数列求和及求通项方法归纳

1

①形如a n

1 n(n ，可裂项成a n

k)

i ,1

k

(n 丄)，列出前

n k

n 项求和消去一些项

②形如a n

1

------ ，可裂项成

、n k

a n

k n)，

列出前n 项求和消去 些项

例：已知数列a n

(n 1)(n 1)(n

2)，

a 1 1，求前n 项和 S n

数列求和及求通项

、数列求和的常用方法

1、公式法： 利用等差、等比数列的求和公式进行求和

2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前 n 项和，均可用错位相减法

例：已知数列a n

，求前n 项和S n

3

3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项

4 、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列a n 2n 2n 1，求前n项和S n

5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）

一、数列求通项公式的常见方法有：

1、关系法

2、累加法

3、累乘法

4、待定系数法

5、逐差法

6、对数变换法

7、倒数变换法

8、换元法

9、数学归纳法

累加法和累乘法最基本求通项公式的方法

求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列, 过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析

1、关系法：适用于S n f(n)型

2

例：已知数列a n的前n项和为S n n n 1，求数列a.的通项公式

2、累加法：适用于a n 1 a n f(n)- 广义上的等差数列

求解过程：若a n 1a n f(n)

则a2a1f(1)

a3a2f(2)

累加f

a n a n 1f(n1)

1 1n 1

所有等式两边分别相加得: a n a1 f (k) 则a n a1f(k)

k 1k 1

例：已知数列a n满足递推式a n 01 12n 1(n 2)，a11, 求a n的通项公式再通

求解过程：a n

a i S i(n 1) S n S n i(n 2)

3、累乘法：适用于a n 1 f (n )a n ――广义上的等比数列

4、待定系数法：适用于 a n 1 pa n f (n)

①形如a n 1 pa n b( p, b 为常数；p,b 0, p 1)型(还可用逐差法)

求解过程：构造数列a n 1 k p(a n k)，展开得a n 1 pa n pk k ，因为系数相等，所

以解方程pk k b 得k ——，所以有：a n 1 ——

p(a . ——)，这样就构造出了

p 1 p 1

p 1

一个以a 1 ——为首项，公比为 p 的等比数列 a n ——。从而求得a n 的通项公式为 p 1 p 1

, b 、n 1 b a n (a 1 )p

p 1

p 1

求解过程：若a n 1

f (n)a "，则于

f(n)

则 亚 f(1),a3 f (2)……-a ^ f(n 1) a i a 2

a n 1 所有等式两边分别相乘得:

f(k)

k 1

n 1

则 a n a 1

f (k)

k 1

例：已知数列a n 满足递推式a n 2n a n1(n

2)，其中a 1 3,求a n 的通项公式

a n

例：已知数列a n满足递推式a n 2a n 1 1(n 2)，其中a“ 2,求务的通项公式②形如a n 1pa n bn c（p,b,c为常数；p,b 0, p 1）型

pa n bn2 cn d（p,b,c,d为常数;p,b 0, p 1）型

③形如a n 1

④形如a n 1pa n m q n d（m, p, q, d为常数；m, p,q 0； p, q 1）型

⑤形如a n 2 pa n 1 qa n（p,q为常数;p,q 0; p, q 1）型

5、逐差法：

形如a n 1 pa n b( p, b为常数，p,b 0, p 1),可以把n换成n 1有a n pa n 1 b，两式相减得a n i a n p(a n a n i)，这样就构造出了一个以a2 a i为首项，公比为p的等比数列a n 1 a n ，再运用累加法求出a n 的通项公式

例：已知数列a n 满足递推式a n 2a n1 1(n 2)，其中a1 2,求a n 的通项公式

q

6、对数变换法：适用于a n 1 pa n (q 1) 型

qq

a n (q 1) ，等式两边取对数有： ln(a n 1) ln(a n )，根 qln(a n ) ，这

样就构造了一个以 ln( a 1 )为首项，公比为 q

qq

②当 p 1 时， a n 1 pa n (q 1) ，等式两边取对数有： ln(a n 1) ln(pa n ) ，根据对数的 运算法则有： ln(a n 1 ) ln p qln(a n ) ，再运用待定系数法求出通项。

3

例： 已知数列 a n 满足递推式 a n 1 2a n 3 ， a 1 2，求数列 a n 的通项公式

7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：已知数列a n 满足递推式a n 1 -2a J ，a

i

2，求数列a n 的通项公式

a n 4

8、换元法：适用于含根式的递推公式

求解过程：①当 p 1时，a n 1 据对数的运算法则有： ln(a n 1) 的等比数列 ln( a n ) 。从而求得

a n q n1

的通项公式为 a n

a 1q

例：已知数列 a n 满足递推式 a n 1

2

a n 2 ， a 1 2，求数列 a n 的通项公式