八年级数学培优——平行四边形

第20讲平行四边形
考点•方法•破译
⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.
⒉理解三角形中位线定理并会应用.
⒊了解平行四边形是中心对称图形.
经典•考题•赏析
【例1】已知:如图在□ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．
⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；
⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变
换得到？
【变式题组】
01．如图，在□ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；
⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
02．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．
求证：四边形GEHF是平行四边形．
03．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．
⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；
⑵求证：△BCG≌△DCE．
【例2】如图，□ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥
CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积为．
【变式题组】
01．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC的长．
02．在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°求BC的长．
03．平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高H a和CD边上的高H b,已知H a≥a, H b≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.
【例3】
如图:在平面直角坐标系中,有A （0,1）,B （－1,0）,C （1,0）
三点.
⑴若点D 与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标； ⑵选择⑴中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式．
【变式题组】
01．如图，直线l 1:y ＝－
x 2
3
＋3与y 轴交于点A ，与直线l 2交于x 轴上同一点B ，直线l 2交y 轴于点C ，且点C 与点A 关于x 轴对称．
⑴求直线l 2的解析式 ； ⑵设D （0，－1），平行于y 轴的直线x ＝t 分别交直线l 1和l 2于点E 、F ．是否存在t 的值，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
02．如图，在直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），P 是y 轴上一动点，在直线y ＝
2
1
x 上是否存在点Q ，使A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
03．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝
x
k
2的图象都经过点（1，1）． ⑴求反比例函数的解析式；
⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．
R
P D
C
B A
E
F
【例4】如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．) 问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.
【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．
【变式题组】
01．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，
E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不
动时，那么下列结论成立的是（)
A、线段EF的长逐渐增大
B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变
D、线段EF的长与点P的位置有关
02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D,AB＝12,AC ＝22,则MD的长为（）.
A.3
B.4
C.5
D.6
【例5】如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.
【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．
【变式题组】
01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD ＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．
演练巩固反馈提高
01．如图，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（）
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
02．如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）
A.3
B.6 C .12 D.24
03．如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）
A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE
04．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（）
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
05．某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是
A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等
C.红花，蓝花种植面积一定相等
D.蓝花，黄花种植面积一定相等
06．如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC; ②BE＝CF
③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）
A.4个B .3个C.2个D .1个
07．已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
08．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝
BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________
09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个
单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____
①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE
③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD
11．如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.
(1).求证:△ABC≌△EAD
(2).若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．
12．如图，□ABCD一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．
13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.
⑴求证：△ADE≌△DFC
⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。