多自由度振动系统微分方程的建立

m1
..
x1 (c1
c2 )
.
x1 c2
.
x2
(k1
k2 )x1
k2 x2
F1(t)
..
.
.
.
m2 x2 c2 x1 (c2 c3) x2 c3 x3 k2x1 (k2 k3)x2 k3x3 F2 (t)
..
.
.
m3 x3 c3 x2 c3 x3 k3x2 k3x3 F3(t)
x2
D
.
..
.
.
c（3 x3 x2 ） c3 x2 c3 x3
x3
以上式中i=1,2,3
V x3
k3x2
k3 x3
带入拉格朗日方程，得出 写成矩阵形式得：
多自由度系统振动微分方 程的建立
例：如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用牛顿第二定律、
拉格朗日方程建立其振动微分方程。
牛顿第二定律法
由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，分析各质量单元受力图，此时 不加惯性力。 牛顿第二定律表达式:
F=ma 其中F为物体所受所有外力之和
• 分别以m1，m2，m3为研究对象列方程 • 整理得：
解毕
拉格朗日方程法
系统存在粘性阻尼时：
• 其广中 义： 坐q标i为qi广 对义应坐的标非；保守T为主体动系力的；总D动为能耗；能V函为数体系的势能；Qi为
弹性势能 耗能函数 体系动能 分别计算偏导
T 0 xi
T
.
.
mi xi
xi
d dt
(
T
.
xi
)
m
..
xi
V x1
k1x1 k2 (x2
写成矩阵形式得
m1 0
0
m2
0 0
..
x1
x..2
(c1 c2
c2
)
c2 (c2 c3)
0 c3
.
x1
x.2
(k1 k2
k2
)
k2 (k2 k3)
0 k3
xx12
FF12
(t) (t)
0
0
m3
..
x3
0
c3
c3
.
x3
0
k3
k3
x3
F3
(t)
x1) (k1 k2 )x1 k2 x2
V x2
k2 (x2
wk.baidu.com x1) k3 (x3 x2 ) k2 x1 (k2
k3 )x2
k3x3
D
.
..
.
.
. c1 x1 c2 (x2 x1) (c1 c2 ) x1 c2 x2
x1
D
..
..
.
.
.
. c2 (x2 x1) c3(x3 x2 ) c2 x1 (c2 c3) x2 c3 x3