
（3）
4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断
其中是均值为零、方差为的高斯过程，且。试求判决门限以及与之对应的两种假设的先验概率。
所以
可理解为
从而有， =4
因此的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.若随机过程的自相关函数为，求的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.已知平稳随机过程具有如下功率谱密度
求的相关函数及平均功率。
解：
而自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换，
求滤波器的输出功率谱密度；
2）当滤波器的单位冲激响应为
求滤波器的输出功率谱密度。
解：
1）滤波器的输出功率谱密度
2）滤波器的输出功率谱密度
第三章经典检测理论
1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V和0V的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。
所以有
总功率为
平均功率为
随机过程通过线性是不变系统的习题
1、设白噪声的相关函数为，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放大器输出的总噪声功率。
解:由于，所以其功率谱
线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为
总噪声功率为
2、零均值平稳随机过程加到一线性滤波器，
1）当滤波器的单位冲激响应为
解：令
则接收信号的似然函数
似然比
由于
假定门限值为，则有
所以判决规则（似然比接收机）为：
还应当求出不等式右端的积分值.
4.5二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为
假设两种信号是等概发送的，并且为确知常数，是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试用最小总错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。
简单假设和复合假设的区别是，简单假设中的有用信号是确知信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数只是观察数据的函数；而复合假设中的有用信号是含有位置参量或随机参量的信号，在给定噪声统计特性后，其似然函数既是观察数据的函数，又与信号中的未知参量或随机参量有关，需要通过统计平均的办法来消除参量对似然函数（甚至似然比）的影响。