大物习题解答-大学物理习题答案-第6章 恒定电流

第六章 恒定电流
6－1 长度l =1.0m 的圆柱形电容器，内外两极板的半径分别R 1=5.0×10-2m ，R 2=1.0×10-1m ，，其间充有电阻率ρ＝1.0×109Ω.m 的非理想电介质，设二极板间所加电压1000V ，求（1）该介质的漏电电阻值；（2）介质内各点的漏电流电流密度及场强。

解：（1）柱面间任一薄层的漏电电阻为：rl
dr
dR πρ
=2 整个圆柱形电容器介质的漏电电阻值为：1
2ln 222
1
R R l rl dr dR R R R πρ
=πρ
==⎰
⎰ 代入数据得Ω⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--8
2
191010.110
0.5100.1ln 114.32100.1R （2）A R V I 68101.910
10.11000-⨯=⨯==
rl S I j π⨯==-2101.96r ⨯⨯⨯⨯=-114.32101.96＝
26/1044.1m A r -⨯ （3）=ρ=j E r 69
1044.1100.1-⨯⨯
⨯m V r
/1044.13
⨯= 6－2 在半径分别为R 1和R 2（R 1< R 2）的两个同心金属球壳中间，充满电阻率为ρ的均
匀的导电物质，若保持两球壳间的电势差恒定为V ，求（1）球壳间导电物质的电阻；（2）两球壳间的电流；（3）两球壳间离球心距离为r 处的场强。

解：（1）球面间任一薄层的电阻为：2
4r
dr
dR πρ
= 整个球壳间导电物质的电阻为：)1
144212
2
1
R R r
dr dR R R R -πρ=πρ
==⎰
⎰（ （2）)
(41221R R R VR R V
I -ρπ==
（3）=
⋅=
⎰
2
1
R R r d E V ρρΘ=πε⎰
dr r
q
R R 2
1
2
04211204R R R R q -πε )( ˆ)(ˆ4212
122120R r R r
r R R R VR r r q E <<-=πε=
∴ρ
6－3 一根铜线和一根铁线，长度均为l ，直径为d ，今把两者连接起来，并在此复合
导线两端加电势差V 。

设l ＝l00m ，V=10V ，试计算（1）每根导线中的场强；（2）每根导线中的电流密度；（3）每根导线两端的电势差。

（ρ铜＝1.6×10-8Ω.m ，ρ铁＝8.7×10-8Ω.m ）
解：（1）两根导线串联，总电流为l
r V R R V R V I ）铜铁铜铁ρ+ρπ=
+==(2
两导线的直径相同，截面积相同，电流密度为
l
V r I j ）铜铁ρ+ρ=π=
(2，代入数据得 2
258
/97.0/107.9100
107.86.1(10mm A m A j =⨯=⨯⨯+=
-） m V j E /106.1107.9106.1258--⨯⨯⨯⨯ρ＝＝＝铜铜 m V j E /104.8107.9107.8258--⨯⨯⨯⨯ρ＝＝＝铁铁
（2）2
25/97.0/107.9mm A m A j j =⨯=铁铜＝
（3）=铜V =铜IR 铁铜铜铜铜铁）ρ+ρρ=
πρρ+ρπV r
l
l r V 22( V 6.110
7.86.1(10
106.18
8=⨯+⨯⨯=--） =
铁V 铁
铜铁ρ+ρρV V 4.810
7.86.1(10
107.888=⨯+⨯⨯=--） 6－4 一截面积均匀的铜棒，长为2m ，两端电势差为50mV ，巳知铜棒的电阻率为ρ铜
＝1.75×10-8Ω，铜内自由电子的电荷密度为1.36×1010C/m 3，试求（1）铜内的电场强度；（2）电流密度的大小；（3）棒内自由电子定向运动的平均速率。

解： （1）m V l V E /105.22
105023
--⨯=⨯== （2）22682/43.1/1043.110
75.1105.2mm A m A E j =⨯=⨯⨯=ρ=-- （3）s m ne j v /1005.110
36.11043.14
106-⨯=⨯⨯== 6－5 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m 的近似圆形轨道。

当环中电子流强度为8mA 时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速。

解：因为n 表示环单位体积的电子数，S 表示环的截面积，所以nS 表示单位长度的电子数，整个圆形环轨道中的电子数为
（个）10
19
8310410
6.1103240108⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===--l ve I nSl N 6－6 有两个半径分别为R 1和R 2的同心球壳，其间充满了电导率为γ（γ为常量）的介
质，若在两球壳间维持恒定的电势差V ，求两球壳间的电流。

解：球面间任一薄层的电阻为：2
4r
dr
dR πγ=
整个球壳间导电物质的电阻为：)1
14142
122
1
R R r dr dR R R R -πγ=πγ=
=⎰
⎰（
)
(4122
1R R R VR R V I -πγ==
6－7 把大地看作电阻率为ρ的均匀电介质。

如图所示，用一半径为a 的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略。

试证明此电极的接地电阻为
a
R πρ2= 证：半球面间任一薄层的电阻为：
2
2r dr
dR πρ
= 半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略， 此电极的接地电阻为
a r
dr dR R a
πρ
=πρ==⎰
⎰∞
222
6－8 一电源的电动势为E ，内电阻为r ，均为常量。

将此电源与可变外电阻R 连接时，
电源供给的电流I 将随R 而改变，试求：（1）电源端电压与外电阻R 的关系；（2）电源消耗于外电阻的功率P （称为输出功率）与R 的关系；（3）欲使电源有最大输出功率，R 应为多大?（4）电源的能量一部分消耗于外电阻，另一部分消耗于内电阻。

外电阻消耗的功率与电源总的功率之比，称为电源的效率η，求效率η与R 的关系式。

当有最大输出功率时，η等于多少？
解：（1）R
r r r
R Ir V +ε=+ε
-
ε=-ε=1
（2）22)(1r R R R
r r
R IV P +ε=+ε
⨯+ε=
= （3）r R r R R r R r R dR dP =→=++-+ε=0)
()(2)(42
2 （4）R
r
IR
I R I +=ε
=ε=η112，当 R=r 时，%502
1
max ==
η=η 6－9 试求在下列情形中电流的功率及1s 内产生的热量：（1）在电流强度为1A ，电压为2V 的导线中；（2）在以lA 电流充电的蓄电池中，此时电池两极间的电压为2V ，蓄电池的电动势为1.3V ；（3）在以lA 电流放电的蓄电池中，此时电池的端电压为2V ，电动势为2.6V 。

习题 6－7
R
E ,r
习题 6－8
解：（1）导线中Ω===
21
2
I V R 此时电流的功率为W IV P 2==
1s 内产生的热量为J R I Q 22
==
（2）充电电源，Ω=-=ε=
7.01
3
.12I V r － 此时电流的功率为W IV P 2==
1s 内产生的热量为J r I Q 7.02
== （3）放电电源，Ω=-=ε-=
6.01
2
6.2I V r ，此时电流的功率为W IV P 2-=-= 1s 内产生的热量为J r I Q 6.02
==
6－10 地下电话电缆由一对导线组成，这对导线沿其长度的某处发生短路（如图）。

电
话电缆长5m 。

为了找出何处短路，技术人员首先测量AB 间的电阻，然后测量CD 间的电阻。

前者测得电阻为30Ω，后者测得为70Ω，求短路出现在何处。

解：设P 点离A 点为x ，则有
70
)5(2302=-=x x 得x =1.5
6－11 大气中由于存在少量的自由电子和整离子而典有微弱的导电性。

（1）地表附近，
晴天大气平均电场强度约为120V/m ，大气平均电流密度约为4×10－
12A/m 2。

求大气电阻率是多大?（2）电离层和地表之间电势差为4×105V ，大气的总电阻是多大？
解：（1）m j E ⋅Ω⨯=⨯==
ρ-131210310
4120
（2）A jS I 32612
101.2)104.6(14.3410
4⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-
Ω=⨯⨯==190101.21043
5I V R
6－12 在如图所示的电路中，E 1＝3.0V ，r 1=0.5Ω，E 2＝6.0V ，r 2=1.0Ω，R 1=2.Ω，R 2=4Ω，试求通过每个电阻的电流。

解：设各电流如图
⎪⎩⎪
⎨⎧ε
-ε=-+ε=+=--12132
221
1311321)(0r I r R I r I R I I I I ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=+=--3
65.053
5.020*******I I I I I I I 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==A I A I 323421
习题 6－8
习题 6－
9
,r ,r 充电电源
放电电源
习题6－12
6－13 在如图所示的电路中，E 1＝3.0V ，r 1=0.5Ω，E 2＝1.0V ，r 2=1.0Ω，R 1=4.5.Ω，R 2=19Ω，R 3=10.0Ω，R 4=5.0Ω，试求电路中的电流分布。

解：设各电流如图
⎪⎩⎪
⎨⎧ε
=++ε=+++=-+2332
2213341113
21)()(0
R I r R I R I R R r I I I I ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=-+1
10203101003231321I I I I I I I 解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-==A I A I A
I 14.002.016.0321与图中所示方向相反
6－14 如图所示，E 1＝E 2=2.0V ，内阻r 1= r 2=0.1Ω，R 1=5.0.Ω，R 2=4.8Ω，试求（1）电
路中的电流；（2）电路中消耗的功率；（3）两电源的端电压。

解：（1）A r r R R I 4.01
.01.08.452
2212121=++++=+++ε+ε=
（2）W r r R R I P 6.1104.02
21212
＝
）＝（⨯+++=
（3）V Ir V 96.11.04.02111=⨯-=-ε=
V Ir V 96.11.04.02222=⨯-=-ε=
6－15 在如图所示的电路中E 1＝6.0V ，E 2=2.0V ，R 1=1.0.Ω，R 2=2.0Ω，R 3=3.0.Ω，R 4=4.0Ω，
试求（1）通过各电阻的电流；（2）A 、B 两点间的电势差。

解：7
12
434334=+=
R R R R R
A R R R I 85.07
12212
634
212
1=+
+-=
++ε-ε=
V V 46.17
12
85.034=⨯
= A I 49.0346.13==,A I 36.04
46.14==
V IR V AB 15.5685.011-=-=ε-=
习题6－13
I I 2,r 2
E 1,r 习题6－14
习题6－15。