大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
通俗的解释大数定律
通俗的解释大数定律
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
偶然中包含着某种必然。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
来源
最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现。
因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin （“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。
大数定律
,
X
2 2
,,
X
n
2
,也是相互独立的，
由 E( Xk ) 0, 得 E( Xk2 ) D( Xk ) [E( Xk )]2 2 ,
由辛钦定理知
对于任意正数 ,
有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
2
2
1.
四、小结
契比雪夫定理的特殊情况
三个大数定理
伯努利大数定理
辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
{ Xn a Yn b }
Xn
a
2
Yn
b
2
,
因此 P{ g( Xn, Yn ) g(a,b) }
P
X
n
a
2
P
Yn
b
2
n 0,
故
lim
n
P{
g(
Xn,
0,
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？
Xn2
P
(na )2 1 2n2
0
1
1 n2
(na )2 1 2n2
E
(
X
2 n
)
2(
na
)2
1 2n2
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
大 数 定 律
5
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 定理5.1.1 设 X1, X2, …, Xn…是相互独立的随机变量序列, 具有 数学期望 E( Xn ) , 且存在常数C, 使得方差 D(Xn)<C (n = 1, 2, …), 则随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 服从大数定律,
n
令Yn Xk , 即 k 1
概率论与数理统计
❖ 前言
➢ 在第一章学习概率的概念时，我们已经提出了在随机试 验的大量重复试验中，某一随机事件出现的频率总是稳 定于某一数值就是概率. 也就是说，大量的随机现象往 往呈现几乎必然的规律，其平均结果具有稳定性，这个 规律就是大数定律.
概率论与数理统计
2
❖ 1.基本概念 首先介绍两个常用概念.
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 推论5.1.1表明, 当n充分大时，独立同分布的随机变量序
列的算术平均值
1 n
n i 1
Xi
接近于数学期望 E(Xi) = , 也就
是说n个相互独立同分布随机变量的算术平均值, 当n无
限增大时, 几乎变成了一个常数. 这一结论从理论上说明
了大量观测值的算术平均具有稳定性, 为实际应用提供
概率论与数理统计
12
❖ 2.大数定律 辛钦大数定律
➢ 定理5.1.3 设随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 独立同分布, 具有
有限的数学期 E(Xk) = , 则对任给 >0, 有
➢ 证明从略.
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
➢ 辛钦大数定律表明, 当要测量一个物理量的精确值 时, 若在 相同条件下重复测量n次, 用其算术平均值作为精确值 的近
大数定律
应用案例3
例4.2.3
若设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序 列,且Xn 仅与Xn-1和Xn+1相关,而与其他的Xi 不相关. 则 {Xn}服从大数定律.
辛钦大数定律
定理4.2.4
若随机变量序列{Xn}独立同分 布，且Xn的数学期望存在。 则 {Xn}服从大数定律.
辛钦
应用案例4
例4.2.4 (用平均值法计算定积分)
4.2.2
常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
1 lim P n n
n
Xi
1
i 1
n
n
i 1
E(X i) 1
则称{Xn} 服从大数定律.
lim P n n
1
n
Xi
i 1
n
n
E(X i)
1
i 1
1 若记 X i 0
第i次试验中事件A出现 第i次试验中事件A不出现
则 n X i
i 1
n
n
n
1
X n
i 1
n
i
p
1
P A n E X n
i i 1 i 1
n
1
n
1 n 1 n 定理1 的结论可写成lim P X i E X i 1 n i 1 n n i 1
§4.2 大数定律
一个随机变量X的取值随着试验结果的变 化而变化,但其取值的平均值大小E(X)是一个 确定的数.从概率论的角度,利用X的分布可求 得E(X).但若X的分布未知时,如何确定E(X)? 大数定律提供了此种情形下的确定E(X)的理 论依据.
13 大数定律
由契比晓夫不等式可以看出，若 2越
证： P{| X E ( X ) | }
| x E ( X )|
f ( x)dx
2
则
[ x E ( X )] f ( x)dx 2 2 D( X ) 2 2 P{| X E ( X ) | } 1 P{| X E ( X ) | }
切比雪夫
契比晓夫大数定律表明，独立随机变量序 列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 契比晓夫大数定律给出了
1 n 1 平均值稳定性的科学描述 与其数学期望 E ( X i )偏差很小的 Xi n i 1 n i 1
n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
Hale Waihona Puke 1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
定理2（契比晓夫大数定律-推广）
设 X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
1 n 1 n lim P{| X i E ( X i ) | } 1 n n i 1 n i 1
下面给出的贝努里大数定律， 是定理1的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
n
则 EX i p, D( X i ) p(1 p), S n X i
大数定律
P
n n np pq npq
n pq
n 1 pq
n pq
n 2 pq
用这个关系式可解决许多计算问题。
第一类问题是 已知n, p, ，求概率
1 2
e
x
t2 2
dt ( x ).
证明：由二项分布和0－1分布的关系知 n
X
k 1
n
k
,
其中 X 1 , , X n 相互独立且都服从于0－1分布，且
EX k p，DX k pq
由定理1有结论成立。
lim P{
n
X
k 1
n
k
n x}
1 2
课本 例3
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
作业： P154 第8题
若对任意
n
0，有
lim P {| Yn a | } 1, 或 lim P{| Yn a | } 0, n
则称Y1 ,, Yn ,依概率收敛于 , 记为 a
Yn P a .
依概率收敛的性质
Yn P b. 若 Xn a，
P
函数g( x, y )在点(a, b)连续，
1 即 I N
g(r ) I
n n1
N
1 N 原理是什么呢？ I g (rn ) I N n1 设X~U(0, 1) 1, 0 x 1 X ~ f ( x) 0, 其它
大 数 定 律
则称随机变量序列 { X n }服从大数定律 .
二、基本定理
契比雪夫大数定理） 定理 （契比雪夫大数定理）
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D( X 1 ) ≤ C , D( X 2 ) ≤ C , ⋯ , D( X n ) ≤ C , ⋯ , 则对于任意正数 ε 有
n n
ε
i =1 2
C , ≤ 2 nε
在上式中令
n → ∞ ，则
[证毕 证毕] 证毕
1 n 1 n P ∑ X i − ∑ E( X i ) ≥ ε → 0. n i =1 n i =1
注:
当 n 很大时 , 随机变量 X1 , X 2 ,⋯ , X n 的算术平 1 n 均 ∑ X i 接近于它们的数学期望 的算术平均 n i =1 1 n 值 ∑ E( X i ) . n i =1 这个接近是概率意义下的接近） （这个接近是概率意义下的接近）
n →∞
则称序列 Y1 , Y2 ,⋯ , Yn依概率收敛于Y , 记为 Yn P Y →
定理的另一种叙述: 定理的另一种叙述
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D ( X 1 ) ≤ C , D ( X 2 ) ≤ C ,⋯ , D ( X n ) ≤ C ,⋯ , 则
证明
引入随机变量
, 0, 若在第k次试验中A不发生 Xk = , 1, 若在第k次试验中A发生 k = 1,2,⋯.
显然
µ A = X1 + X 2 + ⋯ + X n
是相互独立的， 因为 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 − 1) 分布,
大数定律公式了解大数定律的数学表达式
大数定律公式了解大数定律的数学表达式大数定律是由概率论中的大数定理推导而来的数学定律。
它的核心思想是指当独立随机事件重复多次时，随着试验次数的增加，事件发生频率趋于某个常数的概率趋近于1。
大数定律的数学表达式有多种形式，下面将介绍其中两种常用表达式：大数定律之弱大数定律和大数定律之强大数定律。
1. 弱大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的弱大数定律表达式，对于任意正数ε，有：lim (n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| < ε) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ的差异小于任意给定的正数ε的概率趋近于1。
2. 强大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的强大数定律表达式，有：P(lim (n→∞) (X1+X2+...+Xn)/n = μ) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ完全相等的概率趋近于1。
弱大数定律告诉我们，随着实验次数的增加，样本均值与总体均值的差异会越来越小，但并不能保证它们完全相等。
而强大数定律则告诉我们，当实验次数足够多时，样本均值将会无限接近于总体均值。
大数定律是概率论中的重要定理，广泛应用于统计学、金融学、经济学等领域。
它帮助我们理解了随机现象的规律性，为科学实验和统计分析提供了依据。
总结起来，大数定律的数学表达式包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律表达了样本均值与总体均值的差异在无限实验中趋近于0的概率趋近于1，而强大数定律表达了样本均值与总体均值完全相等的概率趋近于1。
这些公式的推导和证明都是基于概率论的数学推理，通过它们的应用，我们可以更好地理解随机过程中的规律性。
大数定律名词解释
大数定律名词解释1.引言1.1 概述大数定律是概率论中重要的理论之一，它描述了在独立随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐趋向于事件的概率。
大数定律的研究起源于人们对随机现象的好奇和需求，它的提出为人们理解和应用概率论提供了重要的理论支持。
大数定律从数学上解释了随机现象中的一种规律性趋势，它告诉我们，当试验次数足够多时，事件的频率将接近事件的概率。
这意味着，通过多次重复试验，人们可以通过观察事件发生的频率来推断事件的概率。
大数定律的研究对于统计学、经济学、物理学等各个领域都具有重要的应用价值。
在统计学中，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们可以通过对样本数据进行观察和分析，进而对总体的特征进行合理的推断。
在经济学中，大数定律被广泛应用于市场研究、风险评估等领域，帮助人们分析和预测经济现象的发展趋势。
在物理学中，大数定律对于描述微观粒子的运动规律以及热力学等方面有着重要的意义。
通过研究和应用大数定律，人们可以更好地理解和分析随机现象，从而提高决策的准确性和科学性。
然而，需要注意的是，在实际应用中，大数定律的有效性还需要考虑其他因素的影响，如样本的大小、样本的选取方式等。
因此，对于大数定律的研究和应用，我们需要持续不断地深入探索和总结经验，以提高其应用的可靠性和准确性。
1.2文章结构文章结构文章是由多个部分组成的，每个部分有其独特的功能和作用。
在本篇文章中，我们将遵循以下结构来组织内容：1. 引言：在引言部分，我们将对大数定律进行简要介绍和概述。
我们将说明本文的目的以及为什么大数定律是一个重要的主题。
2. 正文：正文部分将分为两个子部分。
2.1 大数定律的定义和背景：在这一部分，我们将详细介绍大数定律的定义以及相关的背景知识。
我们将探讨大数定律是如何描述随机现象中的规律性，并介绍大数定律的数学表达式和推导过程。
2.2 大数定律的应用和意义：在这一部分，我们将讨论大数定律在实际应用中的意义和重要性。
大数定律
试验中事件A出现的次数, 则对任意的 ε 0, 都有 μn 1 n lim P pk ε 0 n n n k 1 证 令
0, 第k次试验中 A不发生 k 1, 2,, n X k＝ 1, 第k次试验中 A发生
n
lim P{| Yn Y | } 1 lim P{| Yn Y | } 0
或
n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛与随机变量Y， 简记为
Yn Y
P
Y 依概率收敛表示： n 与 Y 的绝对误差小于任意小 的正数 的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈 大，直至趋于1. P C 定理4.1 设 {Yn } 为一随机变量序列， Yn 且 g() 在点C处连续，则有 (常数)，又函数
第一节 大数定律
一、问题的提出 二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的四种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性. 贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为贝努里大数定律.
大数定律的客观背景 在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
因为
2 Xn
0 1 1 2 n
na 2
检验是否 有有限方 差
1 P n2 2 na 2 1 a 2 所以 E X n n2
2 D X n E X n E X n 2 a 2
总结大数定律
总结大数定律什么是大数定律？大数定律（Law of large numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件的频率趋于概率的稳定性。
在数学和统计学中，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其概率。
换句话说，大数定律说明了当样本容量变得很大时，样本均值会趋于总体均值。
大数定律是概率论和统计学的基础之一，它对于理解随机现象的规律性和稳定性有着重要意义。
大数定律常常被应用于统计推断、贝叶斯统计、概率模型等领域。
大数定律的类型1.大数定律的弱形式大数定律的弱形式有很多种，其中最常见的是切比雪夫大数定律和伯努利大数定律。
这些弱形式的大数定律是基于概率的，它们说明了在某些条件下，随着试验次数的增加，随机变量的样本均值将趋于总体均值。
2.大数定律的强形式大数定律的强形式是指在一些更加严格的条件下，随机变量的样本均值几乎必然趋于总体均值。
强形式的大数定律用更强的收敛方式描述了随机变量的收敛性。
大数定律的应用大数定律在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.投资理论大数定律在投资领域有重要的应用。
投资者可以借助大数定律来制定投资策略和决策。
例如，投资者可以通过大数定律来计算股票的预期收益率，评估风险水平，并根据这些指标进行投资决策。
2.保险精算在保险精算领域，大数定律被广泛应用于估计风险损失、确定保费、评估投保人的风险水平等。
保险公司可以通过大数定律来合理定价，确保保险公司的盈利和偿付能力。
3.品质控制大数定律在品质控制领域也有重要的应用。
生产过程中的随机变量可以通过大数定律来评估产品的质量。
通过对大量样本进行抽样和测试，可以得到生产过程的平均质量水平，并进行相应的调整和改进。
4.统计推断在统计学中，大数定律被广泛用于统计推断。
通过大数定律，我们可以使用样本数据来进行总体参数的估计。
例如，通过抽样一部分数据来估计总体的均值、方差等。
大数定律的局限性尽管大数定律在许多领域中有着重要的应用，但它也有一些局限性：1.样本容量限制大数定律要求样本容量足够大才能有效。
三个大数定律的区别与联系
大数定律是概率论中的一类重要定理，描述了随机变量序列的算术平均值在一定条件下向其数学期望收敛的性质。
通常提到的大数定律有三种主要类型：弱大数定律、强大数定律和伯努利大数定律。
这三种大数定律的区别与联系如下：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）：-也称为“依概率收敛”(convergence in probability)。
-声明对于任意给定的正数ε，当样本数量趋于无穷时，随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的差距小于ε的概率趋近于1。
-这意味着当我们取样足够多时，算术平均值几乎总是在真实均值附近。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）：-也称为“几乎确定收敛”(almost sure convergence)或“以概率为1收敛”、“几乎处处收敛”。
-强调的是随着样本数量趋于无穷，算术平均值等于真实均值的事件发生的概率为1。
-这比弱大数定律更强，因为它表明了在无限次重复试验下，算术平均值收敛到真实均值几乎是必然的。
3. 伯努利大数定律（Bernoulli's Law of Large Numbers）：-是最早的大数定律，由雅各布·伯努利提出。
-描述了一组独立同分布的伯努利实验在大量重复后，成功次数的比例接近于成功的先验概率。
三者的关系在于它们都涉及到随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的关系，但强度不同。
弱大数定律是最弱的形式，它只保证了算术平均值以某种概率接近真实均值；强大数定律则更强，它保证了在几乎所有可能的实验结果中，算术平均值会收敛到真实均值；而伯努利大数定律是一个特例，针对的是特定类型的随机变量序列。
大数定律公式
大数定律公式
大数定律公式为g=log*vn。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
大数定律概述
大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。
伯努利大数定律公式：
伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。
基本内容
设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。
（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有成立。
即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。
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np(1-p)
np(1-p)
这是一个十分有用的近似计算二项分布B(n,p)的概率公式 例3设有一批种子，其中良好占1/5，现从中任取5000粒， 求在该5000粒中良种数X介于940粒与1060之间的概率． 解： 5000次抽取，每次取一粒．
近似看成重复独立试验． X～B(5000,0.2)，于是
P(940 X 1060) (2.12) (-2.12) 1.966 1 0.966
它们不必服从同分布， 只要每个随机变量
对总和都只起“微小的作用”， 便近似服从正态分布
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
推论：设随机变量Xn服从参数为 n , p (0<p<1) 的二项分布,
即X n ~ B(n, p).
当 n 充分大时有：
P{a
n
b}
P{a
np npq
Xi～B(1,p)
X1,X2,…,Xn…是独立同分布的 E(Xi)=p D(Xi)=p(1-p)
按独立同分布中心极限定理有
lim P{
n
1 np(1
p)
n
(
i=1
Xi -np)
x}= x
nA
n 1
Xi
;
得证．
当n很大时，对
作标准化处理后的随机变量
Yn =
nA -np np(1-p)
lim P{
n
1
n
n i=1
Xi
-n
x}=
P{
1
n
n
( Xi -n)
i=1
x}
是随机变量
的分布函数，
1
x
- t2
e 2 dt
2
1
n
n
( Xi -n )
i=1
概率论与 数理统计
当n很大时，
第五章 大数定律及中心极限定理( Xi -n)
i=1
x} x
随机变量Yn =
1
n
n
( Xi -n )
i=1
近似地服从标准正态分布，
称随机变量序列Yn=
1
n
n
( Xi -n) 渐近服从标准正态分布．
i=1
SX近似服从N(n,n2)．
当n很大时，n个互相独立且服从同分布的随机变量之和近 似服从正态分布．
例1某大型商场每天接待顾客10 000人，设每位顾客的消 费额（元）服从(100,1000)上的均匀分布上，且顾客的消 费额是相互独立的．试求该商场的销售额（元）在平均销 售额上、下浮动不超20000（元）的概率．
-
1 n
n
EXi
i=1
} 1
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
改写成下列等价的表达式
lim P{ n
1 n
n i=1
Xi
-
1 n
n i=1
E
Xi
} 0
推论 设X1、X2、…、Xn…是独立同分布的随机变量序列，
各E(Xi)、D(Xi)存在，(必相等) 设为、2， 任意给定的＞0，必有
故X =ES(XX)i．=nu==E3(nX, i)D=(3X, )=12.=4D4n(XPi){=X1.442，0X0}i是独立{3n同分200布} 的0．.85
查表可得 3n-200 1.04
1.2 n
1.2 n
n=70. 152，取正整数n=71
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
二、德莫弗一拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理
定理5.5（二项分布以正态分布为极限分布）：设A是试
验E的事件，P(A)=p，并把n重独立重复试验A出现的次数
记为nA，则对于一切实数x，有 lim P( nA -np x) (x)
n
np(1-p)
证明 第i次试验中A出现的次数记为Xi,
第五章 大数定律及中心极限定理
5. 1契比雪夫（Chebyshev）不等式
设X具有数学期望E(x)=, 方差D(X)=2，
对任意>0,恒有 P{ X- } 2 / 2
或
P{ X- } 1 2 / 2
称为契比雪夫(Chebyshev）不等式． 在随机变量X的分布未知的情况下X的概率的一种估计. 例1一颗般子连续投掷4次，点数和记为X，估计P{10<X<18
且 nA X i E( X ) p D(X ) p(1 p)
i 1
由定理5.1的推论
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
p
| }
lim P{|
n
nA n
p | } 1
与下式等价
lim P{ nA -p }=0
n
n
贝努里数定律证明了 当n很大时，在n次独立重复试验中，
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第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
统计规律性是在大量重复独立试验中才呈现出的规律性
概率论中极限理论有大数定律和中心极限定理
大数定律主要研究大量的随机变量X1、…、Xn其均值SXi/n 当n→∞时的变化趋势， 及在何条件下依概率收敛的问题，
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第五章 大数定律及中心极限定理
解 设第i位顾客的消费额为Xi, 商场日销售额X， X=SXi， E(Xi)=550元，日平均销售额为E(X)= E(SXi)= 5.50×106 ,
P
D(X)=9006/12 由于X独立同分布，有
5.5 106 -20000 X 5.5 106+20000 =2(
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第五章 大数定律及中心极限定理
例4设某车间有400台同类型的机器各自独立地工作，
每一机器在开动时所需的电功率为Q瓦．因工艺的原因，
每台机器并不是连续开动的，开动的时间只占工作时间的
3/4，问应向车间提供多少电量，才能以99％的概率保证
不会因供电不足而影响生产．
解 ： 以X表示同时工作的机器台数， 有一整数N，
p
Yn
随机事件{|Yn- |＜｝几乎处处发生，
随机事件{|Yn- |≥｝发生的可能性几乎是零．
当n很大时，Yn以很大的概率接近，Yn依概率收敛于． 其统计意义 当n很大时， X1、X2、…、Xn…的平均值Yn 以很大的概率与均值E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=很接近． 二、贝努里（Bernoulli）大数定律
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
( N-300 ) 0.99 53
N-300 2.362 53
解得N>320. 46 取正整数N= 321，
只要向车间提供321千瓦电量就可以满足需要．
三、一般的中心极限定理
使SX渐近地服从正态分布的条件可以更为宽松 如果一个随机变量是大量个数的互相独立的随机变量之和
20000
)-1 0.56
100 900/ 12
例2 飞机对一目标进行袭击，每次袭击命中目标的炸弹数
是一个随机变量，且各次袭击命中目标的炸弹数目服从同
分布，期望值为3，方差2=1.44．问至少要进行多少次袭
击，才能以0.85的概率保证命中目标的炸弹数不少于200?
解 设应进行n次袭击，第i次袭击命中目标的炸弹数目为Xi，
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
5. 2大数定律
一、契比雪夫（Chebyshev）大数定律及其推论
定理5．1 设X1、X2、…、Xn…为互相独立的随机变量序列， E(X1),E(X2)… 及D(X1),D(X2)… 都存在，有一个常数C，
使得D(Xi)≤C, 对于任意给定的e>0，必有
2
n pq
1
2
n pq
1
第三类问题是已知 n , p 及，求， 先求 x 使
2 x 1 ,
有
n pq
x ,
故
x
pq . n
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第五章 大数定律及中心极限定理
例4某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使
lim P{ n
1 n
n
Xi -u
i=1
} 1
证明 X1、X2、…、Xn…满足契比雪夫大数定理条件
SE(Xi)/n=,
得证
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第五章 大数定律及中心极限定理
记Yn= SXi/n，则limP{|Yn- |＜｝=1，Yn是与n有关的数列，
称随机序列Yn依概率收敛于， 记作
用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，
问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率
保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B(n, p),
其中 n 200,p 0.05,np 10, np(1- p) 3.08.
§5.3中心极限定理
随机变量是由大量的相互独立的随机因素综合所形成的，
每个因素在总的影响中作用微小的，近似地服从正态分布．
一、列维一林德伯格（Levy-Lindberg）定理
定理5.4 （独立同分布的中心极限定理）
设随机变量Xi,相互独立，服从同一分布，数学期望E(Xi)=,
方差D(Xi)=2，存在： 则对任意实数x， 有
解: 设第i次掷般子所得点数Xi， 则X=SXi,
Xi 的概率分布p=1/6, E(Xi)=3.5,