微积分(二)综合练习题1答案
微积分综合练习题及参考答案
微积分综合练习题及参考答案Last updated on the afternoon of January 3, 20212综合练习题1 （函数、极限与连续部分）1・填空题⑴函数/（X ）= —i —的定义域是 ___________________ •答案：兀＞2且"3.ln （x _ 2）⑵ 函数=+的定义域是 _________ .答案：ln （x + 2）(-2-1)<J (-L2](3) 函数/(x + 2)=x 1 2 +4x + 7,贝lj f{x)=.答案:fM = x 2+3(4) 若函数/（力= xsin —+ h x < 0=1 x 在― [k 、 x > 0=0处连续，贝1«=.答案：k = \⑸函数/（x-1）：=X 2 - 2x,则 /(x) = -答案：f （x ）= -v 2 -1⑹v 2 -2x-3函数心Y+1 -的间断点是•答案：兀=一1(7) lim xsin 丄=•答案：1⑻ -..sin4x 若 lim ------ =go sin kx =2,则斤= 答案：k = 22 •单项选择题答案：c1 设函数〉心三匚，则该函数是（）•A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数答案：B2下列函数中为奇函数是（ ）•A . xsinxC . ln(x +Jl + / )(3)函数y = —- + ln(x + 5)的定义域为( )・x + 4A . x>-5B . C. X>-5且X HO D. X>-5且X H—答案：D⑷设f(x + Y) = x2则f(x)=()A . x(x + l)B . A 2C ・x(x - 2)D . (x + 2)(x-l)答案：C(5)当斤=()时，函数/(x) = f\+2' °在兀=0处连续.k、x = 0■A . 0B . 1C . 2D . 3答案：Dr2 + 1 X 工0(6)当“()时，函数/(A-)= J1,,在龙=0处连续.k、x = 0A . 0B . 1C . 2D . -1答案：B(7)函数/(A)=()Q - 3x + 2A. x = \,x = 2 B . x = 3答案:A3 •计算题C. x = \,x = 2,x = 3D•无间断点lim .—23x + 2 X2-4= lim (—2)(—1)=恤口—2(X _2)(X + 2) Z X + 2解：UmX 2-3X + 2X 2-4解：lim 一「「I . = nm + " = lim = - = 2XT3 牙・_2X_3 XT3 (牙_3)(牙 + 1) A->3 X +1 4 2解:1曲v'-6a + S = lim(H7 = lim 口 = ?JT — 5x + 4 XT4 (x _ 4)(X - 1) Yf 4 A -1 3综合练习题2 (导数与微分部分)(1)曲线/仗)=仮+ 1在(1,2)点的切斜率是⑵ 曲线/W = e在(0J)点的切线方程是答案：y = x + \(3)已知f(x) = x3+3\则广(3)二答案:f(x) = 3x2+3x]n3/73)=27 (l + hi3)⑷已知/(x) = lnx t贝IJ八x)二答案：广⑴4八g占(5)若/(x) = xe-\ 则厂(0)= 答案:0 = -2宀心2.单项选择题(1)若/Gv) = e'r cosx f则广(0)二()・A. 2B. 1C. -1D. -2因f\x) = (e"v cosxY = (e~v)z cosx + e~v (cos x)9所以广(0) =-e~°(cosO + sin0) = -1 答案：C⑵设y = lg2x,则dy=()・A . 丄 drB . ——!——dx 2xxlnlO 答案：B答案：D⑷若/(x)=sinx + «3,其中"是常数，则厂(劝=(答案：c(1) 设 y 求 ・丄 丄 1 丄解:y f = 2xe K +x 2e v (——)=e T (2x-l)(2)y = sin 4x + cos 3 x , 求解：y f = 4cos4x + 3cos 2 x(-sin x)(3) 设 y = e^+-.求X解：y = e^^=-4(4) 设 y = xy/x + In cosx,求 3丄 1 3丄解：y f = —x 2 + ------- (-sinx) = —x 2 -tanx2 cosx 2c.呱D ・-dx x⑶设y = fM 是可微函数则 df(cos2x)=(A . 2广(COS 2X )C L YB . /\cos2x)siii 2xd2xC . 2广(cos2x)sin2・TdrD . 一广(cos2x)sin2xd2x2A . cosx + 3"- C . -sinx D . cosx综合练习题3 (导数应用部分)1・填空题(1)函数y = 3(x-i)2的单调增加区间是____________________ .答案：(1,+s)(2)函数/(A)= ax2 + 1在区间(0,+8)内单调増加，贝IJd应满足答案：«>02・单项选择题(1)函数y = U+D2在区间(-2,2)是()A •单调増加B .单调减少c •先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程/V) = 0的点一定是函数y = /(x)的()•A .极值点B .最值点C.驻点D •间断点答案：C(3)下列结论中()不正确•A . /W在“勺处连续,则一定在％处可微.B . /W在x = x Q处不连续，则一定在巾处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4)下列函数在指定区间(p,p)上单调增加的是()•A . sinx答案：B3・应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为10创2的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为/?m,容器的表面积为ym2o怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
《微积分(二)》同步练习册(最终使用版)
1 / 63第五章 不定积分 §5.3 凑微分法和分部积分法（第5.1~5.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）1. 求下列不定积分：(1) ⎰-dx e x 2； (2)⎰dx x x ln 1；(3)⎰+x x dx 2； (4) ⎰-dx x x 21；(5)dx x x x ⎰-+-2211； (6)()⎰-dx x 21sin 2；)21(2112122x x d xx -+-+=⎰(7)⎰xdx x 32cos sin ； (8) ⎰dx x4sin 1； cctgx x ctg dctgx x ctg xdctgx+--=+-=-=⎰⎰32231)1(csc(9)⎰+dx xx 231； (10)2sin cos 23cos x x dx x-⎰；)1()111(21112222223x d xx xdx x x dx x x ++-+=+=+⎰⎰⎰c x xd x x d xdx xx x +-=--=--=-⎰⎰⎰222222cos 3231)cos 32(cos 32161cos cos 32121cos 32cos sin (11)⎰dx x x x cos sin 1； (12*)⎰+dx e x11；(13*)()⎰+dx x x x ln 1； (14*)()⎰+2cos 2sin x x dx．()ce x dx e dx x e x x x x x x +==+=⎰⎰ln ln ln ln ln 1()()ctgx tgx tgx d tgx dx x ++-=++=+=⎰⎰212)2(2cos 12222 / 633. 求下列不定积分： (1)[]⎰++dx x x )1ln(arcsin ； (2)⎰-dx e x x22；(3)⎰xdx e x2sin ； (4) ()dx e x x x 221⎰+；(5) ⎰xdx ln sin ； (6)⎰+dx x 21．c x x x x c tgt t ttgt dtgt t tdtdtgt t ttgt dt t t tg ttgt ttgtd ttgt tdtgt dx x +++++=+++=+-=-=-==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰]1ln 1[21]sec ln [sec 21sec sec sec sec sec sec sec sec sec 122224. 求下列有理函数的不定积分：(1) ⎰+dx x x )1(17； (2)⎰++dx x x x21. c x x dx x x dx x x ++=+-=+=⎰⎰777777771ln 71)111(71)1(171 c arctg x dx x x +-++=++-+=⎰33233])21(43ln[21)21(4321)21(225. 求下列不定积分： (1) 已知)(x f 是2x e-的一个原函数，求⎰'dx x f x )(；c e xde dx xe dx xf x e x f x x x x +-=--=='='----⎰⎰⎰22222121)(,)(2(2) 已知2x e-是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.ce e x ce ex dxx f x xf x xdf dx x f x x x x x +--=+-'=-=='----⎰⎰⎰222222)()()()()(3 / 63§5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1)⎰+dx x 1； (2)⎰+-dx x 3211；(3)231x dx x +⎰； (4)⎰-dx x x 211； ⎰⎰⎰⎰⎰-====+-=-+==tdctgttdt tdtttg ttgtx dt t dt tt t tx csc csc sec sec 21)1(11113232223原式）法原式）法cxx x c ctgt t tdt tdttt t x +---=+--====⎰⎰211ln csc ln csc cos cos sin 1sin 原式 (5)⎰dx x x cos ；(6)⎰-dx ex； (7)()⎰-dx x x 21012981()⎰⎰⎰==-tdtgt tg tdt tt dx x x 98101982101298cos cos sin 1(7) ⎰++dx xx)11ln(． ]11)1ln(11)1ln([2111)1ln(2))1(21141141()1)(1(1)1(21141141)1)(1(1)1)(1(11)1ln(11)1ln(11,1222222222++--+=-+=+-++-+-=+-+-++-+-=+-+---+=-+=-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t d t t d t t d t dt t t t dt t t t t t t t dt t t t t t d t t x x x t ）原式法原式4 / 632*. 求不定积分⎰-+dx x x xx cos sin cos sin 2.dtt t t t t dt t t t t dx x x x x x d x x dx x x x dx x x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+---++=+-+=---+-=-+]11121[)1)(12(4cos sin sin )cos (sin cos sin 1cos sin sin cos sin cos sin 222223*. 试求不定积分2ln 1(ln )x dx x -⎰．c te dt e t t e dt e t t d e dt e t dt e tdt e t dt e t t x t t t t t t t tt t +=-+=+=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11111111ln 22原式4*. 已知ln(1)(ln )x f x x +=，求()f x dx ⎰. ce x e e dx ee e de e dx e e dx xf e e t f e e x x t f x f e x x t x x x xx x xx x xtt tt t ++-++-=+++-=+-=+=+=+=+===---⎰⎰⎰⎰)1ln()1ln(11)1ln()1ln()1ln()()1ln()()1ln()1ln()()(ln ,ln5 / 63第六章 定积分 §6.1 定积分的概念与性质1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）⎰-201dx x ； (2）⎰-11sin xdx ；(3）⎰--22121dx x .2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“=<>,,”关系，并给出必要的理由）. (1）⎰102dx x 与 ⎰10xdx ； (2）⎰212dx x 与 ⎰21xdx ；(3）⎰20sin πxdx 与 ⎰20πxdx ； (4）⎰40tan πxdx 与 ⎰40πxdx ．3. 利用定积分的性质，估计⎰-=20dx xe I x 的大小.上的最大值和最小值。
微积分二课后题答案
第五章习题5-11.求下列不定积分：125)x -d x ; 2 2⎰x ; 3 3e x x ⎰d x ； 4 2cos2x⎰d x ； 5 23523x x x⋅-⋅⎰d x ； 6 22cos 2d cos sin x x x x ⎰.解 5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰2. 解答下列各题：1 一平面曲线经过点1,0,且曲线上任一点x ,y 处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程；2 设sin x 为fx 的一个原函数,求()f x '⎰d x ；3 已知fx 的导数是sin x ,求fx 的一个原函数；4 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000即P=0时,Q =1000,已知需求量的变化率边际需求为Q ′P =-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 1设所求曲线方程为y =fx ,由题设有f′x =2x -2,又曲线过点1,0,故f 1=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.2由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.3由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. 4由1()1000()ln 33PQ P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3P Q P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立： 1 d x = d ax +ba ≠0； 2 d x = d7x -3； 3 x d x = d52x ； 4 x d x = d1-2x ； 5 3x d x = d3x 4-2; 6 2e x d x = d 2e x； 7 2ex -d x = d1+2ex -; 8d xx= d5ln ｜x ｜;= d1-arcsin x = d112d 19x x += darctan3x ; 12 2d 12xx += darctan x ;13 32x -2d x = d2x -3x ； 14 cos 23x -1d x = dsin 23x -1.解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a+=≠∴=+2.求下列不定积分：1 5e d t t ⎰;2 3(32)x -⎰d x ;3d12xx -⎰; 45t ; 6 d ln ln ln x x x x ⎰; 7 102tan sec d x x x ⎰; 8 2ed x x x -⎰;9dsin cos x x x ⎰; 10 ⎰; 11de e x xx-+⎰; 12 x ; 13 343d 1x x x -⎰; 14 3sin d cos x x x ⎰; 15x ⎰; 16 32d 9x x x +⎰; 172d 21xx -⎰; 18 d (1)(2)x x x +-⎰; 19 2cos ()d t t ωϕ+⎰; 20 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;21 sin2cos3d x x x ⎰; 22 cos cosd 2x x x ⎰; 23 sin5sin 7d x x x ⎰; 24 3tan sec d x x x ⎰;25x ; 26 ;27ln tan d cos sin xx x x⎰; 28 21ln d (ln )x x x x +⎰; 292,0x a >; 30 ⎰31x⎰; 32 ;33⎰; 34,0x a >⎰; 352d x x ⎰; 36 2d x x⎰; 372sec ()d 1tan x x x+⎰; 38 (1)d (1e )x x x x x ++⎰提示：令xt e =. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 利用教材§例16及公式20可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a C C a a a --=-. 30令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以2sec cos sin sec d d d d tt t t t t C t ====+⎰⎰tan ,sin 原式x t t C =∴=∴=.31令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时 故223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d tx t t t t t t t x t=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰ 3tan 3t t C =-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得tan t =,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x tt t x x===, 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分. 综上所述有33arccos d x C x x=+⎰. 32令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 33令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =3421(2d d x a x x a =+=⎰arcsin xa C a=⋅. 35令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.3622d d x x x x ==+⎰⎰ 由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t=, 当x >0时,此时t >0 当x ≤-2时,此时102t -≤<综上所述:原式= ln1C x -++. 37 2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰. 38令e x=t ,则x =ln t ,d x =1td t .习题5-31.求下列不定积分：1 sin d x x x ⎰;2 e d xx x -⎰; 3 arcsin d x x ⎰; 4 e cos d xx x -⎰;5 2esin d 2xxx -⎰; 6 2tan d x x x ⎰;7 2e d t t t -⎰; 82(arcsin )d x x ⎰;9 2e sin d x x x ⎰; 10 x ⎰;11cos(ln )d x x ⎰; 122(1)sin 2d x x x -⎰;13ln(1)d x x x -⎰; 1422cosd 2x x x ⎰; 1532ln d xx x⎰; 16sin cos d x x x x ⎰;172cot csc d x x x x ⎰; 18 22(1)e d x x x x +⎰;191(ln ln )d ln x x x+⎰; 20e ln(1e )d x x x +⎰; 21 23sin d cos x x x ⎰; 22x ; 232e d (1)x x x x +⎰; 24arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰10t =,则32,3d d x t x t t ==11令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x xx x x x =-+=++++=-++⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t∴原式C +.于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =+⎰.习题5-4求下列不定积分：1 21d 1x x +⎰; ２ 5438d x x x x x +--⎰; ３sin d 1sin x x x +⎰; 4 cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 1令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是注 本题亦可用万能代换法4令tan 2xt =,则 则。
浙江大学城市学院微积分II(丙)练习册全部答案
第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1． 验证函数212y C x C x =+是否为微分方程2220yy y x x'''-+=的解．解：122y C C x y C '''=+=２， ２， 代入方程：()221212222222()0y y y C C C x C x C x x x x x'''-+=-⋅+++=２２ 因此是解。
2．验证由方程22x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解．解：对22x xy y C -+=两边求导，有2()20x y xy yy ''-++=，即有 (2)2x y y x y '-=-，是解有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。
3．验证函数1212()(,xy C C x e C C -=+为任意常数）是微分方程20y y y '''++=的通解，并求满足初始条件004,2,x x y y =='==-的特解．解：2122122212212()(),()(2),x x x x x x y C e C C x e C C C x e y C e C C C x e C C C x e ------'=-+=--''=----=--- 将上式代入方程左边有：21221212(2)2()()0x x x C C C x e C C C x e C C x e ------+--++=，有因为解中２个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。
由004,2,x x y y =='==-得： 124,2C C ==特解：(42)xy x e -=+第二节一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解）（1）0 xydx=解：1,dyy= 11211,(1)ln, ln,,C Cdy x yyy Cy y e--=-=+==±⋅=⎰（20 +=解：,=,=()21,y=-arcsin,x C=即为通解（3）212,0x yxy xe y-='==解: 22,,x y y xdyxe e e dy xe dxdx-=⋅=()()22222222221,,211,,221111,ln,2224y x y xy x x y x xy x x x xe dy xe dx e xdee xe e dx e xe e dxe xe e C y xe e C===-=-⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰由12xy==，得1,C=211ln()122xy x e⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（4）23(4),1xx x y y y='-==．解:22,,(4)(4)dy dx dy dxy x x y x x==--⎰⎰()411111ln,ln ln ln4,4441ln ln,,4444Cy dx y x x Cx xC xx xy C y ex x x=+=--+-=+=±⋅=---⎰ 由31xy==，得113C=，43(4)xyx=-。
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社 第八章
第八章习题8-1 １．求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)z=(2)1ln()zx y=-；(3)z=arcsin yx；(4)zarccos（x２+y２）．解：（1）要使函数有意义，必须222210x ya b--≥即22221x ya b+≤，则函数的定义域为2222(,)|1x yx ya b⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭，如图8-1阴影所示.图8-1 图8-1（2）要使函数有意义，必须ln()0x yx y-≠⎧⎨->⎩即1x yx y-≠⎧⎨>⎩，则函数的定义域为{(,)|x y x y>且1}x y-≠,如图8-2所示为直线y x=的下方且除去1y x=-的点的阴影部分（不包含直线y x=上的点）.（3）要使函数有意义，必须1yxx⎧≤⎪⎨⎪≠⎩,即11yxx⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩，即x y xx-≤≤⎧⎨>⎩或x y xx≤≤-⎧⎨<⎩，所以函数的定义域为{(,)|0x y x>且}{(,)|0,}x y x x y x x y x-≤≤<≤≤-，如图8-3阴影所示.图8-3 图8-4（4）要使函数有意义，必须2200||1x y x y ⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩即222001x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩, 所以函数的定义域为222{(,)|0,0,,1}x y x y x y x y ≥≥≥+≤,如图8-4阴影所示.２．设函数f (x ,y )=x 3-2xy +3y 2，求 (1) f (-2,3); (2) f 12,x y ⎛⎫⎪⎝⎭； (3)f (x +y ,x -y ). 解：（1）32(2,3)(2)2(2)33331f -=--⨯-⨯+⨯=;（2）23321211221412,23f x y x x y y x xy y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （3）32(,)()2()()3()f x y x y x y x y x y x y +-=+-+-+- 3222()2()3()x y x y x y =+--+-. ３．设F (x ,y )f，若当y =1时，F (x ,1)=x ，求f (x )及F (x ,y )的表达式． 解：由(,1)F x x =得1)x f =即1)1f x =-1t =则2(1)x t =+代入上式有2()(1)1(2)f t t t t =+-=+所以 ()(2)f x x x =+于是(,)1)1) 1F x y f x ===-４．指出下列集合A 的内点、边界点和聚点：(1){(,)01,0}A x y x y x =≤≤≤≤；(2){(,)31}A x y x y =+=； (3)A ＝｛（x ,y ）｜x ２＋y ２＞０｝； (4)(0,2]A =． 解：（1）内点{(,)|01,0}x y x y x <<<<边界点{(,)|01,0}{(,)|01,1}x y x y x y y x ≤≤=≤≤= {(,)|,01}x y y x x =≤≤ 聚点A （2）内点∅ 边界点A 聚点A （3）内点A边界点（0，0） 聚点A（4）内点∅ 边界点[0,2] 聚点[0,2]习题8-2１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：(1) z =224xy x y+； (2) z =x y x y +-． 解：(1)当(,)P x y 沿曲线2x ky =趋于（0，0）时，有24244200lim (,)lim 1y y y kxky kf x y k y y k →→===++这个值随k 的不同而不同，所以函数224Z=xy x y+在(0,0)处的极限不存在. (2)当(,)P x y 沿直线(1)y kx k =≠趋于(0,0)时，有001lim (,)lim(1)1y x y kxx kx kf x y k x kx k→→=++==≠--，这个极限值随k 的不同而不同，所以函数Z=x yx y+-在(0,0)处的极限不存在. ２．求下列极限：(1) 00sin limx y xy x →→； (2)22011lim x y xyx y→→-+；(3)00x y →→ (4)22sin lim x y xy x y →∞→∞+．解：（1）0000sin sin()limlim 0x x y y xy xy y x xy →→→→=⋅=（2）222211101lim101x y xy x y →→--⨯==++（3）0000001)2x x x y y y →→→→→→=== （4）当,x y →∞→∞时，221x y+是无穷小量，而sin xy 是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即22sin lim0x y xyx y →∞→∞=+.３．求函数z =2222y xy x+-的间断点．解:由于220y x -=时函数无定义，故在抛物线22y x =处函数间断，函数的间断点是2{(,)|2,R}x y y x x =∈.习题8-3１．求下列各函数的偏导数：(1) z =(１+x )y ; (2) z =lntany x； (3) z =arctan yx； (4) u =zx y ．解：（1）1(1)y zy x x-∂=+∂(1)ln(1)y zx x y∂=++∂; （2）22221sec cot sec ;tan z y y y y y yx x x x x x x∂-=⋅⋅=-∂ 22111sec cot sec ;tan z y y y yy x x x x xx∂=⋅⋅=∂ （3）22221;1zy yxx x yy x ∂--=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭22211;1zx yx x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（4）22ln ln ;z zx x u z z yy y y x x x∂-=⋅⋅=-⋅∂1;1ln ln .zxzz x xu z y y xu y y y y z x x-∂=∂∂=⋅⋅=⋅∂２．已知f (x ,y )=e -sin x (x +2y )，求x f '(0，1)，y f '(0，1)．解：sin sin sin (,)e (cos )(2)e e [cos (2)1]x x x x f x y x x y x x y ---'=⋅-++=-⋅++ s i ns i n(,)e22ex x y f x y --'=⋅= 所以sin0(0,1)e (cos0(021)1)1x f -'=-⋅+⨯+=- s i n 0(0,1)2e 2y f -'== ３．设z =x +y +(y -，求112811,x x y y z z x y====∂∂∂∂．解：1122112d (,1)d(1)1d d x x y x z f x x xx x====∂==+=∂又23211(3z x x y y y y-⎛⎫∂-=+-⋅ ⎪∂⎝⎭所以1811π11arcsin 126x y z y==∂=+=+=+∂. ４．验证z =11+ex y ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足222z zxy z x y∂∂+=∂∂． 解：1111()()2211e ex yx y z x x x-+-+∂-=⋅-=∂ 1111()()2211e ex yx yz y y y-+-+∂-=⋅-=∂所以1111()()22222211e ex yx y z z x y x y x y x y-+-+∂∂+=⋅+⋅∂∂ 11()2e 2x yz --+==５．设函数z =2222422,00,0xy x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在?解：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f z y y ∆→∆→+∆--'===∆∆ 00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f z x x∆→∆→+∆--'===∆∆ 所以函数在（0，0）处的偏导数存在且(0,0)(0,0)0x y z z ''==.６．求曲线22(),4z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩14在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 解：因为 242z x x x ∂==∂，故曲线221()44z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）的切线斜率是(2,4,5)1z x ∂=∂,所以切线与x 轴正向所成的倾角πarctan14α==.７．求函数z =xy 在(2,3)处，当Δx ＝0.1与Δy =－0.2时的全增量Δz 与全微分d z ． 解：,z zy x x y ∂∂==∂∂∴ d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ 而()()z x x y y xy x y y x x y ∆=+∆+∆-=∆+∆+∆∆ 当0.1,0.2,2,3x y x y ∆=∆=-==时，d 30.12(0.2)0.1z =⨯+⨯-=-2(0.2)30.10.1(0.2)0.12z ∆=⨯-+⨯+⨯-=-. ８．求下列函数的全微分：(1) 设u =()zx y，求d u ｜(1,1,1)．(2) 设z，求d z ．解：（1）1121(),()z z u x u x x z z x y y y y y --∂∂-=⋅⋅=⋅⋅∂∂;()ln ,z u x xz y y∂=∂ (1,1,1)(1,1,1)1,1,u u x y∂∂∴==-∂∂ (1,1,1)0u z∂=∂,于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)d d d d d d z z z ux y z x y xyz∂∂∂=++=-∂∂∂（2）z x∂==∂2zy∂==∂ ∴22d d d d d z z z x y xyx y ∂∂=+=∂∂习题8-4１．求下列各函数的全导数：(1) z =e 2x +3y , x =cos t , y =t 2; (2) z =tan(3t +2x 2+y 3), x =1t，y．解：（1）d d d d d d z z x z yt x t y t∂∂=+⋅∂∂ 22323232cos 3e 2(sin )e 32=2e(3sin )2e (3sin )x y x y x yt t t tt t t t ++++=⋅⋅-+⋅⋅-=-（2）d d d d d d z f f x f y t t x t y t∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂223223222321sec (32)3sec (32)4 sec (32)3t x y t x y xt t x y y -=++⋅+++⋅+++⋅3223242(3(3)t t t t=-++. ２．求下列各函数的偏导数：(1) z =x 2y -xy 2, x =u cos v , y =u sin v ;(2) z =e uv , u =, v =arctany x． 解：（1）z z x z yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22222222222(2)cos (2)sin 2sin cos sin cos sin cos 2sin cos 3sin cos (cos sin )xy y v x xy vu v v u v v u v v u v v u v v v v =-+-=-+-=-z z x z y v x v y v∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22323333323333(2)sin (2)cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos (sin cos )(sin cos )xy y u v x xy u vu v v u v u v u v v u v v v v u v v =--+-=-++-=-+++（2）221e e 1()uv uv z z u z v y v u y x u x v x x x∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂+arctan2222e e()(arctanyuvxyxv yu x y x y x y x=-=-++211e e 1()uv uv z z u z vv u y y u y v yxx∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂+2222e e()(arctanln y uvxyyv xu x x x y x y x=+=+++ ３．求下列函数的一阶偏导数，其中f 可微： (1) u =f (,x yy z)； (2) z =f (x 2+y 2)； (3) u =f (x , xy , xyz )． 解：（1）121110u f f f x y y ∂'''=⋅+⋅=∂12212211u x x f f f f y y z z y ∂-''''=⋅+⋅=-∂122220u y y f f f z z z∂-'''=⋅+⋅=∂ （2）令22,u x y =+则()z f u =22d ()22()d z f u f u x xf x y x u x∂∂''=⋅=⋅=+∂∂22d ()22()d z f u f u y yf x y y u y∂∂''=⋅=⋅=+∂∂ （3）令,,t x v xy w xyz ===,则(,,)u f t v w =.123123d 1d u f t f v f w f f y f yz f yf yzf x t x v x w x∂∂∂∂∂∂''''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂ 12323d 0d u f t f v f w f f x f xz xf xzf y t y v y w y∂∂∂∂∂∂'''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂1233d 00d u f t f v f w f f f xy xyf z t z v z w z∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ ４．设z =xy +x 2Ｆ(u ),u =yx，Ｆ（u ）可导．证明：2z zxy z x y∂∂+=∂∂． 证：222()()2()()z yy xF u x F u y xF u yF u x x∂-''=++⋅=+-∂21()()z x x F u x xF u y x∂''=+⋅=+∂22()()()z zxy xy x F u xyF u xy xyF u x y∂∂''∴==+-++∂∂ 22[()]x y x F u z=+=∂ ５．利用全微分形式不变性求全微分：(1) z =(x 2+y 2)sin(2x +y )； (2) u =222()yf x y z --，f 可微． 解：（1）令22,sin(2)u x y v x y =+=+，则vz u =122d d d d()ln d sin(2)v v z zz u v vu x y u u x y u v-∂∂=+=++⋅+∂∂122sin(2)2222(2d 2d )ln cos(2)d(2)[2(d d )ln cos(2)(2d d )]2sin(2)()(d d )cos(2)ln()(2d d )v v v x y vu x x y y u u x y x y vu x x y y u x y x y ux y x y x x y y x y x y x y x y -+=++⋅++=⋅++⋅++⎡⎤+=++++++⎢⎥+⎣⎦（2）22222222111d d d d ()d()yu y y f y f x y z x y z f f f f-'=+⋅=-----222222222222221()d (2d 2d 2d )12()d (d d d )()()yf x y z y x x y y z z f f yf x y z y x x y y z z f x y z f x y z '--=---'--=-------６．求下列隐函数的导数：(1) 设e x +y +xyz =e x ，求x z ',y z '； (2)设x z =ln z y，求,z zx y ∂∂∂∂． 解：（1）设(,,)e e 0x yx F x y z xyz +=+-=，则ee ,e ,x yx x y x y z F yz F xz F xy ++'''=+-=+=故e e e ,x x y x yy x y z F Fx yz xzz z Fz xy F xy++'--+''=-==-=-（2）设(,,)ln 0x zF x y z z y=-=,则 2221111,,x y z y z x y x F F F z z y y z z y z z--'''==-⋅==-⋅=--故21x z F z z z xF x z z z '∂=-=-='∂+--2211()y z F z z yx yF y x z z z'∂=-=-='∂+-- ７．设x +z =yf (x 2-z 2)，其中f 可微，证明：z zzy x x y∂∂+=∂∂． 证：设22(,,)()F x y z x z yf x z =+--则2212()x F xyf x z ''=--2222()12()y z F f x z F yzf x z '=--''=+-故22222()112()x z F zxyf x z x F yzf x z ''∂--=-=''∂+- 2222()12()y zF z f x y y yzf x z F '∂-=-='∂+-' 从而22222222()()12()12()z z xyzf x z z yf x y z y x y yzf x z yzf x z '∂∂∂---+=+''∂∂+-+- 222222222222222()()12()2()12()[2()1]12()xyzf x z z yf x y yzf x z xyzf x z z x zyzf x z x yzf x z x yzf x z '--+-='+-'--++='+-'-+=='+-８．设x =e u cos v , y =e u sin v , z =uv ,求z x ∂∂及z y∂∂． 解法一：由e cos ,e sin u ux v y v ==得221ln(),arctan ,2yu x y v z uv x=+== 故22(cos sin )e uz z u z v xv yu v v u v x u x v x x y-∂∂∂∂∂-=+==-∂∂∂∂∂+22(sin cos )e uz z u z v yv xu v v u v y u y v y x y-∂∂∂∂∂+=+==-∂∂∂∂∂+ 解法二：设方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了函数(,),(,)u u x y v v x y ==,对方程组的两个方程关于x 求偏导得1e cos e sin 0e sin e cos uu u u u v v v x xu v v v x x ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得e cos e sin u u uv xv v x --∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=-⎪∂⎩又方程组的两个方程关于y 求偏导得0e cos e sin 1e sin e cos uu u u u v v v y y u v v vy y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解方程组得：e sin e cos uu u v y v v y--∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ 从而e (cos sin )u z z u z vv v u v x u x v x-∂∂∂∂∂=⋅+=-∂∂∂∂∂e (s i n c o s )uz z u z v v v u v y u y v y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ９．设u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，y =y (x )和z =z (x )分别由方程0xye y -=和e z -xz =0确定，求d d ux． 解：方程e 0xyy -=两边对x 求导得d de ()0d d xyy y y x x x +-=，解得2d e d 1e 1xy xy y y y x x xy==-- 方程e 0zxz -=两边对x 求导得d de 0d d zz z z x x x--= 解得d de z z z z x x xz x==-- 从而2d d d d d d 1y z x y z x y f zf u y zf f f f x x x xy xz x''''''=++=++--习题8-5１．求下列函数的二阶偏导数： (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2； (2) z =arctany x； (3) z =y x ； (4) z =x ln(xy )．解：（1）23222248, 128;z z x xy x y x x∂∂=-=-∂∂232222248, 128;1622z z y x y y x y y zxy x y∂∂=-=-∂∂∂=-（2）22221,1()z y y y x x x y x∂-=⋅=-∂++ 22222222222222222222222222222211,1()2(2),()()22()()()2()()z x y y x x y xz y xyx x x y x y z x xyy y x y x y z x y y y y x x y x y x y ∂=⋅=∂++∂-=-⋅=∂++∂--=⋅=∂++∂+-⋅-=-=∂∂++（3）1ln , ,x x z zy y xy x y-∂∂==∂∂222222211ln , (1),1ln (1ln )x x x x x z z y y x x y x y z xy y y y x y x y y---∂∂==-∂∂∂=+⋅=+∂∂（4）1ln()1ln(),z xy x y xy x xy∂=+⋅⋅=+∂22222211,1,11.z y x xy x z x x x y xy y z xy y z x x y xy y∂=⋅=∂∂=⋅⋅=∂∂=-∂∂=⋅=∂∂２．求下列函数的二阶偏导数，其中f (u ,v )可微： (1) z =f (x 2+y 2)； (2) z =f (xy ,x +2y )．解：（1）2222, 22224z zxf f xf x f x f x x∂∂'''''''==+⋅=+∂∂ 2222, 22224z zyf f yf y f y f y y ∂∂'''''''==+⋅=+∂∂2224zxf y xyf x y∂''''=⋅=∂∂（2）1212, =+2 z zyf f xf f x y∂∂''''=+∂∂ 22111221221112222(1)12zy f y f f y f y f yf f x∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 22111221*********(2)2(2)44z x f x f f x f x f xf f y∂''''''''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂ 21111221221111222(2)2 (2)2zf y f x f f x f x y f xyf x y f f ∂'''''''''=++⋅+⋅+⋅∂∂'''''''=++++３．求由e z -xyz =0所确定的z =f (x ,y )的所有二阶偏导数． 解：设(,,)e 0zF x y z xyz =-=，则,,e z x y z F yz F xz F xy '''=-=-=-于是,e x z z F z yz zx F xy xz x∂=-==∂--e z z xz zy xy yz y∂==∂-- 从而222()(1)()z z xz x z z x zx x xxz x ∂∂--+-∂∂∂=∂-232223(1)221.(1)(1)z z z z z z z z x z x z --+---==-- 223222223()(1)(1)221.()(1)(1)z zz yz y z z y z z z z z z z y y z y yz y y z y z ∂∂--+---+∂--∂∂-===∂--- 2222233()()(1)(1).()(1)(1)(1)z z z z xz x z x z z z z z y y y y z x y xz x x z xy z xy z ∂∂---∂---∂∂-====∂∂----习题8-6１．求z =x ２+y ２在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2的方向的方向导数．解：设(1,2),(2,2o p p ，则射线l的方向就是向量(1o p p =的方向，将o p p 单位化得：1(,),22||o o p p p p =于是1cos ,cos 2αβ==, 又2,2,f fx y x y ∂∂==∂∂ 于是(1,2)(1,2)2,4,f f x y∂∂==∂∂所以(1,2)124122f l∂=⨯+=+∂ ２．设u =xyz +x +y +z ,求u 在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数．解：设0(1,1,1),(2,2,2)p p ,则射线l 的方向就是向量0p p =(1,1,1)的方向，将0p p单位化得00||p p p p =⎝⎭，于是cos αβγ=== 又1,1,1f f f yz xz xy x y z ∂∂∂=+=++∂∂∂，于是(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)2,2,2fff xyz∂∂∂===∂∂∂,所以(1,1,1)222333f l∂=⨯+⨯+⨯=∂. ３．求函数z =x ２-xy +y ２在点Ｍ（１，１）处沿与Ox 轴的正方向所成角为α的方向l 上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：2,2f f x y x y x y ∂∂=-=-+∂∂, (1,1)(1,1)1,1f fx y∂∂==∂∂∴(1,1)π1c o s 1s i n 2s i n ()4f lααα∂=⋅+⋅+∂当πsin()4α+=1，时，即π4α=当πsin()14α+=-时，即5π4α=时，此方向导数有最小值当πsin()04α+=时，即3π4α=或7π4时，此方向导数为0.习题8-7１．求下列函数的极值： (1) z=x ３-4x 2+2xy -y 2+3； (2) z =e 2x (x +2y +y 2)； (3) z =xy (a -x -y )， a ≠0． 解：（1）由方程组：23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩ 得驻点（0，0），（2，2） 又68,2,2,xx xy yy z x z z ''''=-==-在点（0，0）处，2120B AC -=-<,又80A =-<，所以函数取得极大值(0,0)3;f = 在点（2，2）处，2120,B AC -=>该点不是极值点.（2）由方程组222e (2241)0e (22)0x xx y z x y y z y ⎧'=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩ 得驻点1(,1)2-.又2222e (4484),e (44),2e xxxxx xy yy z x y y z y z ''''''=+++=+=，在点1(,1)2-处22202e 2e 4e 0,B AC -=-⋅=-<且2e 0A =>,所以函数取得极小值11(,1) e.22f -=- （3）由方程组(2)0(2)0xy z y a x y z x a y x ⎧'=--=⎪⎨'=--=⎪⎩ 得四个驻点（0，0），(0,),(,0),,.33a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又2,22,2xx xy yy z y z a x y z x ''''''=-=--=-.在点（0，0）处，220,B AC a -=>该点不是极值点. 在点(0,)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点. 在点(,0)a 处，220B AC a -=>,该点不是极值点.在点,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭处,2203a B AC -=-<，所以函数在该点有极值，且极值为3,3327aa a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于23xx A z a ''==-故 当0a >时，(0)A <，函数有极大值327a ,当0a <时，(0)A >，函数有极小值327a .２．求函数z =x 3-4x 2+2xy -y 2在闭区域D ：-1≤x ≤4,-1≤y ≤1上的最大值和最小值． [分析]由(,)f x y 在D 上连续，所以必有最大最小值，又由于(,)f x y 在D 内可导，所以(,)f x y 的最值在D 的内部驻点或在D 的边界上，由(,)f x y 在D 内部驻点上值与边界上函数比较可求出(,)f x y 的最大和最小值.解：由方程23820220xy z x x y z x y ⎧'=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点（0，0），（2，2）（2，2）D ∈应该舍去，(0,0)0f =（可由充分条件判别知是极大值）.D 的边界可分为四部分：12:1,11; :1,14;L x y L y x =--≤≤=--≤≤ 34:4,11; :1,1 4.L x y L y x =-≤≤=-≤≤在1L 上，2(1,)52(),1 1.f y y y y y ϕ-=---=-≤≤因为()2(1)0,y y ϕ'=-+≤所以()y ϕ单调递减，因而(1)4ϕ-=-最大，(1)8ϕ=-最小. 在2L 上，32(,1)421(),14f x x x x g x x -=---=-≤≤令()0g x '=得124433x x ==.而122227min{(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x --==,1214227m a x {(1),(),(),(4)}()27g g x g x g g x -==分别是(,)f x y 在2L 上的最小值与最大值.类似讨论可得：在3L 上(4,1)7,(4,1)9f f =-=-，分别是(,)f x y 的最大值与最小值;在4L 上(4,1)7,(1,1)f f =-=-8分别是(,)f x y 的最大值与最小值.比较(,)f x y 在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到(4,1)7f =是函数(,)f x y 在D 上的最大值，116.1f ⎫-=≈-⎪⎪⎝⎭. ３．求函数z =x +y 在条件111x y+= (x ＞０,y ＞０)下的条件极值． 解：构造拉格朗日函数11(,)1F x y x y x y λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭解方程组221010111x y F x F y x yλλ⎧'=-=⎪⎪⎪'=-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 得2,2,4x y λ===,故得驻点(2,2)。
2019《微积分II》期末复习题一 - 参考答案
.
M
gradu
u i x
u y
j
u k z
u x
,
u y
,
u z
2 9
,
4 9
,
4 9
u
2x
x x2 y2 z2
u
2y
y x2 y2 z2
u
2z
z x2 y2 z2
gradu M
S
曲面方程, x用 x替换, 曲面边界方程不变化.
(1)被积函数f ( x, y, z)关于x是奇函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
则 f ( x, y, z)dS 0;
S
(2)被积函数f ( x, y, z)关于x是偶函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
x2 y2 1以及平面z 0围成.
法一: 积分区域为圆柱去掉圆锥的部分,
z
用先一后二法
V
:
0
z
x2 y2
Dxy : 0 x2 y2 1
I
2
d
1
rdr
r z r 2dz
0
0
0
2 1 r 3 1 z2 r dr 1 r 5dr
0 0
1 x cos 2x 1
cos 2xd 2x
0 2 0
1 1 sin 2x
2
0
1
11/24
三、设z
xn
f
2013级 微积分二 总复习答案
2013级微积分（二）总复习答案一、单项选择题1.定积分（积分变上限函数的导数）a .设函数)(x f 为连续偶函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （ ）（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数 【另附】设函数)(x f 为连续奇函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （ ）（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数 b ．导数=⎪⎭⎫⎝⎛⎰'arcsin dx x ba ( )A. 0B. 211x- C.x arcsin D.a b arcsin arcsin -c.2sin dtdt dx = ( ) A. 0 B. 2sin 2sin -x x C.x sin 21D.x sin答案： C B A C2.多元函数的偏导数（具体二元函数的一阶偏导数）a.设z =，则zx∂∂等于 ( )A.B.C.D.b 、设yxy x z a r c s i n)2(2-+=，那么(1,2)z x ∂=∂ ( )Ａ、２ Ｂ、１ Ｃ、π2 Ｄ、π4c. 5.设xy e x z )(+=，则=∂∂)0,1(|xz（ ） A. 122-ln B. 1 C. 22ln D. 122+ln答案：C A D3.二重积分（交换积分次序）a ．()=⎰⎰yydx y x f dy ,10( )Ａ．()⎰⎰x xdy y x f dx 2,1Ｂ．()⎰⎰1,dy y x f dx y yＣ．()⎰⎰2,1x xdy y x f dx Ｄ．()⎰⎰2,1x xdx y x f dy b ．交换⎰⎰-1010),(ydx y x f dy 的次序，则下列结果正确的是 （ ）Ａ、⎰⎰-y y ydy y x f dx 101),( Ｂ、⎰⎰-1010),(ydy y x f dxＣ、⎰⎰10),(x dy y x f dx Ｄ、⎰⎰-1010),(x dy y x f dxc 、交换+⎰⎰12121),(xdy y x f dx ⎰⎰212),(x dy y x f dx 的次序，则下列结果正确的是 （ ） Ａ、⎰⎰211),(yydx y x f dy Ｂ、⎰⎰211),(y ydx y x f dyＣ、⎰⎰311),(x xdx y x f dy Ｄ、⎰⎰1311),(x xdx y x f dy答案：A D A4.二阶常系数齐次线性微分方程的通解a. 微分方程560y y y '''-+=的通解为( ), 其中1C ，2C 均为任意常数。
微积分二试题及答案
微积分二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，则下列说法正确的是（）。
A. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续B. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可导C. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可微D. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可微答案：A2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，则下列说法正确的是（）。
A. \( f(0) = 0 \)B. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处可导C. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续D. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不可导答案：C3. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数是（）。
A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( x^3 \)C. \( \frac{x^2}{2} \)D. \( \frac{x^3}{3} + C \)答案：D4. 设 \( y = \ln(x) \)，求 \( y' \) 的值是（）。
A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{x^2} \)C. \( x \)D. \( \frac{1}{\ln(x)} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{1} 2f(x) \, dx = \)。
答案：42. 设 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上连续，则 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 的值等于 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上的。
答案：定积分3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是。
微积分II课后答案详解
2 4 4 4 = + + = )1,1,1( | z u + y u + x u ∴ 3 3 2 1
3
z + y + x +1 = zu z3
2 2
3
z + y + x +1 = yu y2
2
3
z + y + x +1 = x u �解 1
2
z
u + y u + x u求处� � 1 � 11 �点在 ,) 3 z + 2 y + x + 1(nl = u 设�3
z2
) yx (nl y 2 yx 2 y∂ = x. . 2 ]) yx (nl[ = 1 1 1− 1 z∂ ) yx (nl x 2 yx 2 x∂ = y . . 2 ]) yx (nl[ = �解 1 1 1− 1 z∂ y∂ x∂ , 求 , ) yx (nl = z ② z∂ z∂
2
yx 3 − 3 x =
�y + x � )y + x ( 2 )y + x ( y + x � x∂ y∂ y∂x∂ 2 � y∂ + + = = + = y x = ) ( n l ) ( y x−0 z∂ ∂ z2 ∂ 1 � x � ∂
)y + x ( 2 )y + x ( y + x x∂ y +x x∂ x∂ x∂ 2 = + =) + ) y + x (nl( = ) ( = 2 y2 + x x−y +x x ∂ z∂ ∂ z2 ∂ 1 y +x x∂ .x + ) y + x (nl = �解 z∂ 1 y∂x∂ 2 x∂ 求 ,) y + x (nl x = z ③ , ∂ z2 ∂
2017级《高等数学B-微积分(二)》A卷答案 (1)
dy
y2
( y)2 x
dx xy x2 y 1
x
令 v y ， y v x ， dy v x dv ，代入以上方程得 v x dv v2 ，
x
dx
dx
dx v 1
v
1 dv v
dx x
，得
v ln | v | ln | x | C ，即 ln | xv | v C
上海立信会计金融学院 2017～2018 学年第二学期
《高等数学B-微积分（二）》课程 代码：160040410 本试卷系A卷 集中考试 考试形式：闭卷 考试用时: 90分钟 考试时不能使用计算工具
__________专业 _________班 姓名 __________学号 ____________ 序号
(A)可分离变量微分方程 (B)一阶线性非齐次方程 (C)齐次方程
5.以下四个关于级数的结论中，正确的结论是
(A)若 un2 和 vn2 都收敛，则 (un vn )2 收敛。
n1
n1
n1
(D)② ③ ①
（C）
(D)前面三种都不是 （A）
第1页共5页
(B)若 | unvn | 收敛，则 un2 与 vn2 都收敛。
(B) dx
1 x2
f (x, y) dy
0
1 x
x2 y2
1
1 x2
(C) dx
f (x, y) dy
0
x
1
(D) dx
1 x2
f (x, y) dy
0
x
x2 y2
微积分2习题答案
微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上］⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续，则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①，②=24.7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时，l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时，① x + sinx12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量，则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ：① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛？ + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ，( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n ［解］记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在，故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。
微积分II课程微积分2答案
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
微积分二第六章课外练习题参考答案
《微积分二》第六章课外综合练习题（一）参考答案单项选择题：1．设2()()2x xF x f t dt x =-⎰，其中()f x 是连续函数，则2lim ()x F x →=（ C ）。
A .0B .(2)fC .2(2)fD .不存在提示：22222()()()lim ()limlim21xxx x x x f t dtf t dt xf x F x x →→→+==-⎰⎰22()2(2)2(2)f t dt f f =+=⎰。
2．设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，则10()f x dx ⎰=（ B ）。
A.2π B. 3π C. π D. 4π提示：111320001()[()]1f x dx x f x dx dx x =++⎰⎰⎰111320001()1dx f x dx x dx x=+⋅+⎰⎰⎰ =11001arctan ()4x f x dx +⎰101()44f x dx π=+⎰所以10()3f x dx π=⎰3．设()(),()xaf x f t dt '⎰为连续函数则 为（ C ）。
A ．)(t fB ．)()(a f t f -C ．)(x fD ．)()(a f x f - 提示：利用积分上限的函数的性质。
4．设)(x f 为连续函数，则()()b baaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰等于（ A ）A ．0B ．1C ．b a +D ．()b af x dx ⎰提示：()()()()t a b xba b babaaf a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==⎰⎰⎰⎰。
5．下列定积分中，其值为零的是（ D ）A ．22sin x xdx -⎰ B ．2cos x xdx ⎰ C ．22()x e x dx -+⎰ D ．22(sin )x x dx -+⎰提示：因为sin x x +是奇函数。
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/(某)=3某2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(某)=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。
3.已知z=f(某,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）： 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。
2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R(某)=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法)（8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200某+400y-100000=0（2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
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故条件收敛。
5．判断级数 的敛散性。
解： 且 ∴交错级数收敛。
6．设D由x = 2, y = x, 及x y = 1围成，求。 解：
7．计算二重积分计算二重积分 ，其中 。
解：
8．求方程满足初始条件的特解。 解：特征方程为 ，所以特征根为，是两个相等实根，所以通解为
，满足初始条件的特解为。
四、应用题（本题8分）： 某公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入（万元）与电视广告费
五、证明题：（本题6分） 已知 （,求证： （1） 若收敛，则收敛。 （2） 若发散，则发散。 证明：（1） 若收敛，则也收敛， 由已知，得 即 由比较判别法知： 若收敛， 则也收敛，即收敛。 （大收则小收）
（2）由（1）得 由比较判别法知：若发散，则发散。（小发则大发）
二、单项选择（每小题2分，共10分）：
1．若函数与分别为与的可微函数，且，则（D）.
（A）＋
（B） ＋
（C）＋＋ （D） ＋
2．若为区域，则＝（ C ）.
（A） 4
（B） 15
（C） 60
（D） 84
3．在下列级数中，唯有（ A ）是发散的。
（A）
（B）
（C）
（D）
4．对于，原点（0，0）（ D ）。
（A）） 是极小值点
5．级数（ B ）。
（A）条件收敛
（B） 绝对收敛
（C） 发散
（D） 敛散性不能判定
三、计算题（每小题7分，共56分）：
1．设，求。
解：
∴
2．已知，具有连续二阶偏导数.求的全微分. 解：∵
∴ ＝＋
3．设 . 解：
4．判断级数 是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 解： ∴ 当时，p级数发散，原级数不绝对收敛。 而是交错级数，且
《微积分》下册 综合练习题1 参考答案
一、填空题（每小题2分，共20分）： 1. 函数，则定义域为。 2. 若，则＝。 3. = 0 。 4. 若级数为 则它的一般项。 5. 将函数 展为的幂级数为。
6. 若，则＝。 7. 若函数，则 。 8. 函数z是由方程所确定的二元函数，则全微分。 9. 交换二次积分的次序=。 10.若常数，且则a ＝ 。