大数定律

使P(X≤N)=99%， 则只需供电N千瓦就可以满足要求． 令Xi=1表示第i台机器工作，Xi 服从参数为0.75的0-1分布， X=SXi, 则X～B(400，0.75). P(0 X N) ( N-4000.75 ) ( 0-4000.75 ) (N-300)
4000.75(1-0.75) 4000.75(1-0.75) 5 3
A发生的频率nA/n与 A发生的概率p有大偏差的可能性很小，
当n很大时可以用频率来推断概率．
这就给出了随机事件频率稳定性和随机事件概率的统计定 义的理论依据．
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
三、辛钦（Khinchine）大数定律
契比雪夫大数定律要求随机变量应具有方差．
定理5.3设X1、X2、…、Xn…是独立同分布的随机变量序列，
定理5.2 设n次贝努里试验中， 事件A发生的次数为nA，
每次试验中A发生的概率为p A～B(n, p) 对任意的＞0
lim P{ nA -p } 1
n
n
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第五章 大数定律及中心极限定理
证明： 第i次试验中A发生Xi=1； A不发生Xi=0；
X1、…、Xn…是n个相互独立且服从同一分布的随机变量， n
np(1-p)
np(1-p)
这是一个十分有用的近似计算二项分布B(n,p)的概率公式 例3设有一批种子，其中良好占1/5，现从中任取5000粒， 求在该5000粒中良种数X介于940粒与1060之间的概率． 解： 5000次抽取，每次取一粒．
近似看成重复独立试验． X～B(5000,0.2)，于是
P(940 X 1060) (2.12) (-2.12) 1.966 1 0.966
lim P{
n
1
n

n i=1
Xi
-n

x}=
P{
1
n
n
( Xi -n)
i=1
x}
是随机变量
的分布函数，
1
x
- t2
e 2 dt
2
1
n
n
( Xi -n )
i=1
概率论与 数理统计
当n很大时，
第五章 大数定律及中心极限定理
P{
1
n
n
( Xi -n)
且 nA X i E( X ) p D(X ) p(1 p)
i 1
由定理5.1的推论
lim P{|
n
1 n
n i 1
XiHale Waihona Puke Baidu

p
| }
lim P{|
n
nA n

p | } 1
与下式等价
lim P{ nA -p }=0
n
n
贝努里数定律证明了 当n很大时，在n次独立重复试验中，
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第五章 大数定律及中心极限定理
例4设某车间有400台同类型的机器各自独立地工作，
每一机器在开动时所需的电功率为Q瓦．因工艺的原因，
每台机器并不是连续开动的，开动的时间只占工作时间的
3/4，问应向车间提供多少电量，才能以99％的概率保证
不会因供电不足而影响生产．
解 ： 以X表示同时工作的机器台数， 有一整数N，
20000
)-1 0.56
100 900/ 12
例2 飞机对一目标进行袭击，每次袭击命中目标的炸弹数
是一个随机变量，且各次袭击命中目标的炸弹数目服从同
分布，期望值为3，方差2=1.44．问至少要进行多少次袭
击，才能以0.85的概率保证命中目标的炸弹数不少于200?
解 设应进行n次袭击，第i次袭击命中目标的炸弹数目为Xi，
-
1 n
n
EXi
i=1
} 1
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第五章 大数定律及中心极限定理
改写成下列等价的表达式
lim P{ n
1 n
n i=1
Xi
-
1 n
n i=1
E
Xi
} 0
推论 设X1、X2、…、Xn…是独立同分布的随机变量序列，
各E(Xi)、D(Xi)存在，(必相等) 设为、2， 任意给定的＞0，必有
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第五章 大数定律及中心极限定理
( N-300 ) 0.99 53
N-300 2.362 53
解得N>320. 46 取正整数N= 321，
只要向车间提供321千瓦电量就可以满足需要．
三、一般的中心极限定理
使SX渐近地服从正态分布的条件可以更为宽松 如果一个随机变量是大量个数的互相独立的随机变量之和
用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，
问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率
保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B(n, p),
其中 n 200,p 0.05,np 10, np(1- p) 3.08.
i=1
x} x
随机变量Yn =
1
n
n
( Xi -n )
i=1
近似地服从标准正态分布，
称随机变量序列Yn=
1
n
n
( Xi -n) 渐近服从标准正态分布．
i=1
SX近似服从N(n,n2)．
当n很大时，n个互相独立且服从同分布的随机变量之和近 似服从正态分布．
例1某大型商场每天接待顾客10 000人，设每位顾客的消 费额（元）服从(100,1000)上的均匀分布上，且顾客的消 费额是相互独立的．试求该商场的销售额（元）在平均销 售额上、下浮动不超20000（元）的概率．
§5.3中心极限定理
随机变量是由大量的相互独立的随机因素综合所形成的，
每个因素在总的影响中作用微小的，近似地服从正态分布．
一、列维一林德伯格（Levy-Lindberg）定理
定理5.4 （独立同分布的中心极限定理）
设随机变量Xi,相互独立，服从同一分布，数学期望E(Xi)=,
方差D(Xi)=2，存在： 则对任意实数x， 有
第五章 大数定律及中心极限定理
5. 1契比雪夫（Chebyshev）不等式
设X具有数学期望E(x)=, 方差D(X)=2，
对任意>0,恒有 P{ X- } 2 / 2
或
P{ X- } 1 2 / 2
称为契比雪夫(Chebyshev）不等式． 在随机变量X的分布未知的情况下X的概率的一种估计. 例1一颗般子连续投掷4次，点数和记为X，估计P{10<X<18

n np
npq

b
np} npq

(b
np) npq

(a
np) npq
第一类问题是已知 第二类问题是要使
n, n
p, ,
与p
求概率
P
Xn n

p

的差异不大于定数 的概率

;
n
不小于预先给定的数 ，问最少应做多少次试验？
P

Xn n

p



故X =ES(XX)i．=nu==E3(nX, i)D=(3X, )=12.=4D4n(XPi){=X1.442，0X0}i是独立{3n同分200布} 的0．.85
查表可得 3n-200 1.04
1.2 n
1.2 n
n=70. 152，取正整数n=71
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第五章 大数定律及中心极限定理
lim P{ n
1 n
n i=1
Xi
-
1 n
n i=1
E
Xi
} 1
证明: 由契比雪夫不等式得
1-
n D
1
Xi
2n2
P{
1 n
n i=1
Xi
-
1 n
n i=1
E
Xi
} 1
各D(Xi)≤C
1-
C
2n

P{
1 n
n i=1
Xi
解: 设第i次掷般子所得点数Xi， 则X=SXi,
Xi 的概率分布p=1/6, E(Xi)=3.5,
D(Xi)=35/12．
P{10<X<18}=P(|X-E(X)|<4)
E(X)=E(
4 1
Xi
)=14,D(X)=D(
4 1
Xi
)=35/4
由契比雪夫不等式得 P{ X- 4} 1 2 / 42 0.271
p
Yn
随机事件{|Yn- |＜｝几乎处处发生，
随机事件{|Yn- |≥｝发生的可能性几乎是零．
当n很大时，Yn以很大的概率接近，Yn依概率收敛于． 其统计意义 当n很大时， X1、X2、…、Xn…的平均值Yn 以很大的概率与均值E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=很接近． 二、贝努里（Bernoulli）大数定律
其数学期望存在，E(Xi)=, 则对于任意给定的＞0，必有
lim P{
n
1 n
n i=1
Xi -
}=1
当n很大时，随机变量在n次观察中的算术平均值
会“靠近”它的数学期望值，
当方差的存在性尚未明确时， 对数学期望进行估计提供了一条实际可行的途径．
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第五章 大数定律及中心极限定理
它们不必服从同分布， 只要每个随机变量
对总和都只起“微小的作用”， 便近似服从正态分布
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第五章 大数定律及中心极限定理
推论：设随机变量Xn服从参数为 n , p (0<p<1) 的二项分布,
即X n ~ B(n, p).
当 n 充分大时有：
P{a
n

b}

P{a
np npq
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第五章 大数定律及中心极限定理
解 设第i位顾客的消费额为Xi, 商场日销售额X， X=SXi， E(Xi)=550元，日平均销售额为E(X)= E(SXi)= 5.50×106 ,
P
D(X)=9006/12 由于X独立同分布，有
5.5 106 -20000 X 5.5 106+20000 =2(
即研究大量的随机变量的平均稳定性问题 用严格的数学语言说明随机事件的概率，
随机变量的数学期望等基本概念的统计意义的理论基础 中心极限定理，以正态分布为中心，
研究相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn 在满足何种条件时，其无穷和SX服从正态分布， 当n→∞时，其有限和SX以正态分布为极限．
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近似服从标准正态分布，
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第五章 大数定律及中心极限定理
Yn的线性函数
nA= np(1-p)Yn+np
必近似服从正态分布N(np, np(1一p))
在n次独立重复试验中A出现的次数nA～B(n,p)，
若X～B(n, p) 当n很大时， X近似服从N(np, np(1-p))
P(a X b) ( b-np ) ( a-np )
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第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与 数理统计
第五章 大数定律及中心极限定理
统计规律性是在大量重复独立试验中才呈现出的规律性
概率论中极限理论有大数定律和中心极限定理
大数定律主要研究大量的随机变量X1、…、Xn其均值SXi/n 当n→∞时的变化趋势， 及在何条件下依概率收敛的问题，
lim P{ n
1 n
n
Xi -u
i=1
} 1
证明 X1、X2、…、Xn…满足契比雪夫大数定理条件
SE(Xi)/n=,
得证
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第五章 大数定律及中心极限定理
记Yn= SXi/n，则limP{|Yn- |＜｝=1，Yn是与n有关的数列，
称随机序列Yn依概率收敛于， 记作


2
n pq

1
2
n pq

1


第三类问题是已知 n , p 及，求， 先求 x 使
2 x 1 ,
有
n pq

x ,
故
x
pq . n
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第五章 大数定律及中心极限定理
例4某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使
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第五章 大数定律及中心极限定理
5. 2大数定律
一、契比雪夫（Chebyshev）大数定律及其推论
定理5．1 设X1、X2、…、Xn…为互相独立的随机变量序列， E(X1),E(X2)… 及D(X1),D(X2)… 都存在，有一个常数C，
使得D(Xi)≤C, 对于任意给定的e>0，必有
Xi～B(1,p)
X1,X2,…,Xn…是独立同分布的 E(Xi)=p D(Xi)=p(1-p)
按独立同分布中心极限定理有
lim P{
n
1 np(1
p)
n
(
i=1
Xi -np)

x}= x
nA
n 1
Xi
;
得证．
当n很大时，对
作标准化处理后的随机变量
Yn =
nA -np np(1-p)
二、德莫弗一拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理
定理5.5（二项分布以正态分布为极限分布）：设A是试
验E的事件，P(A)=p，并把n重独立重复试验A出现的次数
记为nA，则对于一切实数x，有 lim P( nA -np x) (x)
n
np(1-p)
证明 第i次试验中A出现的次数记为Xi,